Tải bản đầy đủ - 567 (trang)
Chương 7 Ánh xạ bảo giác

Chương 7 Ánh xạ bảo giác

Tải bản đầy đủ - 567trang

´

Chu.o.ng 7. Anh

xa. ba’o gi´ac



516



7.3



7.2.6



- i.nh l´

D

y Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548



7.2.7



- .inh l´

ac . . . . . . . 553

anh xa. ba’o gi´

y duy nhˆ

a´t cu’a ´

D



7.2.8



Su.. tu.o.ng u

´.ng gi˜

u.a c´

ac biˆen v`

a cˆ

ong th´

u.c

Christoffel-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554



B`

ai tˆ

a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



560



T`

ai liˆ

e.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



563



Trong chu.o.ng II ta d˜a l`am quen v´o.i su.. mˆo ta’ h`ınh ho.c c´ac t´ınh chˆa´t

`e co. ba’n cu’a qu´a

u.ng vˆa´n dˆ

chı’nh h`ınh cu’a h`am biˆe´n ph´

u.c. Mˆo.t trong nh˜

u.u c´ac h`am chı’nh h`ınh b˘`ang c´ach xuˆa´t ph´at t`

tr`ınh d´o l`a viˆe.c nghiˆen c´

u. c´ac

´anh xa. thu..c hiˆe.n bo’.i c´ac h`am ˆa´y. C´ac ´anh xa. ˆa´y l`a ba’o gi´ac ta.i mo.i diˆe’m

u. d´o ta c˜

ung c´o thˆe’ thu du.o..c nh˜

u.ng v´ı

m`a h`am c´o da.o h`am kh´ac khˆong. T`

`e c´ac ´anh xa. ba’o gi´ac minh ho.a vˆ

`e m˘a.t h`ınh ho.c mˆo.t h`am

du. kh´ac nhau vˆ

d˜a cho n`ao d´o.

`e du.o..c quan tˆam ho.n ca’ v`a c˜

Tuy nhiˆen, trong thu..c tˆe´ vˆa´n dˆ

ung l`a vˆa´n

.

.

.

.

`e kh´o kh˘an ho n ca’ l`a b`ai to´an ngu o. c - go.i l`a b`

ai to´

an co ba’n cu’a l´y thuyˆe´t



.

.

.

anh xa. ba’o gi´

´

ac. B`ai to´an d´o du o. c d˘a.t ra nhu sau:

`en

`en D v`a D∗ cu’a C. H˜ay t`ım h`am ´anh xa. ba’o gi´ac miˆ

Gia’ su’. cho hai miˆ

`en kia.

n`ay lˆen miˆ

`e tˆ

`on ta.i h`am ´anh xa. ba’o gi´ac

u.u vˆa´n dˆ

Trong chu.o.ng n`ay ta s˜e nghiˆen c´

.

.

.

.

.

`en D v`a D∗ do.n liˆen. Cu. thˆe’ l`a

dˆo´i v´o i tru `o ng ho. p do n gia’n nhˆa´t khi hai miˆ

`en do.n liˆen v´

y Riemann kh˘a’ng di.nh r˘`ang mo.i miˆ

o.i

ta s˜e ch´

u.ng minh di.nh l´

`eu c´

o thˆe’ ´

anh xa. ba’o gi´

ac lˆen h`ınh tr`

on mo’. cu’a

a´t hai diˆe’m dˆ

biˆen ch´

u.a ´ıt nhˆ

C.



7.1





ac kh´

ai niˆ

e.m chung



Kh´ai niˆe.m ´anh xa. ba’o gi´ac d˜a du.o..c di.nh ngh˜ıa trong 2.3. Trong mu.c n`ay ta

s˜e tr`ınh b`ay mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m chung cu’a l´

y thuyˆe´t ´anh xa. ba’o gi´ac c`

ung v´o.i

mˆo.t v`ai t´ınh chˆa´t chung cu’a c´ac ´anh xa. ˆa´y.



7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung



7.1.1



517



H`

am do.n diˆ

e.p



`en d˜a du.o..c dˆ

`e cˆa.p dˆe´n trong chu.o.ng

Kh´ai niˆe.m h`am do.n diˆe.p trong mˆo.t miˆ

I. Bˆay gi`o. ta du.a v`ao kh´ai niˆe.m h`am do.n diˆe.p ta.i mˆo.t diˆe’m v`a nghiˆen c´

u.u

mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu’a l´o.p h`am n`ay m`a qua d´o ta s˜e thˆa´y r˜o t´ınh chˆa´t di.a

phu.o.ng cu’a ´anh xa. chı’nh h`ınh c´o da.o h`am = 0.

