Tải bản đầy đủ - 567 (trang)
Chương 3 Lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình

Chương 3 Lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình

Tải bản đầy đủ - 567trang

`en ph´

3.1. T´ıch phˆan trong miˆ

u.c

3.2.7



189



˜e n t´ıch phˆ

Biˆe’u diˆ

an dˆ

o´i v´

o.i da.o h`

am cu’a h`

am

chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241



- iˆ

`eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`

D

am f chı’nh h`ınh . . . . . . . . . 250

`eu h`

3.2.9 H`

am diˆ

am chı’nh h`ınh . 250

oa v`

a mˆ

o´i liˆen hˆe. v´

o.i h`

3.2.10 T´ıch

phˆ

an

da.ng

Cauchy.



ong

th´

u.c

Sokhotski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

3.2.8



˜e n t´ıch phˆ

`eu h`

3.2.11 Biˆe’u diˆ

an h`

am diˆ

oa . . . . . . . . . 270

3.3



B`

ai tˆ

a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



277



`eu kiˆe.n

Bˆay gi`o. x´et su.. thu he.p l´o.p tˆo’ng qu´at c´ac h`am biˆe´n ph´

u.c b˘`ang diˆ

kha’ t´ıch. Su.. thu he.p d´o s˜e du.a ta t´o.i ch´ınh l´o.p c´ac h`am chı’nh h`ınh d˜a du.o..c

nghiˆen c´

u.u trong chu.o.ng II. To`an bˆo. chu.o.ng n`ay du.o..c d`anh cho viˆe.c tr`ınh

ung hai cˆong th´

u.c

y co. ba’n trong ph´ep t´ınh t´ıch phˆan cu’a Cauchy c`

b`ay di.nh l´

co. ba’n cu’a nh`a to´an ho.c nˆo’i tiˆe´ng d´o.



3.1

3.1.1



`en ph´

T´ıch phˆ

an trong miˆ

u.c

- i.nh ngh˜ıa t´ıch phˆ

D

an



Gia’ su’. cho tuyˆe´n tro.n γ = γ(t) : I → C, I = [a, b] ⊂ R v`a gia’ su’. cho ´anh xa.

liˆen tu.c

f : γ(I) → C.

khi d´o h`am f [γ(t)] l`a mˆo.t h`am liˆen tu.c trˆen I.

Ta c´o di.nh ngh˜ıa sau dˆay:

- .inh ngh˜ıa 3.1.1. T´ıch phˆan

D

b



J (f ) =



f [γ(t)]γ (t)dt

a



(3.1)



Chu.o.ng 3. L´

y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh



190



an cu’a h`

am f theo tuyˆe´n γ v`a du.o..c k´

y hiˆe.u l`a

du.o..c go.i l`a t´ıch phˆ

f (z)dz.

γ



Di.nh ngh˜ıa n`ay ph`

u ho..p v´o.i di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan du.`o.ng thˆong thu.`o.ng

(theo ngh˜ıa Cauchy - Riemann) cu’a h`am liˆen tu.c theo khoa’ng compac.

u.ng kh´

uc. Trong



ung c´o thˆe’ t´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng theo tuyˆe´n tro.n t`

.

.

.

tru `o ng ho. p n`ay s˜e cho.n ph´ep phˆan hoa.ch

a = t 0 < t1 < · · · < tn = b

sao cho ha.n chˆe´ γi cu’a tuyˆe´n γ trˆen doa.n [ti, ti+1 ] l`a tuyˆe´n tro.n v´o.i i bˆa´t k`

y,

0 ≤ i ≤ n − 1. V`a theo di.nh ngh˜ıa

f (z)dz =



f (z)dz.

i



γ



(3.2)



γi



C´o thˆe’ ch´

u.ng minh r˘a`ng gi´a tri. cu’a vˆe´ pha’i (3.2) khˆong phu. thuˆo.c v`ao

viˆe.c cho.n ph´ep phˆan hoa.ch v`a trong tru.`o.ng ho..p khi γ l`a tuyˆe´n tro.n th`ı di.nh

ung v´o.i di.nh ngh˜ıa 3.1.1.

ngh˜ıa n`ay cu’a t´ıch phˆan f (z)dz tr`

γ



Do d´o, di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan (3.2) l`a d´

ung d˘´an.

