Tải bản đầy đủ - 567 (trang)
Chương 5 Hàm đa trị và diện Riemann

Chương 5 Hàm đa trị và diện Riemann

Tải bản đầy đủ - 567trang

Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann



370



5.5



5.4.1



`au . . . . . . . . . . . . . . . . . 413



o.t sˆ

o´ v´ı du. mo’. dˆ



5.4.2



Phu.o.ng ph´

ap du..ng diˆe.n Riemann . . . . . . . . . 419



B`

ai tˆ

a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



420



`en cho

Trong c´ac chu.o.ng tru.´o.c ta d˜a x´et c´ac h`am chı’nh h`ınh trong miˆ

`en d´o. Su..

tru.´o.c v`a d˜a khˆong quan tˆam dˆe´n ba’n chˆa´t cu’a h`am o’. ngo`ai miˆ

`an thiˆe´t dˆe’ c´o su.. kha’o s´at c´ac h`am

kha’o s´at c´o t´ınh chˆa´t “di.a phu.o.ng” d´o l`a cˆ

`en tˆ

`on ta.i n´oi chung cu’a

mˆo.t c´ach to`an cu.c - t´

u.c l`a kha’o s´at h`am trong miˆ

n´o.

Nguyˆen nhˆan chung trong su.. xuˆa´t hiˆe.n t´ınh da tri. cu’a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch

`en cho tru.´o.c ra miˆ

`en rˆo.ng ho.n l`a o’. chˆ˜o : c´ac

mˆo.t h`am chı’nh h`ınh t`

u. mˆo.t miˆ

u.c C khˆong pha’i l`a mˆo.t tˆa.p ho..p du.o..c s˘a´p th´

u. tu..,

diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´

trong khi ph´ep th´ac triˆe’n chı’ c´o thˆe’ do.n tri. trong tru.`o.ng ho..p khi ta c´o mˆo.t

u.a c´ac diˆe’m m`a trˆen d´o qu´a tr`ınh th´ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c

th´

u. tu.. cˆo´ di.nh gi˜

˜e n ra.

diˆ

`eu c˜

`an nhˆa´n ma.nh l`a trong l´

ung cˆ

y thuyˆe´t h`am ngu.`o.i ta khˆong

Mˆo.t diˆ

u. c´ac h`am da tri. v`ı ngay c´ac h`am ngu.o..c cu’a nh˜

u.ng h`am

du.o..c ph´ep loa.i tr`

`e co. ba’n

ung d˜a c´o thˆe’ l`a khˆong do.n tri.. Do d´o vˆa´n dˆ

do.n tri. gia’n do.n nhˆa´t c˜

`an xˆay du..ng mˆo.t quan diˆe’m khˆong mˆau thuˆ˜a n, cˆan dˆo´i v`a logic dˆo´i v´o.i

l`a cˆ

c´ac h`am da tri..



5.1



ap th´

ac triˆ

e’n cu’a Weierstrass

Phu.o.ng ph´



`au tiˆen h`am chı’ du.o..c x´ac di.nh o’. trong h`ınh

Trong l´

y thuyˆe´t Weierstrass, dˆ

`au tiˆen. Sau d´o, h`am du.o..c x´ac di.nh bo’.i c´ac

tr`on hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i lu˜

y th`

u.a dˆ

gi´a tri. cho bo’.i chuˆ˜o i d´o v`a mo.i th´ac triˆe’n cu’a n´o.

Trong mu.c n`ay ta s˜e tr`ınh b`ay mˆo.t c´ach ng˘a´n go.n qu´a tr`ınh th´ac triˆe’n

ap chuˆ

a’n cu’a th´ac triˆe’n.

gia’i t´ıch theo Weierstrass hay c`on go.i l`a phu.o.ng ph´



5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass



5.1.1



371



´

`an tu’. ch´ınh t˘

Phˆ

ac



`en D trong di.nh ngh˜ıa 13.1 l`a mˆo.t h`ınh tr`on. Nˆe´u tˆam a cu’a h`ınh

Gia’ su’. miˆ

tr`on thuˆo.c C (h˜

u.u ha.n !) th`ı h`ınh tr`on d´o c´o da.ng

S(a) = {|z − a| < Ra , Ra



∞}.



Nˆe´u a = ∞ th`ı S(a) = {|z| > Ra , Ra 0}. Khi d´o trong h`ınh tr`on S(a) h`am

˜e n du.´o.i da.ng

f c´o thˆe’ biˆe’u diˆ





an (z − a)n , z ∈ {|z − a| < Ra };



fa (z) = n 0



an z −n ,

z ∈ {|z| > Ra }.



n 0



- i.nh ngh˜ıa 5.1.1. C˘a.p Pa = (S(a); fa(z)), trong d´o fa (z) l`a tˆo’ng cu’a chuˆo˜ i

D

lu˜

y th`

u.a v´o.i tˆam ta.i diˆe’m a v`a S(a) l`a h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a n´o du.o..c go.i l`a

´

`an tu’. ch´ınh t˘

mˆo.t phˆ

ac v´o.i tˆam ta.i a v`a S(a) du.o..c go.i l`a h`ınh tr`on hˆo.i tu.

cu’a Pa .

