Tải bản đầy đủ - 567 (trang)
Chương 6 Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

Chương 6 Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

Tải bản đầy đủ - 567trang

6.1. Co. so’. l´

y thuyˆe´t th˘a.ng du.

6.2.5



423

R(x)xαdx . . . . . . . . . . 463



T´ıch phˆ

an da.ng I =

R+



6.3



6.4



6.1

6.1.1



6.2.6



ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

o´ v´ı du. kh´



o.t sˆ



6.2.7



˜

o i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

T`ım tˆ

o’ng cu’a chuˆ



H`

am nguyˆ

en v`

a h`

am phˆ

an h`ınh . . . . . . . . . .



495



6.3.1



H`

am phˆ

an h`ınh. B`

ai to´

an Cousin th´

u. nhˆ

a´t trong



a.t ph˘

a’ng ph´

u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495



6.3.2



H`

am nguyˆen. B`

ai to´

an Cousin th´

u. hai trong m˘

a.t

.

ph˘

a’ng ph´

u c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503



B`

ai tˆ

a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



513



y thuyˆ

e´t th˘

a.ng du.

Co. so’. l´

- i.nh ngh˜ıa th˘

D

a.ng du.



`e th˘a.ng du. ta ch´

Tru.´o.c khi ph´at biˆe’u di.nh ngh˜ıa vˆ

y do.n

u.ng minh mˆo.t di.nh l´

gia’n sau dˆay

- i.nh l´

am f chı’nh h`ınh trong v`

anh tr`

on

D

y 6.1.1. Gia’ su’. h`

V = {z ∈ C : r < |z − a| < R}

o t´ıch phˆ

an

Khi d´

f (z)dz,



I(ρ) =



r<ρ


|z−a|=ρ



khˆ

ong phu. thuˆ

o.c v`

ao ρ.

Ch´

u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. r < ρ1 < ρ2 < R v`a γ(ρ1 ) = {|z − a| = ρ1 },

`e bˆa´t biˆe´n cu’a t´ıch phˆan theo c´ac tuyˆe´n

u. di.nh l´

y vˆ

γ(ρ2) = {|z − a| = ρ2 }. T`



Chu.o.ng 6. L´

y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u

´.ng du.ng



424

`ong luˆan suy ra r˘`ang





f (z)dz =

γ(ρ1 )



f (z)dx.

γ(ρ2 )



- i.nh ngh˜ıa 6.1.1. Gia’ su’. h`am f (z) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m a ho˘a.c c´o bˆa´t

D

thu.`o.ng cˆo lˆa.p d˘a.c t´ınh do.n tri. a. Gia’ su’. γ l`a du.`o.ng cong d´ong Jordan bao

`ong hˆ

`o. Khi d´o t´ıch phˆan

`eu kim dˆ

diˆe’m z = a v`a du.o..c di.nh hu.´o.ng ngu.o..c chiˆ

1

f (z)dz du.o..c go.i l`a th˘

a.ng du. cu’a h`am f (z) dˆo´i v´o.i diˆe’m a v`a du.o..c k´

y

2πi

γ



hiˆe.u l`a

Res [f ; a] =



1

2πi



f (z)dz.



(6.1)



γ



`on ta.i.

ung tˆ

Hiˆe’n nhiˆen chu tuyˆe´n γ tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa 6.1.1 bao gi`o. c˜

`eu kiˆe.n d˜a cho h`am f chı’nh h`ınh trong U (ρ) = {0 < |z−a| <

Thˆa.t vˆa.y, theo diˆ

y thuˆo.c U (ρ)

ρ}. Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y γ l`a du.`o.ng cong Jordan d´ong bˆa´t k`

.

.

.

khˆong di qua a nhu ng bao a, v´ı du. du `o ng tr`on γr = {|z − a| = r, r < ρ}.

y Cauchy v`a di.nh l´

y 6.1.1 suy ra r˘`ang th˘a.ng du. (6.1) c´o thˆe’ viˆe´t

T`

u. di.nh l´

du.´o.i da.ng

Res [f ; a] =



1

2πi



f (z)dz,



(6.2)



γ(a,r)



trong d´o du.`o.ng tr`on γ(a, r) cha.y theo hu.´o.ng du.o.ng v`a da.i lu.o..ng o’. vˆe´ pha’i

cu’a (6.2) khˆong phu. thuˆo.c v`ao r v`a ho`an to`an du.o..c x´ac di.nh bo’.i d´ang diˆe.u

di.a phu.o.ng cu’a h`am f ta.i diˆe’m a.