- i.nh ngh˜ıa 7.1.1. H`am F (z) du.o..c go.i l`a do.n diˆe.p ta.i diˆe’m z0 nˆe´u h`am ˆa´y

D

do.n diˆe.p trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m z0.

`en

`en th`ı do.n diˆe.p ta.i mo.i diˆe’m cu’a miˆ

Hiˆe’n nhiˆen, h`am do.n diˆe.p trong miˆ

.

.

`eu kh˘a’ng di.nh ngu o. c la.i n´oi chung l`a khˆong d´

ung. Thˆa.t vˆa.y, h`am

ˆa´y. Diˆ

f (z) = ez do.n diˆe.p ta.i mo.i diˆe’m z = ∞ nhu.ng f khˆong do.n diˆe.p trong C v`ı

∀ zk = a + 2kπi,



`eu c´o f (zk ) = ea.

k ∈ Z ta dˆ



Bˆay gi`o. ta x´et tiˆeu chuˆa’n dˆe’ h`am do.n diˆe.p ta.i mˆo.t diˆe’m.

- i.nh l´

`en D ⊂ C l`

D

y 7.1.1. H`

am f (z) chı’nh h`ınh trong miˆ

a do.n diˆe.p ta.i

a chı’ khi f (z0 ) = 0.

diˆe’m z0 ∈ D khi v`

`an ch´

Ch´

u.ng minh. 1. Gia’ su’. f do.n diˆe.p ta.i diˆe’m z0. Ta cˆ

u.ng minh f (z0 ) =

2.

0. Ta gia’ su’. ngu.o..c la.i: f (z0) = · · · = f (p−1)(z0 ) = 0; f (p) (z0) = 0, p

y luˆa.n nhu. trong ch´

u.ng minh t´ınh ba’o to`an

B˘`ang c´ach ´ap du.ng phu.o.ng ph´ap l´

y 4.4.3) ta s˜e cho.n h`ınh tr`on U (z0 , r) = {|z − z0| r} ⊂ D

tˆa.p mo’. (4.4 di.nh l´

ung nhu. khˆong c´o c´ac khˆong

sao cho trong d´o khˆong c´o w0 - diˆe’m cu’a h`am f c˜

- diˆe’m cu’a da.o h`am ngo`ai tˆam z0 cu’a n´o (ta la.i su’. du.ng t´ınh chˆa´t c´o tˆa.p cu’a

c´ac khˆong diˆe’m) v`a ta c´o

p=



f (ζ)dζ

,

f (ζ) − w0



1

2πi



w0 = f (z0 ).



∂U



T`

u. di.nh ngh˜ıa chı’ sˆo´ mˆo.t diˆe’m dˆo´i v´o.i du.`o.ng cong (xem 4.4) ta thˆa´y r˘`ang

`an w0 (ch˘a’ng ha.n

trong tru.`o.ng ho..p n`ay J (w, ∂U ) b˘`ang p v´o.i mo.i w du’ gˆ

`eu d´o ch´

u.ng to’ r˘a`ng trong h`ınh tr`on U (z0 , r) h`am f nhˆa.n

|w − w0 | < µ). Diˆ

`an (v`ı h`am f nhˆa.n gi´a tri. w0 dˆe´n p lˆ

`an). V`ı

gi´a tri. w1, |w1 − w0 | < µ, dˆe´n p lˆ



´

Chu.o.ng 7. Anh

xa. ba’o gi´ac



518



f (z) = 0 ta.i mo.i z ∈ {S(z0, r) \ {z0}} nˆen h`am f s˜e nhˆa.n gi´a tri. w1 bˆa´t k`

y

`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a f khˆong

ta.i p diˆe’m kh´ac nhau trong h`ınh tr`on S(z0.r). Diˆ

`eu d´o mˆau thuˆ˜a n v´o.i gia’ thiˆe´t.

do.n diˆe.p ta.i diˆe’m z0. Diˆ

`on ta.i mˆo.t lˆan cˆa.n diˆe’m z0 m`a ta.i

u.ng minh r˘`ang tˆ

2. Ngu.o..c la.i, ta s˜e ch´

d´o h`am do.n diˆe.p. Ta x´et lˆan cˆa.n U (z0 , r) = {|z − z0| < r} cu’a diˆe’m z0 sao

cho U (z0, r) ⊂ D v`a

a) f (z0) = 0 trong U (z0, r),

b) h(z) = f (z) − f (z0 ) = 0, ∀ z ∈ {U (z0, r) \ {z0 }}.

.