`an tu’. ch´ınh t˘´ac viˆe.c di.nh ngh˜ıa th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c

Dˆo´i v´o.i c´ac phˆ

`an do.n gia’n ho.n v`ı c´ac h`ınh tr`on hˆo.i tu. giao

tiˆe´p v`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch c´o phˆ

`an thiˆe´t pha’i chı’ r˜o ph´ep

nhau theo mˆo.t tˆa.p ho..p liˆen thˆong v`a do d´o khˆong cˆ

`an liˆen thˆong n`ao cu’a giao.

th´ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c tiˆe´n h`anh qua th`anh phˆ

Ta c´o

- i.nh ngh˜ıa 5.1.2. Gia’ su’. S(a1), S(a2), . . . , S(an ) l`a d˜ay h˜

D

u.u ha.n c´ac h`ınh

tr`on thuˆo.c C sao cho tˆam ai+1 cu’a h`ınh tr`on S(ai+1 ) n˘`am trong h`ınh tr`on

o.t x´ıch. Nˆe´u fai (z)

S(ai), i = 1, 2, . . . , n − 1. D˜ay h`ınh tr`on ˆa´y du.o..c go.i l`a mˆ

`an tu’. ch´ınh t˘´ac v´o.i h`ınh tr`on hˆo.i tu. S(ai) v`a fai+1 (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i

l`a phˆ

ac triˆe’n

t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a fai , i = 1, 2, . . . , n − 1 th`ı ta n´oi r˘a`ng fa1 du.o..c th´

gia’i t´ıch theo x´ıch c´

ac h`ınh tr`

on.

`an tu’. ch´ınh t˘´ac fb (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a

T`

u. d´o ta r´

ut ra l`a: phˆ

`an tu’. ch´ınh t˘´ac fa (z) nˆe´u

phˆ

a) ho˘a.c fb (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a fa(z);



Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann



372



`an tu’.

b) ho˘a.c fb (z) l`a khˆau cuˆo´i c`

ung cu’a mˆo.t x´ıch h˜

u.u ha.n c´ac phˆ

fa(z) = fa1 (z), fa2 (z), . . . , fan (z) = fb (z),

trong d´o mˆo˜ i chuˆ˜o i faj (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a faj−1 (z), j =

1, . . . , n − 1.

˜e d`ang thˆa´y r˘`ang quan hˆe. th´ac triˆe’n gia’i t´ıch gi˜

`an tu’. ch´ınh



u.a c´ac phˆ

t˘a´c c´o c´ac t´ınh chˆa´t:

`an tu’. ch´ınh t˘´ac l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a ch´ınh

1. t´ınh pha’n xa.: mˆ˜o i phˆ

n´o;

`an tu’. ch´ınh t˘´ac fb (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a

2. t´ınh dˆ

o´i x´

u.ng: nˆe´u phˆ

`an tu’. fa(z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a phˆ

`an tu’. fb (z);

`an tu’. fa (z) th`ı phˆ

phˆ

´c cˆ

`an tu’.

`au: Nˆe´u phˆ

`an tu’. fb (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a phˆ

3. t´ınh b˘

a

`an tu’. fc (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a fb (z) th`ı fc (z) l`a th´ac triˆe’n

fa (z), phˆ

gia’i t´ıch cu’a fa (z).



5.1.2



- iˆ

´

`an tu’. ch´ınh t˘

o.ng cu’a phˆ

D

e’m bˆ

a´t thu.`

ac



`an tu’. ch´ınh t˘´ac v´o.i tˆam a v`a b´an k´ınh hˆo.i tu. Ra . Ta x´et

Gia’ su’. fa (z) l`a phˆ

diˆe’m s n`ao d´o trˆen biˆen γ(Ra ) = {|z − a| = Ra } cu’a h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a

fa (z). C´ac diˆe’m cu’a γ(Ra ) = γ(R) c´o thˆe’ chia th`anh hai l´o.p.

`on ta.i phˆ

`an tu’. ch´ınh t˘a´c fs (z)

1. Ta.i diˆe’m s d˜a cho cu’a du.`o.ng tr`on γ(R) tˆ

u.ng diˆe’m n`ay du.o..c go.i l`a nh˜

u.ng diˆe’m

l`a th´ac triˆe’n tru..c tiˆe´p cu’a fa (z). Nh˜

ch´ınh quy cu’a fa (z).