V´ı du. 1. Gia’ su’. γ l`a du.`o.ng tr`on

γ = z ∈ C : |z − a| = r

(do d´o γ(t) = a + eir , t ∈ [0, 2π] v`a f (z) = (z − a)n , n ∈ Z.

Theo di.nh ngh˜ıa 3.1.1 ta c´o:





(z − a)n dz = rn+1 i



J (f ) =

γ



Khi n = −1 th`ı J (f ) = 0.



ei(n+1)tdt.

0



`en ph´

3.1. T´ıch phˆan trong miˆ

u.c



191



Khi n = −1 th`ı





dz

=i

z−a

γ



dt = 2πi.

0



Nhu. vˆa.y:

J (f ) =





0



khi n = −1,



2πi



(3.3)



khi n = −1.



Nhˆ

a.n x´et 3.1.1. B˘`ang c´ach d˘a.t f = u + iv v`a dz = dx + idy ta thu du.o..c:

f (z)dz =

γ



udx − vdy + i

γ



vdx + udy.



(3.4)



γ



˜e d`ang suy ra c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay

T`

u. di.nh ngh˜ıa v`a cˆong th´

u.c (3.4) dˆ

`en ph´

cu’a t´ıch phˆan trong miˆ

u.c.

I - T´ınh chˆ

a´t tuyˆe´n t´ınh. Nˆe´u fk (z), k = 1, 2, . . . , n l`a nh˜

u.ng h`am liˆen

tu.c du.o..c cho trˆen γ v`a ak (k = 1, 2, . . . , n) l`a nh˜

u.ng h˘a`ng sˆo´ cho tru.´o.c th`ı:

n



n



ak fk (z) dz =

γ



k=1



ak

k=1



fk (z)dz.

γ



II - T´ınh chˆ

a´t cˆ

o.ng t´ınh. Gia’ su’. cho hai tuyˆe´n tro.n

γ1 (t) : [a, c] → C,



γ2 (t) : [c, b] → C



sao cho

γ1 (c) = γ2 (c).

X´et tuyˆe´n tro.n t`

u.ng kh´

uc l`a ho..p cu’a hai tuyˆe´n γ1 , γ2



γ (t), t ∈ [a, c],

1

γ(t) =

γ2 (t), t ∈ [c, b].



Chu.o.ng 3. L´

y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh



192



T`

u. di.nh ngh˜ıa suy ra r˘`ang

f (z)dz =

γ1 ∪γ2



f (z)dz +

γ1



f (z)dz.

γ2



o´i v´

o.i ph´ep biˆe´n dˆ

o’i tham sˆ

o´. Ta nh˘a´c la.i o’. dˆay di.nh

III - T´ınh bˆ

a´t biˆe´n dˆ

ngh˜ıa ph´ep thay tham sˆo´. Gia’ su’. cho tuyˆe´n tro.n

γ : [a, b] → C

v`a t = t(u) kha’ vi liˆen tu.c khi u ∈ [a1, b1] (a1 < b1 ) v´o.i da.o h`am t (u) > 0

kh˘´ap no.i v`a

t(a1) = a,



t(b1) = b.



Khi d´o ho..p cu’a ´anh xa. u → t(u) v`a

γ : [a, b] → C

s˜e x´ac di.nh mˆo.t ´anh xa. γ1 : u → γ[t(u)].

´ xa. d´o cho ta mˆo.t tuyˆe´n tro.n v`a n´oi r˘a`ng γ1 thu du.o..c t`

u. γ b˘a`ng ph´ep

Anh

thay thˆe´ tham sˆo´.

- i.nh l´

D

y 3.1.1. T´ıch phˆ

an (3.1) l`

a mˆ

o.t bˆ

a´t biˆe´n dˆ

o´i v´

o.i ph´ep thay tham sˆ

o´.





oi c´

ach kh´

ac, nˆe´u γ ∼ γ th`ı

f (z)dz =



f (z)dz.

