Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM

HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chương 1 đưa ra tổng quan về   phương pháp hàm Green nhiệt độ  hai thời 

điểm, Hamiltonian từ  và phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) làm cơ  sở 

khoa học cho việc tính tốn ở các chương sau.

Phương pháp hàm Green nhiệt độ  hai thời điểm có  ứng dụng rất rộng rãi 

trong vật lý thống kê đó là một cơng cụ hữu hiệu để tính tốn các đặc trưng vĩ mơ 

và vi mơ (ví dụ năng lượng kích thích cơ bản, thời gian sống của hạt …). Trong các  

bài tốn động học như  tính độ  dẫn điện, độ  cảm từ, hệ  số  động học … người ta 

cũng thường sử  dụng phương pháp hàm Green. Phương pháp hàm Green hai thời  

điểm cho các hệ từ tính được mơ tả trong [9].



1.1



Hàm tương quan thời gian và hàm Green



1.1.1 Hàm tương quan thời gian

Cho A(t) và B(t’) là các tốn tử trong biểu diễn Heisenberg

                             



(1.1)



Ở  đây H là Hamiltonian của hệ  (ta coi H chứa cả số hạng ­λ  với  λ  là hố 

,

thế  và là tốn tử  số  hạt tổng cộng trong hệ). Trong trường hợp tổng qt A, B có 

thể  là tích của các hàm sóng lượng tử  hố hay các tốn tử  sinh huỷ  hạt. Phương  

trình chuyển động cho các tốn tử có dạng:

hay

                                



(1.2)



Giao hốn tử   ở  phía bên phải của (1.2) có thể  chứa nhiều số  tốn tử  tuỳ 

thuộc vào dạng của Hamiltonian H .

Ta định nghĩa hàm tương quan thời gian của hai tốn tử A(t), B(t’) là

FAB(t,t’)=

(1.3)

                                             



Ngoặc nhọn  <…> biểu thị trung bình thống kê với Hamiltonian H.

 = Tr (ρ A)                                             (1.4a)

Ở đây ρ là tốn tử thống kê ( Tr là ký hiệu lấy vết – Trace)

, θ=kBT                                    (1.4b)

Q còn là tổng thống kê

                                             



(1.4c)



Mối quan hệ  giữa tổng thống kê và thế  nhiệt động  Ω  thể  hiện qua đẳng 

thức

                                        



(1.4d)



( Hoặc = Tr () = Q ). Tốn tử thống kê còn được viết là

                                                 (1.5)

Do tính chất bất biến của vết –  Tr với hốn vị  tuần hồn các tốn tử  dưới  

dấu vết Tr nên hàm tương quan (1.3) chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian (t – t’). Thật  

vậy



                             = 

Hay  FAB(t,t’) = FAB(t­t’)                                                                                (1.6)

Khi thời gian trùng nhau t = t’ hàm tương quan thời gian trở thành trung bình 

thống kê thơng thường

                                



(1.7)



Lấy đạo hàm của hàm tương quan thời gian (1.3) theo một biến thời gian (t  

chẳng hạn) ta sẽ  có phương trình mơ tả  sự  biến đổi của nó theo thời gian (xem  

(1.2)).

Hay



                                 



(1.8)



Phía bên phải của (1.8) chứa giao hốn tử của A(t) với H nói chung chứa một 

số tốn tử lớn hơn bên phải – đó là hàm tương quan bậc cao hơn. Hồn tồn tương  

tự nếu lấy đạo hàm bên phải của (1.8) theo t ta được hệ  các phương trình chuyển 

động kiểu móc xích

                         



(1.9)



Hệ móc xích các phương trình chuyển động (1.8), (1.9) khơng giải chính xác 

được mà cần phải áp dụng một phép gần đúng nào đó ví dụ  ngắt chuỗi phương 

trình đó  ở  một bước nào đó để  nhận được một hệ  phương trình hữu hạn sau đó  

giải hệ để tìm biểu thức cho hàm tương quan.