`on ta.i. Nh˜

`an tu’. nhu. thˆe´ khˆong tˆ

u.ng diˆe’m n`ay du.o..c go.i l`a nh˜

u.ng

2. Phˆ

`an tu’. ch´ınh t˘´ac fa(z).

diˆe’m bˆ

a´t thu.`

o.ng cu’a phˆ

T`

u. di.nh ngh˜ıa diˆe’m ch´ınh quy suy ra r˘a`ng: nˆe´u z0 ∈ γ(Ra ) l`a diˆe’m ch´ınh

`eu l`a diˆe’m ch´ınh quy. Do d´o, nˆe´u

quy th`ı mo.i diˆe’m cu’a cung δ z0 n`ao d´o dˆ

`on ta.i vˆo sˆo´ diˆe’m ch´ınh quy. Ngu.o..c la.i

`on ta.i mˆo.t diˆe’m ch´ınh quy th`ı s˜e tˆ



`eu n`ay, diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng c´o thˆe’ l`a duy nhˆa´t.

v´o.i diˆ

`an tu’. ch´ınh

V`ı biˆen γ(Ra ) l`a d´ong nˆen c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a mˆo.t phˆ

t˘a´c lˆa.p th`anh mˆo.t tˆa.p ho..p d´ong. N´oi c´ach kh´ac, diˆe’m gi´o.i ha.n cu’a c´ac diˆe’m

ung l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng.

bˆa´t thu.`o.ng c˜



5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass



373



`an tu’. ch´ınh t˘´ac ta c´o

`e diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a phˆ



- i.nh l´

on hˆ

o.i tu. cu’a

D

y 5.1.1. Trˆen biˆen γ(Ra ) = {|z − a| = Ra } cu’a h`ınh tr`

˜ i lu˜y th`

´c.

`an tu’. ch´ınh t˘

o ´ıt nhˆ

a´t mˆ

o.t diˆe’m bˆ

a´t thu.`

o.ng cu’a phˆ

a

chuˆ

o

u.a fa (z) c´

`on ta.i mˆo.t diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng n`ao cu’a

Ch´

u.ng minh. Gia’ su’. trˆen γ(Ra ) khˆong tˆ

`an tu’. ch´ınh t˘´ac. Khi d´o h`am n`ay c´o thˆe’ th´ac triˆe’n gia’i t´ıch dˆe´n mo.i diˆe’m

phˆ

y hiˆe.u l`a ϕ(z). Nhu.

n˘a`m trˆen γ(Ra ). Kˆe´t qua’ cu’a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c k´

vˆa.y ϕ(z) ≡ fa (z), z ∈ S(a). Theo di.nh ngh˜ıa th´ac triˆe’n gia’i t´ıch, dˆo´i v´o.i mˆo˜ i

`eu tˆ

`on ta.i h`ınh tr`on S(ζ) v´o.i tˆam ta.i ζ m`a trong d´o ϕ(z)

diˆe’m ζ ∈ γ(Ra ) dˆ

chı’nh h`ınh.

Nhu. vˆa.y du.`o.ng tr`on γ(Ra ) du.o..c phu’ bo’.i vˆo sˆo´ h`ınh tr`on v´o.i tˆam n˘`am

trˆen γ(Ra).

`e Heine - Borel, t`

u. phu’ vˆo ha.n d´o c´o thˆe’ tr´ıch mˆo.t phu’ con h˜

u.u

Theo bˆo’ dˆ

`on ta.i hˆe. c´ac h`ınh tr`on S(ζj ) j = 1, 2, . . . , n; ζj ∈ γ(Ra ) phu’

ha.n, ngh˜ıa l`a tˆ

`e nhau S(ζj ) v`a S(ζj+1 )

γ(Ra). Gia’ su’. zj l`a mˆo.t diˆe’m cu’a giao hai h`ınh tr`on kˆ

(j = 1, 2, . . . , n; S(ζn+1 ) ≡ S(ζ1 )) n˘`am ngo`ai S(a). Ta d˘a.t R = min |zj − a|.

1 j n

ung v´o.i fa (z) trong S(a) v`a chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`on

Khi d´o h`am ϕ(z) tr`

u. d´o suy ra r˘`ang h`am fa (z) biˆe’u

l´o.n ho.n S0 (a) = {|z − a| < R, R > Ra }. T`

˜e n chuˆ˜o i lu˜

diˆ

y th`

u.a hˆo.i tu. trong h`ınh tr`on S0(a) v´o.i b´an k´ınh hˆo.i tu. R > Ra .

`eu n`ay khˆong thˆe’ xa’y ra.

Nhu.ng diˆ

Ta c´o hˆe. qua’ sau dˆay.

˜

`



e. qua’ 5.1.1. B´

an k´ınh hˆ

o.i tu. cu’a chuˆ

o i lu˜y th`

u.a fa (z) b˘

ang khoa’ng c´

ach

.

.

.

.

