Tải bản đầy đủ - 74 (trang)
\$2. VỀ MỘT PHƯƯONG PHÁP LẶP BẬC K ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ (1)

# \$2. VỀ MỘT PHƯƯONG PHÁP LẶP BẬC K ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ (1)

Tải bản đầy đủ - 74trang

- 10 k

(2.^) A 4 - A x ° - T , , ^ ( x ° - x ° ) = - ^ . . o 1 , . . . k ^ ( 4 -x°y

,

trong do

Aol^.-.k^ ^

(2.4)'

A (x^, X , . . . , :^)

?

I,,^ = I? ^-'^' 4-1 "^ ^-^^0^

(^

=

k(k-l)... (k-i M )

i!

L'^t khac, cung d^a vao dj.nh nGhia cua ty s a i phan suy r9ns

b | c k dio toan ti? va dieu ki^>n ( 2 . 2 ) t a I p i co :

(2.5)

Ax - /.x° - l b , k (x - x°) - 'lx° (x - x ° ) g ° =

X

=

AZIQSQ

. . . ( k - D ^ (x - x*^) (x - - i ^ ) . - . (x - 2g_.^)

trong dc5

k-S

'te° = Z (-1)^ cf. o Aoi„(if-l),, H

o'

'O

i=1

+

k-3

>• (-1)^ C^_, A0i„(i+1)„ ( i ^ 2 ) ^ ( ^ - ^ % ) +

i=1

+. . . f

-

A01Q

.. (k-D^ ( x - x ? ) . . .

(x-sg_.^).

Ti> ( 2 . 4 ) va ( 2 . 3 ) t a suy r a rang vo'i \ / x € i Q g ^ C i i ^ ^

trcng fid 5

^ g j = i X : l | ' £ x ° ( x - x ^ ) ^ ° | / ^ |)A2t>1„...(k-1)J( n ^ ))x-x°|| f

- 11 -

k

(ic) B§t dang thi5c t r o n g LQ* co nang t i n h ch3-c d}.nh t i n h n h i e u

hd»n l a djnh lijg'ng. VSn do d-^t ro lt>, co t^n t ? l cae phSn

tii

X ^ u 2J gS

, sao cho thoo n a n ( 2 . 6 ) khon^:^* ? 'Tay

n o i each k h a c can chgn [fh^o

l a k h a c t r S n g . l l i g t vgy, do

nhnn du'g^c ( 2 . 6 ) t a cSn cd :

(1*) 5-x°(x-x°)&° = - ^ ^ ^ A ^ l . . . ( k - l ) „ ( x - x ° ) "

k

k-1

- Axc1^...(k-1)^ n

(x - x p

0

C x-O

-

^

Ta thSy (1^) se dung k h i x = x° va x - r^. (di^a vao ( 2 . 5 )

-

va each d g t 6 ^ * - ^ " ^k ^'^ ^^^'•^* "^-^^ "^"^ '^''"^^ b*ng vo p h '

^

v s bang k h S n g ) .

Khi X ? x° va X j^ x ^ , d^-a vao each d g t

^

£°,

t a nhgn ;

(2*)

q.&f

^ Cj^-l^fc "^ ^ - - - ^ ^ ^ x > Co = 0 .

Heu c o i i^x ^^ ^^ ^^9 <^^ *

°o = - - % i f ^ Axo1,...(k-l)^ ( 4 - X^)^ .

JC

.• Axo1^...(k-l)^ jT (.4 - 4 ) ,

k-2

i=1

(Tlop trang 12)

tir ( l * :

- 12 t o 00 :

( 2 . 6 ) Ax - Ax^ - To,k ( x - x ^ ) = " ^ — ^ Ax^1 . . . (k-^ )^ Cx-x^) .

XSp x i Ax bang da th'?c taiyen t i n h <:io(x) :

( 2 . 7 ) Ax ^%M

= Ax^ ^• To,k i^ - :^^)

-•

"

X

*

1

Gia su QoC^*) * 0 "^'^ t o a n t;' nghich dao TQ I; t 2 n t g i , t^j ( 2 . 7

Bvy r a t

1 - 0

-x

-

y:

„~^

. o

- 'j<5^1: Ax

long q n a t , neu t o d g t 2

xg := --c^,

Tigp (±)

n = 0,1,

.(^^-x^)(^^-:^^^^)....^- Ao1^...(k-l)^(4-x^)(x^-x|),

k-1

...

