Tải bản đầy đủ - 567 (trang)
Chương 4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình

Chương 4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình

Tải bản đầy đủ - 567trang

4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´

ut ra t`

u. t´ıch phˆan Cauchy



279



4.3.1



˜ i Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Chuˆ

o



4.3.2



- iˆe’m bˆ

o.ng cˆ

o lˆ

a.p do.n tri. . . . . . . . . . . . 337

D

a´t thu.`



4.3.3





ang diˆe.u cu’a h`

am ta.i diˆe’m vˆ

o c`

ung . . . . . . . . 348



Phˆ

an loa.i h`

am chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . 350

a.p ho..p mo’. . . . . . . . . . . 354

e´n cu’a tˆ

T´ınh bˆ

a´t biˆ



4.3.4

4.4



4.4.1



Nguyˆen l´

y acgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 354



4.4.2



- .inh l´

D

y Rouch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

a.p ho..p mo’. . . . . . . . . . . . 363

T´ınh bˆ

a´t biˆe´n cu’a tˆ



4.4.3

4.5



B`

ai tˆ

a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



365



y thuyˆe´t h`am

Trong chu.o.ng tru.´o.c, ta d˜a ch´

u.ng minh di.nh l´

y co. ba’n cu’a l´

chı’nh h`ınh - di.nh l´

y Cauchy. Di.nh l´

y n`ay k´eo theo mˆo.t loa.t hˆe. qua’ quan

u.a c´ac gi´a

tro.ng. D˘a.c biˆe.t l`a n´o cho ph´ep ta x´ac lˆa.p mˆo´i liˆen hˆe. nhˆa´t di.nh gi˜

`en chı’nh h`ınh v´o.i c´ac gi´a

tri. cu’a h`am chı’nh h`ınh ta.i c´ac diˆe’m trong cu’a miˆ

u.c t´ıch phˆan

tri. biˆen cu’a h`am d´o. Mˆo´i liˆen hˆe. d´o du.o..c mˆo ta’ trong cˆong th´

co. ba’n th´

u.c trung tˆam cu’a l´

u. hai cu’a Cauchy. D´o l`a cˆong th´

y thuyˆe´t h`am

chı’nh h`ınh.



4.1





ac kˆ

e´t qua’ quan tro.ng nhˆ

a´t r´

ut ra t`

u.

t´ıch phˆ

an Cauchy



.

`eu l`a hˆe. qua’ cu’a cˆong

u.c dˆo. nhˆa´t di.nh, mo.i di.nh l´

O’ mˆo.t m´

y cu’a mu.c n`ay dˆ

.

th´

u c t´ıch phˆan Cauchy.



4.1.1



- i.nh l´

D

y gi´

a tri. trung b`ınh



D´o l`a di.nh l´

y sau dˆay.

- i.nh l´

D

y 4.1.1. Gia’ su’. f (z) l`

ong S(R) =

a h`

am liˆen tu.c trong h`ınh tr`

on d´

R} v`

a chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`

on S(R). Khi d´

o ta c´

o

{z ∈ C : |z − z0|



Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh



280



a’ng th´

u.c







1

f (z0) =





f (z0 + reit )dt,

0



`

a gi´

a tri. cu’a h`

am ta.i tˆ

am h`ınh tr`

on b˘

ang trung b`ınh cˆ

o.ng c´

ac gi´

a tri. cu’a



u.c l`

.

.



o trˆen du `

o ng tr`

on.

Ch´

u.ng minh. Theo cˆong th´

u.c t´ıch phˆan Cauchy ta c´o

f (z0) =



1

2πi



f (ζ)

dζ.

ζ − z0

∂S(R)



u.c

Thu..c hiˆe.n ph´ep biˆe´n dˆo’i theo cˆong th´

ζ = z0 + Reit ,



0



t







ta thu du.o..c





1

f (z0) =

2πi



Reitidt

1

f (z0 + Re )

=

it

Re





0



4.1.2







it



f (z0 + Reit )dt.