´

`an nhˆ

`an tu’ ch´ınh t˘

a´t thu `

am a dˆe´n diˆe’m bˆ

o ng gˆ

a´t cu’a phˆ

ac.

t`

u tˆ

`eu tru.`o.ng ho..p, diˆ

`eu kh˘a’ng di.nh n`ay cho ph´ep ta t`ım b´an k´ınh

Trong nhiˆ

.

hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i lu˜

y th`

u a mˆo.t c´ach rˆa´t c´o hiˆe.u lu..c m`a khˆong su’. du.ng cˆong

th´

u.c Cauchy - Hadamard.



5.1.3



ap th´

ac triˆ

e’n cu’a Weierstrass

Phu.o.ng ph´



Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a Weierstrass du..a trˆen viˆe.c ´ap du.ng mˆo.t

`en D th`ı

c´ach c´o hˆe. thˆo´ng chuˆ˜o i Taylor. Nˆe´u h`am f (z) chı’nh h`ınh trong miˆ



Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann



374



n´o c´o thˆe’ khai triˆe’n th`anh chuˆo˜ i Taylor ta.i lˆan cˆa.n cu’a mˆo˜ i diˆe’m z0 ∈ D v´o.i

b´an k´ınh hˆo.i tu. R0 khˆong b´e ho.n khoa’ng c´ach ng˘a´n nhˆa´t δ0 t`

u. z0 dˆe´n biˆen

u.a

∂D. Nˆe´u b´an k´ınh hˆo.i tu. l´o.n ho.n khoa’ng c´ach ng˘a´n nhˆa´t d´o th`ı chuˆo˜ i v`

`an h`ınh tr`on n˘a`m ngo`ai miˆ

`en

thu du.o..c s˜e x´ac di.nh h`am chı’nh h`ınh trong phˆ

u.a thu

D v`a tr`

ung v´o.i f (z) trong h`ınh tr`on {|z − z0| < δ0 }. Do d´o chuˆ˜o i v`

y 13.5)

du.o..c cho ta th´ac triˆe’n h`am v`ao h`ınh tr`on |z − z0| < R0 } (xem di.nh l´

.

`e sau ta chı’ cˆ

`an x´et c´ac khai triˆe’n Taylor v`a d`

ung c´ac khai

Nhu vˆa.y, vˆ

triˆe’n d´o dˆe’ thu..c hiˆe.n th´ac triˆe’n gia’i t´ıch.

`au t`

u.

Nˆo.i dung cu’a phu.o.ng ph´ap Weierstrass l`a nhu. sau. Gia’ su’. ta b˘a´t dˆ

chuˆ˜o i lu˜

y th`

u.a

an (z − a1 )n



fa1 (z) =



(5.1)



n 0



c´o b´an k´ınh hˆo.i tu. h˜

u.u ha.n Ra1 > 0. Chuˆo˜ i d´o s˜e x´ac di.nh h`am fa1 (z) chı’nh

h`ınh trong h`ınh tr`on S(a1) = {|z −a1| < Ra1 }. Nˆe´u ta lˆa´y diˆe’m a2 v´o.i modun

˜e d`ang thˆa´y r˘`ang c´ac gi´a tri. fa1 (a2), fa (a2), . . . , d(p)

b´e ho.n Ra1 , th`ı dˆ

a1 (a2 )

1

`e m˘a.t l´

y thuyˆe´t) theo c´ac cˆong th´

u.c

du.o..c t´ınh (vˆ





fa(p)

(a2)

1



n(n − 1) · · · (n − p + 1)an (a2 − a1)n−p .



=

n=p



Do d´o ta c´o thˆe’ x´et chuˆ˜o i Taylor

(p)



p 0



fa1 (a2)

(z − a2)p ;

p!



(0! = 1).



(5.2)



Ta nhˆa.n x´et r˘a`ng viˆe.c khai triˆe’n h`am fa1 (z) th`anh chuˆo˜ i theo c´ac lu˜

y

.

.

th`

u a cu’a (z − a2) c´o thˆe’ tiˆe´n h`anh mˆo.t c´ach nhanh ch´ong b˘`ang c´ach du. a v`ao

hˆe. th´

u.c

(z − a)n = [(z − a2) + (a2 − a1 )]n

Cnk (a2 − a1)n−k (z − a2)k



=

0 k n



5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass



375



u.c v`

u.a viˆe´t v`ao (5.1).

v`a nh´om c´ac t`

u. cu’a chuˆo˜ i thu du.o..c sau khi thˆe´ biˆe’u th´

Gia’ su’. chuˆ˜o i (5.2) hˆo.i tu. trong h`ınh tr`on

S(a2) = {|z − a2| < Ra2 , Ra2



Ra1 − |a2 − a1 |}.



Nˆe´u Ra2 = Ra1 − |a2 − a1| th`ı h`ınh tr`on S(a2 ) tiˆe´p x´

uc trong v´o.i h`ınh tr`on

S(a1). Trong tru.`o.ng ho..p n`ay ta khˆong thu du.o..c th´ac triˆe’n gia’i t´ıch.