(:4"^k-1^

i-...^r A x o 1 ^ . . . ( k - l ) Q

;

irZ

-:^),

. . . .

t h i ( 2 * ) se l a mgt phitVng t r i n h d g i s8 bC^c k .

Vol

i^g^du b e , t a cc5 t h o t h a y ( 2 ^ ) bang phu'cng t r i n h

t r o n g do 0^ nhgn d^rg'^ tu G^ bung each thay cac s8 hgng

C chu^a Axo1- . . . (k-1 )_ bar^- A O l - , . . . k^ .

O

k^

Q

( k - D ^ b?ir^- o I Q

Tic (5^) t a se x a c djnh duVc cZ

.

- 15 t h i l y l u g n hoan t o a n tit^ng tg' nhti* t r e n t o GO C6 :

(2.8) A x - A x " - T n , k (x-x")-"'

^\^^'

ir,A

k--^

A x n 1 „ . . . (k-1 )^^'^'""

n

n

t r o n g do :

a'n,k

=

/, ( - 1 ) ^ G^ ^ An ( k - i ) n

i=1

^"^

iixnl ^ . . . (k-1 )ji = A(x, Xo^ , x-f , . . . , :xg_^ ) .

Tl) ( 2 . 8 ) sijy ra qna t r i n h Igp :

( 2 . 9 ) :^'^^ - x^^ - Tn,], Ax^^ ,

n - 0,1,...

S\? h g i t y ciis qua trin^i Igp ( 2 . S ) ^u<^c t h e hiC^n o cac d^nh

^

l y dUol day :

JtiO do 1

Gila su* toSn t^jr A ton t g i dgo ham don cap k , Ichl do t a

C bSt dh.n^j thu*c t

O

(2.11)

\ Tn.kCx^- ^ ; ^

t r o n g d6 ^

(-^,

. 5 , ^TT Ax-^ (X-"- -- ^ ) ^ II ^

st5> Ii A ( > . t(x^^- >:^) i . 5 ^ II % * | | ) II x " - x*|l

o^t^l'^

duVc xoc d^nb ti^'o'nG ti;' nhir ^

tronij ( l . ' i - ) .

i^p dyng cone; thu'c 'lay-lo co p h a n dir cho t o a n tiV £"1v_7

(2.12)

Ax^ = A(x* + x " - x^) =

= Ax* ^ ^ iL^(x-^ _ ^f

1=1 i-

, ^(^^^ ^ ) ,

- 14

t r o n g d6

(2.12)' |hv(x*, x-")!! 4 ' - ^

=^^ M A t(x^-x^)l""^

04.t£:1

•Ja (2.12) ta suy ra :

k-1

(i)

(2.15) Ax^ - >; - f r A^ (.^ - ^^y

i=1

l'-

= \

( 3 ^ , x^-).

^

COns tCrng ve ( 2 . 8 ) ( s a u k h i da thay x = x^) cho ( 2 . 1 3 )

(chu

y ( 2 . 1 2 ) ' ) t a nh0n difn'c :

(2.14) I K (X--X*) - ^

-J^ AJ? (x^ - x^)' I 4

I

1=^1

- '

k

/ _L«

3^p

} A xi^+ t ( x - x"^) n i»

0 ; ^ t <;1

, , _ ( ^ : 1 L - |lAx^n1....(k-l)Jlll^'-^""

Sau k h i ap dyng ( 1 . 4 ) dS danh \~Lk |]A3i*^n1,^ . . .

(k-Dj^ 1

(

tl? ( 2 . 1 4 ) suy r a ( 2 . 1 1 ) .

a i e u p h a i chi^n^j a i n h .

r4nh l y

2^

Keu xap XI ban '^au x° thoa niin cac d i e u ki^in :

1 ^ / l o a n tu* AO1Q t o n t a i

toan

uJ nijhjch dao Aol^^ va

IIAOIOII 4 Boj

2°/

||Ao(k-i)^|i

<. L^,

(^i = 1 , k - 2 ) ;

3°/

Cac hans s6 Bo, L,, th.oa nlin b a t dSnfj thifc

- 15 k-2

i=-

-1

t h i t8n t^i toan ti> nghich dao To.it va

(2.15)

K]J|

< - ^

^

o

Chimg ninh

T * ( 2 . 4 ) ' Guy ra :

U

V—-^

11

=

= (-1)

k-1

iAo^

^ - ^ , ,i-(v-0

,

r L (-1)

C^^-^ Ao(k-l)Q

i=1

1^ _r>

k-1

( 2 . 1 6 ) ai,,ic = C - ^ r "

.