(t´

u c l`a f (z) − f (z0) c´o khˆong diˆe’m duy nhˆa´t z0 ; v`ı khˆong diˆe’m cu’a h`am chı’nh

`on ta.i).

h`ınh cˆo lˆa.p nˆen lˆan cˆa.n d´o tˆ

Khi d´o ta c´o Nh (U ) = 1 (v`ı khˆong diˆe’m duy nhˆa´t cu’a h`am f (z) − f (z0)

c´o cˆa´p b˘`ang 1) v`a Nh (∂U ) = 0. Gia’ su’. λ = minz∈∂U |f (z) − f (z0 )| v`a

`an f (z0 ) sao cho w1 ∈ V .

V = {w : |w − f (z0 )| < λ}. Gia’ su’. w1 l`a diˆe’m du’ gˆ

Ta x´et biˆe’u th´

u.c

f (z) − w1 = (f (z) − w0) + (w0 − w1),



w0 = f (z0 ).



V`ı |f (z) − w0| > λ, ∀ z ∈ ∂U v`a |w1 − w0 | < λ nˆen

|f (z) − w1 |



|f (z) − w0 | − |w1 − w0| > 0,



∀ z ∈ ∂U.



`eu kiˆe.n cu’a di.nh

T`

u. d´o suy ra r˘`ang f (z) − w1 v`a f (z) − w0 tho’a m˜an c´ac diˆ

`eu d´o ch´

u.ng to’ r˘a`ng



y Rouch´e. Do d´o Nf −w1 (U ) = Nf −w0 (U ) = 1. Nhu.ng diˆ

`an trong U . Do d´o trong h`ınh tr`on V tˆ

`on

h`am f (z) − w1 chı’ triˆe.t tiˆeu mˆo.t lˆ

.

.

.

`en U ∩ g(V )

ta.i h`am do n tri. g(z) l`a h`am ngu o. c cu’a f (z). Khi d´o trong miˆ

y du.o..c ch´

u.ng minh.

ch´

u.a diˆe’m z0 h`am f (z) do.n diˆe.p. Di.nh l´



e. qua’ 7.1.1. H`

am chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m z = ∞

f (z) = a0 +



a1

+ ...,

z



|z| > R



l`

a do.n diˆe.p ta.i d´

o khi v`

a chı’ khi

a−1 = −Res[f ; ∞] = 0.



7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung



519



Ch´

u.ng minh. Ta x´et h`am chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m ζ = 0

ϕ(ζ) = f



1

ζ



= a0 + a−1 ζ + a−2 ζ 2 + . . . ,



|ζ| <



1

·

R



1

´anh xa. do.n tri. mˆo.t - mˆo.t lˆan cˆa.n {|z| > R} cu’a diˆe’m ∞ lˆen lˆan

z

cˆa.n {|ζ| < 1/R} cu’a diˆe’m ζ = 0. Do d´o h`am f (z) do.n diˆe.p ta.i ∞ khi v`a chı’

khi h`am ϕ(ζ) do.n diˆe.p ta.i diˆe’m ζ = 0 (v`a theo di.nh l´

y 7.1.1) t´

u.c l`a khi v`a

chı’ khi

H`am ζ =



ϕ (0) = a−1 = 0.





e. qua’ 7.1.2. H`

am f (z) c´

o cu..c diˆe’m ta.i z0 (h˜

u.u ha.n ho˘

a.c vˆ

o ha.n) l`

a do.n

a´y khi v`

a chı’ khi z0 l`

a cu..c diˆe’m do.n.

diˆe.p ta.i diˆe’m ˆ

1

´ du.ng di.nh l´

nˆe´u z0 = ∞ v`a hˆe. qua’

y 7.1.1 cho h`am

Ch´

u.ng minh. Ap

f (z)

7.1.1 nˆe´u z0 = ∞.

V´ı du. 1. Nˆe´u z0 l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u cu’a h`am f (z) th`ı f khˆong do.n

y Picard, trong lˆan cˆa.n bˆa´t k`

y cu’a

diˆe.p ta.i diˆe’m z0 . Thˆa.t vˆa.y, theo di.nh l´

diˆe’m z0 - phu.o.ng tr`ınh f (z) = c c´o vˆo sˆo´ nghiˆe.m dˆo´i v´o.i mo.i gi´a tri. c, c´o thˆe’

tr`

u. ra mˆo.t gi´a tri.. Do d´o f (z) khˆong do.n diˆe.p ta.i z0.

u.ng cu..c diˆe’m cu’a

u. ra hai diˆe’m z1 , z2 l`a nh˜

V´ı du. 2. Gia’ su’. f (z) ∈ H(D) tr`

n´o. Khi d´o f (z) khˆong do.n diˆe.p trong D. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u |c| l`a sˆo´ du’ l´o.n th`ı

`an zj .

phu.o.ng tr`ınh f (z) = c c´o ´ıt nhˆa´t hai nghiˆe.m z1 v`a z2 trong d´o zj du’ gˆ

Do d´o f (z) khˆong do.n diˆe.p trong D.