1.1.2 Hàm Green

Chúng   ta   định   nghĩa   hàm  Green  chậm   (ký   hiệu   r   –  retarded),   nhanh   (a   – 

advanced) và ngun nhân (c – causal) như sau:

                 

                



(1.10a)



(1.10b)



                           



(1.10c)



Ở  đây ký hiệu giao hốn tử   và trật tự  thời gian  cũng như  hàm bậc thang  

θ(x) có ý nghĩa là

                                

                    



(1.11a)



(1.11b)



                                                           



(1.11c)



Tham số   ξ  = 1 hay ­1 được chọn tuỳ  theo sự tiện lợi khơng phụ  thuộc vào  

định luật giao hốn cho A, B. Thơng thường người ta chọn ξ = 1 nếu các tốn tử A,  

B thể hiện qua các tốn tử  kiểu Bose và  ξ  = ­1 nếu chúng được thể  hiện qua các 

tốn tử kiểu Fermi.

Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng được biểu thị  qua các 

hàm tương quan (1.3) nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’).

   (j = r, a, c)                                    (1.12)

Theo định nghĩa hàm Green  phụ thuộc tuyến tính vào các tham số trước tốn 

tử A, B hay

            



(1.13)



Với α1, α2 là các số tuỳ ý.

Bây giờ ta sẽ lập phương trình chuyển động cho hàm Green bằng cách đạo  

hàm (1.10a), (1.10b), (1.10c) theo t. Khi đó chúng ta phải biết cách đạo hàm hàm bậc 

thang θ(t). Để làm việc này ta dùng biểu diễn tích phân sau của hàm gián đoạn θ(t)

        ()                               (1.14)

Ở đây δ(t) là hàm delta – Dirac. Chú ý rằng theo (1.14)

                                                         



(1.15)



Sử dụng (1.15), phương trình chuyển động cho tốn tử (1.2), ta được phương 

trình chuyển động (viết chung cho cả ba loại hàm Green)

 (j=r,a,c)     (1.16)

Phương trình (1.16) khác với phương trình chuyển động (1.8) cho hàm tương 

quan  ở  chỗ  bên phải có số  hạng thứ  nhất với hệ  số  là hàm delta. Phương trình  

(1.16) giống với phương trình tốn lý cho hàm truyền (hàm Green) cho nên các biểu 

thức (1.10a), (1.10b), (1.10c) được gọi là định nghĩa cho hàm Green nhiệt độ hai thời  

điểm.



Tương tự  như  khi nhận được chuỗi phương trình móc xích cho hàm tương 

quan thời gian, ta có thể lấy đạo hàm theo t tiếp đối với hàm Green bậc cao  ở vế 

bên phải của (1.16) (số hạng thứ hai).

  



(1.17)



(1.17) là phương trình chuyển động cho hàm Green . Nếu lấy đạo hàm theo t 

tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa (số hạng thứ hai trong bên phải của (1.17)) và  

tiếp tục q trình đó ta sẽ  nhận được chuỗi phương trình móc xích cho các hàm 

Green



Chuỗi phương trình móc xích cho ta loại hàm Green chậm, nhanh và ngun  

nhân đều như nhau



1.2



Biểu diễn Fourier cho hàm Green



Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng như  các hàm tương quan) ta có 

thể phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier

                            

 



(1.18a)



gọi là ảnh Fourier của ngun hàm .



Biến đổi Fourier ngược cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và ngun hàm

                                



(1.18b)



Với j = r, a, c

Sử  dụng (1.18a) ta có thể  viết phương trình chuyển động cho hàm Green 

(1.16):



Hay

                        



(1.19)



Ở  đây, ký hiệu  biểu thị  hàm Green  ảnh , còn  là hàm Green  ảnh của hàm  

Green bậc cao tương  ứng. Ngồi ra, ta đã sử  dụng biểu diễn sau cho hàm delta – 

Dirac

                                    



(1.20)



Phương trình đạo hàm Green  ảnh (1.19) được gọi là phương trình chuyển 

động cho hàm Green trong biểu diễn E (biểu diễn năng lượng).

