Tải bản đầy đủ - 567 (trang)
Chương 1. Mặt phẳng phức và hàm biến phức

Chương 1. Mặt phẳng phức và hàm biến phức

Tải bản đầy đủ - 567trang

1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´

u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c



1.2.7



Biˆen cu’a tˆ

a.p ho..p . . . . . . . .

´c . . . . . . . .



a.p ho..p comp˘

a

ong . . . . . . .



a.p ho..p liˆen thˆ

H`

am ph´

u.c biˆe´n thu..c. Tuyˆe´n v`

a



1.2.8



`ong luˆ

Ph´ep dˆ

an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53



1.2.9



`en do.n liˆen v`

Miˆ

a da liˆen . . . . . . . . . . . . . . . 56



1.2.4

1.2.5

1.2.6



1.3



11

. . . . . . . . . . . 40

. . . . . . . . . . . 41

. . . . . . . . . . . 42

du.`

o.ng cong . . . . 46



H`

am biˆ

e´n ph´

u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1

1.3.2

1.3.3



59



- .inh ngh˜ıa h`

D

am biˆe´n ph´

u.c . . . . . . . . . . . . . 59

`e a



ac v´ı du. vˆ

´nh xa. do.n diˆe.p . . . . . . . . . . . . 62

am . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Gi´

o.i ha.n cu’a h`



`eu . . . . . . . . . . . . 67

T´ınh liˆen tu.c v`

a liˆen tu.c dˆ

˜ i trong miˆ

`en ph´



y thuyˆ

e´t d˜

ay v`

a chuˆ

o

u.c . . . .

72



1.3.4

1.4



1.4.2



Gi´

o.i ha.n cu’a d˜

ay diˆe’m . . . . . . . . . . . . . . . . 72

˜ i sˆ

Chuˆ

o

o´ ph´

u.c v`

a su.. hˆ

o.i tu. cu’a n´

o . . . . . . . . . 75



1.4.3



˜ i h`



ay v`

a chuˆ

o

am . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79



1.4.4



˜ i l˜

Chuˆ

o

uy th`

u.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85



1.4.5



´c . . . . . . . . . . 92

`eu trˆen t`

Su.. hˆ

o.i tu. dˆ

a

u.ng comp˘



1.4.1



1.5



H`

am arg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.1

1.5.2

1.5.3



1.6



1.1



95



T´ınh liˆen tu.c cu’a h`

am arg z . . . . . . . . . . . . . 95



o´ gia cu’a acgumen do.c theo du.`

o.ng cong . . . . . 96

Nh´

anh do.n tri. liˆen tu.c cu’a h`

am arg z . . . . . . . 98



B`

ai tˆ

a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



100



o´ ph´

u.c, m˘

a.t ph˘

a’ng ph´

u.c



a.p ho..p sˆ



`ong

Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´

u.c c´o hai cˆa´u tr´

uc: cˆa´u tr´

uc da.i sˆo´ cu’a mˆo.t tru.`

o.ng v`a dˆ

`eu,

uc tˆopˆo cu’a mˆo.t khˆ

ong gian (khˆong gian Euclide hai chiˆ

th`o.i n´o c´o cˆa´u tr´



Chu.o.ng 1. M˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c v`a h`am biˆe´n ph´

u.c



12



u.c c´o ca’ t´ınh chˆa´t da.i sˆo´ lˆa˜ n



u.c l`a m˘a.t ph˘a’ng). Do d´o tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ ph´

t´ınh chˆa´t tˆopˆo. Trong mu.c n`ay ta s˜e nghiˆen c´

u.u c´ac t´ınh chˆa´t da.i sˆo´ cu’a tˆa.p

u.c.

ho..p sˆo´ ph´



1.1.1



- i.nh ngh˜ıa sˆ

D

o´ ph´

u.c



Ta x´et phu.o.ng tr`ınh

x2 + 1 = 0.

R˜o r`ang l`a phu.o.ng tr`ınh n`ay khˆong c´o nghiˆe.m thuˆo.c R v`ı x2 +1 1, ∀ x ∈ R.

