Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
3 K lý thuyết của phân lá cho bởi các thành phần Reeb trên 2

3 K lý thuyết của phân lá cho bởi các thành phần Reeb trên 2

Tải bản đầy đủ - 0trang

hướng, và lúc đó các K  nhóm của các   đại số của chúng bản chất chỉ phụ thuộc

vào tính chẵn lẻ của n .

3.3.2 K  lý thuyết của phân lá (2 , F 1 )



Phân lá (2 , F 1 ) là phân lá của 2 tạo bởi một thành phần Reeb đảo hướng, tức

là phân lá của 2 nhận được do đồng nhất hai biên của thành phần Reeb đảo hướng

([0,1]  S 1 , F 1 ) . Theo (3.13) ta xác định được các K  nhóm của các   đại số của



phân lá (2 , F 1 ) như sau:



















K 0 C  ( 2 , F 1 )  0 và K1 C  ( 2 , F 1 )    

2



Xét dãy khớp K  lý thuyết và dãy khớp Mayer  Vietoris để mô tả C  (2 , F 1 ) .



Dãy khớp K  lý thuyết. Ta có ((0,1)  S 1 , F 1 ) là một tập con mở bảo hòa của



(2 , F 1 ) và phần bù của nó là lá biên S 1 . Hoàn toàn tương tự như xét thành phần Reeb

đảo hướng ta có dãy khớp các   đại số:

0

0  J1  C  (2 , F 1 ) 

 B  0

ˆ



(3.15)



Dãy khớp (3.15) sinh ra dãy khớp 6 thành phần K  lý thuyết:











0

K1 ( J1 ) 

 K1 C  ( 2 , F 1 ) 

K1 ( B )

0















ˆ



1



(3.16)



K 0 ( B ) 

K 0 C  (2 , F 1 )  K 0 ( J1 )

ˆ

0



Chọn các phần tử sinh cho các K  nhóm K i ( J1 ) và K i ( B ) (i  0,1) như thơng

thường thì (3.16) được viết thành:

0 

    

 



2

 0

1

ˆ





 

(0)





0 

(0)



(3.17)



Đến đây, theo [6, tr.47] ta có C  ( 2 , F 1 ) là   đại số loại I có dãy hợp thành

chính tắc là 0  J1  C  (2 , F 1 ) và ta có:

(i) Cặp đồng cấu nối ( 0 , 1 )  Index C  (2 , F 1 ) trong (3.17) được cho bởi



 0  2 và 1  2 .

(ii) Mở rộng (3.15) là hấp thụ và do đó cặp ( 0 , 1 ) xác định duy nhất

C  (2 , F 1 ) như là một phần tử của KK  nhóm Ext ( B , J1 ) sai khác một tương đương



unita.



Dãy khớp Mayer – Vietoris. Xét thành phần Reeb đảo hướng ([0,1]  S 1, F 1 ) có

G1  [0,1]  S 1  H1 , H1   và (V2 , F2 )  ( S 1 ,1) là phân lá chỉ có một lá S 1 có đồ thị

G2  S 1  H 2 , H 2  S 1 . Lá biên S 1 trong ([0,1]  S 1 , F 1 ) có nhóm holonomy là N  



và H 2  S 1     H1 N nên (V2 , F2 ) là phân lá cho bởi tác động  của S 1 lên S 1

xác định bởi:



 : S 1  Homeo( S 1 ) ,  t ( x)  x  t (t  S 1  [0,1)   )

Rõ ràng ta có thể xem  như là một tác động của  lên S 1 . Khi đó (2 , F 1 ) là

phân lá thu được do dán các biên chung của (V1 , F1 )  ([0,1]  S 1 , F 1 ) và (V2 , F2 ) . Hai

phân lá thành phần này thỏa các điều kiện để C  (2 , F 1 ) được xác định bởi tích thớ:

C  (2 , F 1 ) 





B







 Id 



A1



0  1



B  B

ˆ



ˆ



Trong đó  : B  B : ( f )( , v)  f ( , v)



 f  C (S

c



1







 ) .