-

V- r ^ r ^

Ao1^(I•^Ao1o ./^^-'^^

'^r.i

^ ^

Ao(l^-i)

t r o n g do I l a t o a n tt> den v ^ .

The nhu^ng, di;a \^ao c5c g i a t h i o t c^ja dxlrin Tj ta co

1 A?!,"? (-O'"^^-"^ 4.^ Ao(^-i)o

1

"

i=1

Dya vao d5.nh l y Banach, tu' uSt dang thu^c cu.6i cun;j suy ra

t o n t ? i t o a n ti? nghich dao :

.

- 1 ^Zf

i-(k-1)

.

^

v-1

( l + A0I3 £. ( - 1 )

-i^^T -'io(i^-^)J)

^

V'^

-1 ^ J ^

l-(k-1)

.

-1,1

( | ( l + A o 1 o } _ ' (-1)

t.5_^ A o ( k - i ) o ) \\ ^

^

- 1 -

- IG -1

Do do t o a n ti

.1 -1

nghi eh ^^^o l-o,!: ton t ? i va

l|l'o,k \\ 4:

- ^

•^-^io

Die^a p h a i chu'ng n i n h .

Gia su' :

1 ° / ifin t j i toan f'^ nGhich dao in,!:: va 1| % , ! : |l 4 B;

2''/ l u i ^ ^ l U ^

^k '

x"€..^

v.'l

Vn.

Lhl do qu5 t r i n h Igp ( 2 . y ) GO !^;i "cy t o i n-ghl^^n x"^ cri.a (1 )

l o e dg hgi ty d-u<;^c :-*anh .gi.a bang b S t dang thu'c :

1 K

^'^ - =--* I U

i

f. II '^^- - ^* ii

il"

t r o n g do

^'

Ch'nmg minh

-^ d;ing cor.£: th'j»c l^ay-lo co 'phTm du cho t o ' n tu t a co

(2.17)

A xn

'

_

=

,/_i . .

A(x'^ s Xn

-

__±:

X

y

=

k-1

/ .

1=1

*"7^ ^ x ^

Uv

- X ^

-I- i,„ t x

^•

t r o n g do

(2.18)

||r^^(x*, x^) II 4 - L - i,^ II x^ _ ^ f

I^,

=

cup IIA O^ . t (X^ - X^^^) II

o^t<1

IVJ' ca h a i ve ( 2 . 9 ) cho ^

t a di;Vc s

,

, X ;,

(2.19)

^^'^-^^J'-^-C^i^^

;

nV^l^/j^l

Thay (2.17) vao (2.19) ta nh^n :

k_-1

x ^ ^ ' ' - X* I k II Tn'k 1! l l ' I n , k ( x ^ - ^ ) - i : - ^ 7 A x - ( ^ - ^ ) ' l l +

i=1 1 '

-1

* II I^ik II II \ ( ^ . ^ ) I) •

Dya vao cac dieu kipn ciia d^nh l y va c5c bSt dang thu*c ( 2 . 1 8 ) ,

( 2 . 1 1 ) , tii* b a t dong thu'c cu5i cung suy ra dieu p h a i c^iihig

minh. I^u khdng gi5 t h i e t trx^&o ve ay.' tSn t ^ i n g h i ^

cua

phi?cmg t r i n h ( 1 ) , ta co cac dinh l y sau day «

Dinh l y 2 . ?

Gih sv? X thoa nan cac dieu kiyn :

1^/ Toan tiJ To,k tSn t g i toan tu' nghidi dao

-1

va

fJTo,k ll

2^/

-4

To,k

Bo ;

\\Ak

iLcL^ 4 I^i

f

(i = ^ ) »

trong do l a n cgn liTj ^ duyc >:ac dinh ti^ ( 2 . 2 4 ) .

3°/ II To"'k Ax°|U >'^, )i:^.i - ^ _ J U >o'
4^/ Cac hang s8

(2.21)

/ ^ , L^ th6a man :

k-2

0 ^ p^ := 1 . ( T o ^ r ,

G^.^ T], ) <

(2.22)

O^q^

=

Bo,

^ - <

1,

It

- o

t r o n g do / v dt?g»c xac djnh tiV nghipn d:i»cmg cua phi?o'ng t r i n h :

- 18 k-2

(2.23)

(1V&i

' ^ (1 . • : ^ ^ ^ ) )A

7^

=

v i

J^.k

- r i , k A - Y^^j, = o.

