Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO

2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO

Tải bản đầy đủ - 0trang

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM T.P HỒ CHÍ MINH



VÕ SƠN PHỊNG



PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ SỰ HỘI TỤ

YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60 46 01



LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP



THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2010



LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan :

1. Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực

tiếp của thầy Đậu Thế Cấp.

2. Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên

cơng trình, thời gian, địa điểm công bố.

3. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi xin chịu

hồn tồn trách nhiệm.

Học viên

Võ Sơn Phòng



MỤC LỤC



LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................................................. 2

1T



T

1



MỤC LỤC ......................................................................................................................................................... 3

1T



T

1



MỞ ĐẦU........................................................................................................................................................... 4

1T



T

1



CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................................................................... 5

1T



1T



1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO ............................................................................................ 5

1T



T

1



1.1.1 Khơng gian tơpơ ................................................................................................................................ 5

1T



1T



1.1.2 Khơng gian mê tric ............................................................................................................................ 5

1T



1T



1.1.3 Định lí. .............................................................................................................................................. 6

1T



T

1



1.1.4 Định lí. .............................................................................................................................................. 7

1T



T

1



1.1.5 Khơng gian Banach thực ................................................................................................................... 7

1T



1T



CHƯƠNG 2 : PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ............. 16

1T



T

1



2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN..................................................................................................................... 16

1T



1T



2.2 CÁC DẠNG HỘI TỤ............................................................................................................................. 26

1T



1T



2.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ........................................................................... 33

1T



T

1



2.3.1 Kì vọng của phần tử ngẫu nhiên ..................................................................................................... 33

1T



1T



CHƯƠNG 3 : SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT ........................................................................... 41

1T



T

1



3.1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON .......................................................................................... 41

1T



T

1



3.1.1 Độ đo chính quy .............................................................................................................................. 41

1T



1T



3.1.6 Độ đo Radon ................................................................................................................................... 44

1T



1T



3.2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO ............................................................................................................ 46

1T



1T



3.2.1 Hội tụ yếu ....................................................................................................................................... 46

1T



3.3

1T



1T



T

1



π -HỆ THỐNG...................................................................................................................................... 51

T

1



1T



KẾT LUẬN ..................................................................................................................................................... 53

1T



T

1



TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................................................ 54

1T



1T



MỞ ĐẦU



Lý thuyết về độ đo trong khơng gian mêtric giữ vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề về

giải tích và xác suất. Đã có rất nhiều kết quả đặc sắc về lĩnh vực này như định lý Prohorov,

định lý Varadarajans, định lý Fernigue ….

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ

đo xác suất trong không gian mêtric và các vấn đề có liên quan.

Luận văn này được hồn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS Đậu Thế Cấp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy về

sự hướng dẫn tận tâm và nhiệt tình của Thầy đối với tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên

cứu và thực hiện luận văn.



CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ



1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO

1.1.1 Không gian tôpô

Cho X là một tập. Một họ τ các tập con của X gọi là một tơpơ trên X nếu có các tính chất

sau:

(i)



∅ ∈ τ , X ∈τ ;



(ii) U i ∈τ , i ∈ I thì ∪i∈I U i ∈τ ;

(iii) U ,V ∈τ thì U ∩ V ∈τ .

Nếu τ là một tơpơ trên X thì cặp X = ( X ,τ ) được gọi là không gian tôpô.

Cho ( X ,τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó các tập U ∈τ gọi là tập mở. Phần bù của tập mở gọi là

tập đóng.

Cho A là một tập con của khơng gian tơpơ X . Tập con đóng bé nhất của X chứa A gọi là

bao đóng của A , được kí hiệu là A . Tập A ⊂ X gọi là tập trù mật trong X nếu A = X . Không gian

tôpô ( X ,τ ) gọi là không gian khả li (hay tách được), nếu nó có tập con đếm được trù mật.