0



- i.nh l´

D

y Liouville



- i.nh l´

D

y 4.1.2. (Liouville 1) Nˆe´u h`

am chı’nh h`ınh trˆen to`

an m˘

a.t ph˘

a’ng ph´

u.c

`ng sˆ

`ong nhˆ

f (z) c´

o mˆ

odun bi. ch˘

a.n th`ı n´

o dˆ

a´t h˘

a

o´, t´

u.c l`

a f (z) ≡ const ∀z ∈ C.

Ch´

u.ng minh. Gia’ su’. |f (z)|

M < ∞ ∀z ∈ C. Ta s˜e ´ap du.ng cˆong th´

u.c

t´ıch phˆan Cauchy cho da.o h`am f (z) v`a h`ınh tr`on S(R) v´o.i tˆam ta.i diˆe’m z

v`a b´an k´ınh R. Ta c´o

f (z) =



1

2πi



f (ζ)

dζ.

(ζ − z)2

∂S(R)



1



I. Liouville (1809-1882) l`

a nh`

a to´

an ho.c Ph´

ap



4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´

ut ra t`

u. t´ıch phˆan Cauchy



281



T`

u. d´o

|f (z)|



1 M

M

·

2πR =

2

2π R

R



`an dˆe´n 0 khi

u.c n`ay khˆong phu. thuˆo.c R, c`on vˆe´ pha’i dˆ

Vˆe´ tr´ai cu’a bˆa´t d˘a’ng th´

R t˘ang vˆo ha.n. T`

u. d´o suy r˘a`ng |f (z)| = 0 v`a f (z) = 0 ∀ C. Do d´o f (z) ≡

const trong C.

Nhu. vˆa.y l´o.p c´ac h`am chı’nh h`ınh trong to`an m˘a.t ph˘a’ng v`a bi. ch˘a.n chı’

`om c´ac h`am tˆ

`am thu.`o.ng (c´ac h˘`ang sˆo´).



y Liouville v`

u.a ch´

u.ng minh c´o thˆe’ kh´ai qu´at du.´o.i da.ng

Di.nh l´

- i.nh l´

D

y 4.1.3. Nˆe´u h`

am f (z) chı’nh h`ınh trong to`

an m˘

a.t ph˘

a’ng v`

a tho’a

n

.

.

`eu kiˆe.n |f (z) M|z| , M < ∞ v`

a n l`

a sˆ

o´ nguyˆen du o ng th`ı d´

o l`

a da



an diˆ

2

.

.

a.c khˆ

ong cao ho n n.

th´

u c bˆ

Ch´

u.ng minh. Gia’ su’. z0 l`a diˆe’m t`

uy y

´ cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c. T`

u. cˆong th´

u.c

t´ıch phˆan Cauchy dˆo´i v´o.i da.o h`am cˆa´p cao ta c´o

f (n+1) (z0) =



(n + 1)!

2πi



f (z)

dz,

(z − z0)n+2



S(R) = {z : |z − z0 | < R}



∂S(R)



v`a do d´o

|f (n+1) (z0)|



M|z|n

(n + 1)!.

Rn+1



V`ı |z| |z0| + R nˆen qua gi´o.i ha.n khi R → ∞ ta thu du.o..c f (n+1) (z0) = 0.

uy y

´ cu’a C nˆen f (n+1) (z) ≡ 0. T`

u. d´o suy r˘`ang f (n) (z) ≡ const

Do z0 l`a diˆe’m t`

v`ı

z



f (n) (z) − f (n) (z0) =



f (n+1) (z)dz ≡ 0,

z0



˜e d`ang



u.c l`a f (n) (z) ≡ f (n) (z0 ) = const . . . B˘`ang c´ach lˆa.p luˆa.n nhu. vˆa.y, dˆ

`eu kh˘a’ng di.nh cu’a di.nh l´

y.

thu du.o..c diˆ

2



Khi n = 0 th`ı ta thu du.o..c di.nh l´

y 12.1



Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh



282



Di.nh l´

y Liouville c`on c´o thˆe’ ph´at biˆe’u du.´o.i da.ng

- i.nh l´

D

y 4.1.2∗. Nˆe´u h`

am f (z) chı’nh h`ınh trˆen to`

an m˘

a.t ph˘

a’ng mo’. rˆ

o.ng C

`ng sˆ

`ong nhˆ

a´t h˘

a

o´.