`e tu.. nhiˆen d˘a.t ra l`a t`ım mˆo.t tˆa.p ho..p (ta k´

y hiˆe.u l`a C) tho’a

Do d´o mˆo.t vˆa´n dˆ

`eu kiˆe.n sau dˆay:

m˜an c´ac diˆ

1. C l`a mˆo.t tru.`o.ng;

2. R ⊂ C;

3. Phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0 c´o nghiˆe.m trong C.

V`ı tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ thu..c R l`a mˆo.t tˆa.p ho..p con cu’a C nˆen khi x´ac di.nh c´ac

`an d`oi ho’i r˘`ang khi ´ap du.ng cho

u.c ta cˆ

ph´ep t´ınh sˆo´ ho.c co. ba’n trˆen c´ac sˆo´ ph´

c´ac sˆo´ thu..c c´ac ph´ep to´an d´o du.a la.i kˆe´t qua’ nhu. kˆe´t qua’ thu du.o..c trong sˆo´

ho.c c´ac sˆo´ thu..c. M˘a.t kh´ac, nˆe´u ta mong muˆo´n c´ac sˆo´ ph´

u.c c´o nh˜

u.ng u

´.ng

`e cu’a gia’i t´ıch th`ı ta cˆ

`an d`oi ho’i r˘`ang c´ac ph´ep to´an co.

du.ng trong c´ac vˆa´n dˆ

`e thˆong thu.`o.ng cu’a sˆo´ ho.c c´ac

ba’n du.o..c du.a v`ao d´o pha’i tho’a m˜an c´ac tiˆen dˆ

sˆo´ thu..c.

- i.nh ngh˜ıa 1.1.1. Mˆo˜ i c˘a.p sˆo´ thu..c c´o th´

D

u. tu.. (a, b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o..c

go.i l`a mˆo.t sˆ

o´ ph´

u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho..p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe. b˘a`ng nhau, ph´ep

`e) sau dˆay:

cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o..c du.a v`ao theo c´ac di

.nh ngh˜ıa (tiˆen dˆ



a = c

I.

(a, b) = (c, b) ⇔

b = d.

def

II. Ph´ep cˆ

o.ng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 1 v`a c˘a.p (a + c, b + d) du.o..c

go.i l`a tˆ

o’ng cu’a c´ac c˘a.p (a, b) v`a (c, d).

1



´t cu’a t`

Def. l`

a c´

ach viˆe´t t˘

a

u. tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa)



1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´

u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c



13



def



III. Ph´ep nhˆ

an: (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) v`a c˘a.p (ac − bd, ad + bc)

.

.

du o. c go.i l`a t´ıch cu’a c´ac c˘a.p (a, b) v`a (c, d).

`ong nhˆa´t v´o.i sˆo´ thu..c a, ngh˜ıa l`a

IV. C˘a.p (a, 0) du.o..c dˆ

def



(a, 0) ≡ a.

Tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ ph´

u.c du.o..c k´

y hiˆe.u l`a C.

`eu du.o..c ph´at biˆe’u b˘a`ng ngˆon

`an cu’a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´

u.c dˆ

Nhu. vˆa.y mo.i phˆ

ung.

ng˜

u. sˆo´ thu..c v`a c´ac ph´ep to´an trˆen ch´

`e dˆ

`au thu..c chˆa´t l`a di.nh ngh˜ıa c´ac kh´ai

Trong di.nh ngh˜ıa n`ay ba tiˆen dˆ

u.c.

niˆe.m kh´ac nhau: di.nh ngh˜ıa kh´ai niˆe.m b˘a`ng nhau, tˆo’ng v`a t´ıch c´ac sˆo´ ph´

`e d´o v´o.i nhau s˜e khˆong dˆ˜a n dˆe´n bˆa´t c´

Do d´o viˆe.c dˆo´i chiˆe´u c´ac tiˆen dˆ

u. mˆau

`eu duy nhˆa´t c´o thˆe’ gˆay ra dˆoi ch´

`e IV. Vˆa´n

ut lo nga.i l`a tiˆen dˆ

thuˆa˜ n n`ao. Diˆ

`e l`a o’. chˆ˜o : vˆo´n d˜ı c´ac kh´ai niˆe.m b˘a`ng nhau, tˆo’ng v`a t´ıch c´ac sˆo´ thu..c c´o y

´



.