γ∗



γ



Ch´

u.ng minh. Theo di.nh ngh˜ıa ta c´o

b



f (z)dz =

γ



f [γ(t)]γ (t)dt.



(3.5)



a



u.c vi

Thu..c hiˆe.n ph´ep thay tham sˆo´ o’. vˆe´ pha’i cu’a (3.5) v`a theo cˆong th´

phˆan h`am ho..p, ta c´o

b1



f (z)dz =

γ



f [γ1 (u)]γ1(u)du =

a1



f (z)dz.

γ∗



`en ph´

3.1. T´ıch phˆan trong miˆ

u.c



193



T`

u. di.nh l´

y 3.1.1 ta r´

ut ra kˆe´t luˆa.n quan tro.ng l`a: t´ıch phˆan d˜a du.o..c xˆay

du..ng dˆo´i v´o.i tuyˆe´n vˆ˜a n c´o ngh˜ıa ca’ dˆo´i v´o.i du.`o.ng cong l`a l´o.p c´ac tuyˆe´n

tu.o.ng du.o.ng.

ung ho.n: Dˆo´i v´o.i tuyˆe´n bˆa´t k`

y x´ac di.nh du.`o.ng cong tro.n n`ao d´o

N´oi d´

th`ı t´ıch phˆan cu’a h`am liˆen tu.c theo tuyˆe´n ˆa´y c´o mˆo.t v`a chı’ mˆo.t gi´a tri..

o.ng. Dˆo´i v´o.i tuyˆe´n tro.n γ v`a tuyˆe´n ngu.o..c v´o.i n´o γ −

IV - T´ınh di.nh hu.´

(tuyˆe´n thu du.o..c t`

u. γ b˘a`ng ph´ep thay tham sˆo´ t → a+b−t, γ − (t) = γ[a+b−t])

ta c´o:

f (z)dz = −



f (z)dz.



γ−



γ



u.ng minh nhu. di.nh l´

y 3.1.1.

T´ınh chˆa´t n`ay du.o..c ch´



3.1.2



..

an

o c lu.o..ng t´ıch phˆ





- i.nh l´

D

y 3.1.2. Gia’ su’. γ l`

a mˆ

o.t tuyˆe´n tro.n

γ : [a, b] → C

´x γ[I] v`

v`

a gia’ su’. t → f [γ(t)] l`



anh xa. liˆen tu.c t`

u. tˆ

a.p ho..p comp˘

a

ao C. Khi

o



f (z)dz



sup |f (z)| · |γ|,

γ



γ



trong d´

o |γ| l`

a dˆ

o. d`

ai cu’a tuyˆe´n γ.

Ch´

u.ng minh. Gia’ su’.

f (z)dz = |J (f )|eiθ .



J (f ) =

γ



Chu.o.ng 3. L´

y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh



194

Ta c´o



b



e−iθ f (z)dz =



|J (f )| =

γ



e−iθ f [γ(t)]γ (t)dt

a



b



Re e−iθ f [γ(t)]γ (t) dt.



=

a



Do d´o

b



|J (f )|



|f (γ(t))||γ (t)|dt =

a



|f (z)||dz|

γ

b



sup |f (z)| ·



dx

dt



|dz| = sup |f (z)| ·



γ



γ

γ



2



+



dy

dt



2



1

2



dt



a



= sup |f (z)||γ|.

γ



`eu kiˆe.n



e. qua’ 3.1.1. Nˆe´u thˆem v`

ao c´

ac gia’ thiˆe´t cu’a di.nh l´y 3.1.2 diˆ

`

o M l`

a h˘

ang sˆ

o´ n`

ao d´

o th`ı

|f (z)| M, ∀ z ∈ γ, trong d´

f (z)dz



M · |γ|.



