Tải bản đầy đủ - 74 (trang)
\$2. VỀ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TỔNG QUÁT SUY RỘNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH (1) VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHÚNG

# \$2. VỀ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TỔNG QUÁT SUY RỘNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH (1) VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHÚNG

Tải bản đầy đủ - 74trang

- 7^ uOi =

i X : 1 X - :^lj 4
1

;

^

l a h?.ng s6 duvng-^. Cho ti-rc'c

x^ I s xSp : d ban :*Su -^i gSn x * . x^u dyng cac d^nli ngh'ia ve t y

se.i phfxn suy rvng tdng q u a t cWo t o a n t'> da t r i n h bay o-

§ 1,

t a xSy dv*ng mgt s8 phiiwng phap l^v-p sau ddy s

TTgi dun^^ cac PhiTcyn.^ Phap va c6c ^tJA?^ l y y§ t S c ^g hgi tyi.

a/ i'ru'o^ng hg^) k = 1 .

Xu3\; p h S t tu phen t»> x ^ , t a yS.y d'^Jng ph!ln vJ :

(2.1)

x° =

x^ f

MAx^ ,

Xet t y s a l phen bgc hex

(2.2)

ACx, X?, x^; f )

-

A(x, X? ? y )

o

A ( x , x ° , x ^ ; <^ )

f . (x) -

f^(x)

f.,(x) ^

A(x^, x°5 f )

^,^(x).

D'/a vao ( 1 . 1 ) tu' ( 2 . 2 ) suy r e :

(2.5)

Ax = . ^

+ A(x^, x° ; f

) ^^(x)

+ A(x, x^^ x ^ ; f

^ay

li*>

(2.4)

) ^f^(x)

+

^^(x).

:

Ax - Ax^ ^ A(x?, x ^ ^ ) ^ , - ( x ) - A ( : : ^ , x ° ; ^. ) ^; , j ( x ° )

+ A(x?, x ^ ; f ) f ^ ( x ^ ) + A(x, x ^ . x ^ ( H f o^-^> f 1 ^^^)J);'a vao ''»-inh n g h i a ( 1 . 1 ) § 1 chu^o^ng I va ( 1 . 1 ) , tu' ( 2 . 4 )

suy r a :

(2.:^)

AX = Ax° f A ( x ° , r r ^ i f ) f . , ( x , x ° ) ( x - x « )

+ A(x, >f, x ° ; f ) c^^(x)

2h5 nhr-tig s

.i^(r).

v

- 51 (2.6)

i r ^ ^ ( x , x°) - f , , ( x ° , x ° ) 7 (x - x ^ ) =

=

q ' , ( x , >:^, x°)

(x - x ° ) (y. - x°)

Do do :

(2.7)

(fA::, x°) (x - x ° ) = f . ( 4 , x") 0 . - .:°)

^

//)

/

O

0\

^

0>

/

>

ON

+ ^^(^> x^, X ; u^ - X ; vx - : J ^ ; ,

t??ong do

4^1 ^'^o» ^ ' • • • » ^-.^ 1^^ ty oai phan b^c j cua ham

^i(x).

Thay (2.7) vao (2.5) ta '^(^c :

(2.S) Ax = Ax^ f K x ^ , x ^ f ) q^iz:^,

^- A(x^, x ^ ^ )

x^) (x - x^) +

^f^(x, .:^, x ° ) ( : : - x ^ ) ( x - x ^ ) +

+ A(x, x^, x^; f ) ^ ^ ( x )

f,(x).

Xap x i Ax bang da th'^c QQ(X) :

( 2 . 9 ) Ax ^

QQ(X) = Ax^ + A(x^, x^; / )

; ^ ( x ° , x°) (x - x^)

Gia su* ''.^^(x ) - G \*a ton t ? i cac tear, ti? nghich dao

A" (x^, x^; j ) va

•J^Ux?, x ^ ) , tir (2.9) ta suy ra :

x'' = x^ -- ^ A ( x ^ ^ x^; 7 ) ^ ; . ( x ? , x^) 7 "^ Ax^

C?5ng cu5t, nS^-' tr- r^^.t :

r"-*in'i

^-^

-

---"^ +

•T-/ ^•^-^

Tl =

o

-^ '^

t h i ly luCn hoar, toan tu'crig t^' n^-ir t r e n t a as nh^n :

(2.11) Ax = k'jX' + A(x^, x ^ f ) ^\(yXl,

^ A(x^, x ^

-

x^-) (>: - 2;^-) +

f ) f ^ ( x , x^, x^) (x - x^) (x - x^)

- P2 va J

(2.12)

~^^'^'^ ^

-CAi^,

x ^ ^ ) ^ . , ( 4 , :-:'')7"^ '^x^\

n= 0,1,2,...