th`ı n´

o dˆ

`on ta.i v`a h˜

Ch´

u.ng minh. V`ı h`am f chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m ∞ nˆen lim f (z) tˆ

u.u

z→∞

ha.n. T`

u. d´o suy ra f (z) bi. ch˘a.n trong lˆan cˆa.n n`ao d´o U (∞) = {z : |z| > R}

cu’a diˆe’m ∞. Gia’ su’. f (z)| M1 , ∀ z ∈ U (∞). M˘a.t kh´ac, do h`am f chı’nh

h`ınh (v`a do d´o n´o liˆen tu.c) trong h`ınh tr`on d´ong S(R) = {z : |z| R} nˆen

n´o bi. ch˘a.n trong h`ınh tr`on d´o. Gia’ su’. |f (z)| M2 , z ∈ S(R). Nhu.ng khi d´o

h`am f bi. ch˘a.n trong to`an m˘a.t ph˘a’ng: f (z)| < M = max(M1 , M2) ∀ z ∈ C.

y 4.1.2 ta c´o f ≡ const.

V`ı h`am f chı’nh h`ınh trˆen C nˆen theo di.nh l´

Bˆay gi`o. ta ´ap du.ng di.nh l´

y Liouville dˆe’ ch´

u.ng minh di.nh l´

y Gauss - di.nh



y co. ba’n cu’a da.i sˆo´.

- i.nh l´

`eu

u.c da.i sˆ

o´ bˆ

a.c m 1 v´

o.i hˆe. sˆ

o´ ph´

u.c dˆ

D

y 4.1.4. (Gauss) Mo.i da th´

˜ i nghiˆe.m du.o..c t´ınh mˆ

`ng bˆ

`an b˘

o.t sˆ

o´ lˆ

a

o.i cu’a n´

o.



o m nghiˆe.m nˆe´u mˆ

o

Ch´

u.ng minh. Gia’ su’.

Pm (z) = am z m + am−1 z m−1 + · · · + a1z + a0,



am = 0, m



1.



u.ng: gia’ su’. Pm (z) khˆong c´o nghiˆe.m trong

Ta ch´

u.ng minh b˘`ang pha’n ch´

C. Ta x´et h`am

f (z) =



1

·

Pm (z)



H`am f (z) c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay

(i) H`am f (z) ∈ H(C) v`ı Pm (z) = 0 ∀ z ∈ C.

u.c l`a |f (z)| M ∀ z ∈ C. Thˆa.t vˆa.y,

(ii) H`am f (z) c´o mˆodun bi. ch˘a.n, t´

1

v`ı lim Pm (z) = ∞ nˆen lim

= 0. T`

u. d´o ∃ R > 0 sao cho ∀ z : |z| > R

z→∞

z→∞ Pm (z)

ta c´o

|f (z)| < 1.



4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´

ut ra t`

u. t´ıch phˆan Cauchy



283



Trong h`ınh tr`on d´ong |z| R h`am f (z) c´o mˆodun bi. ch˘a.n, t´

u.c l`a |f (z)| m

∀ z ∈ {|z| R}. T`

u. d´o suy r˘a`ng |f (z)| < m + 1 = M, ∀ z ∈ C. Nhu. vˆa.y

`eu kiˆe.n cu’a

h`am f (z) ∈ H(C) v`a |f (z) M ∀ z ∈ C, t´

u.c l`a tho’a m˜an c´ac diˆ

.

y Liouville. Do d´o f (z) ≡ const trˆen C. T`

u d´o suy r˘a`ng Pm (z≡ const.

di.nh l´

`eu d´o khˆong thˆe’ xa’y ra v`ı am = 0 v`a m 1.