γ



3.1.3



`

ap qua gi´

o.i ha.n

T´ınh t´ıch phˆ

an b˘

ang phu.o.ng ph´



Gia’ su’. ∆ l`a ph´ep phˆan hoa.ch [a, b]

∆ : a = t0 < t1 < · · · < tn = b,

trong d´o d˘a.t

η = max |ti+1 − ti |.

i



`en ph´

3.1. T´ıch phˆan trong miˆ

u.c



195



`an t´ınh hiˆe.u σn gi˜

Ta cˆ

u.a t´ıch phˆan (3.1) v´o.i tˆo’ng

n−1



f [γ(θi )] γ(ti+1 ) − γ(ti ) ,



θi ∈ [ti, ti+1 ].



i=0



V`ı

ti+1



dz = γ(ti+1) − γ(ti )

ti



nˆen biˆe’u th´

u.c trˆen c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng

b



f˜(t) · γ (t)dt,

a



trong d´o f˜(t) l`a h`am trˆen [a, b], b˘a`ng f [γ(θi )] trˆen khoa’ng (ti , ti+1 ). Nhu. vˆa.y

b



[f (γ(t) − f˜(t)]γ (t)dt .



|σn | =

a



Gia’ su’. ε > 0 l`a mˆo.t sˆo´ cho tru.´o.c. Cho.n η du’ nho’, sao cho v´o.i mo.i c˘a.p

`eu kiˆe.n |t − t | < η ta dˆ

`eu c´o:

t , t ∈ [a, b] tho’a m˜an diˆ

|f (γ(t )) − f (γ(t ))| <



ε

·

|γ|



`eu d´o c´o thˆe’ thu..c hiˆe.n du.o..c v`ı h`am f |γ(t)| liˆen tu.c trˆen [a, b] do d´o n´o

(Diˆ

`eu trˆen doa.n d´o).

liˆen tu.c dˆ

Khi d´o

|f (γ(t)) − f˜(t)|



ε

|γ|



v`a:

|σn |



ε

· |γ| = ε.

|γ|



Chu.o.ng 3. L´

y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh



196



u.a ch´

u.ng minh suy ra r˘a`ng t´ıch phˆan

T`

u. kˆe´t qua’ v`



f (z)dz l`a gi´o.i ha.n

γ



cu’a tˆo’ng t´ıch phˆan Riemann khi η → 0.

`eu v`

T`

u. diˆ

u.a ch´

y 3.1.1 suy r˘`ang t´ıch phˆan du.`o.ng theo

u.ng minh v`a di.nh l´

tuyˆe´n khˆong phu. thuˆo.c ph´ep tham sˆo´ h´oa tuyˆe´n d´o: hai ph´ep tham sˆo´ h´oa

`eu d˘a.c biˆe.t ho.n

tu.o.ng du.o.ng dˆo´i v´o.i tuyˆe´n chı’ cho mˆo.t gi´a tri. t´ıch phˆan. Diˆ



u.a l`a c´ac tˆo’ng Riemann c´o thˆe’ mˆo ta’ bo’.i c´ac thuˆa.t ng˜

u. h`ınh ho.c liˆen quan

`an t´ınh t´ıch phˆan. Ta d`

dˆe´n du.`o.ng cong m`a trˆen d´o cˆ

u.ng la.i dˆe’ tr`ınh b`ay

`eu d´o.

mˆo.t c´ach ng˘´an go.n diˆ

`au A v`a diˆe’m

Gia’ su’. L(A, B) ⊂ C l`a du.`o.ng cong c´o hu.´o.ng v´o.i diˆe’m dˆ

cuˆo´i B v`a gia’ su’. trˆen L(A, B) cho h`am f (z). Thu..c hiˆe.n ph´ep phˆan hoa.ch

chia du.`o.ng cong L(A, B) th`anh mˆo.t sˆo´ n t`

uy y

´ c´ac cung nho’ bo’.i c´ac diˆe’m

u.c l`a zj d´

u.ng

z0 = A, z1 , z2, . . . , zn−1 , zn = B n˘a`m liˆen tiˆe´p trˆen L(A, B) (t´

tru.´o.c zj+1 , j = 0, 1, . . . , n − 1). Trˆen mˆ˜o i cung nho’ Lj = zj zj+1 ta lˆa´y diˆe’m

uy y

´ v`a lˆa.p tˆo’ng t´ıch phˆan

ξj t`

n−1



Jn =



f (ξj )∆zj ,



∆zj = zj+1 − zj .



j=0



Gia’ su’. r = max (diam Lj ).

