Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

Tải bản đầy đủ - 0trang

7



của tài liệu tham khảo [1] đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm (1.1)

trên R bằng cách sử dụng công cụ nửa nhóm tiến hóa và phương trình đặc trưng. Ở

trong [26], R.Schnaubelt đã chỉ ra công thức biến thiên hằng số thứ nhất cho (1.1)

cũng bằng cách sử dụng các ý tưởng trên nửa nhóm tiến hóa.

Mục đích của chúng tôi trong luận văn là mở rộng các kết quả của [10,12,19,22]

sang dạng đầy đủ của (1.1) như phần trên. Nói một cách chính xác hơn, chúng tôi

sẽ chỉ ra trong chương này sự tồn tại của nghiệm yếu (“mild solutions”), biểu diễn

những nghiệm đó dưới dạng các họ tiến hóa và sử dụng chúng để nghiên cứu dáng

điệu tiệm cận các nghiệm.

2.2 PHẦN CHUẨN BỊ :



Trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra một số đònh nghóa và kí hiệu được sử dụng ở

phần sau.

Cho X là một không gian Banach, ta kí hiệu L(X) là không gian các ánh xạ tuyến

tính liên tục trên X.

ĐỊNH NGHĨA 2.2.1 :



Họ các toán tử U : = (U (t, s))t ≥s≥0 trong L(X) được gọi là họ tiến hóa liên tục

mạnh (strongly continuous evolution family) nếu :



(1) U(t,s) = U(t,r).U(r,s) và U(s,s) = Id với mọi t ≥ r ≥ s ≥ 0

(2)Ánh xạ (t,s)∈ {(t,s): t ≥ s ≥ 0}



U(t,s) là liên tục mạnh .



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



8



ĐỊNH NGHĨA 2.2.2 :



Một họ tiến hóa U : = (U (t, s))t ≥s≥0 được gọi là có tính chất “exponential

dichotomy” nếu tồn tại một hàm P : R + → L(X) sao cho hàm P(.)x là liên tục,



bò chặn tại mỗi x∈X và nếu tồn tại các hằng soá δ > 0, N = N (δ ) ≥ 1 sao cho :

(1) P(t).U(t,s) = U(t,s).P(s) ;

(2) UQ(t,s) : ImQ(s) → ImQ(t) khả nghòch, trong đó Q(.) : = I − P(.) và UQ(t,s)



là thu hẹp của U(t,s) trên ImQ(s) ;

(3) U (t, s).P(s) ≤ Ne−δ ( t −s ) vaø UQ (s, t ).Q(t ) ≤ Ne−δ ( t − s ) .

ĐỊNH NGHĨA 2.2.3 :



Họ các toán tử ( Γ(t, s) ) t ≥ s≥ 0 trong L(X) được cho bởi :

,t≥s

⎧ U(t,s).P(s)

Γ(t , s) : = ⎨

⎩-U Q (t, s).Q(s) , t < s



được gọi là hàm Green tương ứng của họ tiến hóa (U(t,s)).

Kí hiệu BC( R + , X) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục và bò chặn từ

R + vào X , không gian này được trang bò chuẩn của hội tụ đều (chuẩn sup). Không



gian con đóng các hàm bò chặn và liên tục đều của không gian trên được kí hiệu là

BUC( R + , X ).

ĐỊNH NGHĨA 2.2.4 :



(1) Nếu f : R + → X thì tập tất cả các dòch chuyển của f được đònh nghóa là

H(f) := { f(. + t) : t∈ R + }.



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



9



(2) Một hàm f∈ BC(R + , X ) được gọi là “ asymptotically almost periodic” nếu

H(f) là compact tương đối trong BC( R + , X ).

(3) Không gian con đóng ε của BUC( R + , X ) được gọi là “translation biinvariant” neáu f ∈ ε ⇔ H ( f ) ⊂ ε .

(4) Không gian ε được gọi là thuần nhất nếu ε là “translation biinvariant” và M f ∈ ε với mọi f ∈ ε và M ∈ L(X).