2Bo T2 '^ 0 <. 1

^-k

v'''

- 2l^-1i,k 3^k-^

k-1 '

=_,

2,1,

;L_____

i F ^ - 1

j^k

Khi do t r o n g i S n oan :

( 2 . 2 4 ) u2.^

^

=

X :

k

[jx ~ x ^ | | : ^

C

'

"

^

^-Po^o

^

phiJo^ng t r i n h (1) sa co n^'^hifxi J:* va qua t r i n h l^p ( 2 . 9 ) se

hgi t y t(H n g h i ^ d o . 'i6c dO h^i t;i difg'c danh s i ^ t a n g b 5 t

dang thi?c 8

k^-:^i

n-1

( 2 . 2 5 ) I x ^ -x*^ij
J

^~'^

^

W^

k - 1

^ - Po%

^o •

'-'

Chfeg minh

Chu'^ minh rang k h i chuyen ti? ph&n ti5= x*^ song x

thi

cac d i e u k i g n cua dinh l y v^m cT>-?g'c bac t o a n . Do dang a-^y r o

r a n g cac ph§n tfr s ^ ,

x\

^ LT/^*

( i - o,k-*l).

Kiem t r a d i e u k i e n 1 .

^

^

^

^

-1

l'rL?o'c t i o n t a can ch'Jng n i n h t e n t ^ l t o a n tu* n g h i c h dao T^ ^

Thft v g y , x e t t

1

(2.26)

||TO,V

(To,:.c-2:i,k) II 4

1

II To^k |l II I o , k " Ti ,3, ([ =

- 19 k-1

-1

To,k

2Z (-1) i

1=1

,i

.

^ . - 1 (A

^^•o(k-i),

- A^ci - i ) ^ ) ; :

Kk

=

k-1

''^x4li^,'^-'^ ^-1':^o(k-i)^-A(k-i)„i "

+ ^(k-i)Qi --^Kk-i)^ ) 1 ^

1

k-1

^

2 Be 1:2 • o (

(^ .

i=1

)

=

1

-Pc-..l-

'heo dinh l y Banach, ti? ( 2 . 2 6 ) suy ra t 8 n t ^

"1

dao r i - ^o^i; (Tc,k - T i , k ) 7 ''=

^^r^t

t r o n g do

I

t o a n tir n g h i c h

l a toan tu" dc^'n v i va

—J-

Vgy t o a n tu'

T-^ ^j^ =

('I?o,k % )

Bo

I
I

_ _

-1

t o n t g i va

. 0 ,

Dieu kiOn 1 da kiem t r a xong.

KiSm t r a d i § u k i p n 3«

CSn dsnh g i a fl C, ,]r Ax^||

V ^ n = 0 va X = X , d'^a \'ao ( 2 . 9 ) , tt? ( 2 . 8 ) t a ST:y ra :

Ax

Do d6

•^

^ - ^ ^Ic ^

-^

o^

Ck

o

- 20

(2.27)

j j < i , Ax-^ll

-

<, - ^ \ ^ ,

k>1

^^1^'

-o

Qua ngt vai phep biSn doi dc?n gian, t'J* (2.27) si:ty ra !

(2.28) K ; , , Ax^ii 4 ?;^(A,^^

^

(

1,k

^ ^2,k A

'1.k :o>

) Po

.0

0

o''

"o^

.

De dang chi?ng lainh du^c ??lnn;t nsu / \ l a n g h i ^ ciia phtJWng

trinii (2.23) t h i

A= ('^'^ ^j, ^ ^\^-^

y\""^) - V

Do do t'Jf (2.28) suy ra :

(^.29)

ll ^ \ Ax^ ^^ X, ^ lY^ .r^

=

\

Dieu kign 5 da diro'c chu'ng minh xong.

Cung t'JP (2.29) ta 3uy ra :

(2.50)

f^

:-

2B^ L^

^

=

~»ifi--'*o

Kiem t r a dieu kipn 4.

TJ (2.50) suy ra

iP

f^

^i^C'o^

k-2

Pi = i - ( i - J;^ C ^ )

•!

. 1,

^1 ^1 " ^ *'l "^^ ^o - ^^

W-Ou k i g n 4 da dxfg'c ki&a t r a xon^;.

KiSm t r a dieu k i ? n 2 .

De kl^m t r a diou klgn nay, ta chi can ch'ing minh nlng

iQ 2

C- 3>--->|» trong do «

### Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

\$2. VỀ MỘT PHƯƯONG PHÁP LẶP BẬC K ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ (1)

Tải bản đầy đủ ngay(74 tr)

×