Ta dùng đồng cấu ˆ : B  B và viết tích thớ trên thành:



C  ( 2 , F 1 )









B

 Id ˆ 1







0  1  2

A1 

 B  B

ˆ ˆ



ˆ



Tích thớ này sinh ra dãy khớp Mayer  Vietoris của các K  nhóm:







K1 C  ( 2 , F 1 )







1  2

 K1 ( A1 )  K1 ( B ) 

 K1 ( B  B )















1  2

K 0 ( B  B ) 

 K 0 ( A1 )  K 0 ( B ) 

 K 0 C  ( 2 , F 1 )







Chọn các phần tử sinh cho các K  nhóm Ki ( A1 ) và K i ( B ) (i  0,1) như thông

thường và viết dãy khớp trên thành:

 1  2

   

    

  

2

0



 

   

    

 0

 

 0

1



2



Bây giờ ta tính các   đồng cấu  1   2 trong các K  nhóm.

(i) Trong K 0 . Ta có Id : K 0 ( B )  K 0 ( B )

[ p]  [ p]



(ˆ   ) : K 0 ( B )  K 0 ( B )

[ p]  [ p]

1 1

  1  



0 0



Và ˆ 0 : K 0 ( A1 )  K 0 ( B )



1 ([v ])  [ p]

(ˆ  ˆ1 ) : K 0 ( A1 )  K 0 ( B )



1 ([v ])  [ p]



 0 0

  2  



 1 1 

1 1 

Vậy  1   2  

 trong K 0 .

1 1



(ii) Trong K1 . Ta có Id : K1 ( B )  K1 ( B )

[u ]  [u ]



(ˆ   ) : K1 ( B )  K1 ( B )

[u ]  [u ]

 1 1 

  1  



0 0 



Và ˆ 0 : K1 ( A1 )  K1 ( B )



 0 ([1])  0 ([1])  [u ]

(ˆ  ˆ1 ) : K1 ( A1 )  K1 ( B )



 0 ([1])  0 ([1])  [u ]

0 0

  2  



1 1

 1 1

Vậy  1   2  

 trong K1 .

1

1











3.3.3 K  lý thuyết của phân lá (2 , F 2 )



Phân lá (2 , F 2 ) là phân lá của 2 tạo bởi một thành phần Reeb bảo toàn

hướng, tức là phân lá của 2 nhận được do đồng nhất hai biên của thành phần Reeb

bảo toàn hướng ([0,1]  S 1 , F 2 ) . Theo (3.14) ta xác định được các K  nhóm của



  đại số liên kết của phân lá (2 , F 2 ) như sau:



















K 0 C  (2 , F 2 )   và K1 C  (2 , F 2 )    



Hoàn toàn tương tự như đối với phân lá ( 2 , F 1 ) thì C  (2 , F 2 ) được nhúng

vào dãy khớp ngắn:

0

0  J 2  C  (2 , F 2 ) 

 B  0

ˆ



(3.18)



Dãy khớp này sinh ra dãy khớp K  lý thuyết:

0

 

    



ˆ



 0

1

 

  



ˆ



(3.19)



0



Ta cũng có C  (2 , F 2 ) là   đại số loại I có dãy hợp thành chính tắc là

0  J 2  C  (2 , F 2 ) và cặp đồng cấu nối ( 0 , 1 )  Index C  (2 , F 2 ) trong (3.19)



được cho bởi  0  0 và 1  0 (xem [6, tr.48]). Đồng thời mở rộng (3.18) là hấp thụ

và do đó cặp ( 0 , 1 ) xác định duy nhất C  (2 , F 2 ) như là một phần tử của

KK  nhóm Ext ( B , J 2 ) sai khác một tương đương unita.



Đồng thời nếu đặt C  (2 , F 2 ) vào dãy khớp Mayer  Vietoris:







K1 C  (2 , F 2 )







1  2

 K1 ( A2 )  K1 ( B ) 

 K1 ( B  B )















1  2

 K 0 ( A2 )  K 0 ( B ) 

 K 0 C  ( 2 , F 2 )

K 0 ( B  B ) 







Chọn các phần tử sinh cho các K  nhóm Ki ( A2 ) và Ki ( B ) (i  0,1) như thông

thường và viết dãy khớp trên thành:

 1  2

   

    

  







     

   

 

1



2



 1 1

1 1

trong K 0 và  1   2  

Khi đó  1   2  



 trong K1 .

