Tải bản đầy đủ - 74 (trang)
$2. VỀ MỘT PHƯƯONG PHÁP LẶP BẬC K ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ (1)

$2. VỀ MỘT PHƯƯONG PHÁP LẶP BẬC K ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ (1)

Tải bản đầy đủ - 74trang

- 10 k



(2.^) A 4 - A x ° - T , , ^ ( x ° - x ° ) = - ^ . . o 1 , . . . k ^ ( 4 -x°y



,



trong do

Aol^.-.k^ ^



(2.4)'



A (x^, X , . . . , :^)

?



I,,^ = I? ^-'^' 4-1 "^ ^-^^0^

(^



=



k(k-l)... (k-i M )

i!



L'^t khac, cung d^a vao dj.nh nGhia cua ty s a i phan suy r9ns

b | c k dio toan ti? va dieu ki^>n ( 2 . 2 ) t a I p i co :

(2.5)



Ax - /.x° - l b , k (x - x°) - 'lx° (x - x ° ) g ° =

X



=



AZIQSQ



. . . ( k - D ^ (x - x*^) (x - - i ^ ) . - . (x - 2g_.^)



trong dc5

k-S

'te° = Z (-1)^ cf. o Aoi„(if-l),, H

o'

'O

i=1

+



k-3

>• (-1)^ C^_, A0i„(i+1)„ ( i ^ 2 ) ^ ( ^ - ^ % ) +

i=1



+. . . f

-



A01Q



.. (k-D^ ( x - x ? ) . . .



(x-sg_.^).



Ti> ( 2 . 4 ) va ( 2 . 3 ) t a suy r a rang vo'i \ / x € i Q g ^ C i i ^ ^

trcng fid 5

^ g j = i X : l | ' £ x ° ( x - x ^ ) ^ ° | / ^ |)A2t>1„...(k-1)J( n ^ ))x-x°|| f



- 11 -



k

(ic) B§t dang thi5c t r o n g LQ* co nang t i n h ch3-c d}.nh t i n h n h i e u

hd»n l a djnh lijg'ng. VSn do d-^t ro lt>, co t^n t ? l cae phSn

tii



X ^ u 2J gS



, sao cho thoo n a n ( 2 . 6 ) khon^:^* ? 'Tay



n o i each k h a c can chgn [fh^o



l a k h a c t r S n g . l l i g t vgy, do



nhnn du'g^c ( 2 . 6 ) t a cSn cd :

(1*) 5-x°(x-x°)&° = - ^ ^ ^ A ^ l . . . ( k - l ) „ ( x - x ° ) "

k

k-1

- Axc1^...(k-1)^ n

(x - x p

0



C x-O



-



^



Ta thSy (1^) se dung k h i x = x° va x - r^. (di^a vao ( 2 . 5 )

-



va each d g t 6 ^ * - ^ " ^k ^'^ ^^^'•^* "^-^^ "^"^ '^''"^^ b*ng vo p h '

^

v s bang k h S n g ) .

Khi X ? x° va X j^ x ^ , d^-a vao each d g t

^



£°,



t a nhgn ;

(2*)



q.&f



^ Cj^-l^fc "^ ^ - - - ^ ^ ^ x > Co = 0 .



Heu c o i i^x ^^ ^^ ^^9 <^^ *



°o = - - % i f ^ Axo1,...(k-l)^ ( 4 - X^)^ .

JC



.• Axo1^...(k-l)^ jT (.4 - 4 ) ,

k-2



i=1

(Tlop trang 12)



tir ( l * :



- 12 t o 00 :



( 2 . 6 ) Ax - Ax^ - To,k ( x - x ^ ) = " ^ — ^ Ax^1 . . . (k-^ )^ Cx-x^) .

XSp x i Ax bang da th'?c taiyen t i n h <:io(x) :

( 2 . 7 ) Ax ^%M



= Ax^ ^• To,k i^ - :^^)



-•

"



X







*



1



Gia su QoC^*) * 0 "^'^ t o a n t;' nghich dao TQ I; t 2 n t g i , t^j ( 2 . 7

Bvy r a t

1 - 0



-x



-



y:



„~^



. o



- 'j<5^1: Ax



long q n a t , neu t o d g t 2



xg := --c^,



Tigp (±)



n = 0,1,



.(^^-x^)(^^-:^^^^)....^- Ao1^...(k-l)^(4-x^)(x^-x|),

k-1



...