- i.nh l´

D

y 7.1.2. Nˆe´u h`

am w = f (z) do.n diˆe.p trong D, c`

on F (w) do.n diˆe.p

am ϕ = F (f (z)) do.n diˆe.p trong D.

trong D th`ı h`

u. d˘a’ng th´

u.c F (f (z1)) =

Ch´

u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, v`ı F do.n diˆe.p trong D nˆen t`

F (f (z2)) suy ra f (z1) = f (z2 ) v`a v`ı f do.n diˆe.p trong D nˆen z1 = z2 .



´

Chu.o.ng 7. Anh

xa. ba’o gi´ac



520



- i.nh l´

`en D khˆ

D

y 7.1.3. Gia’ su’. w = f (z) chı’nh h`ınh do.n diˆe.p trong miˆ

ong

ch´

u.a diˆe’m ∞. Khi d´

o h`

am ngu.o..c z = ϕ(w) c˜

ung chı’nh h`ınh do.n diˆe.p trong

D∗ (D∗ = f (D)).

`on ta.i h`am ngu.o..c du.o..c suy t`

Ch´

u.ng minh. 1. Su.. tˆ

y 7.1.1.

u. di.nh l´

2. H`am ϕ(w) do.n tri.. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u z1 = z2 l`a hai gi´a tri. cu’a w0 ∈ D

`eu n`ay mˆau thuˆa˜ n v´o.i t´ınh do.n diˆe.p

th`ı ta pha’i c´o f (z1 ) = f (z2) = w0 . Diˆ

cu’a f (z).

3. H`am ϕ(w) l`a do.n diˆe.p. Nˆe´u ϕ(w1 ) = ϕ(w2) = z0 , trong d´o w1 = w2

th`ı ta c´o

f (z0 ) = w1 ,



f (z0 ) = w2.



`eu n`ay mˆau thuˆ˜a n v´o.i t´ınh do.n tri. cu’a f (z).

Nhu.ng diˆ

4. H`am ϕ(w) liˆen tu.c. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. w0 ∈ D v`a ϕ(w0 ) = z0. Khi d´o

mˆo˜ i diˆe’m w ∈ {|w − w0 | < µ} s˜e l`a gi´a tri. cu’a f (z) ta.i diˆe’m z n`ao d´o n˘a`m

trong h`ınh tr`on U (z0 , r) = {|z−z0| r}. N´oi c´ach kh´ac z = ϕ(w ) ∈ U (z0 , r)

uy y

´, ta cho.n sˆo´ r < ε. Khi d´o

nˆe´u w ∈ {|w − w0| < µ}. Do d´o v´o.i ε > 0 t`

´.ng v´o.i n´o ta s˜e c´o

dˆo´i v´o.i sˆo´ µ = µ(r) tu.o.ng u

|ϕ(w ) − ϕ(w0 )| < r < ε,



|w − w0 | < µ.



Do d´o ϕ(w ) liˆen tu.c.

`e c`on la.i l`a ch´

u.ng to’ ϕ(w) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m w0 ∈ D∗ bˆa´t k`

y.

Vˆa´n dˆ

Gia’ su’. ϕ(w0) = z0 . Khi d´o v`ı f do.n diˆe.p nˆen ∆w = 0 khi ∆z = 0 v`a do

`on ta.i da.o h`am ϕ (w) ta.i mo.i diˆe’m thuˆo.c {|w − w0 | < µ} v`a

d´o suy ra su.. tˆ

1

·

ϕ (w) =

f (z)

Mˆo´i liˆen hˆe. gi˜

u.a ´anh xa. ba’o gi´ac v`a h`am do.n diˆe.p du.o..c thˆe’ hiˆe.n trong

di.nh l´

y sau dˆay.

´ xa. chı’nh h`ınh

- i.nh l´

D

y 7.1.4. Anh

w = f : D → D∗

l`

a ba’o gi´

ac khi v`

a chı’ khi f do.n diˆe.p trong D.



7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung



521



Ch´

u.ng minh. 1. Gia’ su’. f : D → D∗ l`a ´anh xa. ba’o gi´ac, khi d´o f do.n tri.

mˆo.t - mˆo.t v`a do d´o n´o do.n diˆe.p.