Để  giải phương trình cho hàm Green (1.16) ta cũng cần biết điều kiện biên  

theo t của các hàm đó, điều kiện này khác nhau cho từng loại hàm Green nhanh,  

chậm, ngun nhân. Dạng các điều kiện biên xuất phát ngay từ  định nghĩa của 

chúng (1.10a), (1.10b), (1.10c). Một cách tiện lợi hơn là ta sử dụng ảnh Fourier của  

hàm Green , khi đó vai trò điều kiện biên sẽ là biểu diễn phổ cho hàm Green hoặc  

hệ  thức tán sắc (hệ  thức tán sắc xác định cách đi vòng cực của hàm Green  ảnh,  

điều đó có nghĩa là điều kiện biên cho chính hàm Green).

Chúng ta cần thấy rằng sự  xuất hiện chuỗi phương trình móc xích (1.16), 

(1.17)… cho hàm Green là tất yếu cho hệ các hạt tương tác với nhau: ta khơng thể 

xét một hạt này tách rời khỏi các hạt khác. Nhiệm vụ  chính là phải tìm một cách 

gần đúng để  giải chuỗi phương trình móc xích vơ hạn đó. Cách thơng thường là  

ngắt chuỗi hàm Green ở một bước nào đó để nhận được hệ phương trình hữu hạn 

cho các hàm Green rồi giải.



1.3



Biểu diễn phổ cho hàm Green



1.3.1 Biểu diễn phổ cho hàm tương quan

Ta biểu thị một cách hình thức Eν và Cν là các giá trị  riêng và hàm riêng của 

Hamiltonian H của hệ



(H ­ Eν)Cν = 0 



                                         (1.21)



Hệ các hàm riêng  là hệ  đầy do đó ta có thể  viết giá trị  trung bình thống kê  

của tích hai tốn tử



Vì vết (Tr) là tổng các thành phần ma trận chéo nên



    



(1.22)



Q là tổng thống kê (1.4c). Chú ý rằng

                                           



 (1.23)



Và theo định nghĩa (1.1) về các tốn tử trong biểu diễn Heisenberg, (1.22) trở 

thành:



    



(1.24)



Tính tốn hồn tồn tương tự cho hàm tương quan 



Hay viết theo thứ tự giống (1.24)

(1.25)

Ta đưa vào khái niệm hàm cường độ phổ IAB(ω)

       



(1.26)



Thì   hàm   tương   quan   (1.24),   (1.25)   được   biểu   diễn   trong   dạng   tích   phân 

Fourier



                                



(1.27a)



                             (1.27b)

(1.27a), (1.27b) còn được gọi là biểu diễn phổ cho hàm tương quan thời gian.

Khi t = t’ ta có cơng thức cho trung bình các tốn tử dưới dáng tích phân

                                              (1.28a)

                                      (1.28b)

Nhân (1.27a) và (1.28a) với  ξ  và lấy (1.27b), (1.28b) trừ  đi chúng, một cách 

tương ứng ta được biểu diễn phổ cho trung bình của các giao hốn tử.

            (1.29a)

                       



(1.29b)



Đó là các biểu thức chính xác.Tóm lại (1.27a), (1.27b), (1.29a), (1.29b) là biểu  

diễn phổ cho các hàm tương quan và cho trung bình của các giao hốn tử.



1.3.2 Biểu diễn phổ cho hàm Green

Hàm Green chậm trong biểu diễn năng lượng ((1.18b), (1.11a))



Theo (1.29a) thì



            



(1.30)



Bây giờ  ta sử  dụng biểu diễn sau cho hàm gián đoạn  θ(t) (đặt (1.20) vào 

(1.14)):

          (ε> 0)



                                            



(1.31)



Ngược lại ta có thể chứng minh theo biểu diễn tích phân (1.31) thì  như sau: 

Sử dụng tính chất của hàm biến phức cho rằng E là đại lượng phức. Áp dụng định  

lý về thặng dư:

  



(1.32)



z0 là cực của hàm f(z).

f(z) là hàm holomorphic trong mặt phẳng phức trừ ở các cực.