- i.nh ngh˜ıa 6.1.2. Gia’ su’. h`am f ∈ H{|z| > r} v`a z = ∞ l`a diˆe’m bˆa´t

D

thu.`o.ng cˆo lˆa.p cu’a h`am f (z). Da.i lu.o..ng

Res [f ; ∞] =



1

2πi



f (z)dz

γ − (0,R)



6.1. Co. so’. l´

y thuyˆe´t th˘a.ng du.



425



a.ng du. cu’a h`

am f ta.i diˆe’m ∞ trong d´o γ − (0, R) l`a du.`o.ng tr`on

du.o..c go.i l`a th˘

γ − (0, R) = {|z| = R} v´o.i b´an k´ınh du’ l´o.n du.o..c di.nh hu.´o.ng sao cho lˆan cˆa.n

diˆe’m ∞ luˆon luˆon n˘a`m bˆen tr´ai.

`e th˘a.ng du..

Ta c´o thˆe’ du.a ra di.nh ngh˜ıa ho..p nhˆa´t sau dˆay vˆ

- i.nh ngh˜ıa 6.1.3. Gia’ su’. a ∈ C l`a diˆe’m chı’nh h`ınh ho˘a.c diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng

D

cˆo lˆa.p do.n tri. cu’a h`am f . Gi´a tri. cu’a t´ıch phˆan cu’a h`am f theo biˆen cu’a lˆan

a.ng du. cu’a h`am f ta.i

cˆa.n du’ b´e cu’a diˆe’m z = a chia cho 2πi du.o..c go.i l`a th˘

diˆe’m a.

Theo di.nh l´

y Cauchy

Res [f ; a] = 0

nˆe´u h`am f chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m a v`a a ∈ C. Th˘a.ng du. ta.i ∞ c´o thˆe’ kh´ac

1

0 khi h`am chı’nh h`ınh ta.i ∞. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. f (z) = . Hiˆe’n nhiˆen diˆe’m

z

z = ∞ l`a khˆong diˆe’m do.n cu’a f v`a

Res [f ; ∞] =



1

2πi



1

dz = −1 = 0.

z

γ − (0,R)



Nhu. vˆa.y h`am chı’ c´o thˆe’ c´o th˘a.ng du. = 0 ta.i diˆe’m a c´ach gˆo´c to.a dˆo. mˆo.t

khoa’ng c´ach h˜

u.u ha.n trong tru.`o.ng ho..p khi a thˆa.t su.. l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng,

trong khi d´o n´o c´o thˆe’ c´o th˘a.ng du. = 0 ta.i ∞ thˆa.m ch´ı ca’ trong tru.`o.ng ho..p

h`am chı’nh h`ınh ta.i d´o.



6.1.2



ap t´ınh th˘

a.ng du.

Phu.o.ng ph´



Viˆe.c t´ınh th˘a.ng du. b˘a`ng c´ach xuˆa´t ph´at t`

u.c ph´

u. di.nh ngh˜ıa hˆe´t s´

u.c ta.p. Co.

˜e n l`a di.nh l´

so’. cho viˆe.c t´ınh to´an th˘a.ng du. mˆo.t c´ach thu..c tiˆ

y sau dˆay.

- i.nh l´

˜e n du.´

D

y 6.1.2. Gia’ su’. v´

o.i 0 < |z − a| < ρ h`

am f (z) c´

o thˆe’ biˆe’u diˆ

o.i

da.ng

an (z − a)n ,



f (z) =

−∞


(6.3)



Chu.o.ng 6. L´

y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u

´.ng du.ng



426

Khi d´

o



Res[f ; a] = a−1 .



(6.4)



Nˆe´u khi R < |z| < ∞

an z n



f (z) =



(6.5)



−∞


th`ı

Res[f ; ∞] = −a−1.



(6.6)



y

Ch´

u.ng minh. 1. Trong v`anh tr`on d´ong bˆa´t k`

0 < ρ1



|z − a|



ρ2 < ρ



`eu nˆen c´o thˆe’ t´ıch phˆan t`

chuˆ˜o i (6.3) hˆo.i tu. dˆ

u.ng sˆo´ ha.ng chuˆ˜o i (6.3) theo

du.`o.ng tr`on γ(r) = {|z − a| = r; ρ1 r ρ2 }. Kˆe´t qua’ cu’a ph´ep t´ıch phˆan

d´o cho ta

1

2πi



f (z)dz = a−1 .