`an ch´

u.ng minh r˘`ang f l`a ´anh

2. Ngu.o..c la.i, gia’ su’. h`am f do.n diˆe.p. Ta cˆ

xa. ba’o gi´ac ta.i mo.i diˆe’m z ∈ D. V`ı f do.n diˆe.p nˆen f (z0 ) = 0 ∀ z ∈ D. Do

y du.o..c r´

ut ra t`

u. chˆ˜o l`a

d´o nˆe´u z0 = ∞, v`a f (z0) = ∞ kˆe´t luˆa.n cu’a di.nh l´

f (z0) = 0. Gia’ su’. z0 = ∞ v`a f (z0 ) = ∞. Khi d´o

w = f (z) =



A−1

+ A0 + A1(z − z0) + . . . ,

z − z0



A−1 = 0



v`a

w=



1

1

=

= a1 (z − z0 ) + . . . ,

w

f (z)

1

dw

a1 =

=

= 0.

A−1

dz z=z0



1

V`ı ´anh xa. w =

ba’o gi´ac ta.i diˆe’m z0 nˆen ´anh xa. w = f (z) c˜

ung ba’o gi´ac

f (z)

ta.i diˆe’m d´o.

`e tru.`o.ng ho..p d˜a x´et b˘a`ng c´ach d˘a.t

Tru.`o.ng ho..p z0 = ∞ c´o thˆe’ du.a vˆ

1

z = . C´o thˆe’ xa’y ra hai kha’ n˘ang:

z

a) f (∞) = ∞. Khi d´o

w=f



1

z



= A0 + A1z + . . . ,



A1 = 0.



b) f (∞) = ∞. Khi d´o

w=f =



1

z



=



A−1

+ A0 + A1z + . . . ,

z



A−1 = 0.



`eu v`

`eu kiˆe.n

Nhˆ

a.n x´et 7.1.1. T`

u. diˆ

u.a tr`ınh b`ay trˆen dˆay suy ra r˘a`ng c´ac diˆ

.

.

`eu kiˆe.n cˆ

`an dˆe’ h`am f do n diˆe.p trong miˆ

`en D:

u ng diˆ

sau dˆay l`a nh˜

`en D c´o thˆe’ tr`

1. H`am f chı’nh h`ınh trong miˆ

u. ra mˆo.t diˆe’m l`a cu..c diˆe’m

do.n cu’a f .



522



´

Chu.o.ng 7. Anh

xa. ba’o gi´ac



2. Ta.i mˆo˜ i diˆe’m h˜

u.u ha.n z0 ∈ D (m`a ta.i d´o f chı’nh h`ınh) h`am f tho’a

`eu kiˆe.n f (z0) = 0.

m˜an diˆ

`eu kiˆe.n

3. Nˆe´u z0 = ∞ ∈ D v`a f chı’nh h`ınh ta.i z0 th`ı f pha’i tho’a m˜an diˆ

c−1 = −Res[f ; ∞] = 0.

`eu kiˆe.n 1) - 3) khˆong pha’i l`a

Ta nhˆa´n ma.nh la.i r˘a`ng n´oi chung c´ac diˆ

`eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`am f do.n diˆe.p. C´ac diˆ

`eu kiˆe.n du’ du.o..c x´et trong tiˆe´t

nh˜

u.ng diˆ

sau.



7.1.2



- iˆ

`eu kiˆ

e.n du’ dˆ

am do.n diˆ

e.p

D

e’ h`



Su’. du.ng nguyˆen l´

y sau dˆay l`a nh˜

u.ng

y acgumen ta s˜e ch´

u.ng minh hai di.nh l´

`eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`am do.n diˆe.p trong miˆ

`en D. Ta lu.u y

´ r˘a`ng trong mˆo.t sˆo´

diˆ

´.ng mˆ

o.t s´ach gi´ao khoa, c´ac di.nh l´

y n`ay c`on du.o..c go.i l`a nguyˆen l´y tu.o.ng u



o.t.

- i.nh l´

`en do.n liˆen bi. ch˘

D

y 7.1.5. Gia’ su’. 1) D l`

a miˆ

a.n (ho˘

a.c khˆ

ong bi. ch˘

a.n

.

.

.

.

a du `

o ng cong d´

o i biˆen γ l`

ong Jordan; 2) f ∈ H(D) v`

a

ch´

u a diˆe’m ∞) v´

o.ng cong

ong quanh γ th`ı diˆe’m w = f (z) va.ch nˆen du.`

f ∈ C(D); 3) khi z v`



ong Jordan Γ.