.

ngh˜ıa ho`an to`an x´ac di.nh v`a do d´o nˆe´u c´ac kh´ai niˆe.m n`ay khˆong tu o ng th´ıch

`e cˆa.p dˆe´n trong c´ac tiˆen dˆ

`e I - III khi x´et c´ac sˆo´

u.ng kh´ai niˆe.m du.o..c dˆ

v´o.i nh˜

`e IV.

u. tiˆen dˆ

thu..c v´o.i tu. c´ach l`a c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t th`ı buˆo.c pha’i loa.i tr`

.

`an dˆo´i chiˆe´u tiˆen dˆ

`e IV v´o i c´ac tiˆen dˆ

`e I, II v`a III.

Do d´o ta cˆ

1) I - IV. Gia’ su’. hai sˆo´ thu..c a v`a b b˘a`ng nhau nhu. nh˜

u.ng c˘a.p da.ng

`ong nhˆa´t v´o.i ch´

`e I ta c´o

ung: (a, 0) = (b, 0). Khi d´o theo tiˆen dˆ

d˘a.c biˆe.t dˆ

.

ung b˘`ang nhau theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng.

(a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b, t´

u c l`a nˆe´u ch´

`e II, tˆo’ng hai sˆo´ thu..c a v`a c du.o..c x´et nhu. nh˜

u.ng

2) II - IV. Theo tiˆen dˆ

`e

c˘a.p (a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a`ng c˘a.p (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0). Nhu.ng theo tiˆen dˆ

.

IV th`ı (a + c, 0) ≡ a + c. Nhu vˆa.y

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0) ≡ a + c

`ong nhˆa´t b˘`ang tˆo’ng a + c theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng.



u.c l`a dˆ

`e III, t´ıch c´ac sˆo´ thu..c a v`a b du.o..c x´et nhu. nh˜

u.ng

3) III - IV. Theo tiˆen dˆ

c˘a.p (a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘`ang c˘a.p

(ac − 0 · 0, a · 0 + 0 · c) = (ac, 0)



Chu.o.ng 1. M˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c v`a h`am biˆe´n ph´

u.c



14



`e IV ta c´o (ac, 0) ≡ ac. Nhu. vˆa.y

v`a theo tiˆen dˆ

(III)



(IV )



(a, 0)(c, 0) = (ac, 0) = ac

`ong nhˆa´t b˘`ang t´ıch a v´o.i c theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng.



u.c l`a dˆ

`e IV tu.o.ng th´ıch v´o.i c´ac tiˆen dˆ

`e I, II v`a III.

Nhu. vˆa.y tiˆen dˆ

´ cˆong th´

u.c sau dˆay du.o..c suy tru..c tiˆe´p t`

u. III v`a IV:

Ta c˜

ung lu.u y

m(a, b) = (ma, mb),



m ∈ R.



Thˆa.t vˆa.y t`

u. IV v`a III ta c´o

m(a, b) = (m, 0)(a, b) = (ma − 0 · b, mb + 0 · a)

= (ma, mb).

Nˆe´u m ∈ N th`ı theo II ta c´o

(a, b) + (a, b) = (2a, 2b);

(2a, 2b) + (a, b) = (3a, 3b), . . .



u.c l`a (ma, mb) l`a kˆe´t qua’ cu’a ph´ep cˆo.ng liˆen tiˆe´p m sˆo´ ha.ng b˘a`ng (a, b).

`eu d´o ph`

u ho..p v´o.i biˆe’u tu.o..ng thˆong thu.`o.ng l`a ph´ep nhˆan v´o.i sˆo´ tu.. nhiˆen

Diˆ

´.ng v´o.i ph´ep cˆo.ng m sˆo´ ha.ng b˘a`ng nhau.

tu.o.ng u

˜e d`ang thˆa´y r˘`ang c´ac tiˆen dˆ

`e II v`a III l`a tu.o.ng th´ıch v´o.i nhau v`a c´ac



quy luˆa.t thˆong thu.`o.ng cu’a c´ac ph´ep t´ınh thu..c hiˆe.n trˆen c´ac sˆo´ vˆ˜a n du.o..c

ba’o to`an khi chuyˆe’n sang sˆo´ ph´

u.c (du.o.ng nhiˆen pha’i c˘´at bo’ mo.i quy luˆa.t c´o

quan hˆe. t´o.i dˆa´u >).