0 j n−1



`on ta.i gi´o.i ha.n lim Jn khi r → 0 khˆong phu. thuˆo.c v`ao c´ach phˆan

Nˆe´u tˆ

hoa.ch L(A, B) th`anh c´ac cung nho’ v`a khˆong phu. thuˆo.c v`ao viˆe.c cho.n c´ac

diˆe’m trung gian ξj th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o..c go.i l`a t´ıch phˆan du.`o.ng cu’a h`am f

theo du.`o.ng cong L(A, B):

r−1



lim



r→0



f (ξj )∆zj =

j=0



f (z)dz.

L(A,B)



Trong tru.`o.ng ho..p khi L(A, B) l`a du.`o.ng cong d´ong A ≡ B th`ı d˘a.t



`en ph´

3.1. T´ıch phˆan trong miˆ

u.c



197



y hiˆe.u l`a

L(A, B) = L v`a t´ıch phˆan du.o..c k´

J=



f (z)dz hay



nˆe´u L c´o di.nh hu.´o.ng du.o.ng;



f (z)dz



nˆe´u L c´o di.nh hu.´o.ng ˆam.



L+



L



f (z)dz hay



J=



f (z)dz



L−



L



Tiˆe´p theo ta ch´

u.ng minh di.nh l´

y cho ph´ep ta du.a viˆe.c t´ınh t´ıch phˆan

`en ph´

`e t´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng trong miˆ

`en thu..c (xem (3.4))

trong miˆ

u.c vˆ

- i.nh l´

`e su.. tˆ

`on ta.i t´ıch phˆan du.`o.ng)

D

y 3.1.3. (Vˆ

o.ng cong c´

o hu.´

o.ng, do du.o..c v`

a h`

am f (z) liˆen tu.c trˆen L

Nˆe´u L l`

a du.`

`on ta.i. Thˆem v`

th`ı t´ıch phˆ

an f (z)dz tˆ

ao d´

o, nˆe´u z = x + iy, f (z) =

L



u(x, y) + iv(x, y) th`ı

f (z)dz =

L



u(x, y)dx − v(x, y)dy + i

L



v(x, y)dx + u(x, y)dy.



(3.6)



L



Ch´

u.ng minh. Gia’ su’. zj = xj + iyj , ξj = ζj + iηj , uj = u(ζj , ηj ); vj = v(ζj , ηj ),

∆zj = ∆xj + i∆yj . Ta biˆe´n dˆo’i tˆo’ng t´ıch phˆan cu’a t´ıch phˆan



f (z)dz:

L



n−1



n−1



f (ξj )∆zj =

j=0



(uj + ivj )(∆xj + i∆yj )

j=0

n−1



=



n−1



(uj ∆xj − vj ∆yj ) + i

j=0



(vj ∆xj + uj ∆yj ).



(3.7)



j=0



Nˆe´u f liˆen tu.c trˆen L th`ı u v`a v liˆen tu.c trˆen L v`a do d´o c´ac t´ıch phˆan o’. vˆe´

`on ta.i. Vˆe´ pha’i cu’a (3.7) gˆ

`om c´ac tˆo’ng t´ıch phˆan dˆo´i v´o.i c´ac t´ıch

pha’i (3.6) tˆ

phˆan du.`o.ng o’. vˆe´ pha’i cu’a cˆong th´

u.c (3.6). Do d´o khi r → 0 vˆe´ pha’i cu’a

`an dˆe´n vˆe´ pha’i cu’a (3.6). T`

u. d´o suy r˘`ang vˆe´ tr´ai cu’a (3.7) c´o gi´o.i ha.n

(3.7) dˆ

khˆong phu. thuˆo.c v`ao c´ach phˆan hoa.ch du.`o.ng cong L v`a khˆong phu. thuˆo.c

`on ta.i.

v`ao c´ach cho.n c´ac diˆe’m ξj . Nhu. vˆa.y t´ıch phˆan o’. vˆe´ tr´ai cu’a (3.6) tˆ



Chu.o.ng 3. L´

y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh



198



Qua gi´o.i ha.n d˘a’ng th´

u.c (3.7) khi r → 0 ta thu du.o..c (3.6). Di.nh l´

y du.o..c

ch´

u.ng minh.