Nhu.ng diˆ

`on ta.i gi´a tri. α1 ∈ C sao cho

Nhu. vˆa.y tˆ

P (α1 ) = 0.

ung l`a da

Do d´o Pm (z) = (z − α1 )Pm−1 (z), Pm−1 (α1 ) = 0. Nhu.ng Pm−1 (z) c˜

th´

u.c da.i sˆo´ bˆa.c m − 1 nˆen ∃ α2 ∈ C sao cho Pm−1 (z) = (z − α2)Pm−2 (z),

Pm−2 (α2 ) = 0. Nhu. vˆa.y

Pm (z) = (z − α1 )(z − α2 )Pm−2 (z), . . .

u.c

Tiˆe´p tu.c lˆa.p luˆa.n nhu. vˆa.y ta thu du.o..c d˘a’ng th´

Pm (z) = am(z − α1 )(z − α2) · · · (z − αm ).

u.ng to’ r˘a`ng α1 , α2 , . . . , αm l`a nghiˆe.m v`a ngo`ai ch´

u.c n`ay ch´

ung ra da

D˘a’ng th´

.

th´

u c Pm (z) khˆong c`on nghiˆe.m n`ao kh´ac. Thˆa.t vˆa.y nˆe´u β l`a nghiˆe.m β = αi

∀ i = 1, m cu’a da th´

u.c Pm (z) th`ı

Pm (β) = am (β − α1 )(β − α2 ) · · · (β − αm ) = 0.

`eu n`ay ch´

u.ng to’ r˘a`ng mˆo.t trong c´ac th`

u.a sˆo´ pha’i b˘a`ng 0, t´

u.c l`a

Diˆ

β − αi = 0,

⇐⇒



β = αi ,



i = 1, 2, . . . , m

i = 1, 2, . . . , m.



`e tru.`

u.ng minh c`on c´o tˆen go.i l`a di.nh l´y vˆ

o.ng d´

Di.nh l´

y v`

u.a ch´

ong da.i sˆ

o´.



Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh



284



4.1.3



- i.nh l´

˜

`e chuˆ

`eu

D

y Weierstrass vˆ

o i h`

am hˆ

o.i tu. dˆ



`eu trong miˆ

`en D v`a

Trong 1.4 ta d˜a tr`ınh b`ay kh´ai niˆe.m chuˆ˜o i h`am hˆ

o.i tu. dˆ

´

`en D c`

`eu trˆen t`

ac cu’a miˆ

ung mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t h`am cu’a



o.i tu. dˆ

u.ng comp˘

`eu. Bˆay gi`o. ta ch´

chuˆ˜o i hˆo.i tu. dˆ

y quan tro.ng cu’a Weierstrass

u.ng minh di.nh l´

`e su.. ba’o to`an t´ınh chı’nh h`ınh cu’a tˆo’ng cu’a chuˆ˜o i trong ph´ep qua gi´o.i ha.n



`eu v`a ph´ep da.o h`am t`

`eu.

u.ng sˆo´ ha.ng cu’a chuˆ˜o i h`am chı’nh h`ınh hˆo.i tu. dˆ



- i.nh l´

D

y 4.1.5. (Weierstrass) Gia’ su’.:

`en D;

a nh˜

u.ng h`

am chı’nh h`ınh trong miˆ

1) un (z) n ∈ N l`

˜ i h`

2) chuˆ

o

am

u1(z) + u2 (z) + · · · + un (z) + . . .



(4.1)



´c cu’a miˆ

`en D dˆe´n h`

`eu trˆen t`

a

u.ng comp˘

am (h˜

u.u ha.n) f (z).



o.i tu. dˆ

Khi d´

o

˜

`en D.

1) Tˆ

o’ng f (z) cu’a chuˆ

o i l`

a h`

am chı’nh h`ınh trong miˆ

˜ i c´

2) Chuˆ

o

o thˆe’ da.o h`

am t`

u.ng sˆ

a´p t`

uy ´y

o´ ha.ng dˆe´n cˆ

(m)



(m)



(m)

(z);

u1 (z) + u2 (z) + · · · + u(m)

n (z) + · · · = f



m = 1, 2, . . .



(4.2)



˜ i hˆ

˜ i (4.2) dˆ

´c cu’a miˆ

`eu l`

`eu trˆen t`

`en

a chuˆ

o

o.i tu. dˆ

u.ng comp˘

a

3) Mo.i chuˆ

o

D.