Gia’ su’. Ra2 > Ra1 − |a2 − a1 |. Khi d´o h`ınh tr`on S(a2) vu.o..t ra kho’i gi´o.i

ha.n cu’a h`ınh tr`on S(a1). Trong h`ınh tr`on S(a2) chuˆo˜ i (5.2) x´ac di.nh h`am

fa2 (z) chı’nh h`ınh trong S(a2) v`a

fa1 (z) ≡ fa2 (z),



z ∈ S(a1) ∩ S(a2).



u. h`ınh tr`on S(a1 )

Do d´o fa2 (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a fa1 (z) t`

v`ao h`ınh tr`on S(a2).

`en S(a1) ∪ S(a2) ta thu du.o..c h`am chı’nh h`ınh

Nhu. vˆa.y, trong miˆ



f (z), z ∈ S(a ),

a1

1

f (z) =

fa (z), z ∈ S(a2 ).

2



N´oi c´ach kh´ac: h`am f (z) chı’nh h`ınh trong

`en gi´o.i ha.n bo’.i c´ac cung tr`on AmB v`a AnB

miˆ

ung thˆa´y r˘`ang nˆe´u z = a3

(h`ınh V.1). T`

u. d´o ta c˜

thuˆo.c h`ınh qua.t Aa1B cu’a S(a1) th`ı b´an k´ınh hˆo.i

˜e n h`am f (z) ta.i

tu. cu’a mˆo˜ i chuˆ˜o i Taylor biˆe’u diˆ

.

u. diˆe’m a3

diˆe’m a3 s˜e khˆong b´e ho n khoa’ng c´ach t`

`en AmBnA v`a l´o.n ho.n Ra1 −|a3|,

dˆe´n biˆen cu’a miˆ

`eu cho ph´ep

v`a mˆo˜ i diˆe’m cu’a h`ınh qua.t Aa1B dˆ

th´ac triˆe’n gia’i t´ıch h`am f (z) ra kho’i gi´o.i ha.n

`en

cu’a S(a1 ). Do d´o, nˆe´u dˆo´i v´o.i a2 n`ao d´o miˆ

Ra2 = Ra1 − |a2| th`ı ta khˆong thˆe’ th´ac triˆe’n gia’i

H`ınh V.1

.

t´ıch b˘a`ng c´ach xuˆa´t ph´at t`

u c´ac diˆe’m n˘a`m trˆen b´an k´ınh a1H di qua diˆe’m

a2, trong d´o H l`a diˆe’m cuˆo´i cu’a b´an k´ınh h`ınh tr`on S(a1). Trong tru.`o.ng ho..p

n`ay, diˆe’m H l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a fa1 (z).



Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann



376



V`ı trˆen biˆen cu’a h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i lu˜

y th`

u.a c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t diˆe’m

ung c´o thˆe’

bˆa´t thu.`o.ng nˆen c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng c´o thˆe’ ro.i v`ao A ho˘a.c B. C˜

`eu l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng dˆo´i v´o.i

xa’y ra tru.`o.ng ho..p mo.i diˆe’m cu’a AmBnA dˆ

u.a. Gia’ su’. r˘a`ng khˆong

f (z), khi d´o f (z) khˆong thˆe’ th´ac triˆe’n rˆo.ng ho.n n˜

`eu l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng. Khi d´o t`ım du.o..c diˆe’m

pha’i mo.i diˆe’m cu’a AmBnA dˆ

a3 v`a chuˆo˜ i



q 0



f (q) (a3 )

(z − a3 )q

q!



`an h`ınh

v´o.i h`ınh tr`on hˆo.i tu. S(a3 ) vu.o..t ra kho’i gi´o.i ha.n AmBnA. Trong phˆ

.

.

.

tr`on S(a3) n˘`am ngo`ai AmBnA ta s˜e thu du o. c mˆo.t th´ac triˆe’n m´o i cu’a f (z)

`an phˆan biˆe.t a3 thuˆo.c S(a1 ) hay S(a2 ). Nhu. vˆa.y ta thu du.o..c

m`a khˆong cˆ

h`am chı’nh h`ınh







f (z), z ∈ S(a1),



 a1

f (z) = fa2 (z), z ∈ S(a2),







fa (z), z ∈ S(a3).

3



Sau khi bu.´o.c th´

u. hai n`ay d˜a ho`an th`anh ta chuyˆe’n sang bu.´o.c th´

u. ba,

th´

u. tu.,...

`on ta.i mˆo.t d˜ay c´ac phˆ

`an tu’. ch´ınh t˘´ac

Gia’ su’. tˆ

fa1 (z), fa2 (z), fa3 (z), . . . , fan (z);

sao cho chuˆ˜o i faj (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a faj−1 (z), 1 j n−1.