Trong [5] (từ tài liệu [1] của luận văn này), ta biết rằng các lớp hàm sau đây là các

không gian con đóng thuần nhất của BUC( R + , X ) :

+ Khoâng gian C 0 ( R + , X ) các hàm liên tục và triệt tiêu ở vô cực.

+ Không gian AAP( R + , X ) các hàm “asymptotically almost periodic”.

Trước khi kết thúc phần này, chúng tôi cần bổ đề cơ bản sau đây :

BỔ ĐỀ 2.1 :



Cho (U(t,s)) t ≥s≥0 là một họ tiến hóa bò chặn trên X, ε là không gian con đóng

thuần nhất của BUC( R + , X ) và h∈ L1 (R + , X ) (theo nghóa tích phân Bochner).

Giả sử ánh xạ t

ánh xạ t



U (t + s, s) x thuộc về ε với mọi x∈ X và s ≥ 0 . Khi đó ta có



t



∫ U (t + s, s + σ )h(σ )dσ



cũng thuộc ε với mọi s ≥ 0 .



0



CHỨNG MINH :

t



Với s ≥ 0 , đặt Us ∗ g(t) := ∫ U (t + s, s + σ )g(σ )dσ neáu g∈ L1 (R + , X ) .

0



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



10



Khi đó ta có ánh xạ g



Us ∗ g là tuyến tính liên tục từ L1 (R + , X ) vào



BC( R + ,X) . Thaät vaäy :

t



∫ U (t + s, s + σ )g(σ )dσ



+ U s ∗ g( t ) =



0



trong đó M = Sup U(t,s) và g

t ≥ s≥ 0



t



≤ M ∫ g(σ ) dσ ≤ M g

0



L1



, ∀t ≥ 0







L1



= ∫ g(σ ) dσ .

0



Vaäy Us ∗ g bò chặn.

Mặt khác theo giả thiết ta có ánh xạ

(t,s)∈{(t,s)∈ R 2+ : t ≥ s}



U(t,s) là liên tục mạnh nên Us ∗ g liên tục trên R + .



Vaäy Us ∗ g∈ BC(R + , X ) .

Us ∗ g là hiển nhiên, tính liên tục của



+ Tính tuyến tính của ánh xạ g



ánh xạ trên suy từ kết quả Us ∗ g ≤ M g



L1



.



Để chứng minh phần còn lại của bổ đề, trước hết ta xét h = 1 [ a,b ] ⊗ x với

⎧x , t ∈ [a,b]

.

0 ≤ a ≤ b, x ∈ X , trong đó 1 [ a ,b ] ⊗ x(t) = ⎨

⎩ 0 , t ∉ [ a, b ]



Khi đó, với t ≥ 0 , ta có:

Us ∗ h(t+b) =



t+b



∫ U(t + b + s, s + σ )h(σ )dσ

0



b



= ∫ U(t + b + s, s + σ ) xdσ .

a



Chú ý là U(t+b+s,s+σ ) = U(t+b+s,s+b) . U(b+s,s+σ ) , ∀σ ∈ [a,b] .

b



Vaäy Us ∗ h(t+b) = U(t+b+s,s+b) . ∫ U(b + s, s + σ ) xdσ .

a



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



11



Bởi vì t



U(t+b+s,s+b) x thuộc ε với mọi x∈X và với mọi s ≥ 0 nên



Us ∗ h(. + b)∈ ε .

Do ε là dòch chuyển “bi - invariant” nên Us ∗ h(.) ∈ ε với mọi s ≥ 0 .

Nếu h là hàm đơn giản trên L1 (R + , X ) thì do kết quả vừa chứng minh

ở trên cùng với tính tuyến tính của tích phân ta có ngay Us ∗ h ∈ ε .