(:4"^k-1^



i-...^r A x o 1 ^ . . . ( k - l ) Q



;



irZ



-:^),



. . . .



t h i ( 2 * ) se l a mgt phitVng t r i n h d g i s8 bC^c k .

Vol



i^g^du b e , t a cc5 t h o t h a y ( 2 ^ ) bang phu'cng t r i n h



t r o n g do 0^ nhgn d^rg'^ tu G^ bung each thay cac s8 hgng

C chu^a Axo1- . . . (k-1 )_ bar^- A O l - , . . . k^ .

O

k^

Q

( k - D ^ b?ir^- o I Q

Tic (5^) t a se x a c djnh duVc cZ



.



- 15 t h i l y l u g n hoan t o a n tit^ng tg' nhti* t r e n t o GO C6 :

(2.8) A x - A x " - T n , k (x-x")-"'



^\^^'

ir,A

k--^



A x n 1 „ . . . (k-1 )^^'^'""

n

n



t r o n g do :

a'n,k



=



/, ( - 1 ) ^ G^ ^ An ( k - i ) n

i=1

^"^



iixnl ^ . . . (k-1 )ji = A(x, Xo^ , x-f , . . . , :xg_^ ) .

Tl) ( 2 . 8 ) sijy ra qna t r i n h Igp :

( 2 . 9 ) :^'^^ - x^^ - Tn,], Ax^^ ,



n - 0,1,...



S\? h g i t y ciis qua trin^i Igp ( 2 . S ) ^u<^c t h e hiC^n o cac d^nh

^

l y dUol day :

JtiO do 1

Gila su* toSn t^jr A ton t g i dgo ham don cap k , Ichl do t a

C bSt dh.n^j thu*c t

O

(2.11)



\ Tn.kCx^- ^ ; ^



t r o n g d6 ^



(-^,



. 5 , ^TT Ax-^ (X-"- -- ^ ) ^ II ^



st5> Ii A ( > . t(x^^- >:^) i . 5 ^ II % * | | ) II x " - x*|l

o^t^l'^



duVc xoc d^nb ti^'o'nG ti;' nhir ^



tronij ( l . ' i - ) .



i^p dyng cone; thu'c 'lay-lo co p h a n dir cho t o a n tiV £"1v_7

(2.12)



Ax^ = A(x* + x " - x^) =



= Ax* ^ ^ iL^(x-^ _ ^f

1=1 i-



, ^(^^^ ^ ) ,



- 14

t r o n g d6



(2.12)' |hv(x*, x-")!! 4 ' - ^



=^^ M A t(x^-x^)l""^







04.t£:1



•Ja (2.12) ta suy ra :

k-1

(i)

(2.15) Ax^ - >; - f r A^ (.^ - ^^y

i=1



l'-



= \



( 3 ^ , x^-).



^



COns tCrng ve ( 2 . 8 ) ( s a u k h i da thay x = x^) cho ( 2 . 1 3 )



(chu



y ( 2 . 1 2 ) ' ) t a nh0n difn'c :



(2.14) I K (X--X*) - ^



-J^ AJ? (x^ - x^)' I 4

I



1=^1



- '



k

/ _L«



3^p



} A xi^+ t ( x - x"^) n i»



0 ; ^ t <;1



, , _ ( ^ : 1 L - |lAx^n1....(k-l)Jlll^'-^""

Sau k h i ap dyng ( 1 . 4 ) dS danh \~Lk |]A3i*^n1,^ . . .



(k-Dj^ 1

(



tl? ( 2 . 1 4 ) suy r a ( 2 . 1 1 ) .

a i e u p h a i chi^n^j a i n h .

r4nh l y



2^

Keu xap XI ban '^au x° thoa niin cac d i e u ki^in :

1 ^ / l o a n tu* AO1Q t o n t a i



toan



uJ nijhjch dao Aol^^ va



IIAOIOII 4 Boj

2°/



||Ao(k-i)^|i



<. L^,



(^i = 1 , k - 2 ) ;



3°/



Cac hans s6 Bo, L,, th.oa nlin b a t dSnfj thifc



- 15 k-2

i=-



-1

t h i t8n t^i toan ti> nghich dao To.it va



(2.15)



K]J|



< - ^

^

o



Chimg ninh

T * ( 2 . 4 ) ' Guy ra :

U

V—-^



11

=

= (-1)



k-1



iAo^



^ - ^ , ,i-(v-0

,

r L (-1)

C^^-^ Ao(k-l)Q

i=1

1^ _r>



k-1



( 2 . 1 6 ) ai,,ic = C - ^ r "



.