V´ı du. 1. T´ınh t´ıch phˆan

z pdz,



I=



p = 0, 1, 2, . . .



(3.8)



L



`au z = a v`a diˆe’m

trong d´o L l`a du.`o.ng cong t`

uy y

´ c´o dˆo. d`ai |L| v´o.i diˆe’m dˆ

u.c t`

uy y

´).

cuˆo´i z = b (a v`a b l`a nh˜

u.ng sˆo´ ph´

.

Gia’i. Gia’ su’ z0 , z1, . . . , zn l`a c´ac diˆe’m chia trong ph´ep phˆan hoa.ch du.`o.ng

cong L. Trong tru.`o.ng ho..p d´o: z0 ≡ a, zn ≡ b v`a

n

p+1

zkp+1 − zk−1



bp+1 − ap+1 =

k=1

n



p

zkp + zkp−1 zk−1 + · · · + zk−1

∆zk



=

k=1

n



n



zkp∆zk



=

k=1



zkp−1 zk−1 ∆zk + · · · +



+

k=1



n



n

p−m

zkm zk−1

∆zk



+



p

zk−1

∆zk .



+ ··· +



k=1



(3.9)



k=1



`au v`a tˆo’ng cuˆo´i o’. vˆe´ pha’i cu’a (3.9) l`a c´ac tˆo’ng t´ıch phˆan thˆong

Tˆo’ng dˆ

u. nhˆa´t ta lˆa´y diˆe’m trung gian l`a ξk = zk , c`on trong

thu.`o.ng: trong tˆo’ng th´

tˆo’ng cuˆo´i ta d˘a.t ξk = zk−1 .

n



n



ξkp ∆zk



lim



r→0



k=1



ξkp ∆zk = I.



= lim



r→0



k=1



Ta x´et mˆo.t tˆo’ng n`ao d´o o’. gi˜

u.a, ch˘a’ng ha.n

n

p−m

zkm zk−1

∆zk ,



Sn =

k=1



1


(3.10)



`en ph´

3.1. T´ıch phˆan trong miˆ

u.c



199



v`a so s´anh (3.10) v´o.i tˆo’ng cuˆo´i

n

p

zk−1

∆zk .



Sn =

k=1



Ta c´o

n

p−m m

m

zk−1

(zk − zk−1

)∆zk



|Sn − Sn | =

k=1

n



m−1

zkp−m zkm−1 + zkm−2 zk−1 + · · · + zk−1

∆zk2



=

k=1

n



|zk−1 |p−m |zk |m−1 + · · · + |zk−1 |m−1 |∆zk |2

k=1

n



mR



m



|∆zk |2 ,



(3.11)



k=1



trong d´o R l`a sˆo´ n`ao d´o khˆong b´e ho.n khoa’ng c´ach t`

y cu’a L dˆe´n

u. diˆe’m bˆa´t k`

gˆo´c to.a dˆo..

n

`an ch´

Ta cˆ

u.ng minh r˘`ang lim

|∆zk |2 = 0. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o

r→0 k=1



n



n

2



|∆zk | =

k=1



n



|∆zk | · |∆zk |



r



k=1



|∆zk |



r|L|.



k=1



`an dˆe´n 0.

Do d´o khi r → 0 th`ı tˆo’ng d˜a nˆeu dˆ

T`

u. d´o suy r˘a`ng

lim Sn = lim Sn = I.



r→0



r→0



Qua gi´o.i ha.n (3.9) khi r → 0 ta thu du.o..c

bp+1 − ap+1 = (p + 1)I ⇒ I =



bp+1 − ap+1

,

p+1





u.c l`a

z p dz =

L(a,b)



bp+1 − ap+1

·

p+1



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 3 Lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình

Tải bản đầy đủ ngay(567 tr)

×