Tập con mở lớn nhất được chứa trong A gọi là phần trong của A , kí hiệu

Một họ



{Gα }α∈I



là int A .



các tập mở của X gọi là một phủ mở của X nếu ∪α∈I Gα =

X . Không gian



tô pô X gọi là không gian compăc nếu từ mọi phủ mở {Gα }α∈I của X đều có thể trích ra được một

phủ con hữu hạn. Tập con A ⊂ X gọi là compăc nếu nó compăc đối với tôpô cảm sinh, tức là tôpô



τA =

{U ∩ A : U ∈τ } trên A .



1.1.2 Không gian mê tric



Cho X ≠ ∅ . Một ánh xạ d : X × X →  được gọi là mêtric (hay khoảng cách) trên X nếu

với mọi x, y, z ∈ X đều có

(i) d ( x, y ) ≥ 0, d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y ;

(ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) ;

(iii) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) .

Nếu d là một mêtric thì cặp X = ( X , d ) gọi là không gian mêtric.

Giả sử X là không gian mêtric. Với mọi x ∈ X , ε > 0 đặt



B ( x, ε ) =

{ y ∈ X : d ( x, y ) < ε }

và gọi là hình cầu tâm x bán kính ε . Tập con G của X gọi là mở nếu mọi x ∈ G tồn tại ε > 0 sao

cho B ( x, ε ) ⊂ G . Họ các tập mở của X là một tôpô trên X , gọi là tôpô sinh bởi mê tric. Không gian

mêtric là không gian tôpô với tô pơ sinh bởi mêtric.

Ta nói dãy ( xn ) ⊂ X hội tụ về x ∈ X nếu d ( xn , x ) → 0 khi n → ∞ . Kí hiệu là xn → x

(khi n → ∞ ) hay lim xn = x .

n→∞



1.1.3 Định lí.

Tập F ⊂ X là tập đóng khi và chỉ khi với mọi dãy



( xn ) ⊂ F , xn → x ∈ X



thì x ∈ F .



Giả sử X là khơng gian mêtric. Dãy ( xn ) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu



∀ε > 0, ∃ N , ∀ m, n ≥ N : d ( xm , xn ) < ε .

Không gian mêtric X gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ.

Trong không gian mê tric X , một tập A ⊂ X là tập compăc nếu với mọi dãy ( xn ) ⊂ A , đều



( )



tồn tại dãy con xnk ⊂ ( xn ) sao cho xnk → x ∈ A .

Nếu X là không gian mêtric compăc thì mọi tập con đóng của nó đều là tập compăc.



Tập F của một không gian tôpô gọi là tập có tính chất Gδ nếu F là giao của đếm được các

tập mở.

1.1.4 Định lí.

Trong khơng gian mê tric, mọi tập con đóng đều có tính chất Gδ

Chứng minh. Giả sử F đóng trong khơng gian mêtric ( X , d ) . Đặt



1



Gn =

 x ∈ X : d ( x, F ) <  .

n



Khi đó mọi x ∈ Gn , ta có d ( x, F )= a <



d ( y, F ) ≤ d ( x, y ) + d ( x, F ) < r + a=



1

1

. Đặt r=

− a thì r > 0 và

n

n



1

, ∀y ∈ B ( x, r )

n





nên B ( x, r ) ⊂ Gn . Vậy Gn mở. Ta sẽ chứng minh F =  Gn . Thật vậy, với x ∈ F ta có

n =1



d ( x, F )= 0 <

Do đó





1

với mọi n , nên x ∈ Gn với mọi n hay x ∈  Gn .

n

n =1





F ⊂  Gn

n =1







Ngược lại, với x ∈  Gn ta có x ∈ Gn , ∀n , nên d ( x, F ) <

n =1



yn ∈ F sao cho d ( x, yn ) <

đó







G



n



n =1



1

, ∀n . Từ đó, với mỗi n đều có

n



1

nên lim d ( x, yn ) = 0 , chứng tỏ yn → x . Mà F đóng nên x ∈ F , do

n→∞

n







⊂ F . Vậy F =  Gn . Từ đó suy ra F có tính chất Gδ . 

n =1



1.1.5 Không gian Banach thực



Không gian vectơ thực E gọi là không gian định chuẩn (thực) nếu tồn tại ánh xạ ⋅ : E → 

thỏa mãn

(i)



x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = 0 ;



(ii) λ x = λ x ;

(iii) x + y ≤ x + y

với mọi x, y ∈ E , λ ∈  .

