Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
4 K lý thuyết của phân lá kim cương thực

4 K lý thuyết của phân lá kim cương thực

Tải bản đầy đủ - 0trang

Trong đó t  t  r



x2  y 2

xyz

 r2

2

2

2

x y z

x2  y2  z 2











2



,











yz

xz

x  e s  x  r 2

, y  es  y  r 2

và z  z .

2

2

2

2 

x

y

z

x

y

z



















3.4.2 Dãy mở rộng lặp của C  (V , F )



Xét các đa tạp con sau đây của V :

V1  {(t , x, y , z )  V : z  0}     2  

W1  V \ V1    ( 2 )

V2  {(t , x, y, z )  W1 : xy  0}      

W2  W1 \ V2    (   {0}  {0}   )



Ta kiểm tra tác động  bảo toàn các đa tạp con này, thật vậy:

(i) Trường hợp z  0  z  0 , nên  bảo toàn V1 và W1 .

(ii) Trường hợp xy  0  x . y  xy  0 , nên  bảo toàn V2 và W2 .

Gọi i1 , i2 là các ánh xạ nhúng và 1 , 2 là các phép thu hẹp như sau:

i1 : C0 (V1 )  C0 (V ) ,

i2 : C0 (V2 )  C0 (W1 ) ,



1 : C0 (V )  C0 (W1 ) ,

2 : C0 (W1 )  C0 (W2 ) .

Ở đó các hàm của C0 (V1 ) (tương ứng C0 (V2 ) ) mở rộng thành hàm của C0 (V )

(tương ứng C0 (W1 ) ) bằng cách lấy giá trị bằng khơng bên ngồi V1 (tương ứng V2 ).

Hơn nữa i1 , i2 , 1 , 2 là các đồng cấu   đẳng biến và ta có các dãy khớp



  đẳng biến:

i1

1

0  C0 (V1 ) 

 C0 (V ) 

 C0 (W1 )  0



i2

2

0  C0 (V2 ) 

 C0 (W1 ) 

 C0 (W2 )  0



Ta ký hiệu (V1 , F1 ), (W1 , F1 ), (V2 , F2 ) và (W2 , F2 ) theo thứ tự là thu hẹp của phân

lá (V , F ) trên V1 ,W1 ,V2 và W2 . Khi đó ta có định lí sau:



Định lí (xem [9, tr.230]). C  (V , F ) nhúng được một cách chính tắc vào dãy mở

rộng lặp hai tầng như sau:

ˆ



i1

1

0  J1 

 C  (V , F ) 

 B1  0



ˆ



ˆ



i2

2

0  J 2 

 B1 

 B2  0



ˆ



( 1 )

( 2 )



Trong đó J1  C  (V1 , F1 )  C0 (V1 )   2  C0 (   )  k

J 2  C  (V2 , F2 )  C0 (V2 )   2  C0 (    )  k

B1  C  (W1 , F1 )  C0 (W1 )   2

B2  C  (W2 , F2 )  C0 (W2 )   2

C  (V , F )  C0 (V )   2



3.4.3 Hệ bất biến chỉ số của C  (V , F )



Các mở rộng ( i ) (i  1, 2) xác định tương ứng các phần tử  i (i  1, 2) của các



KK  nhóm Ext ( Bi , J i ) (i  1, 2) . Cặp { 1 ,  2 } chính là hệ bất biến chỉ số của C  (V , F )

và nó xác định kiểu ổn định của C  (V , F ) . Theo [9] ta có:



Định lí (xem [9, tr.231  237]). (i)  1  (1 1) trong nhóm Ext ( B1 , J1 )   2 .

1

 1 0 0

 1 1 0 0 

 trong nhóm Ext ( B , J )  Hom( 4 ,  4 ) .

(ii)  2  

2 2

 0

1 1 0 





1 1 

 0 0



KẾT LUẬN



Một trong những đóng góp quý báu của Alain Connes cho ngành Hình học phân

lá là cơng trình xây dựng *  đại số liên kết với phân lá. Chính *  đại số này đã làm

cho K  lý thuyết trở thành một công cụ thực sự hữu dụng trong nghiên cứu tôpô phân

lá. Như ban đầu, chúng tôi đặt mục tiêu trong luận văn này là vạch rõ con đường tính

K  lý thuyết đối với phân lá, đồng thời tích lũy được những khái niệm cơ bản và một



số thao tác tính tốn nhất định.