Ch´

u.ng minh. 1) Lˆa´y h`ınh tr`on S(R) bˆa´t k`

y b´an k´ınh R v´o.i biˆen γ(R) sao

cho S(R) ⊂ D. Trˆen du.`o.ng tr`on γ(R) (γ(R) l`a tˆa.p ho..p d´ong n˘`am trong D)

`eu dˆe´n h`am f (z). Do d´o h`am

chuˆ˜o i (4.1) hˆo.i tu. dˆ

f (ζ) = u1 (ζ) + u2(ζ) + · · · + un (ζ) + . . . ;



ζ ∈ γ(R)



liˆen tu.c trˆen γ(R). Nhˆan (4.3) v´o.i h`am

v(ζ) =



1

1

,

2πi ζ − z



ζ ∈ γ(R), z ∈ S(R).



(4.3)



4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´

ut ra t`

u. t´ıch phˆan Cauchy



285



H`am n`ay bi. ch˘a.n trˆen γ(R). Do d´o chuˆ˜o i thu du.o..c sau khi nhˆan (4.3) v´o.i

`eu trˆen γ(R) v`a c´o thˆe’ t´ıch phˆan t`

v(ζ) vˆ˜a n hˆo.i tu. dˆ

u.ng sˆo´ ha.ng theo γ(R).

Ta thu du.o..c

1

2πi



1

f (ζ)

dζ =

ζ −z

2πi

γ(R)



1

u1 (ζ

dζ + · · · +

ζ −z

2πi

γ(R)



un (ζ)

dζ + . . .

ζ −z

γ(R)



T´ıch phˆan o’. vˆe´ tr´ai l`a t´ıch phˆan da.ng Cauchy. Do d´o vˆe´ tr´ai l`a h`am chı’nh

´ du.ng cˆong th´

u.c

h`ınh trong h`ınh tr`on S(R). Ta k´

y hiˆe.u h`am d´o l`a fR(z). Ap

u. biˆe’u th´

u.c trˆen ta thu du.o..c

t´ıch phˆan Cauchy cho c´ac h`am un (ζ) t`

fR (z) = u1(z) + u2(z) + · · · + un (z) + . . .



(4.4)



`eu dˆe´n h`am fR(z) chı’nh h`ınh trong h`ınh

Nhu. vˆa.y chuˆ˜o i du.o..c x´et hˆo.i tu. dˆ

ung v´o.i f (z). Ngh˜ıa l`a f (z) l`a

tr`on S(R). Nhu.ng trong S(R) h`am fR(z) tr`

`en D dˆ

`eu thuˆo.c mˆo.t h`ınh

h`am chı’nh h`ınh trong S(R). V`ı mˆo˜ i diˆe’m z cu’a miˆ

tr`on S(R), S(R) ⊂ D n`ao d´o nˆen h`am f (z) chı’nh h`ınh trong D.

`en D khˆong ch´

C´ac lˆa.p luˆa.n trˆen dˆay chı’ d´

ung nˆe´u miˆ

u.a diˆe’m ∞. Gia’

`en D

su’. miˆ

∞. Ta s˜e x´et “h`ınh tr`on” SR (∞) = {z : |z| > R} v´o.i

`eu n˘`am trong du.`o.ng tr`on

b´an k´ınh R du’ l´o.n sao cho to`an bˆo. biˆen ∂D dˆ

γR (∞) = {z : |z| = R}. Lˆa.p luˆa.n nhu. trˆen v`a thay cho chuˆ˜o i (4.4) theo di.nh

u.c



y 3.2.13 ta thu du.o..c d˘a’ng th´

fR (z) = [u1 (z) − u1 (∞)] + [u2(z) − u2(∞)] + . . .

+ [un (z) − un (∞)] + . . .

hay l`a

fR (z) = [u1(z) + · · · + un (z) + . . . ]

− [u1(∞) + u2(∞) + · · · + un (∞) + . . . ].

Chuˆ˜o i trong dˆa´u ngo˘a.c vuˆong th´

u. hai o’. vˆe´ pha’i hˆo.i tu. dˆe´n f (∞) v`a do d´o

fR (z) + f (∞) = u1 (z) + u2 (z) + · · · + un (z) + . . .



Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh



286



.