`en D v`

`en D lˆen

o h`

am f do.n diˆe.p trong miˆ

a ´

anh xa. ba’o gi´

ac miˆ

Khi d´

`en bi. ch˘

o.i biˆen Γ.

miˆ

a.n D∗ v´

`an ch´

u.ng minh r˘`ang

Ch´

u.ng minh. Ta cˆ

`on ta.i mˆo.t diˆe’m z0 ∈ D sao cho

1. Dˆo´i v´o.i mˆ˜o i diˆe’m w1 ∈ D∗ chı’ tˆ

u.c l`a F1 (z) = f (z) − w1 c´o d´

ung mˆo.t khˆong - diˆe’m trong D.

f (z) = w1 , t´

u.c

2. Dˆo´i v´o.i diˆe’m w2 ∈ D∗ h`am f (z) khˆong nhˆa.n gi´a tri. w2 ∀ z ∈ D, t´

l`a F2(z) = f (z) − w2 khˆong c´o khˆong diˆe’m trong D.

y hiˆe.u sˆo´ w1 - diˆe’m cu’a h`am f trong D l`a

Ta ch´

u.ng minh 1). Ta k´

.

Nf (D; w1 ) v`a gia’ su’ diˆe’m z v`ong quanh γ theo hu.´o.ng du.o.ng. Khi d´o diˆe’m

w = f (z) s˜e v`ong quanh Γ, ho˘a.c theo hu.´o.ng du.o.ng, ho˘a.c theo hu.´o.ng ˆam.

u. nhˆa´t vecto. F1 = f (z) − w1 quay du.o..c mˆo.t g´oc b˘a`ng

Trong tru.`o.ng ho..p th´



7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung



523



2π v`a

1

∆γ arg(f (z) − w1 )



1

∆Γ(w − w1 ) = 1

=





NF1 (D; w1 ) =



ngh˜ıa l`a F1 c´o mˆo.t khˆong - diˆe’m trong D. Trong tru.`o.ng ho..p th´

u. hai vecto.

F1 quay du.o..c g´oc - 2π v`a do d´o NF1 (D; w1 ) = −1 v`a F1 c´o tr`

u. mˆo.t khˆong

`eu n`ay khˆong thˆe’ xa’y ra. T`

diˆe’m trong D. Diˆ

u. d´o suy ra: th´

u. nhˆa´t khi z

v`ong quanh γ theo hu.´o.ng du.o.ng th`ı du.`o.ng cong Γ du.o..c v`ong quanh theo

`en D.

u. hai h`am f (z) − w1 c´o mˆo.t khˆong - diˆe’m trong miˆ

hu.´o.ng du.o.ng; v`a th´

`eu v`

u.a ch´

u.ng minh 2). R˜o r`ang l`a t`

u. diˆ

u.ng minh suy ra

Bˆay gi`o. ta ch´

NF2 (D; w2 ) = 0 ∀ w2 ∈ D∗

v`ı trong tru.`o.ng ho..p n`ay vecto. F2 = f (z) − w2 khˆong nhˆa.n mˆo.t gia sˆo´

y

acgumen n`ao. Do d´o h`am F2 (z) khˆong c´o khˆong - diˆe’m o’. ngo`ai D. Di.nh l´

.

.

.

u ng minh.

du o. c ch´

- i.nh l´

`en do.n liˆen bi. ch˘

D

y 7.1.6. Gia’ su’.: 1) D l`

a miˆ

a.n (ho˘

a.c khˆ

ong bi. ch˘

a.n

o.i biˆen γ l`

ong Jordan; 2) f ∈ H(D \ {z0 })

a du.`

o.ng cong d´

ch´

u.a diˆe’m ∞) v´

.

a´t cu’a f trong D;

o z0 l`

a cu. c diˆe’m do.n duy nhˆ

v`

a f ∈ C(D \ {z0 }), trong d´

3) khi z v`

ong quanh biˆen γ th`ı diˆe’m w = f (z) va.ch nˆen du.`

ong

o.ng cong d´



`an ngo`

`an trong D∗ v`

a phˆ

ai D∞

; 4) o’. trong D h`

am f

Jordan Γ gi´

o.i ha.n phˆ



ao d´

o.

khˆ

ong nhˆ

a.n gi´

a tri. w0 ∈ D n`



.

o h`

am f do n diˆe.p trong D v`

.



anh xa. ba’o gi´

ac D lˆen D∞

Khi d´



. Khi diˆe’m z v`ong quanh γ acgumen

Ch´

u.ng minh. Gia’ su’. diˆe’m w1 ∈ D∞

´ du.ng nguyˆen l´

cu’a vecto. F1 = F (z) − w1 khˆong nhˆa.n mˆo.t gia sˆo´ n`ao. Ap

y

acgumen ta c´o



1

∆γ arg{f (z) − w1 }



1

∆Γ arg{w − w1} = 0.