`an tu’. ch´ınh t˘´ac fan (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a phˆ

`an tu’. ch´ınh t˘a´c

Khi d´o phˆ

fa1 (z) do.c theo dˆay x´ıch c´ac h`ınh tr`on S(a1), S(a2), . . . , S(an ).

Thuˆa.t to´an d˜a nˆeu trˆen dˆay dˆe’ th´ac triˆe’n gia’i t´ıch c´o thˆe’ tiˆe´n h`anh vˆo

ha.n nˆe´u ta cho.n tˆam cu’a c´ac khai triˆe’n Taylor l`a nh˜

u.ng diˆe’m ch´ınh quy ng`ay

`an tu’. ch´ınh t˘´ac d˜a thu du.o..c.

c`ang m´o.i dˆo´i v´o.i c´ac phˆ

`an tu’. ch´ınh t˘a´c faj (z) v`a faj−1 (z) l`a th´ac triˆe’n

Ta nhˆa.n x´et r˘`ang v`ı hai phˆ

gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a nhau nˆen

∂S(aj ) ∩ ∂S(aj−1) = ∅.



5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass



377



Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u S(aj ) ⊂ S(aj−1 ) th`ı faj (z) l`a h`am chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`on

tˆam aj b´an k´ınh l´o.n ho.n b´an k´ınh Raj . Do d´o h`ınh tr`on S(aj ) khˆong c`on l`a

u.a.

h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a faj (z) n˜

`au tiˆen f1(z) du.o..c cho trong h`ınh tr`on S(0) = {|z| <

V´ı du. 1. Gia’ su’. h`am dˆ

1} bo’.i chuˆ˜o i

zn .



f1 (z) =

n 0



1

.

1−z

uy y

´ trong h`ınh tr`on S(0) v`a khai triˆe’n h`am f1 (z)

Ta cho.n diˆe’m z0 = 0 t`

˜e d`ang thˆa´y r˘`ang khai triˆe’n Taylor cu’a f1 (z) ta.i

theo lu˜

y th`

u.a (z − z0 )n . Dˆ

lˆan cˆa.n z0 c´o da.ng

Hiˆe’n nhiˆen tˆo’ng f1 (z) =



(n)



f2(z) =



a1n (z − z0)n ,



a1n =



1

f1 (z0 )

=

·

n!

(1 − z0 )n+1



Do d´o

(z − z0 )n

·

(1 − z0 )n+1



f2(z) =



˜e d`ang kiˆe’m tra r˘a`ng b´an k´ınh hˆo.i tu. R0 cu’a chuˆo˜ i n`ay b˘a`ng |1 − z0 |. Nˆe´u



diˆe’m z0 khˆong n˘`am trˆen doa. n [0, 1] th`ı R0 = |1 − z0| > 1 − |z0 |, ngh˜ıa l`a R0

l´o.n ho.n khoa’ng c´ach t`

u. z0 dˆe´n du.`o.ng tr`on ∂S(0). Do d´o, h`ınh tr`on hˆo.i tu.

S(z0) = {|z − z0 | < R0 } vu.o..t ra kho’i gi´o.i ha.n cu’a du.`o.ng tr`on ∂S(0). Trong

1

h`ınh tr`on S(z0 ) chuˆo˜ i trˆen dˆay x´ac di.nh h`am chı’nh h`ınh f2 (z) =

v`a

1−z

f2 (z) = f1 (z),



z ∈ S(0) ∩ S(z0).



u. S(0) v`ao S(z0). V`ı R0 = |1−z0 |

Nhu. vˆa.y f2 (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a f1 t`

b˘a`ng khoa’ng c´ach t`

u. diˆe’m 1 dˆe´n diˆe’m z0 nˆen v´o.i mo.i vi. tr´ı cu’a z0 trong S(0)

`eu pha’i di qua diˆe’m z = 1.

biˆen ∂S(z0) dˆ

Bˆay gi`o. ta lˆa´y diˆe’m z1 = z0, z1 ∈ {|z − z0| < |1 − z0 |} l`am tˆam v`a la.i thu

du.o..c khai triˆe’n



n 0



(z − z1)n

1 − z1)n+1



378



Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann



1

hˆo.i tu. trong h`ınh tr`on S(z1) = {|z − z1| < |1 − z1 |} dˆe´n h`am f3 (z) =

1−z

`an chung cu’a S(z1) v´o.i miˆ

`en x´ac di.nh

tr`

ung v´o.i h`am f1 v`a f2 trong c´ac phˆ

`en S(z1 ) =

cu’a h`am f1 v`a f2 . Do d´o f3 (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a f1 ra miˆ

`eu

{|z − z1|, |1 − z1|}. V´o.i mo.i vi. tr´ı cu’a diˆe’m z1 biˆen cu’a h`ınh tr`on S(z1) dˆ

pha’i di qua diˆe’m z = 1.