-



V- r ^ r ^



Ao1^(I•^Ao1o ./^^-'^^



'^r.i



^ ^



Ao(l^-i)



t r o n g do I l a t o a n tt> den v ^ .

The nhu^ng, di;a \^ao c5c g i a t h i o t c^ja dxlrin Tj ta co



1 A?!,"? (-O'"^^-"^ 4.^ Ao(^-i)o

1

"



i=1



Dya vao d5.nh l y Banach, tu' uSt dang thu^c cu.6i cun;j suy ra

t o n t ? i t o a n ti? nghich dao :

.

- 1 ^Zf

i-(k-1)

.

^

v-1

( l + A0I3 £. ( - 1 )

-i^^T -'io(i^-^)J)



^

V'^



-1 ^ J ^

l-(k-1)

.

-1,1

( | ( l + A o 1 o } _ ' (-1)

t.5_^ A o ( k - i ) o ) \\ ^



^

- 1 -







- IG -1



Do do t o a n ti



.1 -1



nghi eh ^^^o l-o,!: ton t ? i va



l|l'o,k \\ 4:



- ^

•^-^io



Die^a p h a i chu'ng n i n h .



Gia su' :

1 ° / ifin t j i toan f'^ nGhich dao in,!:: va 1| % , ! : |l 4 B;

2''/ l u i ^ ^ l U ^



^k '



x"€..^



v.'l



Vn.



Lhl do qu5 t r i n h Igp ( 2 . y ) GO !^;i "cy t o i n-ghl^^n x"^ cri.a (1 )

l o e dg hgi ty d-u<;^c :-*anh .gi.a bang b S t dang thu'c :

1 K



^'^ - =--* I U



i

f. II '^^- - ^* ii



il"



t r o n g do

^'



Ch'nmg minh

-^ d;ing cor.£: th'j»c l^ay-lo co 'phTm du cho t o ' n tu t a co

(2.17)



A xn

'



_

=



,/_i . .

A(x'^ s Xn



-



__±:

X



y



=



k-1

/ .



1=1



*"7^ ^ x ^



Uv



- X ^



-I- i,„ t x



^•



t r o n g do

(2.18)



||r^^(x*, x^) II 4 - L - i,^ II x^ _ ^ f

I^,



=



cup IIA O^ . t (X^ - X^^^) II

o^t<1



IVJ' ca h a i ve ( 2 . 9 ) cho ^



t a di;Vc s



,



, X ;,



(2.19)



^^'^-^^J'-^-C^i^^



;



nV^l^/j^l



Thay (2.17) vao (2.19) ta nh^n :

k_-1

x ^ ^ ' ' - X* I k II Tn'k 1! l l ' I n , k ( x ^ - ^ ) - i : - ^ 7 A x - ( ^ - ^ ) ' l l +

i=1 1 '

-1



* II I^ik II II \ ( ^ . ^ ) I) •



Dya vao cac dieu kipn ciia d^nh l y va c5c bSt dang thu*c ( 2 . 1 8 ) ,

( 2 . 1 1 ) , tii* b a t dong thu'c cu5i cung suy ra dieu p h a i c^iihig

minh. I^u khdng gi5 t h i e t trx^&o ve ay.' tSn t ^ i n g h i ^



cua



phi?cmg t r i n h ( 1 ) , ta co cac dinh l y sau day «

Dinh l y 2 . ?

Gih sv? X thoa nan cac dieu kiyn :

1^/ Toan tiJ To,k tSn t g i toan tu' nghidi dao

-1

va



fJTo,k ll



2^/



-4



To,k



Bo ;



\\Ak



iLcL^ 4 I^i



f



(i = ^ ) »



trong do l a n cgn liTj ^ duyc >:ac dinh ti^ ( 2 . 2 4 ) .



3°/ II To"'k Ax°|U >'^, )i:^.i - ^ _ J U >o'
4^/ Cac hang s8

(2.21)



/ ^ , L^ th6a man :

k-2

0 ^ p^ := 1 . ( T o ^ r ,

G^.^ T], ) <



(2.22)



O^q^



=



Bo,



^ - <



1,



It



- o



t r o n g do / v dt?g»c xac djnh tiV nghipn d:i»cmg cua phi?o'ng t r i n h :



- 18 k-2



(2.23)



(1V&i



' ^ (1 . • : ^ ^ ^ ) )A

7^



=



v i



J^.k



- r i , k A - Y^^j, = o.