γ là đường chu tuyến bao quanh cực z0, có chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Khi t > 0 ta có thể  chọn đường lấy tích phân  γ  khép kín trong mặt phẳng 

phức E ở bên dưới bao quanh cực E = ­iε (hình vẽ 1.a) 



θ(t) = 1

Khi t < 0 đường lấy tích phân nằm khép kín trong nửa mặt phẳng phía bên  

trên (hình 1.b). Khi đó đường lấy tích phân khơng chứa điểm cực E = ­iε, hàm dưới  

dấu tích phân là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng phức phía trên và θ(t) = 0, đó là 

điều phải chứng minh.

Tích phân theo t trong cơng thức (1.30) trở thành:



(1.33)

Ảnh Fourier cho hàm Green chậm (1.30) bây giờ  được biểu diễn qua hàm 

cường độ phổ như sau:

                    



(1.34)



Bằng cách hồn tồn tương tự ta có biểu diễn cho hàm Green nhanh

                        



(1.35)



((1.35) chỉ khác (1.34) khi thay +iε → ­iε)

Trong (1.33)   (1.35) E được coi là thực. Bây giờ  nếu ta coi E là đại lượng  

phức thì (1.34), (1.35) có thể viết chung làm một cơng thức

  



(1.36)



(1.34)  (1.36) được gọi là biểu diễn phổ cho hàm Green.

Hàm Green chậm  và nhanh  là các hàm giải tích trong nửa mặt phẳng trên 

(ImE > 0) và dưới (ImE < 0) tương  ứng. Cả  hai hàm đó có thể  xem như  một hàm  

giải tích GAB(E) có một cực trên trục thật (cho nên trong tính tốn nhiều khi ta  

khơng viết ký hiệu hàm Green chậm, nhanh – r hoặc a).

Cũng tương tự ta có thể thiết lập biểu diễn phổ cho hàm Green ngun nhân

                 



(1.37)



Sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac

                                    



(1.38)



P – ký hiệu chỉ giá trị chính

Sử dụng (1.38) ta viết (1.37) trong dạng khác



(1.39)

Hàm Green ngun nhân (1.39) chỉ xác định trên trục thật (E thực) ở nhiệt độ 

hữu hạn θ ≠ 0 khơng thể khai triển vào mặt phẳng phức được, do đó người ta ít sử 

dụng nó. Từ nay về sau ta sẽ sử dụng hàm Green nhanh hoặc chậm mà thơi.



Một  ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ  (1.36) là ta có thể  xác định 

cường độ phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E)

                  



(1.40)



Thật vậy, theo (1.36)



Áp dụng (1.38) cho biểu thức trong ngoặc móc, ta được



Đó là điều phải chứng minh.

Biết IAB(ω) (1.19) ta dễ  dàng tính được trung bình thống kê tích các tốn tử 

theo (1.8a) hoặc (1.8b). Thí dụ (1.8b) được viết là

          



(1.41)



Nếu A là tốn tử sinh hạt A = a +, B là tốn tử huỷ hạt B = a thì (1.20) cho ta  

cách tính giá trị trung bình số hạt  ở một nhiệt độ xác định.



1.4



Hamiltonian sắt từ và các tốn tử spin



Hamiltonian Heisenberg:Trước hết chúng ta nghiên cứu hiện tượng sắt từ 

trong tinh thể từ trật tự gồm các ngun tử từ có spin  đứng tại nút j của mạng tinh 

thể hồn hảo (j là chỉ số nút mạng, ta cũng kí hiệu  là vectơ chỉ vị trí nút mạng trong  

hệ toạ độ tinh thể). Các spin tại nút i và j tương tác trao đổi với nhau và độ lớn của  

tương tác đó được đặc trưng bởi tích phân trao đổi Jij. Xét về  mặt vi mơ, ngun 

nhân của tương tác trao đổi là sự  phủ  của các hàm sóng quỹ  đạo của các điện tử 

thuộc các lớp vỏ  điện tử  khơng chiếm đầy hồn tồn của các ngun tử  từ  (ở  đây  

nói về tương tác trao đổi trực tiếp, ngồi ra còn có thể có cơ chế trao đổi gián tiếp  

qua các ion hoặc điện tử trung gian).



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×