B˘`ang c´ach l˘a.p la.i qu´a tr`ınh d´o, ta thu du.o..c th´ac triˆe’n gia’i t´ıch h`am f1(z)

ra to`an m˘a.t ph˘a’ng tr`

u. diˆe’m z = 1. Nhu. vˆa.y h`am

F (z) =



1

1−z



`en D = C \ {1}.

l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a f1 (z) t`

u. h`ınh tr`on do.n vi. ra miˆ

`e m˘a.t l´

Nhˆ

a.n x´et 5.1.1. 1. Vˆ

y thuyˆe´t, phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Wreierstrass tiˆe.n lo..i trong mo.i tru.`o.ng ho..p. Nhu.ng trong c´ac b`ai to´an cu. thˆe’, viˆe.c

`eu kh´o kh˘an bo’.i t´ınh ph´

u.c ta.p cu’a n´o.

´ap du.ng phu.o.ng ph´ap d´o g˘a.p rˆa´t nhiˆ

y

2. Qu´a tr`ınh th´ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c tr`ınh b`ay trˆen dˆay l`a co. so’. cu’a l´

.

.

.

thuyˆe´t h`am sˆo´ du o. c Weierstrass du a ra, trong d´o Weierstrass d˜a lˆa´y chuˆ˜o i

`en ta’ng dˆe’ di.nh ngh˜ıa h`am gia’i t´ıch m`a ta s˜e tr`ınh b`ay trong

lu˜

y th`

u.a l`am nˆ

mu.c sau.



5.1.4



H`

am khˆ

ong cho ph´

ep th´

ac triˆ

e’n gia’i t´ıch



`an l´o.n c´ac chuˆ˜o i lu˜

`eu cho ph´ep th´ac triˆe’n gia’i

Tuy phˆ

y th`

u.a thˆong thu.`o.ng dˆ

`au tiˆen nh`o. c´ac chuˆo˜ i Taylor,

t´ıch ra kho’i gi´o.i ha.n cu’a h`ınh tr`on hˆo.i tu. dˆ

y th`

u.a ph´ep th´ac triˆe’n gia’i

nhu.ng khˆong nˆen ngh˜ı r˘`ang dˆo´i v´o.i mo.i chuˆ˜o i lu˜

`eu luˆon luˆon thu..c hiˆe.n du.o..c. Weierstrass, ngu.`o.i dˆ

`au tiˆen du.a ra di.nh

t´ıch dˆ

`on ta.i nh˜

`an

u.ng phˆ

u.ng to’ b˘a`ng v´ı du. r˘a`ng tˆ

ngh˜ıa th´ac triˆe’n gia’i t´ıch, d˜a ch´

`eu l`

tu’. ch´ınh t˘´ac m`a mo.i diˆe’m biˆen cu’a h`ınh tr`

on hˆ

o.i tu. dˆ

a diˆe’m bˆ

a´t thu.`

o.ng,

o.ng bˆ

a´t thu.`

o.ng.

ngh˜ıa l`a biˆen cu’a h`ınh tr`on hˆo.i tu. l`a mˆo.t du.`

Ta x´et chuˆo˜ i

f (z) = 1 + z + z 2 + z 6 + · · · + z n! + . . .



(5.3)



5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass



379



˜e d`ang thˆa´y r˘`ang b´an k´ınh hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i (5.3) l`a b˘`ang 1. Do d´o trˆen



du.`o.ng tr`on do.n vi. c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a h`am f (z).

`an dˆe´n diˆe’m z = 1 t`

Nˆe´u dˆ

u. ph´ıa trong th`ı mˆo˜ i sˆo´ ha.ng cu’a chuˆ˜o i (5.3)

`eu dˆ

`an dˆe´n 1, c`on tˆo’ng cu’a n´o th`ı dˆ

`an dˆe´n ∞. T`

u. d´o suy r˘`ang z = 1 l`a



diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a (z).

`eu tˆ

`on ta.i nh˜

u.ng diˆe’m

Trˆen mˆ˜o i cung b´e t`

uy y

´ cu’a du.`o.ng tr`on {|z| = 1} dˆ

u.u ty’ n`ao d´o. Ta d˘a.t

c´o acgumen b˘`ang 2π nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ h˜

m



z = re2πi n ,



r<1



m, n ∈ Z. Khi d´o

z n! = rn! e2πim(n−1)! = rn!

z (n+1)! = (z n! )n+1 = (rn! )n+1 = r(n+1)! , . . .

T`

u. d´o c´o thˆe’ viˆe´t chuˆo˜ i (5.3) du.´o.i da.ng

f (z) = (1 + z + z 2 + · · · + z (n−1)! ) + rn! + r(n+1)! + . . .