=





NF1 (D) − 1 =



´

Chu.o.ng 7. Anh

xa. ba’o gi´ac



524



Do d´o sˆo´ khˆong - diˆe’m v`a sˆo´ cu..c diˆe’m cu’a h`am f (z) − w1 trong D l`a b˘a`ng

nhau. T`

u. d´o suy ra n´o c´o mˆo.t khˆong - diˆe’m.

Bˆay gi`o. gia’ su’. w2 ∈ D∗ . Khi d´o acgumen cu’a vecto. F2 = f (z) − w2 nhˆa.n

u.

gia sˆo´ ho˘a.c 2π ho˘a.c −2π khi diˆe’m z v`ong quanh γ. Trong tru.`o.ng ho..p th´

nhˆa´t ta c´o

1

∆Γ arg{w − w2 } = 1



⇒ NF2 (D) = 2



NF2 (D) − 1 =



`eu d´o khˆong thˆe’ xa’y ra v`ı

ngh˜ıa l`a F2 c´o hai khˆong diˆe’m trong D. Nhu.ng diˆ

`eu kiˆe.n 4 cu’a di.nh l´

y).

khi w2 = w0 n´o khˆong c´o mˆo.t khˆong diˆe’m n`ao (theo diˆ

.

.

.

.

.

.

.

.

u hai. Trong tru `o ng ho. p n`ay ta c´o

Nhu vˆa.y chı’ c`on la.i tru `o ng ho. p th´

1

∆Γ arg{w − w2 } = −1



⇒ NF2 (D) = 0



NF2 (D) − 1 =



y du.o..c ch´

u.ng minh.



u.c l`a F2 khˆong c´o khˆong diˆe’m trong D. Di.nh l´



7.1.3



o.i tu. cu’a d˜

ay h`

am do.n diˆ

e.p

Su.. hˆ



N´oi chung kˆe´t qua’ cu’a c´ac ph´ep to´an da.i sˆo´ trˆen l´o.p c´ac h`am do.n diˆe.p l`a

nh˜

u.ng h`am khˆong do.n diˆe.p. Ngu.o..c la.i, ph´ep to´an qua gi´o.i ha.n c´ac d˜ay h`am

u. mˆo.t tru.`o.ng ho..p d˘a.c biˆe.t).

do.n diˆe.p la.i cho ta h`am do.n diˆe.p (tr`

`e t´ınh do.n diˆe.p cu’a h`am gi´o.i ha.n.

y sau dˆay vˆ

Ta c´o di.nh l´

- i.nh l´

`en thuˆ

D

y 7.1.7. Gia’ su’.: 1) D l`

a

a miˆ

o.c C; 2) fn (z) n = 1, 2, . . . l`



.

.

`eu trˆen

am chı’nh h`ınh do n diˆe.p trong D; 3) D˜

ay fn n=1 hˆ

o.i tu. dˆ

nh˜

u ng h`

.

´c cu’a miˆ

`en D; 4) f (z) = limn fn (z) ≡ const trong D.

a

t`

u ng comp˘

`en D.

o h`

am f chı’nh h`ınh v`

a do.n diˆe.p trong miˆ

Khi d´

`en D.

Ch´

u.ng minh. Theo di.nh l´

y Weierstrass h`am f (z) chı’nh h`ınh trong miˆ

.

.

`an ch´

Ta cˆ

u ng minh r˘`ang h`am f do n diˆe.p trong D.

`on ta.i c´ac diˆe’m z1 , z2 ∈ D,

Gia’ su’. h`am f khˆong do.n diˆe.p trong D. Khi d´o tˆ

u.ng h`ınh tr`on

z1 = z2 sao cho f (z1) = f (z2) = a. Gia’ su’. Uk , k = 1, 2 l`a nh˜



7.1. C´ac kh´ai niˆe.m chung



525



v´o.i tˆam ta.i diˆe’m zk , k = 1, 2 sao cho U k ⊂ D, k = 1, 2. C´o thˆe’ cho r˘a`ng

U1 ∩ U2 = ∅ v`a Nf −a (Uk ) = 1 v`a Nf −a (∂Uk ) = 0 v´o.i k = 1, 2. Ta d˘a.t

λ = min |f (z) − a|,

z∈Γ



`eu cu’a d˜ay h`am

trong d´o Γ = ∂U1 ∪ ∂U2. R˜o r`ang l`a λ > 0. Do t´ınh hˆo.i tu. dˆ

´

fn dˆe´n h`am f trˆen Γ nˆen ∃N ∈ N: |fn (z) − f (z)| < λ, ∀ n > N , ∀ z ∈ Γ. Ap

y Rouch´e ta thu du.o..c

du.ng di.nh l´

Nfn −a (Uk ) = N(f −a)−(f −fn )(Uk )

= Nf −a (Uk ) = 1,



k = 1, 2.