γ(r)



u.ng minh.

T`

u. d´o suy ra (6.4) du.o..c ch´

`eu trˆen du.`o.ng tr`on

2. V`ı chuˆ˜o i (6.1.5) hˆo.i tu. dˆ

γ(0, R) = {|z| = R, R > R}

nˆen c´o thˆe’ t´ıch phˆan t`

u.ng sˆo´ ha.ng chuˆ˜o i d´o theo γ(0, R) v`a thu du.o..c

1

2πi



f (z)dz = −a−1.

γ − (0,R)



6.1. Co. so’. l´

y thuyˆe´t th˘a.ng du.



427



V´ı du. 1. Gia’ su’.

f (z) =



sin z

·

z6



T´ınh Res[f ; 0].

Gia’i. V`ı ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m z = 0 ta c´o

1

z3 z5

+

−...

z



z6

3!

5!

1

1

1

+ ...

+

= 5−

z

3!z 3 5!z



f (z) =



1

1

v`a Res[f ; 0] = .

5!

5!

V´ı du. 2. Ch´

u.ng minh r˘`ang nˆe´u



nˆen a−1 =



f (z) = z · cos



1

z+1



th`ı

1

Res[f ; −1] = − ·

2

Gia’i. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o

f (z) = [(z + 1) − 1] 1 −



1

+ ...

2(z + 1)2



v`a do d´o

1

a−1 = − ·

2

V´ı du. 3. Gia’ su’.

f (z) =

T´ınh Res[f ; 0].



1

·

z(1 − e−hz )



Chu.o.ng 6. L´

y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u

´.ng du.ng



428



1

Gia’i. Khi d´o Res[f ; 0] = . Thˆa.t vˆa.y, ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m z = 0 ta c´o

2

1

f (z) =

h2 z 2

+ ...

z 1 − 1 + hz −

2!

1

=

h2 z 3

+ ...

hz 2 −

2!

1

1

= 2+

+ ϕ(z),

hz

2z

`eu pha’i ch´

trong d´o ϕ(z) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m z = 0. T`

u. d´o suy ra diˆ

u.ng minh.

`en D = C \ [0, 1] v`a h`am gia’i t´ıch trong d´o

V´ı du. 4. Ta x´et miˆ

F (z) =



8



z

·

1−z



T´ınh Res[f ; ∞], trong d´o f l`a nh´anh chı’nh h`ınh nhˆa.n gi´a tri. du.o.ng o’. b`o.

trˆen cu’a nh´at c˘a´t [0, 1].

`en D h`am F (z) c´o thˆe’ t´ach th`anh ba nh´anh chı’nh h`ınh.

Gia’i. Trong miˆ

Gia’ su’. f (z) l`a nh´anh chı’nh h`ınh nhˆa.n gi´a tri. du.o.ng o’. b`o. trˆen cu’a nh´at c˘a´t.

Ta s˜e khai triˆe’n h`am f (z) th`anh chuˆ˜o i Laurent ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m ∞. V´o.i

z ∈ D ta c´o

ϕ

z

ei 3 , ϕ = ϕ1 − ϕ2 ,

f (z) = 8

1−z

trong d´o ϕ1 = ∆γ arg z, ϕ2 = ∆γ (1 − z), γ ⊂ D l`a du.`o.ng cong n˘`am trong D

v`a nˆo´i diˆe’m 0 + i0 v´o.i z ∈ D. Khi z = x > 1 ta c´o ϕ1 = 0, ϕ2 = −π. Do d´o

f (x) =



3



x iπ/3

e ,

x−1



v`a f (∞) = lim f (x) = eiπ/3 .

x→+∞

T`

u. d´o suy ra r˘`ang trong lˆan cˆa.n diˆe’m z = ∞ ta c´o

1



iπ/3



f (z) = e



3



1−



iπ/3



1

z



=e



1

1−

z



− 13



,



6.1. Co. so’. l´

y thuyˆe´t th˘a.ng du.



429



˜e d`ang thˆa´y r˘`ang

u. d´o dˆ

trong d´o c˘an th´

u.c nhˆa.n gi´a tri. 1 ta.i ∞. T`

 

1



iπ/3

 3  (−1)n z −n

f (z) = e

n

n≥0

v`a



1



Res[f ; ∞) = −eiπ/3  3  .