Tx^ccng hg^ -^^^c b i ^ t , neu

^--f^C^) = (x - :cj) t h i t;> (2.12) ta

se nhg.n qua t r i n h li^p t'/a Aitlccnctephenxen trong £"15_7; ^^eu

^^(x) = (x - x^) va xj = 2 x^' - x ° , trong do x ^ v i x^ l a h a i

phan tu' ban dau lay du gan nhau va r^n gan x' , t h i t ^ (2.12) t a

sc nh'Jn qua t r i n h l\$p ci\a

C'^^^^J-

Sy hgi tv Clia qua t r i n h 1-Jp (2.12) du*g'c the hi^^n b -^inh

l y sau dixy :

^nh ly 2 ^ .

Gia BU :

1^/ v5n t ^ i cac toan ti> r^^hich dao irA(x^, x^; ^

rf^(x^, x^)^"^

2^/

uC2n=

va / / A - \ x 3 ^ , x ^ f ) // ^

/ ' f . ( x ) //

^

)7''^,

B, /7ff^ ( 4 , x ^ ^ ) / K ^ -

/ / x * - x^"^//,

t:rx)ng d5 :

1^ • / / x - . ^ V 7 <: (1 + j M L . ) / / x ^ - : . ^ / / J O L^Z/ ,

con I^ l a mgt d?i li^g'ng duxi'ng gio'i ngi di^g'c xac dinh c ^lou

^

k i ^ n t i e p theo.

iP/ / A ( x . , X. ) / / , ^

^•1

^ci ^^n

iJ

'

;

//A(x^^, xi^; f ) / /

L., = nax (7,\, L^); // A(xi^ , x^^,

^i^;^)//^

// fi(xi^, :cj2, XiJ / ^

,^: i" ,

<

Lp,

,^ ^ ^ .

_ 53 4 ° / Cac hang s6 B,iB

, L^ , T'2'-^-2 ^^°^ ^'^^ ^^'^ ^ ^ ^

thi5c :

Khi *6 qua trini- l^p (2.12) ce hyi tv to'i ns^ipni x* cj.a phirc^ng

t r i n h ( 1 ) . T3C -^g '^oi ty ''^uvc cT^nh cia ^ang bSt '^ani;; tt^u'-c :

(2.13)

// X* - x^'-'^ //

^

P^//y^

- x " //^ .

QhiJRg a i s h

De danii' c'-'-'ng luinn duyc rang

TIP dien Iri^^n 1 ° /

y x ^ £ii2(j^i

(i = o , l ) .

cua dinh ly ta suy ro r^.ng toan tv? nghich dao

/f A ( 4 , x^-; (( ) ^f^(x^, x-^) J " ^ tSn t ? i va

// C A ( 4 , x"j ^ ) f ^ ( 4 , x^') 7"- // -• • B ^ .

'=

Djit X = x*",

(2.14)

t'J- (2.11) suy ra :

Ax"= - A ( 4 , x ^ ; p

t|.(x3?~, x-^0 (>:* - x'^') -

- A ( x f . x^^;f ) ^ ^ ( x * , x^.^, X-) (x^-x^') ( . : ^ - 4 )

- A ( x ^ . x^, x ^ ; / )

/;(x*)

'/',(^).

I'T"*? x^ vao ca 1^3i vo (2.12) ta nh§-n :

(2.15) x^^'^- x^ = :c^- x ^ - r . A ( 4 , x ^ ; f ) f ^ ( 4 , ^)

J-^

Ax"

I>\;a vao (2.14) va cac diou kipn 2 ° / , 3 ° / cua dinh l y ,

ti> (2.15) suy ra :

(2.17) // x ^ " ' ' - ^

// ^

B ^ ^ 2 ^1 // ^ - ^''^''•^' ^^ --^ - 4

+ I^ B 3 / / x * - x ^ / / ^ .

// ^

- 54 Thg nh'j'nG. ti" (2.10) suy ra :

4

-x^=

4

- X* > x^ - x-"^ -

x^ - ^

(UAx'^,

= x:^ -- ^

-

|UAx^ - ^v Ax^,

.,- M A(x^, .:^) ( : ^ - x^)

Do do :

(2.18)

/^ x?;^ - X* ^y . 4

(1 > f t l ' i ) // ^ n - ^.± ff

Thay (2.18) vao (2.1?) vn d^a vao gia t h i e t 4 / ctia

dinh. l y , ta suy ro ( 2 . 1 3 ) . ^

l a -Heu p h a i chu'ng minh.

b) TnX^ng hg»p k = J .