Neáu h∈ L1 (R + , X ) thì do tập các hàm đơn giản trên L1 (R + , X ) là trù mật trong

L

L1 (R + , X ) nên tồn tại dãy ( h n ) các hàm đơn giản , h n ⎯⎯

→ h . Do g

1



Us ∗ g



liên tục nên Us ∗ h n → Us ∗ h . Cuối cùng, do ε đóng nên Us ∗ h ∈ ε .

Bổ đề được chứng minh.

2.3 CHUỖI DYSON – PHILLIPS VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA

NGHIỆM TRONG TRƯỜNG HP (1.1) Ở DẠNG THUẦN NHẤT :



Cho (A(t), D(A(t))) t ≥0 là một họ ổn đònh, sinh ra một họ tiến hóa (V(t,s)) t ≥ s≥ 0 trên

một không gian Banach E thỏa mãn V(t,s) ≤ M.eω (t - s) trong đó M, ω là các hằng

số và M ≥ 1.

Cho (L(t))t ≥ 0 là họ các toán tử tuyến tính liên tục từ Cr vào E với

L(.) ∈ BC(R + ,Ls (Cr ,E)) , nghóa là ánh xạ t



L (t ) là một ánh xạ bò chặn và liên tục



mạnh.

Phương trình vi phân thuần nhaát

x'(t) = A(t)x(t) + L(t)x t ,

xs = ϕ ∈ Cr := C([-r,0], E) .



t≥s



(3.1)



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



12



được rất nhiều tác giả nghiên cứu gần đây, chẳng hạn trong [10,13,20,26] (trong[1]

của luận văn). Trong các bài báo này, các tác giả đã chỉ ra sự tồn tại và duy nhất

nghiệm yếu cho bài toán (3.1) ở trên theo nghóa đó là một hàm liên tục x thỏa mãn :

x : [s-r, ∞) → E

t



⎪V(t,s)ϕ (0) + ∫ V(t,σ )L(σ )xσ dσ , t ≥ s

x(t) = ⎨

(3.2)

s

⎪ϕ (t-s)

, s-r ≤ t ≤ s





và họ nghiệm (x t ) là họ tiến hóa trên Cr .

Trong phần này, bằng một con đường khác, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm

yếu của (3.1) . Chính xác hơn, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng họ nghiệm của (3.1) sẽ được

biểu diễn dưới dạng chuỗi Dyson-Phillips và thỏa mãn một công thức biến thiên

hằng số. Sử dụng công thức biến thiên hằng số đó, chúng tôi sẽ chỉ ra nghiệm yếu

của (3.1) có cùng dáng điệu tiệm cận với ánh xạ

t



V(t+s,s)x , s ≥ 0 , x ∈ E (t ∈ R + ) .



Trong các bài báo [12,26] (trong[1] của luận văn) , chúng ta biết rằng họ nghiệm

tiến hóa của phương trình không dừng (L(t) ≡ 0) được cho bởi :

⎧V(t+τ ,s)ϕ (0) , t+τ ≥ s

U(t,s)ϕ (τ ) = ⎨

(∗) với ϕ ∈ Cr .

, s-r ≤ t+τ ≤ s

⎩ϕ (t+τ -s)



Công thức (∗) ở trên sẽ được chúng tôi sử dụng nhiều lần trong các phần sau.

Phần tiếp theo chúng tôi cần bổ đề sau :

BỔ ĐỀ 2.2 :



Cho g ∈ C(R + ,E) . Khi đó giới hạn

Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



13



t



lim ∫ U(t,σ )λ eλ • R(λ ,A(0))g(σ )dσ



λ →∞



s



tồn tại đều trên Cr theo các tập compact cuûa {(t,s) : t ≥ s ≥ 0 }, trong đó



R(λ , A) = (λ I - A)-1 và kí hiệu eλ • x = eλ ⊗ x được xác đònh như sau :

eλ • x(τ ) = (eλ ⊗ x)(τ ) = eλτ x , x ∈ E ,τ ∈ R.