1





V´ı du. 5. Gia’ su’. f (z) l`a nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`am

F (z) =



1−z

1+z



α



,



α∈R



`en D = C \ [−1, +1]. T´ınh th˘a.ng du. cu’a h`am f (z)

m`a f (0 + i0) = 1 trong miˆ

ta.i diˆe’m ∞ (v´ı du. 5.3.5).

Gia’i. Ta khai triˆe’n h`am f (z) th`anh chuˆo˜ i Laurent ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m ∞.

Ta c´o

f (∞) = lim f (x) = e−iαπ .

x→+∞



Tiˆe´p theo

1

z

1

1+

z



−1 +

f (z) =



α



= e−iαπ g(z),



trong d´o ta d˘a.t

1

z

1

1+

z



1−

g(z) =



α



·



Chu.o.ng 6. L´

y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u

´.ng du.ng



430



H`am g(z) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m ∞ v`a g(∞) = 1

1 α

z

f (z) =

1

1+

z

α α(α − 1) −2

1− +

z + ...

z

2!

=

α α(α − 1) −2

z + ...

1+ +

z

2!



=1−

+ ...

z

1−



T`

u. d´o suy ra r˘`ang

f (z) = eiπα 1 −





+ ...

z



v`a

Res [f ; ∞] = 2αeiαπ .

1−z

V´ı du. 6. Gia’ su’. f (z) l`a nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`am F (z) = Ln

m`a

1+z

.

`en D = C \ [−1, +1]. T´ınh th˘a.ng du cu’a h`am f (z) ta.i

f (0 + i0) = 0 trong miˆ

diˆe’m ∞ (v´ı du. 5.3.6).

Gia’i. Ta c´o

1−z

+ i(ϕ1 − ϕ2)

1+z

ϕ1 = ∆γ arg(1 − z), ϕ2 = ∆γ (1 + z),



f (z) = ln



trong d´o γ l`a tuyˆe´n thuˆo.c D nˆo´i diˆe’m z = 0 + i0 (diˆe’m 0 o’. b`o. trˆen cu’a nh´at

c˘´at) v´o.i diˆe’m z. Hiˆe’n nhiˆen khi z = iy, y > 0 th`ı ϕ1 = −ϕ2, ϕ2 = arctg y v`a

do d´o v´o.i y > 0.

f (iy) = −2iarcrg y,

v`ı |1 − iy| = |1 + iy|.



6.1. Co. so’. l´

y thuyˆe´t th˘a.ng du.



431



T`

u. d´o c˜

ung r´

ut ra r˘`ang

f (∞) = lim f (iy) = −πi.

y→∞



Do d´o ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m z = ∞ ta c´o

1

−1 +

z

f (z) = ln

1

1+

z

1

1

− ln 1 +

,

z

z

trong d´o c´ac logarit o’. vˆe´ pha’i chı’nh h`ınh ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m ∞ v`a b˘`ang 0 khi

z = ∞.

˜e d`ang thˆa´y r˘`ang



= −πi + ln 1 −



f (z) = −πi −

n 1



1



nz n n



= − πi +

n 0



1



(−1)n+1

nz n



2

,

(2n + 1)z 2n+1



1 < |z| < ∞.



ut ra

v`a t`

u. d´o r´

Res[f ; ∞] = +2.

Trong c´ac v´ı du. trˆen dˆay, viˆe.c khai triˆe’n h`am th`anh chuˆo˜ i Laurent du.o..c tiˆe´n

˜e d`ang. Tuy nhiˆen tuyˆe.t da.i da sˆo´ tru.`o.ng ho..p ph´ep khai

h`anh mˆo.t c´ach dˆ

triˆe’n d´o du.o..c tiˆe´n h`anh rˆa´t kh´o kh˘an.

˘. NG DU. TA

ˆ’ M BA

ˆ´T THU.O

`.NG CO

ˆ´T YE

ˆ´U. Nˆe´u diˆe’m z = a

I. THA

. I DIE

l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u cu’a h`am f (z) th`ı dˆe’ t´ınh th˘a.ng du. cu’a h`am ta.i

`an t`ım phˆ

`an ch´ınh cu’a khai triˆe’n Laurent v`a su’. du.ng cˆong th´

diˆe’m d´o ta cˆ

u.c

(6.4) nˆe´u a ∈ C, cˆong th´

u.c (6.6) nˆe´u a = ∞.

.