?:u5t phat tu' x^, te x^y c^vng cac phSn tii :

(2.19)

x^ = x^ Y ' ' ^ ' ^ ' '

x§ = 2 x ! ? - x ^

I'^P ty s a l p'^^dn suy rgng b^v^c ba

(2.20)

x|:^2.|-xf;.

A(x2, xiz^^^ ^^

A(x?, x | . x ° , x ° ; f ) ^ , ( x ? )

= A(x?, x ° , x , ° ; ^ ) ^ - , ( x 5 ) f , , ( x ° )

y. \ ^j ) :

.1,(4) f . ( x p

=

-

- A ( x ° , xjf. x ^ ; f ) ^ ! i ( x S ) ^ ^ ( a | J .

Dv^a x-ao ( 1 . 1 ) , (1.3) tu' (2.20) ta cuy ra :

( 2 . 2 1 ) Ax| = Ax^ + A(xS, y°i(f)

f , (x°)

+

+ A ( 4 , x°, x ^ f ) f . ( x ? )

+ A(x°. x ° , x ? , x ° ; f ) ^ / ^ ( 4 ) . | 1 , ( x p . 7 1 . ( 4 )

= A ^ . A(xJ, x ° ; f ) ^ ( x p - A(x^, x^; v ) - . ^ ( x ° )

- 55 + A ( x | , 2c°;

Cf.^hX') ^ A(x°, x ° ; f )

f/x^^)

- A ( x ° , x ° ; ^ ) ^ / , ( x ' ^ ) f A ( 4 , x^, x^; f

-

)f^(x?;)f2(^-^

+ A(x;;. x^, .4, x'^f )f^(xp f^(xp V 2^^Dya vao ( I . I ) S1 Oiu'o'ng T v u T l . l ) f> ( 2 . 2 1 ) euy ra s

( 2 . 2 2 ) Axe = Ax^^ + A ( 4 , ^ , ^ ) ^^ ..(zX^, x^) ( ^

- x^)

^

+ A(x|, x^, x°; j ) / : . / . , ( x ? ) y o ( x p + Y ^ ( x ° ) ^ 2 ( ^ ° > - 7 +

^ A ( x | . x | , X?, x ^ f ) . , ^ ^ ( x ° ) ^ - . l ( x p

f2(^3>-

DoV each d^t ( 2 . 1 9 ) , t a co t h e chfn diT^'c a \$ t h^ ham ( c b a r ^ hpn

6^j_Cx) = (x - X.;) scio cho :

( 2 . 2 5 ) A(x^, x:?, x ^ ' j ) /fy , ( x ? ) < / 2 ( x 5 ) ^ ^ , ( X ' ^ ) Y ' 2 ( X ° ) 7 = 0

A(x9, 4 ,

x?, x " ; f ) ^ o ( 4 ^ ' / l ( ^ )

V2(xp

=

2

^

A r^o

...0

0

. .0. ^

^

-•'\

/

/_o

I j

o>

2

.

, '

t r o n g cro

Tl

j|

/

0

O^ . _

(xj-x^;:=

/

O

'-^

0\

U ^ - :^:c;'^ ^^5 " ^r

/

O

ON

'•^^^ - ^ ^ ) *

Di^a vao ( 2 . 2 5 ) t v ( 2 . 2 2 ) ta nhdn :

( 2 . 2 4 ) Ax^ - Ax^ + A(:c?, 4 * , ^ ) f , ( x j ,

+ A(x5. 4 ,

X?, x ^ ; p

x^^) (x? - x^) ^

(x^ - x ^ ) ( x ^ - ^ ) ( x ^

-x^)

H^t k h a c , l ^ p t y s a i p^an tong q u a t su^- rgng A(x,X2, 'r^, x ^ ; ^ ) ,

t r o n g d6 X = Xj i- ^ ^ , l y l u ^ n hoan t o a n trc^ng t v n^u' trOn t a

nh&n.

r 56 (2.25)

Ax - Ax° > A ( 4 , X?; f ) f^(x, x°) (x - x^) ^

^ A ( 4 . x°, x°}f ) / : y i ( ^ ) ^ 2 ^ ^ ) ^ f l ^ ^ ° > f 2 ( ^ ° > - 7 ^

+ A(x, x°, X?. x°; f ) ^Q(x)f,,(x) V'2^^^'

ThS nhttog :

(2.26)

T f i ( x . x°) - f^(x^, x ° ) 7 ( x - x ° ) =

= f ^ ( x , x^, x°) (x - x ° ) (x - x p .