1 1

 1 1



3.4 K  lý thuyết của phân lá kim cương thực



Mục tiêu của phần này là nêu một ví dụ về K  lý thuyết của MD  phân lá. Cụ

thể ta sẽ xét K  lý thuyết của phân lá kim cương thực, đây là một MD  phân lá có



  đại số liên kết khơng nhúng được một cách chính tắc vào một mở rộng đơn như

trường hợp của các thành phần Reeb. Do đó ta phải nhúng nó vào một dãy mở rộng lặp

hai tầng và tính chỉ số của nó như là một phần tử thuộc nhóm tổng trực tiếp của hai



KK  nhóm, đây chính là điểm khác biệt chính so với các phân lá mà ta đã xét trong

mục 3.3 . Phân lá kim cương thực này có chỉ số khá đẹp, tuy nhiên ở đây ta chỉ trình

bày súc tích quy trình tính tốn K  lý thuyết của nó, còn việc tính tốn đầy đủ và chi

tiết độc giả có thể tham khảo trong [9].

3.4.1 Phân lá kim cương thực



Xét đại số Lie S có cơ sở {T , X , Y , Z } thỏa mãn:

[T , X ]   X ,[T , Y ]  Y ,[ X , Y ]  Z

[T , Z ]  [ X , Z ]  [Y , Z ]  0



Nhóm Lie đơn liên tương ứng với S ký hiệu là .H 3 và được gọi là nhóm kim



cương thực. Gọi S   4 là không gian đối ngẫu của S và xét tập mở con của S

xác định bởi:

V  {(t , x, y, z )  S : x 2  y 2  z 2  0}    (3 )



Khi đó họ F các K  quĩ đạo chiều cực đại trong S làm thành một phân lá

trên V và được gọi là phân lá kim cương thực. Hơn nữa ta có:



Mệnh đề (xem [9, tr.229]). Phân lá kim cương thực (V , F ) là phân lá cho bởi tác

động  của nhóm Lie  2 trên đa tạp V xác định bởi:



 : 2 V  V



 (r , s),(t , x, y, z )   ( t , x , y , z )



Trong đó t  t  r



x2  y 2

xyz

 r2

2

2

2

x y z

x2  y2  z 2











2



,











yz

xz

x  e s  x  r 2

, y  es  y  r 2

và z  z .

2

2

2

2 

x

y

z

x

y

z



















3.4.2 Dãy mở rộng lặp của C  (V , F )



Xét các đa tạp con sau đây của V :

V1  {(t , x, y , z )  V : z  0}     2  

W1  V \ V1    ( 2 )

V2  {(t , x, y, z )  W1 : xy  0}      

W2  W1 \ V2    (   {0}  {0}   )



Ta kiểm tra tác động  bảo toàn các đa tạp con này, thật vậy:

(i) Trường hợp z  0  z  0 , nên  bảo toàn V1 và W1 .

(ii) Trường hợp xy  0  x . y  xy  0 , nên  bảo toàn V2 và W2 .

Gọi i1 , i2 là các ánh xạ nhúng và 1 , 2 là các phép thu hẹp như sau:

i1 : C0 (V1 )  C0 (V ) ,

i2 : C0 (V2 )  C0 (W1 ) ,



1 : C0 (V )  C0 (W1 ) ,

2 : C0 (W1 )  C0 (W2 ) .

Ở đó các hàm của C0 (V1 ) (tương ứng C0 (V2 ) ) mở rộng thành hàm của C0 (V )

(tương ứng C0 (W1 ) ) bằng cách lấy giá trị bằng không bên ngoài V1 (tương ứng V2 ).

Hơn nữa i1 , i2 , 1 , 2 là các đồng cấu   đẳng biến và ta có các dãy khớp



  đẳng biến:

i1

1

0  C0 (V1 ) 

 C0 (V ) 

 C0 (W1 )  0



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

3 K lý thuyết của phân lá cho bởi các thành phần Reeb trên 2

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×