Nếu đặt d ( x, y=

)



x − y , với x, y ∈ E thì d mêtric trên E , gọi là mêtric sinh bởi chuẩn.



Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn.

Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.



Cho E là khơng gian định chuẩn. Kí hiệu E là khơng gian các phiếm hàm tuyến tính trên E ,



E ′ là khơng gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E . Với mọi f ∈ E ′ ta gọi chuẩn của f là



{



}



=

f sup f (=

x ) inf k > 0 : f ( x ) ≤ k x , ∀x ∈ E .

x ≤1



Không gian E ′ gọi là không gian liên hợp (tôpô) của E .

1.1.6 Định lí (Định lí Hahn- Banach). Cho E là không gian định chuẩn, F là không gian con

của E . Khi đó với mỗi



f



F



= f và



f ∈ F ′ , tồn tại f ∈ E ′ sao cho



f = f .



1.1.7 Hệ quả. Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó với mỗi x ∈ E , x ≠ 0 , tồn tại f ∈ E

sao cho f ( x ) = x và



f = 1.



1.1.8 Hệ quả. Giả sử E là khơng gian định chuẩn. Khi đó với mọi x, y ∈ E , nếu



f ( x ) = f ( y ) với mọi f ∈ E ′ thì x = y ..

1.1.9 Hệ quả. Giả sử E là khơng gian khả li. Khi đó tồn tại dãy ( f n ) ⊂ E ′ sao cho



=

x sup f n ( x ) , ∀x ∈ E .

n



Chứng minh. Vì E khả li nên tồn tại dãy ( xn ) ⊂ E sao cho

tồn tại dãy ( f n ) ⊂ E ′ sao cho



{ xn : n ∈ } trù mật trong



E . Vậy



f n = 1 và f n ( xn ) = xn .

Giả sử x ∈ E . Vì f n ( x ) ≤ 1 ⋅ x , ∀n , nên x ≥ sup f n ( x ) . Mặt khác, với mọi ε > 0 , vì

n



{ xn : n ∈ }



trù mật trong E nên tồn tại n : xn − x <



x − xn < x − xn <



ε

2



ε

2



hay xn > x −



. Khi đó



ε

2



.



Từ đó ta có



f n ( x ) = xn − ( xn − f n ( x ) ) ≥ f n ( xn ) − xn − f n ( x )

=

xn − f n ( xn ) − f n ( x )

=xn − f n ( xn − x )



≥ xn − f n ⋅ xn − x =



xn − xn − x



ε ε



> x − − = x −ε .

2 2



Do đó với mọi ε > 0 , tồn tại n sao cho f n ( x ) ≥ x − ε .

Vậy



x = sup f n ( x ) . 

n



1.1.10 Độ đo

Cho Ω ≠ ∅ . Họ các tập con F ⊂ 2Ω được gọi là một đại số nếu thỏa mãn các điều kiện

(i) ∅, Ω ∈ F ;

(ii) Nếu A, B ∈ F



thì A \ B ∈ F ;



(iii) Nếu A, B ∈ F



thì A ∪ B ∈ F .



Nếu thay điều kiện (iii) bởi điều kiện

(iii’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  thì







A ∈F

n



thì F



n =1



1.1.11 Định lí.

1. F



là đại số khi và chỉ khi thỏa mãn (i) và

(iv) Nếu A∈ F



thì=

Ac X \ A ∈ F ;



(v) Nếu A, B ∈ F



thì A ∩ B ∈ F .



gọi là σ - đại số.