L5y (2.26) thoy vao (2.25) ta nh§n t

(2.27) Ax = Ax°+ A(x|, x°j ^ ) ^^Uy

x*^) (x - 3°) +

+ A(3^, x°; J ) ^ ^ ( x , x^, x°) (x - x°) (x - xp *

+ A ( 4 , X?. x ^ f ) r f i ( x ) ^ ' ' 2 ( ^ ) + Y l ( x ° ) y 2 ( x ° ) 7 +

•KA(x, 4 , x°, x ° 5 f )

f o ( x ) f^(x)

f2(x).

D\?a vao (2,24) va (2.27) ta thgy re-ng vol Vx 6iXlst

j

trong d6 :

^^'^tl

= 1 x s / / A ( a ^ , 4 i f ) ^ ^ ( x , x°, x°) ( x - x ° ) I J ^.

+ A ( x | , x ° , x ° » f ) ^ f ^ ( x ) f2(=^)- f . C x ° ) f 2 ( ^ ° ) 7 / - ^

2

2

^//A(x. 4,3c?, x^iy )//rn //x^^//.n

1=0

••

*

i==o

^f.u)//jl

'

ta ee c6 J

(2.28) Ai = Ax*^ + A(3C^, x^; f )

^^"^(x^, x°) (x - x°)

+

+ A(x, 3 | , x^, x ° t f ) ( x - x ° ) ( x - x ^ ) ( x - x ^ ) .

^

X

^57

-

XSp x i Ax bUns da thiJc Qo(x) :

(2.29) A x ^ Q ^ ( x ) = Ax°»- A(2g, x^; | ) ^ ^ ( x ^ , X°) (x - x ° )

QLli s& tSn t ? i toSn ti'? n^jhich d^o A''-^(2^, x ° ; f ) , ^ ^ ^ ( x | , x ° )

va

=0,

QQCX"^)

ttf (2.29) suy ra J

x'' = x° - / - A ( x § , x ^ ; . ) ^j^(x°, x ° ) 7 " ^ Ax°.

a?5ng qufit, nSu t a d^t i

(2.50) x? = x g Y A ^ ' 4 =

xj

2 4 - x j , x | = 23^* - x ^ ,

= x^ ,

n - 0,1,2,.

t h i l y lu^n hoan toan tuwng ty nhu? t r e n , t a se nh§.n :

(2,31) Ax = Ax» + A(xf, 4 ; p

./-iCxf, x j ) (x - x j ) +

+ A(x, ac§, x^, s g ; Y ) ( x - x j ) ( x - x j )

(x-xf)

va J

(2.52)

x^^'l- x ^ - r A ( 3 f . x ? ; f ) f:,(xf. x g ) J " ^ Ax^,

^•

•'

n = o,1,2,..»

TrtfO'ng hs^p d§c b i ^ f i^u chgn

f i ( 2 : ) = (x - Xj) t h i tir phap

1§LP (2.52) ae suy ra phep l\$p (5»1) g 5

Chiro»ng ! •

S\f hgi tv cua quH trizih l§p (2.52) dx^^o chuang to o

»

djnh l y din5i dSy :

USt

If 2f?

cak sue t

?

-.58 1®/ TSn t g i c^c to5n t^ nghich d&o A-1 (x^, x^; f

^-^

),

( x | , xj) V8//A"^(xg, x^^f ) / / ^ B , / / f ; ^ ( x | , x J ) / / ^ ^ .

2 V //A(x. , X. ) / / ^ ^ ' L!) , / / A ( x , , X. ; ^ ) / / ^

^

^o

1 "^n

^o

^1

"^^n

Lj^ = max ( I ^ t ^ h

tiong ^^ ^j^^

//A(x^ , x^ , . . . , x^^f f^^^iQj

^

r"^»

^5»

| x x / / x - x * / / ^ (5^-2(^^I^) / / x ^ - x * / / j Ctfi* .

5 V CSc hang s6 B, 3 , L^, L- thoa jiiaii bSt d ^ g thiJc I

t

f 3 "^ 4(1 + ^ ]L|) Lj B c^ <

1 .