CHỨNG MINH :



Với λ ≥ λ0 > max(ω ,0) ( ω là hằng số đánh giá của họ {V(t,s)}) vaø

0 ≤ s ≤ t ≤ T ( T là hằng số chọn trước) ta đặt :

t



Wλ (t, s) := ∫ U(t,σ )λ eλ • R(λ ,A(0))g(σ )dσ .

s



Với τ ∈ [−r ,0] vaø τ + t ≥ s , ta coù :

Wλ (t, s)(τ ) =



t +τ



∫ U(t,σ )λe

s



λ•



t



R(λ ,A(0))g(σ )(τ )dσ + ∫ U(t,σ )λ eλ • R(λ ,A(0))g(σ )(τ )dσ .

t +τ



Sử dụng công thức ( ∗ ) ở phần trên ta thu được :

Wλ (t, s)(τ ) =



t +τ



t



s



t+



∫ V(t+τ ,σ )λR(λ ,A(0))g(σ )dσ + ∫τ λe



λ (t+τ −σ )



R(λ ,A(0))g(σ )dσ .



Do đó, với λ , µ ≥ λ0 , ta thu được :

Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ )



=



t +τ



∫ V(t+τ ,σ )[λR(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ )dσ +

s



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



14



+



t



∫τ [λe



λ (t+τ −σ )



R(λ ,A(0)) - µ e µ (t+τ -σ ) R(µ ,A(0))]g(σ )dσ khi t+τ ≥ s và



t+



Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ )

t



= ∫ [λ eλ (t+τ −σ ) R(λ ,A(0)) - µ e µ (t+τ -σ )R(µ ,A(0))]g(σ )dσ khi t+τ ≤ s .

s



Vì vậy ta có :

Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ )

T



≤ M1 (T)∫ [λR(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ ) dσ + M(

0



1

1

) sup g(σ )

+

λ − ω µ − ω σ ∈[0,T]



trong đó M1(T) = Meλ0 T . Ta thu được kết quả trên là nhờ các đánh giá sau :

(i)



t



∫τ λe



λ (t+τ −σ )



R(λ ,A(0))g(σ )dσ ≤



t+



t



∫τ λe



λ (t+τ −σ )



R(λ ,A(0)) . g dσ



t+



≤ λ R(λ ,A(0)) . g .



( g = sup g(σ ) )

σ ∈[ 0,T ]



1



λ



= R(λ ,A(0)) . g .



(ii) Đònh lý Hille-Yosida-Phillips :

R(λ ,A(0)) ≤



M

, với λ > ω .

λ −ω



Sử dụng kết quả : lim λ R(λ ,A(0))x = x ∀x ∈ E , ta suy ra :

λ →∞



lim [λ R(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ ) = 0 ∀σ ∈ [ 0,T ] .



λ ,µ →∞



Theo đònh lý hội tụ bò chặn Lebesgue, ta thu được :

lim



λ ,µ →∞



T



∫ [λR(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ ) dσ = 0

0



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



15



Hệ quả là ta có :

Sup Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ ) → 0 khi λ , µ → ∞ đều trên tập



τ ∈[ − r ,0]



{(t,s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ T} . Bổ đề được chứng minh hoàn toàn.



Từ bổ đề trên ta có thể đònh nghóa họ các toán tử (Un(t,s))n≥0 như sau :

U0(t,s)φ = U(t,s)φ

t



U n (t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U n-1 (σ ,s)ϕ dσ

λ →∞



s



với ϕ ∈ Cr , n ≥ 1 và 0 ≤ s ≤ t.

Từ đó ta đi đến đònh lý sau :

ĐỊNH LÝ 2.1 :



(i) Chuoãi U L (t,s) :=



∑U



n≥0



n



(t,s) , 0 ≤ s ≤ t , hội tụ đều trong L(Cr) trên



{(t,s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ T} (T chọn trước) và (U L (t,s))t ≥ s ≥0 là một họ tiến hóa trên Cr .

Hơn nữa, ta còn có công thức biến thiên hằng số sau đây :

t



U L (t,s)ϕ = U(t,s)ϕ + lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U L (σ ,s)ϕ dσ (3.3)

λ →∞



s



thỏa mãn với mọi ϕ ∈ Cr và t ≥ s ≥ 0 .