Với định hướng đó, nội dung chính mà chúng tơi đã hồn thành ở chương 3 là

tìm hiểu được K  lý thuyết của một số phân lá như các thành phần Reeb, vài phân lá

đơn giản trên 2 và phân lá kim cương thực. Trong đó trọng tâm được đặt vào trường

hợp các thành phần Reeb, và chúng tôi nghĩ rằng chúng là những ví dụ thực sự tốt cho

các độc giả bước đầu đi vào con đường thú vị và gian khó này. Để tiện theo dõi vấn đề,

chúng tơi đã chuẩn bị các kiến thức liên quan ở hai chương 1 và 2, với phạm vi và mức

độ phù hợp với mục tiêu ở chương 3. Dựa vào những nền tảng quan trọng này, chúng

tôi sẽ tiếp tục cố gắng và hy vọng có thể tự giải quyết được K  lý thuyết cho nhiều

phân lá hơn, đặc biệt là các phân lá còn mở.



TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt



1. Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân lá tạo bởi các K  quĩ đạo chiều cực đại của



lớp nhóm Lie MD 4 , Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học Việt Nam.

Tiếng Anh



2. Alain Connes (1981), “An Analogue of the Thom Isomorphism for Crossed Products

of a *  Algebra by an Action of  ”, Advances in Mathematics, 39(2), pp.31-55.

3. Alain Connes, A Survey of Foliations and Operator Algebras.

4. Alain Connes, Noncommutative Geometry.

5. Allen Hatcher (2003), Vector Bundles and K  Theory.

6. Anne Marie Torpe (1984), “ K  Theory for the Leaf Space of Foliations by Reeb

Components”, Journal of Functional Analysis, 61(1), pp.1-116.

7. Kasparov G.G. (1981), “The Operator



K  Funtor and Extensions of



*  Algebras”, Math. USSR Izv, 16(3), pp. 513-572.



8. Le Anh Vu (1990), “On the Foliations Formed by the Generic K  Orbits of



MD 4  Groups”, Acta Mathematica Vietnamica, 15(2), pp.39-55.

9. Le Anh Vu (1990), “On the Structure of the *  Algebra of the Foliation Formed

by the K  Orbits of Maximal Dimension of the Real Diamond Group”, Journal



of Operator Theory, 24, pp.227-238.

10. Murphy J.G. (1990), *  Algebras and Operator Theory, Academic Press, New

York.

11. Pierre Molino (1988), Riemannian Foliations, Birkhäuser, Boston Basel.

12. Taylor J.L. (1975), “Banach Algebras and Topology”, Algebras in Analysis,

Academic Press, New York.



