Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN

Tải bản đầy đủ - 0trang

2



Ta gọi toán tử A xác đònh như trên là toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn hơn là

toán tử sinh) của nửa nhóm {T (t )}t ≥0 .

Khi đó, ta có các kết quả sau đây :

i) D(A) là trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng trên D(A).

ii) Nửa nhóm liên tục mạnh {T (t )}t ≥0 có một toán tử sinh là bò chặn khi và chỉ

khi {T (t )}t ≥0 là một nửa nhóm liên tục đều.

Đònh lý sau đây cho ta một đặc trưng của toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục

mạnh :

• Đònh lý 1 (Hille-Yosida-Phillips) :



Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác đònh trù mật. Khi đó A là

toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh nếu và chỉ nếu tồn tại các số

thực M và ω sao cho với λ > ω , ta có λ ∈ ρ (A) vaø

R(λ , A)n ≤ M (λ − ω )− n ∀n ∈



*



,



trong đó R(λ , A) = (λ I − A)−1 (λ ∈ ρ ( A)).

Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng kết quả sau đây trong luận văn :

• Đònh lý 2 :



Cho {T (t )}t ≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh xác đònh trên X và A là toán tử

sinh tương ứng. Khi đó ta có kết quả sau :

lim λ R(λ , A) x = x ∀x ∈ X .



λ →+∞



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



3



1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG III :

• Điều kiện A :



Cho X là không gian tôpô lồi đòa phương và P là họ nửa chuẩn tách trên X.

Cho D ⊂ X và U : D → X , với mọi a ∈ X ta đònh nghóa Ua : D → X nhö sau :

Ua(x)= a + U(x) .

Toán tử U : D → X được gọi là thỏa mãn điều kiện (A) trên tập Ω ⊂ X neáu :

( A1 )



Ua(D) ⊂ D ∀ a∈ Ω ,



( A2 )



Với mỗi a∈ Ω và p∈ P , tồn tại ka ∈ Z + thỏa mãn tính chất :



với mọi ε > 0 , tồn tại r ∈ Z + và δ > 0 sao cho : với x, y ∈D , α a P (x,y) < ε + δ

thì α a P (U a r ( x ),U a r ( y )) < ε ,

trong đó α a P ( x , y ) = max{p(U a i ( x ) − U a j ( y )), i, j ∈ {0, ka}} .

• Đònh lý A :



Cho X là không gian lồi đòa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên X.

Cho D là tập con đầy đủ theo dãy trong X , U : D → X liên tục đều và thỏa

mãn điều kiện (A) trên tập hợp Ω ⊂ X . Khi đó toán tử ( I − U )−1 được xác đònh

và liên tục trên Ω . Hơn nữa, nếu trong điều kiện (A), δ được chọn độc lập

với a ∈ Ω thì ( I − U )−1 liên tục đều trên Ω .

• Đònh lý B :



Cho X là không gian lồi đòa phương đầy đủ theo dãy và P là họ nửa chuẩn tách

trên X. Giả sử các ánh xạ U , G : X → X thỏa mãn :

i)



U thỏa mãn điều kiện (A) trên X.

Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



4



ii)



Với mỗi p ∈ P , tồn tại k > 0 (k phụ thuộc p) sao cho :

p(U ( x ) − U ( y )) ≤ kp( x − y ) ∀x , y ∈ X .



iii)



Có phần tử x0 ∈ X thỏa tính chất : với mọi p ∈ P , tồn tại r ∈



*



và λ ∈ [0,1) (r và λ phụ thuộc p) sao cho :

p(U xr0 ( x ) − U xr0 ( y )) ≤ λ p( x − y ) ∀x , y ∈ X .

iv)

v)



G hoàn toàn liên tục và p(G( A)) < ∞ moãi khi p( A) < ∞.

lim



p ( x )→∞



p(G( x ))

= 0 ∀p ∈ P .

p( x )



Khi đó tồn tại một tập lồi, mở, bò chặn D trong X sao cho U + G có điểm bất

động trong D . Ngoài ra, nếu có thêm giả thiết U liên tục đều trên X thì ta có

thêm ( I − U )−1 G( D ) ⊂ D .

• Đònh lý C (Krasnoselskii-Perov) :



Cho (E,|.|) là không gian Banach thực, D là tập mở bò chặn trong E và

T : D → E là ánh xạ compắc. Giả sử 0 ∉ (I − T )∂D vaø deg(I − T , D,0) ≠ 0 .



Giả sử thêm T thỏa mãn điều kiện :

Với mọi ε > 0 , có ánh xạ compắc Tε sao cho: T ( x ) − Tε ( x ) < ε ∀x ∈ D

đồng thời với h : h ≤ ε , phương trình x = Tε ( x ) + h có nhiều nhất một nghiệm

trong D . Khi đó tập các điểm bất động của T là khác rỗng, compắc và liên

thông.