O’ dˆay fR (z) + f (∞) = f (z) ∀ z ∈ SR (∞) v`a h`am fR (z) + f (∞) chı’nh h`ınh

trong SR (∞). Do vˆa.y h`am f chı’nh h`ınh trong lˆan cˆa.n diˆe’m ∞.

2) Nˆe´u nhˆan chuˆ˜o i (4.3) v´o.i h`am

vm (ζ) =



m!

1

,

2πi (ζ − z)m+1



z ∈ S(R)



bi. ch˘a.n trˆen γ(R) v`a t´ıch phˆan t`

u.ng sˆo´ ha.ng theo γ(R) th`ı thay cho (4.4) ta

thu du.o..c chuˆo˜ i

(m)



(m)



(m)



fR (z) = u1 (z) + u2 (z) + · · · + u(m)

n (z) + . . .

V`ı fR (z) = f (z) ∀ z ∈ D nˆen t`

u. d´o thu du.o..c (4.2).

`an th´

3) Dˆe’ ch´

u.ng minh phˆ

y ta phu’ tˆa.p ho..p d´ong t`

uy y

´

u. ba cu’a di.nh l´

.

.

E ⊂ D bo’ i hˆe. c´ac h`ınh tr`on S sao cho S ⊂ D. Nˆe´u tˆa.p ho. p E z = ∞ th`ı

ta c´o thˆe’ lˆa´y h`ınh tr`on l`a tˆa.p ho..p S (∞) = {z : |z| > R > 0}, S (∞) ⊂ D.

`om mˆo.t sˆo´ h˜

u.u ha.n

T`

u. hˆe. c´ac h`ınh tr`on n`ay ta c´o thˆe’ cho.n mˆo.t phu’ con gˆ

y hiˆe.u l`a E ∗ . Gia’ su’. δ l`a

c´ac h`ınh tr`on. Ho..p mo.i h`ınh tr`on d´ong n`ay du.o..c k´

`en D: δ = dist{E ∗ , ∂D}.

khoa’ng c´ach t`

u. E ∗ dˆe´n biˆen miˆ

`ong tˆam

u.n ha.n ta du..ng h`ınh tr`on S dˆ

Dˆo´i v´o.i mˆo˜ i h`ınh tr`on S cu’a phu’ h˜

δ

v´o.i b´an k´ınh l´o.n ho.n b´an k´ınh cu’a S mˆo.t da.i lu.o..ng b˘a`ng (dˆo´i v´o.i S (∞)

2

δ

`an lˆa´y b´an k´ınh b´e ho.n ). Chu tuyˆe´n L cu’a c´ac h`ınh tr`on n`ay lˆa.p

th`ı cˆ

2

`eu trˆen

un (z) hˆo.i tu. dˆ

th`anh tˆa.p ho..p d´ong Γ ⊂ D. Do d´o chuˆ˜o i du.o..c x´et

n≥1



Γ, ngh˜ıa l`a

∀ ε > 0, ∃ N ∈ N : ∀ n > N, ∀ p ∈ N, ∀ ζ ∈ Γ ⇒

n+p



uk (ζ) < ε.

k=n+1



uy y

´ cu’a E v`a gia’ su’. n´o thuˆo.c h`ınh tr`on S cu’a phu’

Gia’ su’. z l`a diˆe’m t`



4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´

ut ra t`

u. t´ıch phˆan Cauchy

δ

. Do d´o

2





u.u ha.n. Khi ζ ∈ L v`a z ∈ S th`ı |ζ − z|

n+p



n+p

(m)

uk (z)



m!

2πi



=



k=n+1



k=n+1



287



uk (ζ)



(ζ − z)m+1



L

n+p



uk (ζ)



m!





k=n+1



|ζ − z|m+1



ds



L



m!

·





ε

δ

2



m+1



2πR∗



trong d´o R∗ l`a b´an k´ınh cu’a h`ınh tr`on S tu.o.ng u

´.ng. Nhu. vˆa.y dˆo´i v´o.i mˆo˜ i

diˆe’m z ∈ E ta c´o

n+p



Rm!ε

δ m+1

2



(m)



uk (z)

k=n+1



trong d´o R l`a b´an k´ınh l´o.n nhˆa´t trong c´ac b´an k´ınh cu’a c´ac h`ınh tr`on S

`eu cu’a chuˆ˜o i da.o h`am trˆen t`

u.ng

u. d´o suy ra su.. hˆo.i tu. dˆ

cu’a phu’ h˜

u.u ha.n. T`

comp˘´ac cu’a D.