CHỈ MỤC



A



D



Ánh xạ đối hợp 7, 8, 29



Dạng vi phân ngồi 19



Ánh xạ holonomy 25



Dãy hợp thành chính tắc 51, 52, 56



Ánh xạ nhúng 14, 16, 58



Dãy khớp 6 thành phần 15, 31, 42, 52



B



Dãy khớp Mayer  Vietoris 16, 52, 56



Bản đồ địa phương 29



Dãy khớp ngắn (chẻ ra) 10, 15, 16



Bản đồ phân lá 23



Dãy mở rộng lặp 32, 58, 59



Bảo hòa 20, 30, 37, 52



Dòng (flow) 35



Bất biến Busby 17



Đa tạp con tích phân 20



Bất biến chỉ số 17, 59



Đa tạp phân lá 20



Bất biến đồng luân 13, 39



Đa tạp vi phân 19



Bất biến tịnh tiến 35



Đại số Banach 7



Biến đổi Fourier 40



Đại số đa nhân tử (ngoài) 16



Biến đổi sơ cấp 13



Đại số Lie 57



Biểu diễn hiệp biến 9



Đẳng biến 9, 10, 36, 37, 58



Biểu diễn unita 9



Đẳng biến borel 24



Bình phương khả tích 29



Đẳng cấu nhóm 13

Đẳng cấu Thom  Connes 13, 40, 41, 50



C

  đại số 7, 9, 11, 27, 49

*



Chỉ số 18, 59

Chuẩn 9, 11, 14

Chuẩn toán tử 8

Co rút được 14, 15

Compact hóa một điểm 14



Định hướng hồnh 35, 51

Đồ thị của phân lá 27, 30, 57

Độ đo Haar trái 9

Độ đo hoành 24

*



 Đồng cấu 7, 9, 15, 30, 39



Đồng cấu đối ngẫu 9

Đồng cấu không 14, 42



Đồng cấu nối 15, 42, 54, 56



K 0  nhóm 13, 39, 41



Đồng luân 14, 40



K1  nhóm 13, 39, 41



Đơn liên 26, 36, 57



Khả nghịch 40, 44



Đơn vị 12, 14



Khả tách 8



Đơn vị xấp xĩ 8, 17



Khả tích 19, 21



E



Khơng gian các nửa mật độ 28, 29



Etale  ánh xạ 25



Không gian định chuẩn 29



G



Không gian Hausdorff compact 8, 13



Giá 29, 44



Không gian Hilbert 8, 9, 29



H



Không gian lá 22, 23



Hạch 17

Hàm liên tục 8, 11, 16, 47

Hàm tử 13

Hạt nhân 48



Kiểu ổn định 18, 32

Kiểu tôpô phân lá 22, 29



KK  nhóm 17, 32, 56, 59



L



Hấp thụ 18, 32, 50, 53



Lá 20, 23, 27



Hiệp biến 13



Lá compact ổn định 35, 51



Holonomy 24, 27, 29



Lá đóng 34



Hữu hạn sinh 11



I

Ideal 19, 31, 37, 38



K

k  dạng tuyến tính đan 28



K –lý thuyết 10, 31, 36, 51, 52, 54



K –lý thuyết của phân lá 34, 57

K –nhóm 11, 39



*



 Liên tục mạnh 49



Loop 25, 42, 44, 47

Lớp đồng luân 25



M

Ma trận đơn vị 13

Mầm 25, 26

Môđun 11

Môđun xạ ảnh 11, 13



N



Phân thớ tiếp xúc 11, 19



Nghịch ảnh 48



Phân thớ véctơ 11



Nhát cắt 11



Phần bù 38



Nhóm 12



Phần tử sinh 39, 40, 45, 50, 54



Nhóm aben 12



Phần tử unita 12



Nhóm aben tự do 17, 32



Phép chiếu 12, 22, 40, 43, 44, 47



Nhóm con chuẩn tắc 13, 17



Phép dìm 27



Nhóm Grothendieck 12,13



Phép đồng phơi 22



Nhóm holonomy 26



Phép ngập 25, 29, 37



Nhóm kim cương thực 57



Phỏng nhóm holonomy 26



Nhóm Lie 9, 13, 24, 32



Phủ 25



Nhóm Lie trung bình hóa 14, 32, 38



Phủ holonomy 29



Nửa khớp 30



Phức *  đại số 31



Nửa mật độ 27



Q



P



Quan hệ tương đương 22



Phạm trù 13



Quĩ đạo 24, 57



Phân bố 19



S



Phân lá 19, 22, 44



Song ánh Borel 24



Phân lá cho bởi phân thớ 23, 29



Số vòng quay 42, 44, 49



Phân lá cho bởi tác động nhóm 23, 36



Sơ đồ giao hốn 10, 14



Phân lá đo được 24



T



Phân lá kim cương thực 32, 57

Phân lá Kronecker 19, 22, 26

Phân thớ các nửa mật độ 27

Phân thớ con 19

Phân thớ đối tiếp xúc 11



Tác động liên tục 9, 12

Tấm 19, 24

Tầm thường 28

Tập Borel 24

Tập con hoành 20, 24, 26, 28



Tập con mở đơn 19, 25



Tổng trực tiếp 17, 56



Tập hoành Borel 24, 25



Tôpô thương 23



Tập mở 22, 31, 52



Triệt tiêu 19



Tập thương 12



Triệt tiêu ở vơ cùng 8



Thành phần Reeb bảo tồn hướng 35



Trụ phân lá 34



Thành phần Reeb đảo hướng 35, 40, 50



Trường véctơ 20



Thớ 11, 19, 23



Trượt dọc các lá 25



Tích chập 29, 38, 44



Tương đương Morita 34



Tích thớ 7, 10, 16, 33, 53



Tương đương unita 18, 32, 50, 52



Tích xiên 7, 9, 34



V



Tính chất phổ dụng 10



Vết 41



Tọa độ dòng 38, 48



Vết đối ngẫu 41



Tốn tử bị chặn 8, 29



Vi phơi 25, 35, 38, 44



Tốn tử compact 8, 29, 37



Vi phơi địa phương 26



Tốn tử Fredholm 47, 48



Vị nhóm aben 12



Tốn tử phụ hợp 8



X



Tốn tử tích phân 48

Tốn tử trơn 29

Tốn tử unita 17



Xích tập mở đơn 25

Xuyến 21, 34



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

4 K lý thuyết của phân lá kim cương thực

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×