Khi r → 1, biˆe’u th´

u.c trong dˆa´u ngo˘a.c

1 + z + · · · + z (n−1)!

`an dˆe´n ∞. Diˆ

`an dˆe´n mˆo.t gi´o.i ha.n n`ao d´o, c`on phˆ

`an du. dˆ

`eu d´o ch´



u.ng to’

m

`eu l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a h`am f (z). V`ı tˆa.p

r˘a`ng c´ac diˆe’m da.ng z = e2πi n dˆ

m

ho..p c´ac diˆe’m z = e2πi n , m, n ∈ Z lˆa.p nˆen tˆa.p ho..p tr`

u mˆa.t kh˘´ap no.i trˆen

du.`o.ng tr`on {|z| = 1} v`a v`ı tˆa.p ho..p c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng l`a d´ong nˆen mo.i

`eu l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a h`am f (z).

diˆe’m thuˆo.c du.`o.ng tr`on do.n vi. dˆ

Trong tru.`o.ng ho..p n`ay h`am f (z) ho`an to`an khˆong thˆe’ th´ac triˆe’n dˆe´n diˆe’m

z n˘a`m ngo`ai du.`o.ng tr`on {|z| = 1} v`a mˆo.t h`am nhu. vˆa.y du.o..c go.i l`a h`am

khˆong th´ac triˆe’n du.o..c, c`on du.`o.ng tr`on {|z| = 1} du.o..c go.i l`a biˆen tu.. nhiˆen

cu’a h`am.



Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann



380



5.2



ap kh´

ac



ac phu.o.ng ph´



`on ta.i th`ı th´ac triˆe’n d´o c´o thˆe’ xˆay

Nˆe´u th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a mˆo.t h`am tˆ

`en tr`on nhu. d˜a mˆo ta’ trong mu.c tru.´o.c. Nhu.ng

du..ng bo’.i mˆo.t x´ıch c´ac miˆ

kh´ai niˆe.m n`ay c`on chu.a ho`an to`an tiˆe.n lo..i dˆe’ thu du.o..c mˆo.t biˆe’u tu.o..ng r˜o

`e d˘a.c t´ınh da tri. xuˆa´t hiˆe.n trong th´ac triˆe’n gia’i t´ıch. Kh´ai niˆe.m c´o

r`ang vˆ

hiˆe.u lu..c nhˆa´t dˆe’ da.t du.o..c mu.c d´ıch d´o l`a kh´ai niˆe.m th´ac triˆe’n gia’i t´ıch theo

tuyˆe´n.



5.2.1



Th´

ac triˆ

e’n gia’i t´ıch theo tuyˆ

e´n



`eu

Khˆong ha.n chˆe´ tˆo’ng qu´at, ta c´o thˆe’ gia’ thiˆe´t r˘a`ng mo.i tuyˆe´n dang x´et dˆ

du.o..c tham sˆo´ h´oa trˆen doa.n I = [0, 1].

Th´ac triˆe’n gia’i t´ıch theo tuyˆe´n du.o..c di.nh ngh˜ıa nhu. sau.

- i.nh ngh˜ıa 5.2.1. Gia’ su’. cho tuyˆe´n

D

γ :I →C

`au a = γ(0) v`a diˆe’m cuˆo´i b = γ(1), v`a phˆ

`an tu’. ch´ınh t˘´ac

v´o.i diˆe’m dˆ

an (z − γ(0))n



f∗ (z) = fγ(0)(z) =

n 0



`au cu’a tuyˆe´n γ. Ta n´oi r˘`ang phˆ

`an tu’. ch´ınh t˘´ac

v´o.i tˆam γ(0) = a ta.i diˆe’m dˆ

ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c theo tuyˆe´n nˆe´u

f0 th´

`on ta.i ho. c´ac phˆ

`an tu’. ch´ınh t˘´ac

1. tˆ

an (z − γ(t))n ,



ft (γ) = fγ(t) (z) =



t∈I



n 0



v´o.i tˆam ta.i diˆe’m at = γ(t) v`a b´an k´ınh hˆo.i tu. Rt = R(γ(t)) = 0 (ngh˜ıa l`a

`eu tu.o.ng u

`an tu’. ch´ınh t˘´ac ft );

´.ng v´o.i phˆ

mˆo˜ i gi´a tri. t ∈ I dˆ

2. nˆe´u u(t0) ⊂ [0, 1] l`a lˆan cˆa.n liˆen thˆong cu’a diˆe’m t0 ∈ I m`a

γ(t) ⊂ S[γ(t0)] = {|z − γ(t0)| < Rt0 },



∀ t ∈ u(t0)



`an tu’. ch´ınh t˘´ac ft l`a th´ac trie’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p

y, phˆ

th`ı v´o.i t ∈ u(t0) bˆa´t k`

cu’a ft0 .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 5 Hàm đa trị và diện Riemann

Tải bản đầy đủ ngay(567 tr)

×