- i.nh ngh˜ıa 1.1.2. Gia’ su’. z = (a, b) ∈ C. Khi d´o sˆo´ ph´

u.c (a, −b) du.o..c go.i

D

u.c z v`a du.o..c k´

y hiˆe.u l`a z:

l`a sˆ

o´ ph´

u.c liˆen ho..p v´o.i sˆo´ ph´

z = (a, −b).

Ta c´o di.nh l´

y sau dˆay:



1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´

u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c



15



- i.nh l´

`eu kiˆe.n:

a.p th`

anh mˆ

o.t tru.`

o.ng tho’a m˜

an c´

ac diˆ

D

y 1.1.1. Tˆ

a.p ho..p C lˆ

1. C ⊃ R;

`an tu’. i n`

`an tu’. i v´

o.i t´ınh chˆ

a´t i2 = −1; phˆ

ay du.o..c go.i l`

a

2. C ch´

u.a phˆ

.

do n vi. a’o.

`an tu’. do.n vi. cu’a C l`a c˘a.p

Ch´

u.ng minh. 1. C l`

a mˆ

o.t tru.`

o.ng. Hiˆe’n nhiˆen, phˆ

`an tu’. (1, 0) v`ı r˘`ang (a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b); v`a phˆ

khˆong cu’a C l`a c˘a.p (0, 0) v`ı r˘a`ng (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).

`an kiˆe’m nghiˆe.m su. tˆ

`on ta.i phˆ

`an tu’.

Dˆe’ ch´

u.ng to’ C l`a mˆo.t tru.`o.ng ta chı’ cˆ

`e c`on la.i dˆo´i v´o.i mˆo.t tru.`o.ng l`a hiˆe’n

nghi.ch da’o (viˆe.c kiˆe’m nghiˆe.m c´ac tiˆen dˆ

nhiˆen). Gia’ su’. z = (a, b) = (0, 0) (t´

u.c l`a a2 + b2 > 0). Ta s˜e t`ım z = (a , b )

sao cho

(a, b)(a , b ) = (1, 0).

T`

u. I v`a III suy ra

aa − bb = 1,

ba + ab = 0.

T`

u. d´o r´

ut ra a =



a

b

,

b

=



. Nhu. vˆa.y

a2 + b2

a2 + b2

z =



a

b

,

,



a2 + b2

a2 + b2



v`a r˜o r`ang l`a

a

b

,− 2

2

+b

a + b2

−ab + ab

a2 + b2

,− 2

= (1, 0).

=

2

2

a +b

a + b2

`e sau phˆ

`an tu’. nghi.ch da’o z cu’a z thu.`o.ng du.o..c k´



y hiˆe.u l`a z −1 .

˜e d`ang thˆa´y r˘`ang tˆa.p ho..p R =

2. R ⊂ C. X´et c´ac c˘a.p da.ng (a, 0). Dˆ

u. R v`ao R

{(a, 0), a ∈ R} lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng con cu’a C. Ta x´et ´anh xa. t`

z · z = (a, b)



a2



a → (a, 0).



Chu.o.ng 1. M˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c v`a h`am biˆe´n ph´

u.c



16



`ong th`o.i

Hiˆe’n nhiˆen r˘`ang nˆe´u (a, 0) = (a , 0) th`ı a = a v`a ngu.o..c la.i, dˆ

a + b → (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0),

ab → (ab, 0) = (a, 0)(b, 0).

Do d´o ´anh xa. v`

u.a x´et l`a mˆo.t d˘a’ng cˆa´u gi˜

u.a R v`a R v`a ph´ep d˘a’ng cˆa´u n`ay

cho ph´ep ta xem R nhu. l`a mˆo.t tru.`o.ng con cu’a C.

`an tu’. i

3. Phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0 c´o nghiˆe.m trong C, t´

u.c l`a C ch´

u.a phˆ

m`a i2 = −1.

Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. x = (a, b) ∈ C. Khi d´o trong C phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0

c´o da.ng:

(a, b)(a, b) + (1, 0) = (0, 0),

hay l`a

a2 − b2 + 1 = 0,

2ab = 0.

T`

u. d´o r´

ut ra a = 0, b = 1 v`a a = 0, b = −1. Ta k´

y hiˆe.u hai nghiˆe.m d´o l`a

i = (0, 1) v`a −i = (0, −1).