(ii) Với mỗi ϕ ∈ Cr và s ≥ 0 , hàm xác đònh bởi :

⎧U (t,s)ϕ (0) , s ≤ t

x(t,s,ϕ ):= ⎨ L

(3.4)

(t-s)

,

s-r

t

s

ϕ









Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



16



là nghiệm yếu duy nhất của phương trình (3.1) và x t = U L (t,s)ϕ , 0 ≤ s ≤ t .

CHỨNG MINH :



i) Với n = 0 , ta có U 0 (t,s) ≤ Meω (t-s) ,0 ≤ s ≤ t .

Với n = 1, t ≥ s ≥ 0 vaø ϕ ∈ Cr , ta coù :

t



U1 (t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U 0 (σ ,s)ϕ dσ .

λ →∞



s



Do đó ta có :

t



∫ U(t,σ )e



U1 (t,s)ϕ = lim



λ →∞



Ta chú ý là :



λ•



λ R(λ ,A(0))L(σ )U 0 (σ ,s)ϕ d σ .



s



U(t,σ ) ≤ Meω (t-σ ) ,

U 0 (σ , s) = U(σ , s) ≤ Meω (σ −s) (s ≤ σ ≤ t ) ,



eλτ ≤ 1 ∀τ ∈ [-r,0] (λ > λ0 ) ,

lim λ R(λ ,A(0))x = x ∀x ∈ E ,



λ →∞



R(λ ,A(0)) ≤



M

với λ > ω .

λ −ω



Áp dụng các kết quả treân ta suy ra :

U1 (t,s)ϕ



≤ M 2 L(.) ∞ eω (t-s) (t-s) ϕ



Do đó ta được: U1 (t,s) ≤ M 2 L(.) ∞ eω (t-s) (t-s)

Bằng quy nạp ta chứng minh được :

U n (t,s) ≤



(M 2 L (.) ∞ )

n!



n



Meω (t-s) (t-s) ∀n ∈ , 0 ≤ s ≤ t.



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



17



Vì vậy chuỗi



∑ U (t,s) hội tụ đều trong L (C ) trên {(t,s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ T} . Tính

n≥ 0



r



n



liên tục của (U L (t,s))t ≥ s ≥0 có được nhờ bổ đề (2.2) và tính hội tụ đều của

chuỗi theo phần chứng minh trên. Mặt khác ta có :

U L (t, s) := ∑ U n (t,s),0 ≤ s ≤ t ;

n≥ 0



U L (t,s)ϕ = U(t,s)ϕ +



∑ U (t,s)ϕ

n ≥1



n



;



t



U n (t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U n-1 (σ ,s)ϕ dσ .

λ →∞



s



Từ đó ta thu được:

t



n



∑ U k (t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )[

k =1



λ →∞



s



n-1



∑U

k =0



k



(σ ,s) ]ϕ dσ .



Cho n tiến ra ∞ ở hai vế của đẳng thức trên, ta suy ra :

t



U L (t,s)ϕ − U(t,s)ϕ = lim ∫ U(t,σ )eλ •λ R(λ ,A(0))L(σ )U L (σ ,s)ϕ dσ .

λ →∞



s



Vậy (i) được chứng minh.

(ii) Từ công thức (3.3) ta có :

t+τ



⎪V(t+τ ,s)ϕ (0)+ ∫ V(t+τ ,σ )L(σ )U L (σ ,s)ϕ dσ khi t+τ ≥ s

U L (t,s)ϕ (τ ) = ⎨

s

⎪ϕ (t+τ -s)

khi s-r ≤ t+τ ≤ s .





Vì vậy :



⎧U (t+τ ,s)ϕ (0), t+τ ≥ s

U L (t,s)ϕ (τ ) = ⎨ L

s-r ≤ t+τ ≤ s .

⎩ϕ (t+τ -s)



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×