`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a v´o.i n > N h`am fn nhˆa.n gi´a tri. a ca’ o’. trong U1 lˆa˜ n trong

Diˆ

`e t´ınh do.n diˆe.p cu’a h`am fn trong D.

U2. Kˆe´t luˆa.n n`ay tr´ai v´o.i gia’ thiˆe´t vˆ

u.ng minh.

y du.o..c ch´

Di.nh l´

z

`e d˜ay c´ac h`am fn (z) = , n = 1, 2, . . . chı’nh h`ınh v`a do.n diˆe.p

V´ı du. vˆ

n

`eu kiˆe.n 4) cu’a di.nh l´

`eu

u.ng to’ r˘a`ng diˆ

trong h`ınh tr`on do.n vi. ch´

y l`a mˆo.t diˆ

kiˆe.n cˆo´t yˆe´u.



7.1.4



anh xa. chı’nh h`ınh c´

o

T´ınh chˆ

a´t di.a phu.o.ng cu’a ´

`

da.o h`

am b˘

ang 0



Gia’ su’. w0 = f (z0) v`a

f (z0 ) = · · · = f (p−1) (z0) = 0, f (p) (z0) = 0,



p



2.



(7.1)



´ du.ng phu.o.ng ph´ap l´

`an 1 di.nh l´

y luˆa.n nhu. trong ch´

u.ng minh phˆ

Ap

y 7.1.1

˜e d`ang thˆa´y r˘`ang mˆo˜ i gi´a tri. w du’ gˆ

`an w0 (v`a = w0 ) s˜e tu.o.ng u

ung p

´.ng d´



.

gi´a tri. z kh´ac nhau. N´oi c´ach kh´ac: w = f (z) l`a h`am p t`o ta.i lˆan cˆa.n cu’a

diˆe’m z0.

Gia’ su’. γ1 v`a γ2 l`a hai du.`o.ng cong liˆen tu.c di qua diˆe’m z0 ∈ D, c´o tiˆe´p

tuyˆe´n x´ac di.nh ta.i z0 v´o.i g´oc nghiˆeng dˆo´i v´o.i hu.´o.ng du.o.ng cu’a tru.c thu..c l`a



´

Chu.o.ng 7. Anh

xa. ba’o gi´ac



526



θ1 v`a θ2 tu.o.ng u

´.ng. Gia’ su’. z1 = z0 + h ∈ γ1 v`a z2 = z0 + h2 ∈ γ2 . Ta d˘a.t:

z1 − z0 = h1 = reiθ1 ,



θ1 = θ1(r),



z2 − z0 = h2 = reiθ2 ,



θ2 = θ2(r).



Khi d´o

z2 − z0

= ei(θ2 −θ1 ) ,

z1 − z0

z2 − z0

lim arg

= lim(θ2 − θ1) = θ,

r→0

z1 − z0 r→0

trong d´o θ l`a g´oc gi˜

u.a hai du.`o.ng cong γ1 v`a γ2 v´o.i dı’nh ta.i z0 . V`ı f chı’nh

`eu kiˆe.n (7.1) nˆen

h`ınh ta.i z0 v`a tho’a m˜an diˆ

f (z) = a0 + ap (z − z0)p + ap+1(z − z0)p+1 + . . .



ap = 0, p



v`a chuˆ˜o i v`

u.a viˆe´t hˆo.i tu. trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a z0 .

Gia’ su’. qua ´anh xa. w = f (z) ta c´o:

w0 = f (z0) = a0,

Γ1 = f (γ1 ),



Γ2 = f (γ2 ),



v`a g´oc gi˜

u.a Γ1 v`a Γ2 l`a

ψ = lim arg

r→0



w2 − w0

,

w1 − w0



w1 = f (z1), w2 = f (z2).



T`

u. d´o ta c´o

w1 − w0

= ap + ap+1 (z1 − z0 ) + . . . ,

(z1 − z0 )p

w2 − w0

= ap + ap+1 (z2 − z0 ) + . . . ,

(z2 − z0 )p

v`a do d´o

w2 − w0

(z2 − z0)p

p

(z2 − z0)

ψ = lim arg

w1 − w0

r→0

(z1 − z0)p

(z1 − z0)p

(z2 − z0)p

= lim arg

r→0

(z1 − z0)p

z2 − z0

= p lim arg

= p · θ.

r→0

z1 − z0



2



(7.2)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 7 Ánh xạ bảo giác

Tải bản đầy đủ ngay(567 tr)

×