1.1.2



Da.ng da.i sˆ

o´ cu’a sˆ

o´ ph´

u.c



Ta c´o di.nh l´

y sau dˆay

- .inh l´

˜e n du.´

`eu c´

D

y 1.1.2. Mo.i sˆ

o´ ph´

u.c z = (a, b) ∈ C dˆ

o thˆe’ biˆe’u diˆ

o.i da.ng

z = (a, b) = a + ib.

Ch´

u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o

z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + ib.

˜e n sˆo´ ph´

Ph´ep biˆe’u diˆ

u.c z = (a, b) du.´o.i da.ng a + ib du.o..c go.i l`a da.ng da.i

`an thu..c cu’a sˆo´ ph´

u.c



o´ hay da.ng Descartes cu’a sˆo´ ph´

u.c. Sˆo´ a du.o..c go.i l`a phˆ



1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´

u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c



17



`an a’o cu’a n´o v`a k´

y hiˆe.u l`a

z v`a k´

y hiˆe.u l`a a = Re [z], sˆo´ b du.o..c go.i l`a phˆ

2

b = Im [z].

Nˆe´u z = Re [z] th`ı z l`a mˆo.t sˆo´ thu..c. Nˆe´u z = iIm [z] th`ı z l`a mˆo.t sˆ



.

.

.

.

`an

`an a’o. V´o i quan diˆe’m c´ac ph´ep to´an trong tru `o ng c´ac sˆo´ ph´

u c, sˆo´ thuˆ

thuˆ

u.c

a’o bi c´o thˆe’ hiˆe’u nhu. l`a t´ıch cu’a sˆo´ thu..c b v´o.i do.n vi. a’o i v`a mˆo˜ i sˆo´ ph´

`an a’o ib.

a + ib nhu. l`a tˆo’ng cu’a sˆo´ thu..c a v´o.i sˆo´ thuˆ

.

.

u c n`ay ta d˜a su’. du.ng c´ac k´

y hiˆe.u c´o

Do d´o trong c´ach xˆay du. ng sˆo´ ph´

u.c do k´

y

mˆo.t y

´ ngh˜ıa ho`an to`an cu. thˆe’ v`a v`ı thˆe´ tr´anh du.o..c t´ınh h`ınh th´

.

hiˆe.u do n vi. a’o i mang la.i.



e. qua’. Gia’ su’. z = a + ib ∈ C. Khi d´

o sˆ

o´ ph´

u.c liˆen ho..p z c´

o thˆe’ biˆe’u diˆen

o.i da.ng z = a − ib.

du.´

u.c d˜a cho sang sˆo´ ph´

Ph´ep chuyˆe’n t`

u. sˆo´ ph´

u.c liˆen ho..p v´o.i n´o du.o..c go.i l`a

ph´ep lˆ

a´y liˆen ho..p.

- i.nh l´

D

y 1.1.3. Gia’ su’. z, z1 v`

a z2 ∈ C. Khi d´

o

1.

z1 + z2 = z 1 + z2 ;

z1z2 = z 1 · z2 , αz = αz, ∀ α ∈ R;

2.

z = z.

3.

Ch´

u.ng minh. 1. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2. Khi d´o

z1 + z2 = (a1 + a2) − i(b1 + b2 )

= (a1 − ib1) + (a2 − ib2) = z 1 + z2 .

2. Tu.o.ng tu..

z1z1 = (a1 a2 − b1b2 ) − i(a1b2 + a2 b1)

= (a1 − ib1)(a2 − ib2) = z1 · z 2 .

3. Hiˆe’n nhiˆen.

´t c´

ap Reel (thu..c) v`

a



ac k´

y hiˆe.u Re v`

a Im xuˆ

a´t hiˆe.n do viˆe.c viˆe´t t˘

a

ac t`

u. tiˆe´ng Ph´

Imaginaire (a’o)

2



Chu.o.ng 1. M˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c v`a h`am biˆe´n ph´

u.c



18



ung v´o.i sˆo´ liˆen ho..p v´o.i n´o khi v`a chı’ khi n´o l`a sˆo´ thu..c.

Mˆo.t sˆo´ ph´

u.c tr`

˜e thˆa´y ´anh xa. t`

u.c v`ao tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ ph´

u.c



u. tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ ph´

liˆen ho..p v´o.i ch´

ung:

C



z→z∈C



l`a mˆo.t tu.. d˘a’ng cˆa´u cu’a C (Ba.n do.c h˜ay tu.. kiˆe’m tra !).