˘. NG DU. TA

ˆ’ M. Trong tru.`o.ng ho..p khi a l`a cu..c diˆe’m

II. THA

. I CU

. C DIE

u.c (6.4) v`a (6.6)

cu’a h`am f , dˆe’ t´ınh th˘a.ng du. ta.i diˆe’m a, thay cho cˆong th´

u.ng cˆong th´

u.c s˜e ch´

u.ng

(su’. du.ng khai triˆe’n Laurent) ta thu.`o.ng su’. du.ng nh˜

`an t`ım da.o h`am. Ta x´et c´ac tru.`o.ng ho..p cu. thˆe’ sau dˆay.

minh du.´o.i dˆay chı’ cˆ

o.ng ho..p cu..c diˆe’m do.n

1. Tru.`



Chu.o.ng 6. L´

y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u

´.ng du.ng



432



- i.nh l´

am f (z) th`ı th˘

a.ng du. cu’a f

D

y 6.1.3. Nˆe´u a l`

a cu..c diˆe’m do.n cu’a h`

ong th´

u.c

ta.i a du.o..c t´ınh theo cˆ

Res[f ; a] = lim(z − a)f (z).

z→a



(6.7)



Ch´

u.ng minh. Ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m a khai triˆe’n Laurent cu’a h`am f (z) c´o da.ng

f (z) = a−1 (z − a)−1 +



an (z − a)n

n 0



v`a t`

u. d´o suy ra

a−1 = lim(z − a)f (z).

z→a



u.c

Nhu. vˆa.y, dˆe’ t´ınh th˘a.ng du. ta.i cu..c diˆe’m do.n ta c´o cˆong th´

Res[f (z); a] = lim(z − a)f (z).

z→a



ϕ(z)

, trong d´



e. qua’ 6.1.1. Nˆe´u f (z) =

o ϕ v`

a ψ l`

a nh˜

u.ng h`

am

ψ(z)

`eu kiˆe.n ϕ(a) = 0, ψ(a) = 0,

chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m a tho’a m˜

an diˆ

ψ (a) = 0 th`ı

Res[f ; a] =



ϕ(a)

·

ψ (a)



u. (6.7) ta c´o

Ch´

u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, v`ı a l`a cu..c diˆe’m cu’a f (z) nˆen t`

(z − a)ϕ(z)

z→a

ψ(z)

ϕ(z)

ϕ(a)

·

= lim

=

z→a ψ(z) − ψ(a)

ψ (a)

z−a



Res[f ; a] = lim



(6.8)



6.1. Co. so’. l´

y thuyˆe´t th˘a.ng du.



433



2n + 1

π, n ∈ Z.

V´ı du. 7. T`ım th˘a.ng du. cu’a h`am w = tg z ta.i c´ac diˆe’m zn =

2

sin z

, cos zn = 0, cos z zn = − sin zn . Do d´o t`

u. (6.8)

Gia’i. Ta c´o tg z =

cos z

ta c´o

Res[tg z; zn ] =



sin zn

= −1.

− sin zn



o.ng ho..p cu..c diˆe’m bˆ

o.i. Ta c´o di.nh l´

y sau dˆay:

Tru.`

- i.nh l´

D

y 6.1.4. Nˆe´u a l`

a cu..c diˆe’m cˆ

a´p m cu’a h`

am f (z) th`ı

1

dm−1

Res[f ; a] =

lim m−1 (z − a)m f (z) .

z→a

(m − 1)!

dz



(6.9)



Ch´

u.ng minh. V`ı a l`a cu..c diˆe’m cˆa´p m cu’a h`am f (z) nˆen

f (z) =



am

a−1

+

+ ··· +

m

(z − a)

z−a n



an (z − a)n

0



v`a t`

u. d´o

(z − a)m f (z) = a−m + a−m+1 (z − a) + · · · + a−1(z − a)m−1

an (z − a)n+m .



+

n 0



`an liˆen tiˆe´p ta c´o

Lˆa´y vi phˆan biˆe’u th´

u.c (6.10) m − 1 lˆ

dm−1

[(z − a)m f (z)] = (m − 1)! a−1 + m! a0(z − a) + . . .

dz m−1

v`a chuyˆe’n qua gi´o.i ha.n khi z → a ta thu du.o..c (6.9).

V´ı du. 8. T´ınh th˘a.ng du. cu’a h`am

f (z) =

dˆo´i v´o.i diˆe’m z = i.



(z 2



1

+ 1)3



(6.10)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 6 Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

Tải bản đầy đủ ngay(567 tr)

×