Nhˆ

a.n x´et 4.1.1. Trong gia’i t´ıch thu..c khˆong c´o di.nh l´

y tu.o.ng tu.. nhu. di.nh l´

y

.

Weierstrass. Thˆa.t vˆa.y, trong gia’i t´ıch thu. c ta biˆe´t r˘`ang tˆo’ng S(x) cu’a chuˆ˜o i

`eu trˆen khoa’ng n`ao d´o c´o thˆe’

un (x) hˆo.i tu. dˆ

h`am thu..c (biˆe´n thu..c) kha’ vi

n≥1



l`a h`am khˆong kha’ vi. Ho.n thˆe´ n˜

u.a nˆe´u ∃ S (x) th`ı ho`an to`an khˆong nhˆa´t

u.c S (x) =

un (x).

thiˆe´t pha’i c´o d˘a’ng th´

n 1



Nhˆ

a.n x´et 4.1.2. Nˆe´u c´o d˜ay h`am fn (z)



n 1



`en D th`ı chuˆo˜ i

cho trong miˆ



f1 (z) + [f2(z) − h(z)] + · · · + [fn (z) − fn−1 (z)] + . . .

`eu kh˘a’ng di.nh vˆ

`e chuˆ˜o i

u. d´o mo.i diˆ

c´o tˆo’ng riˆeng th´

u. n l`a Sn (x) = fn (x). T`

.

.

.

.

`eu c´o thˆe’ ph´at biˆe’u dˆo´i v´o i d˜ay v`a ngu o. c la.i. T`

y 4.1.3 ta r´

ut

u d´o v`a di.nh l´



ra



Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh



288



- i.nh l´

`e d˜ay h`am chı’nh h`ınh hˆo.i tu. dˆ

`eu)

D

y 4.1.6. (Weierstrass; vˆ

`en D hˆ

`eu trˆen

o.i tu. dˆ

Nˆe´u d˜

ay c´

ac h`

am fn (z) n 1 chı’nh h`ınh trong miˆ

´c cu’a miˆ

`en D dˆe´n h`

am h˜

u.u ha.n f (z) th`ı f (z) l`

a

a h`

am chı’nh h`ınh

t`

u.ng comp˘

(m)

`eu trˆen t`

am fn (z) n 1 ; m = 1, 2, . . . hˆ

o.i tu. dˆ

u.ng

trong D v`

a d˜

ay c´

ac da.o h`

´c cu’a D dˆe´n h`

am f (m) (z).

comp˘

a

y Weierstrass 4.1.3 v`a di.nh l´

y Abel r´

ut ra

T`

u. di.nh l´

˜



e. qua’ 4.1.1. Tˆ

o’ng cu’a chuˆ

o i l˜

uy th`

u.a

an (z − a)n

n 0



l`

a h`

am chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`

on hˆ

o.i tu. cu’a n´

o v`

a trong h`ınh tr`

on hˆ

o.i tu.

.

˜

`an t`

am t`

u ng sˆ

o´ ha.ng mˆ

o.t sˆ

o´ lˆ

uy ´y,

cu’a chuˆ

o i ta c´

o thˆe’ lˆ

a´y t´ıch phˆ

an v`

a da.o h`

.

.

`ong th`

o´ ha.ng khˆ

ong l`

am thay dˆ

o i ph´ep da.o h`

am v`

a t´ıch phˆ

an t`

u ng sˆ

o’i b´

an



˜

k´ınh hˆ

o.i tu. cu’a chuˆ

o i.



4.1.4



am chı’nh h`ınh.