1.1.3



a ph´

ep chia sˆ

o´ ph´

u.c

Ph´

ep tr`

u. v`



C´ac ph´ep to´an tr`

u. v`a chia du.o..c di.nh ngh˜ıa nhu. c´ac ph´ep to´an ngu.o..c v´o.i

ph´ep cˆo.ng v`a nhˆan. Dˆo´i v´o.i ph´ep tr`

u. ta c´o

- i.nh l´

`on ta.i mˆ

D

y 1.1.4. Gia’ su’. z1 v`

a z2 ∈ C. Khi d´

o tˆ

o.t v`

a chı’ mˆ

o.t sˆ

o´ ph´

u.c

a z = (−z1 ) + z2.

z sao cho z1 + z = z2 , cu. thˆe’ l`

Ch´

u.ng minh. 1. Ta c´o z1 + ((−z1) + z2) = (z1 + (−z1)) + z2 = 0 + z2 = z2

v`a nhu. vˆa.y z = (−z1) + z2 tho’a m˜an d`oi ho’i cu’a di.nh l´

y.

.

.

u. d´o

2. Ngu o. c la.i, nˆe´u z1 + z = z2 th`ı (−z1) + (z1 + z) = (−z1) + z2. T`

u.ng minh.

y du.o..c ch´

z = (−z1) + z2 v`a nhu. vˆa.y di.nh l´

u.c z2 v`a z1. Thˆong

Sˆo´ ph´

u.c z = (−z1) + z2 du.o..c go.i l`a hiˆe.u cu’a c´ac sˆo´ ph´

y hiˆe.u l`a

thu.`o.ng hiˆe.u d´o du.o..c k´

z = z2 − z1,

v`a nˆe´u z1 = a1 + ib1, c`on z2 = a2 + ib2 th`ı

z = z2 − z1 = (a2 − a1) + i(b2 − b1 ).

Dˆo´i v´o.i ph´ep chia ta c´o

- i.nh l´

`on ta.i mˆ

D

y 1.1.5. Gia’ su’. z1 v`

a z2 ∈ C, z2 = 0. Khi d´

o tˆ

o.t v`

a chı’ mˆ

o.t

−1

.

a: z = z2 z1 .



o´ ph´

u c z sao cho z2z = z1 , cu. thˆe’ l`

Ch´

u.ng minh. 1. Nˆe´u z = z2−1 z1 th`ı z2 z = z2 (z2−1 z1) = z1.

2. Nˆe´u z2 z = z1 ⇒ z = z2−1 (z2 z) = z2−1 z1 .



1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´

u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c



19



Nhu. vˆa.y sˆo´ z2−1 z1 l`a thu.o.ng cu’a ph´ep chia z1 cho z2.

z1

y hiˆe.u l`a

ho˘a.c z1/z2 .

Sˆo´ thu.o.ng thu.`o.ng du.o..c k´

z2

Gia’ su’. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´o ta c´o thˆe’ viˆe´t:

z=



z1

z1 · z2

(a1 + ib1)(a2 − ib2)

=

=

z2

z2 · z2

a22 + b22

a1a2 + b1b2

a2b1 − a1b2

=

+i

·

2

2

a2 + b2

a + 22 + b22



Nhu. vˆa.y

z=



a1a2 + b1b2

a2b1 − a1b2

+i 2

·

2

2

a2 + b2

a2 + b22



u.c z = 0 bˆa´t k`

y l`a luˆon luˆon thu..c

V`a t`

u. d´o suy ra r˘`ang ph´ep chia cho sˆo´ ph´

hiˆe.n du.o..c.