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



5



• Đònh lý D :



Cho S là không gian mêtric thỏa mãn các điều kiện sau :





(S1) S = ∪ Sn , Sn compắc, khác rỗng.

n =1



(S2) S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ ... ⊂ Sn ⊂ ...

(S3) Với mỗi tập con compắc K, tồn tại n ∈



sao cho K ⊂ Sn .



Đặt C(S) là không gian Frechet các ánh xạ liên tục từ S vào E. Khi đó, tập

A ⊂ C (S ) là compắc tương đối nếu và chỉ nếu với mọi n ∈



*



, A đẳng liên tục



trên Sn và tập An = {x (s)/ x ∈ A, s ∈ Sn} compắc tương đối trong E .

• Đònh lý E :



Cho X, Y là hai không gian Banach, D mở trong X và f : D → Y liên tục.

Khi đó, với mỗi ε > 0 , tồn tại fε : D → Y lipschitz đòa phương sao cho :

f ( x ) − fε ( x ) ≤ ε ∀x ∈ D vaø fε ( D ) ⊂ cof ( D ) (coA là bao lồi của A).



• Đònh lý F (đònh lý Schauder):



Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E và f : C → C liên tục sao

cho f(C) là tập compắc tương đối. Khi đó f có điểm bất động trong C.

*********************************************************



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



6



CHƯƠNG II:

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG:

CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN.



2.1 GIỚI THIỆU:



Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu phương trình vi phân sau ñaây :

x'(t) = A(t)x(t) + L(t)x t + f(t), t ≥ s ≥ 0

xs = ϕ ∈ C r := C([-r,0],E)



(1.1)



trong đó ( A(t ), D( A(t )))t ≥s≥0 sinh ra họ tiến hóa liên tục mạnh (strongly continuous

evolution family) (V (t, s))t ≥s≥0 trên một không gian Banach E, {L (t )}t ≥0 là họ các

toán tử tuyến tính liên tục từ Cr vào E.

Trong trường hợp tự động ( A(t) = A , L(t) = L), nhiều tác giả đã nghiên cứu phương

trình (1.1) với các kỹ thuật khác nhau, chẳng hạn trong [4,9,14,17,27,28,29] từ tài

liệu tham khảo [1] của luận văn.

A.Rhandi gần đây đã chỉ ra trong [22](tài liệu tham khảo [1]) rằng nghiệm của

(1.1) trong trường hợp f ≡ 0 được cho dưới dạng chuỗi DYSON-PHILLIPS.Trong

các bài báo [10,12]( tài liệu tham khảo [1]), các tác giả đã chứng minh được rằng

nghiệm của (1.1) khi f không đồng nhất là hàm không có thể được xác đònh bởi

“Công thức biến thiên hằng số” và với công thức này ta có thể nghiên cứu dáng

điệu tiệm cận các nghiệm của phương trình(1.1). Gần đây, các tác giả trong [13]



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



7



của tài liệu tham khảo [1] đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm (1.1)

trên R bằng cách sử dụng công cụ nửa nhóm tiến hóa và phương trình đặc trưng. Ở

trong [26], R.Schnaubelt đã chỉ ra công thức biến thiên hằng số thứ nhất cho (1.1)

cũng bằng cách sử dụng các ý tưởng trên nửa nhóm tiến hóa.

Mục đích của chúng tôi trong luận văn là mở rộng các kết quả của [10,12,19,22]

sang dạng đầy đủ của (1.1) như phần trên. Nói một cách chính xác hơn, chúng tôi

sẽ chỉ ra trong chương này sự tồn tại của nghiệm yếu (“mild solutions”), biểu diễn

những nghiệm đó dưới dạng các họ tiến hóa và sử dụng chúng để nghiên cứu dáng

điệu tiệm cận các nghiệm.

2.2 PHẦN CHUẨN BỊ :



Trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra một số đònh nghóa và kí hiệu được sử dụng ở

phần sau.

Cho X là một không gian Banach, ta kí hiệu L(X) là không gian các ánh xạ tuyến

tính liên tục trên X.

ĐỊNH NGHĨA 2.2.1 :



Họ các toán tử U : = (U (t, s))t ≥s≥0 trong L(X) được gọi là họ tiến hóa liên tục

mạnh (strongly continuous evolution family) nếu :



(1) U(t,s) = U(t,r).U(r,s) và U(s,s) = Id với mọi t ≥ r ≥ s ≥ 0

(2)Ánh xạ (t,s)∈ {(t,s): t ≥ s ≥ 0}



U(t,s) là liên tục mạnh .



Người thực hiện : Trần Trí Dũng

Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×