T´ınh chˆ

a´t di.a phu.o.ng cu’a h`

˜ i Taylor

Chuˆ

o



Trong 2.1 ta d˜a ch´

u.ng minh r˘`ang tˆo’ng cu’a chuˆo˜ i l˜

uy th`

u.a l`a h`am chı’nh h`ınh

u.c t´ıch phˆan Cauchy ta

trong h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a n´o. Bˆay gi`o. nh`o. cˆong th´

u.a cu’a h`am chı’nh h`ınh - d´o

c´o thˆe’ ch´

u.ng minh mˆo.t t´ınh chˆa´t quan tro.ng n˜

˜e n

`eu biˆe’u diˆ

l`a t´ınh chˆa´t di.a phu.o.ng: mˆ˜o i h`am chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`on dˆ

y sau

uy th`

u.a. Cu. thˆe’ ta ch´

u.ng minh di.nh l´

du.o..c du.´o.i da.ng tˆo’ng cu’a chuˆ˜o i l˜

- i.nh l´

D

y 4.1.7. (Cauchy - Taylor 3 )

˜

`en D th`ı ta.i lˆ

Nˆe´u h`

am f (z) chı’nh h`ınh trong miˆ

an cˆ

a.n cu’a mˆ

o i diˆe’m

˜e n du.o..c du.´

˜ i l˜

am f (z) biˆe’u diˆ

o.i da.ng chuˆ

o

uy th`

u.a

z0 ∈ D h`

an (z − z0 )n



f (z) =



(4.5)



n≥0





o.i b´

an k´ınh hˆ

o.i tu. R khˆ

ong b´e ho.n khoa’ng c´

ach d t`

u. diˆe’m z0 dˆe´n biˆen ∂D

`en D (d = dist(z0 , ∂D).

cu’a miˆ

3



B. Taylor (1685-1731) l`

a nh`

a to´

an ho.c Anh



4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´

ut ra t`

u. t´ıch phˆan Cauchy



289



`en D. Ta k´

Ch´

u.ng minh. Gia’ su’. f ∈ H(D) v`a z0 l`a diˆe’m t`

uy y

´ cu’a miˆ

y

uy y

´ cu’a

hiˆe.u S(z0 , d) = {z ∈ D : |z − z0 | < d} v`a gia’ su’. z l`a diˆe’m t`

`ong tˆam v´o.i h`ınh tr`on S(z0, d)

S(z0, d) : z ∈ S(z0, d). X´et h`ınh tr`on S(z0, δ) dˆ

`eu kiˆe.n 0 < δ < d sao cho diˆe’m z n˘a`m trong D.

v´o.i b´an k´ınh δ tho’a m˜an diˆ

´ du.ng cˆong th´

Ap

u.c t´ıch phˆan Cauchy ta c´o

f (z) =



f (ζ)

1

dζ =

ζ −z

2πi



1

2πi

γ(δ)



f (ζ)dζ

z − z0 ,

(ζ − z0) 1 −

ζ − z0



γ(ρ)



(4.6)



trong d´o γ(δ) = ζ : |ζ − z0| = δ}.

u.c

Dˆo´i v´o.i diˆe’m z ∈ S(z0; δ) cˆo´ di.nh ta c´o bˆa´t d˘a’ng th´

z − z0

= q < 1,

ζ − z0



ζ ∈ γ(δ).



Do d´o biˆe’u th´

u.c

1

z − z0

1−

ζ − z0

c´o thˆe’ xem nhu. tˆo’ng cu’a cˆa´p sˆo´ nhˆan

1

z − z0 =

1−

ζ − z0



n 0



z − z0

ζ − z0



n



.



(4.7)



`eu trˆen γ(ρ) nˆen ta c´o thˆe’ thu..c hiˆe.n ph´ep t´ıch phˆan t`

u.ng

Chuˆ˜o i (4.7) hˆo.i tu. dˆ

sˆo´ ha.ng v`a t`

u. (4.6) v`a (4.7) ta thu du.o..c

f (z) =

n 0



1

2πi



f (ζ)dζ

(z − z0)n

(ζ − z0)n+1

γ(δ)



an (z − z0 )n ,



=



(4.8)



n≥0



trong d´o

an =



1

2πi



f (ζ)dζ

,

(ζ − z0)n+1

γ(δ)



n = 0, 1, . . .



(4.9)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình

Tải bản đầy đủ ngay(567 tr)

×