1.1.4





a.t ph˘

a’ng ph´

u.c



Gia’ su’. trˆen m˘a.t ph˘a’ng R2 cho hˆe. to.a dˆo. Descartes vuˆong g´oc xOy. Nhu. d˜a

biˆe´t, hai diˆe’m du.o..c x´ac di.nh bo’.i c´ac to.a dˆo. Descartes vuˆong g´oc tr`

ung nhau

khi v`a chı’ khi ch´

ung c´o ho`anh dˆo. b˘a`ng nhau v`a tung dˆo. b˘a`ng nhau. Do d´o

´.ng do.n tri. mˆo.t - mˆo.t gi˜

u.a c´ac diˆe’m cu’a

ta c´o thˆe’ x´ac lˆa.p mˆo.t ph´ep tu.o.ng u

u.c z = x + iy ∈ C s˜e

u.c cu’a C, trong d´o mˆ˜o i sˆo´ ph´

m˘a.t ph˘a’ng R2 v´o.i c´ac sˆo´ ph´

´.ng v`o.i diˆe’m ho`an to`an x´ac di.nh M(x, y) ∈ R2 v`a ngu.o..c la.i mˆo˜ i diˆe’m

tu.o.ng u

´.ng v´o.i sˆo´ ph´

u.c ho`an to`an x´ac di.nh z = x + iy ∈ R2 .

M(x, y) ∈ R2 s˜e tu.o.ng u

´.ng

Nhu. vˆa.y ph´ep tu.o.ng u

R2



(x, y) → x + iy ∈ C



˜e n

`eu c´o thˆe’ biˆe’u diˆ

u. d´o ta thˆa´y r˘`ang mo.i sˆo´ ph´

l`a do.n tri. mˆo.t - mˆo.t. T`

u.c dˆ

.

.

.

.

u “sˆ

o´ ph´

u c z” v`a “diˆe’m z”

bo’ i diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng v`a nhu vˆa.y c´ac thuˆa.t ng˜

`ong ngh˜ıa.

ung nhu. nh˜

u.ng t`

u. dˆ

du.o..c d`

- i.nh ngh˜ıa 1.1.3. M˘a.t ph˘a’ng v´o.i ph´ep tu.o.ng u

´.ng do.n tri. mˆo.t - mˆo.t

D

R2



(x, y) → x + iy ∈ C



20



Chu.o.ng 1. M˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c v`a h`am biˆe´n ph´

u.c



a.t ph˘

a’ng ph´

u.c v`a c˜

ung du.o..c k´

y hiˆe.u l`a C.

nhu. d˜a mˆo ta’ o’. trˆen du.o..c go.i l`a m˘

o du.o..c d`

ung

C´o thˆe’ n´oi mˆo.t c´ach kh´ac: m˘

a.t ph˘

a’ng m`

a c´

ac diˆe’m cu’a n´

.

.

.

.

.

.



a m˘

a.t ph˘

ang ph´

u c. C´ac sˆo´ thu. c du o. c mˆo ta’ bo’ i c´ac

dˆe’ mˆ

o ta’ sˆ

o´ ph´

u c go.i l`

.

.

`an a’o du.o..c

diˆe’m trˆen tru.c Ox nˆen tru.c d´o du o. c go.i l`a tru.c thu..c. C´ac sˆo´ thuˆ

mˆo ta’ bo’.i c´ac diˆe’m trˆen tru.c Oy nˆen tru.c Oy du.o..c go.i l`a tru.c a’o.

`an thu..c v`a phˆ

`an a’o

´.ng gi˜

u.a c´ac phˆ

Ta c˜

ung c´o thˆe’ x´ac lˆa.p ph´ep tu.o.ng u

.

.

.

.

cu’a sˆo´ ph´

u c v´o i c´ac to.a dˆo. cu’a vecto v´o i gˆo´c, ch˘a’ng ha.n, ta.i gˆo´c to.a dˆo.. Su..

´.ng gi˜

u.a c´ac sˆo´ ph´

u.c v`a c´ac vecto. trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c v´o.i gˆo´c ta.i

tu.o.ng u

u.c z c`on c´o thˆe’

O l`a mˆo.t ph´ep tu.o.ng u

´.ng do.n tri. mˆo.t - mˆo.t. Do d´o sˆo´ ph´

˜e n bo’.i mˆo.t vecto. v´o.i gˆo´c ta.i O v`a dˆ

`au m´

biˆe’u diˆ

ut ta.i diˆe’m z v`a ta c´o thˆe’ su’.

`ong ngh˜ıa.

du.ng thuˆa.t ng˜

u. “sˆ

o´ ph´

u.c z” v`a “vecto. z” nhu. nh˜

u.ng thuˆa.t ng˜

u. dˆ

`e m˘a.t h`ınh ho.c ta c´o thˆe’

u.c, vˆ

Nh`o. c´ach minh ho.a vecto. dˆo´i v´o.i c´ac sˆo´ ph´

.