2Bo T2 '^ 0 <. 1



^-k



v'''



- 2l^-1i,k 3^k-^



k-1 '



=_,



2,1,



;L_____



i F ^ - 1



j^k



Khi do t r o n g i S n oan :

( 2 . 2 4 ) u2.^

^



=



X :



k



[jx ~ x ^ | | : ^



C



'



"

^



^-Po^o



^



phiJo^ng t r i n h (1) sa co n^'^hifxi J:* va qua t r i n h l^p ( 2 . 9 ) se

hgi t y t(H n g h i ^ d o . 'i6c dO h^i t;i difg'c danh s i ^ t a n g b 5 t

dang thi?c 8

k^-:^i

n-1

( 2 . 2 5 ) I x ^ -x*^ij
J



^~'^

^



W^

k - 1



^ - Po%



^o •



'-'



Chfeg minh

Chu'^ minh rang k h i chuyen ti? ph&n ti5= x*^ song x



thi



cac d i e u k i g n cua dinh l y v^m cT>-?g'c bac t o a n . Do dang a-^y r o

r a n g cac ph§n tfr s ^ ,



x\



^ LT/^*



( i - o,k-*l).



Kiem t r a d i e u k i e n 1 .

^

^

^

^

-1

l'rL?o'c t i o n t a can ch'Jng n i n h t e n t ^ l t o a n tu* n g h i c h dao T^ ^

Thft v g y , x e t t



1

(2.26)



||TO,V



(To,:.c-2:i,k) II 4





1

II To^k |l II I o , k " Ti ,3, ([ =



- 19 k-1



-1

To,k



2Z (-1) i

1=1



,i

.



^ . - 1 (A

^^•o(k-i),



- A^ci - i ) ^ ) ; :

Kk



=



k-1



''^x4li^,'^-'^ ^-1':^o(k-i)^-A(k-i)„i "

+ ^(k-i)Qi --^Kk-i)^ ) 1 ^

1



k-1

^



2 Be 1:2 • o (



(^ .



i=1



)



=



1



-Pc-..l-



'heo dinh l y Banach, ti? ( 2 . 2 6 ) suy ra t 8 n t ^

"1

dao r i - ^o^i; (Tc,k - T i , k ) 7 ''=

^^r^t

t r o n g do



I



t o a n tir n g h i c h



l a toan tu" dc^'n v i va



—J-



Vgy t o a n tu'



T-^ ^j^ =



('I?o,k % )

Bo



I
I



_ _



-1



t o n t g i va



. 0 ,



Dieu kiOn 1 da kiem t r a xong.

KiSm t r a d i § u k i p n 3«

CSn dsnh g i a fl C, ,]r Ax^||

V ^ n = 0 va X = X , d'^a \'ao ( 2 . 9 ) , tt? ( 2 . 8 ) t a ST:y ra :



Ax

Do d6



•^



^ - ^ ^Ic ^



-^

o^



Ck

o



- 20



(2.27)



j j < i , Ax-^ll



-



<, - ^ \ ^ ,



k>1

^^1^'



-o



Qua ngt vai phep biSn doi dc?n gian, t'J* (2.27) si:ty ra !



(2.28) K ; , , Ax^ii 4 ?;^(A,^^

^



(



1,k



^ ^2,k A



'1.k :o>



) Po



.0



0



o''



"o^



.



De dang chi?ng lainh du^c ??lnn;t nsu / \ l a n g h i ^ ciia phtJWng

trinii (2.23) t h i



A= ('^'^ ^j, ^ ^\^-^



y\""^) - V



Do do t'Jf (2.28) suy ra :



(^.29)



ll ^ \ Ax^ ^^ X, ^ lY^ .r^



=



\



Dieu kign 5 da diro'c chu'ng minh xong.

Cung t'JP (2.29) ta 3uy ra :

(2.50)



f^



:-



2B^ L^



^



=



~»ifi--'*o



Kiem t r a dieu kipn 4.

TJ (2.50) suy ra

iP



f^



^i^C'o^



k-2



Pi = i - ( i - J;^ C ^ )



•!



. 1,



^1 ^1 " ^ *'l "^^ ^o - ^^

W-Ou k i g n 4 da dxfg'c ki&a t r a xon^;.

KiSm t r a dieu k i ? n 2 .

De kl^m t r a diou klgn nay, ta chi can ch'ing minh nlng

iQ 2



C- 3>--->|» trong do «



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

$2. VỀ MỘT PHƯƯONG PHÁP LẶP BẬC K ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ (1)

Tải bản đầy đủ ngay(74 tr)

×