2. F



là σ - đại số khi và chỉ khi (i), (ii) và

(v’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  thì







 A ∈F

n



.



n =1



Cặp ( Ω, F



),



trong đó F



hai khơng gian đo ( Ω, F



là σ - đại số các tập con của Ω , gọi là một không gian đo. Cho



) và ( ϒ, G) . Ánh xạ ϕ : Ω → ϒ gọi là



F/G



-đo được nếu



ϕ −1 ( B ) ∈ F với mọi B ∈ G .

là σ - đại số các tập con của Ω . Ánh xạ µ : F →  được gọi là độ đo



Cho Ω ≠ ∅ và F

trên F



nếu thỏa mãn:

(i) µ ( A ) ≥ 0, ∀A ∈ F ;

(ii) µ ( ∅ ) =0 ;







 ∞

A



n  = ∑ µ ( An ) .

 n=1  n=1



∅, i ≠ j thì µ 

(iii) Nếu An ∈ F, ∀n và Ai ∩ Aj =







Nếu µ ( Ω ) < ∞ thì µ được gọi là độ đo hữu hạn. Đặc biệt, nếu µ ( Ω ) =

1 thì µ được gọi

là độ đo xác suất.

Bộ ba



( Ω, F , µ ) ,



trong đó F



là σ - đại số các tập con của Ω , µ là độ đo trên F , được



gọi là một không gian độ đo.

Không gian độ đo gọi là đầy đủ nếu A∈ F , µ ( A ) = 0 thì mọi tập con B ⊂ A đều thuộc F .

Khi đó ta cũng có µ ( B ) = 0 .

Nếu p là độ đo xác suất thì (Ω, F , p) gọi là một không gian xác suất.

1.2 TẬP BOREL TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ

1.2.1 Tập Borel

Cho X là khơng gian tơ pơ. Khi đó σ - đại số bé nhất chứa các tập mở của X được gọi là σ đại số Borel của X , kí hiệu là B ( X ) . Tập A ∈ B ( X ) được gọi là tập Borel.



=

K

Kí hiệu



{[ a, b ) , ( −∞, b ) ,[ a, +∞ ) : a, b ∈ } .



Mỗi tập dạng D = D1 ×  × Dn , D j ∈ K , j = 1,, n gọi là một khoảng trong  . Kí hiệu M n là

n



n

tập hợp các hợp của hữu hạn các khoảng rời nhau trong  .



1.2.2 Định lí.

(i) M n là đại số;



( )



(ii) σ ( M n ) = B  n .

Chứng minh.



∅ [a, a ) × ... × [a, a) nên ∅ ∈ M n . Ta chứng minh  n ∈ M n bằng qui nạp.

(i) Vì=

Với n = 1,  =



( −∞, a ) ∪ [a, +∞) ∈ M 1 . Giả sử với k ≤ n − 1,  k ∈ M k . Khi đó



)]  n−1 × ( −∞, a ) ∪  n−1 × [a, +∞) ∈ M n

=

 n  n−1 × [( −∞, a ) ∪ [a, +∞

=

n−1

n−1

vì  là hợp của hữu hạn khoảng rời nhau trong  .



Ta sẽ chứng minh rằng, nếu A, B ∈ M n thì A ∩ B ∈ M n . Nếu A, B ∈ K thì A ∩ B ∈ K . Giả

n

sử A, B là khoảng trong  . Khi đó



A = D1 × .... × Dn , với D j ∈ K ; B = ∆1 × .... × ∆ n ,

Ta có A ∩=

B



( D1 ∩ ∆1 ) × ... × ( Dn ∩ ∆ n )



với ∆ j ∈ K .



n

nên A ∩ B là khoảng trong  .

n



n

Bây giờ giả sử A, B ∈ M n . Khi đó A =  Ai với Ai là khoảng trong  ,

i =1



n



B =  B j , với B j là khoảng trong  n . Ta có

j =1



p

 p 

A ∩=

B   Ai  ∩=

B  ( Ai ∩ B )

=

i 1

 i 1=







 q

 p q

=

B j  =

( Ai ∩ B j )

  Ai ∩ =



=i 1 

=

=

j

1

i

1

j

1









p



nên A ∩ B ∈ M n .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×