.

.

u c´ac sˆo´ ph´

u c theo c´ac quy t˘´ac cˆo.ng v`a tr`

u. c´ac

thu. c hiˆe.n ph´ep cˆo.ng v`a tr`

vecto..



1.1.5





odun v`

a acgumen cu’a sˆ

o´ ph´

u.c



˜e n sˆo´ ph´

Bˆay gi`o. ta x´et c´ac to.a dˆo. cu..c cu’a diˆe’m biˆe’u diˆ

u.c z b˘a`ng c´ach cho.n

`an du.o.ng cu’a tru.c thu..c l`am tru.c cu..c.

gˆo´c to.a dˆo. l`am gˆo´c-cu..c v`a phˆ

`om c´o b´an k´ınh vecto. cu’a n´o (b˘a`ng

Nhu. ta biˆe´t, c´ac to.a dˆo. cu..c cu’a diˆe’m gˆ

khoa’ng c´ach t`

u. diˆe’m z dˆe´n gˆo´c cu..c) v`a g´oc cu..c ta.o nˆen bo’.i hu.´o.ng du.o.ng

cu’a tru.c cu..c v`a vecto. di t`

u. cu..c dˆe´n diˆe’m z.

- i.nh ngh˜ıa 1.1.4. Dˆo. d`ai cu’a b´an k´ınh-vecto. cu’a diˆe’m biˆe’u diˆ

˜e n sˆo´ ph´

u.c

D

u.c v`a k´

odun cu’a sˆo´ ph´

y hiˆe.u l`a |z|.

z du.o..c go.i l`a mˆ

R˜o r`ang l`a nˆe´u z = a + ib th`ı



|z| =



zz = (a2 + b2)1/2.



Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´

u.c z ∈ C bˆa´t k`

y mˆodun cu’a n´o x´ac di.nh mˆo.t c´ach do.n tri..

ung v´o.i gi´a tri. tuyˆe.t

Trong tru.`o.ng ho..p khi z l`a sˆo´ thu..c th`ı mˆodun cu’a z tr`

dˆo´i cu’a n´o.



1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´

u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´

u.c



21



- i.nh l´

o c´

ac t´ınh chˆ

a´t sau dˆ

D

y 1.1.6. Mˆ

odun cu’a sˆ

o´ ph´

u.c z c´

ay:

1.

|z| 0, |z| = 0 ⇔ z = 0;

2.

|z1z2 | = |z1| |z2 |,

a´t d˘

a’ng th´

u.c tam gi´

ac).

3. |z1 + z2 | |z1| + |z2| (bˆ

u. di.nh ngh˜ıa.

Ch´

u.ng minh. 1. Du.o..c suy t`

2. Ta c´o |z1z2|2 = z1 z2 · z1z2 = z1z 1 · z2z 2 = |z1|2 |z2|2 . Do d´o |z1 z2| =

|z1| |z2|.

3. Ta c´o

|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = |z1 |2 + |z2 |2 + 2Re(z1z 2 ).

Do d´o, dˆe’ y

´ dˆe´n bˆa´t d˘a’ng th´

u.c

−|z1z2|



Re(z1z 2 )



|z1z2 |



ta suy ra

|z1 + z2 |2



|z1|2 + |z2|2 + 2|z1 z2| = (|z1|2 + |z2|2)2



th`anh thu’.

|z1 + z2|



|z1 | + |z2|



Nhˆ

a.n x´et. T`

u. di.nh l´

y v`

u.a ch´

u.ng minh suy ra r˘a`ng

|z1 − z2| = d(z1, z2)

l`a khoa’ng c´ach gi˜

u.a hai diˆe’m z1 v`a z2 v`a da.i lu.o..ng |z| l`a dˆo. d`ai cu’a b´an

k´ınh-vecto. z.



e. qua’

a) |z1 − z2 |

b) |z1 + z2 |

c) |z1 − z2|

d) |z1 + z2 |

e) |z1 − z2|



|z1| + |z2|;

|z1| − |z2|;

|z1 | − |z2 |;

|z1| − |z2| ;

|z1| − |z2| .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 1. Mặt phẳng phức và hàm biến phức

Tải bản đầy đủ ngay(567 tr)

×