Khi d6 qu^ t r i n h l\$p (2.52) se hOi ty t o i nghif^m x!*^ cua phattog

trlaah ( 1 ) . l6o d% h§i t\i du^c d6nh gi^ bang bSt d%XL& th^Jc :

1/:^^^

. X* // ^

A // x^ - x^ // ^

Chfeg minh dinh l y nay hoan toan tiJo^ng ty* nhif ditLh

ly 2.1.

c) Trtfo»ns h ^ k - 5f

XuSt phat tl? gia t r i ban dBii x^ du gSn x*, t a xay d^^ng c5c

phSn ti5 :

(2.55) A^A^

K^^A^ ^2 " 2x?-xJ,..., 4 = 2x5 * 4»

o

3Cn

o

=

X"

,

0 < ^^ ^

1.

•59

-

0

L§p ty s a i phan tong quat bg-C 5 oijy rgng A(Xf^, _.o

x_,^,..., x ; |

l y l u | n hoan toan tu'O'ng ti/ nhi^ ti^ccng hgp k = 5, ta nhan :

(2.54)

Ax - Ax'' - T^^^ ^ V x § » ^""^ <^ - ^""^ "

^

4

= A(x, x ^ ; , . . . , x ° ; M ) M (x - X?),

^

'

i-o

4

^

trong d6

T^.. = 2 1 ^"'^^ ^^'^^--^>o V I '

1=2

v^i A(i-1)^ i^;^

=

A (x?^, xf; f

)

XSp xi Ax bang da thu'c Q^vx) :

(2.55) Ax ^ Q^(x) = Ax° t TQ.^ ^ ^ ^ 4 ' ^ ^ ' ^^ " "^^^

''

"

Gia s'^ Qo(x ) = 0 va t5n t ^ i cac toan tU" nghich ddo

^

/"TQ..

7""'-,

^ 7 ' ^ ( 4 ' ^ ° ^ ^^-^ ^

x'^=x°-/-I,..

(2«55) t a 8uy ra :

^ , ( x | , x ° ) 7 - ^ Ax°

TSng q u a t , neu ta d§.t t

(2.56) x^ = ^ ^ ^ ^ A 3 ^ , x f = 2 x ^ - ^ ^ • • • • » 4'=^ ^^4 "^ ^^^

x j = x^ ,

, n = 0,1,2,...

ta s i du^c :

(2.37)

Ax - A^'

- T^

i|'^(x5, x^) (x - x^) =

= A(x, x j , . . . , 3^; f ) (x - j ^ ) . . . ( x

va :

(2.58)

x^^^ = x^ - CT

f ^ ( 4 . x^)7"^

n = 0,1,2,...

Ax^,

-xj),

)

« GO

-

4^

tronfi d6

^

I„.^

n

(-1)" ^ • ^ ( i - l ) n V f

= ^

^ (i-'l^n ^n'j

=

TrifccnE hi}*? d§c b i g t , nSu ch

'

^ (^-1 ' 4* 1 ^

f j (x) = x - x^ tu* (2.58) ta

se nh§n qua trinh l^p (5.2) i 3 CHi?o^ I . 3i; hyi tv cua qua

t r i n h ICiP (2.38) dvi^c the hiC-n c' '^inh l y sau dSy i

^nh, lY 2.5

Gia

ffa'

:

1°/ T8n t ? i toan tif nghich dao

va

//Tj,.<^ / / . ^ B ,

2 ° / //A(x, , X: )//^ ^

^ o ^1 ^i'n

- 1

'2.^,^^ ,

..7

Y'I"- 1 ( ^ '

/ f - ^ ( x f , x**^) / / < •

^

^^

.

L', , //A(x, , X, 5 f ) / / o ;<: L" ,

o ^1

"^^n

-^

I^ = max (T,:, , L" ) ; / / A ( x ^ ^ , . . . , x^^; p / / ^ ^ n ^

t«>ns ^6 H n = 5 X * // X - x * / / 4 ( 7 ^ 4 f

^5 '

/ / j e iTi •

3 ° / Cac hang s6 B, \$ , L^ , Lj thoa nan bSt dang th'^c

^ 5 = 192 (1 + M r^ ) Lcj B J <

1

Khi (l6 qua t r i n h l^p (2.38) se hyi tv t c l nghi*^ sr ciia phu'tfng

tidnh ( 1 ) . 'i«c dO h9i tv di?9'c biSu hi^n b bSt dane thiJc sau :

//y^"-^-^//^

P5 / / x ^ - x i ^ / / 5

ChiSng zainh

Chiang ninh djnh l y nay hoan toan tuttog ti^ nhtf phap

chu'ng minh dj.nh l y 2 . 1 .

### Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

\$2. VỀ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TỔNG QUÁT SUY RỘNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH (1) VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHÚNG

Tải bản đầy đủ ngay(74 tr)

×