Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
2 K lý thuyết của các thành phần Reeb

2 K lý thuyết của các thành phần Reeb

Tải bản đầy đủ - 0trang

( ˆ i f )( s )  i ( f ( s )), f  Cc ( , Cc ([0,1]  S 1 ))  Cc ([0,1]  S 1  ), s   .



Còn với thành phần Reeb bảo toàn hướng ([0,1]  S 1 , F 2 ) , ta chọn một tác động



 2 của  trên C ([0,1]  S 1 ) sao cho cả hai ánh xạ 0 và 1 đều đẳng biến với tác

động   của  trên C ( S 1 ) . Khi đó các ánh xạ đối ngẫu của i được cho bởi



ˆi : C ([0,1]  S 1 )  2   C ( S 1 )    (i  0,1) .

Tập (0,1)  S 1 là tập con mở bảo hòa của các thành phần Reeb ([0,1]  S 1, F i ) ,

nên   đại số liên kết của nó C  ((0,1)  S 1 , F i ) là một ideal của C  ([0,1]  S 1 , F i ) .

Trong phần tiếp theo ta sẽ dùng các ký hiệu và các đẳng cấu sau:

B  C ( S 1 )   





B  C ( S 1 )   





A1  C  ([0,1]  S 1, F 1 )  C ([0,1]  S 1 )  1 



(3.1)



A2  C  ([0,1]  S 1, F 2 )  C ([0,1]  S 1 )  2 



(3.2)



J1  C  ((0,1)  S 1, F 1 )  C ( S 1 )  k ( L2 ())



(3.3)



J 2  C  ((0,1)  S 1, F 2 )  C ( S1 )  k ( L2 ())



(3.4)











Hai đẳng cấu (3.3), (3.4) có được vì các phân lá ((0,1)  S 1, F i ) được cho bởi

các phép ngập trên đường hoành {1 2}  S 1 và mỗi lá của nó đều đồng phơi với  .

Cấu trúc của hai thành phần Reeb tương tự như nhau, vì vậy ta sẽ làm việc chi

tiết đối với thành phần Reeb đảo hướng và nêu kết quả tương tự đối với thành phần

Reeb bảo toàn hướng.

Phần bù của (0,1)  S 1 trong phân lá ([0,1]  S 1, F 1 ) là hai lá biên compact

S 1  S 1 có đồ thị là ( S 1  S 1 )   nên C  ( S 1  S 1 , F 1 )  C ( S 1  S 1 )   , ở đây tác



động của  lên C ( S 1  S 1 ) là thu hẹp của 1 . Đồng nhất C ( S 1  S 1 ) với

C ( S 1 )  C ( S 1 ) ta có:



C  ( S 1  S 1 , F 1 )  C ( S 1 )     C ( S 1 )     B  B









Vì  là nhóm Lie trung bình hóa nên ta có dãy khớp:

0  1

0  J1  A1 

B  B  0

ˆ



ˆ



Ta xét đẳng cấu   đẳng biến  : C ( S 1 )  C ( S 1 ), ( f )( )  f ( ) , thì ta có

đồng cấu đối ngẫu ˆ : B  B , ˆ ( g )( , t )  g ( , t ), g  Cc ( S 1  ) . Khi đó ta có dãy

khớp:

ˆ ˆ ˆ



0

1

0  J1  A1 

 B  B  0



(3.5)



Khi tính tốn ideal J1 ta thường dùng dạng J1  C0 ((0,1)  S 1 )  1  nhiều hơn





dạng (3.3) , nên ta cần biểu diễn chi tiết các phần tử của C0 ((0,1)  S 1 )  1  như là các





loop của các toán tử compact tương ứng với đường hoành {1 2}  S 1 .

Với mỗi điểm ( x,  )  (0,1)  S 1 có duy nhất một tọa độ dòng ( , t )  S 1   sao

cho ( x,  )  t1 (1 2,  ) (khi t   thì x  0 , khi t   thì x  1 ). Khi đó ta nhận

được một vi phôi  : (0,1)  S 1    S 1    ,  ( x, , v)  ( , t , v) , nên ta có đẳng

cấu Cc ((0,1)  S 1  )  Cc ( S 1    ) . Nói riêng, nếu f , g  Cc ((0,1)  S 1   ) được

biểu diễn qua các tọa độ dòng ( , t , v)  S 1     , thì tích chập của chúng được cho

bởi:

f  g ( , t , v)   f ( , t , s ).g ( , t  s, v  s )ds





Với  cố định, đây là tích chập trên Cc (   )  C0 ( )     k ( L2 ( )) .





Đại số nhân của C ( S 1 )  k ( L2 ()) là Cs ( S 1 , ()) ,   đại số của các hàm





 liên tục mạnh từ S 1 vào ( L2 ( )) . Có một   đồng cấu tự nhiên:



 : C  ([0,1]  S 1, F 1 )  Cs ( S 1, ())



Gọi  (1 2, ) : C  ([0,1]  S 1 , F 1 )  ( L2 ( )) là biểu diễn liên kết với điểm

(1 2,  )  [0,1]  S 1 thì ta có thể định nghĩa  bởi  ( f )( )   (1 2, ) ( f ),   S 1 .



Bổ đề. Công thức  ( f )( )   (1 2, ) ( f ) xác định tốt một   đồng cấu:



 : C  ([0,1]  S 1 , F 1 )  C ( S 1 )  ( L2 ( ))

3.2.3 Các K  nhóm của thành phần Reeb đảo hướng



















Vì [0,1]  S 1 đồng luân với S 1 nên K 0 C ([0,1]  S 1 )  K 0 C ( S 1 )   , và dùng



















đẳng cấu Thom  Connes  01 : K 0 C ([0,1]  S 1 )  K1 C ([0,1]  S 1 )  1  ta có ngay









K1 ( A1 )   . Tương tự ta có K 0 ( A1 )   .



Ở đây ta đã dùng kết quả của (1.3) đó là:



 

K  C ( S )   K  C ()   K ()    {0}  

Ta cũng có ngay K ( B )  K  C ( S )     K  C ( S )   (i  0,1) .



K 0 C ( S 1 )  K 0  C0 ( )   K 0 ()  {0}    

1



1



i



1







0



1



1



i



1



i 1







Cuối cùng do tính ổn định của các K  nhóm, nên ta có:



















K i ( J1 )  K i C ( S 1 )  k ( L2 ( ))  K i C ( S 1 )   (i  0,1)



Phần tử sinh của các K  nhóm. Xét v  C ( S 1 ), v( )  e 2 i là hàm đồng nhất

S 1    với đường tròn đơn vị phức, và hàm hằng 1  C ( S 1 ) . Thì các lớp [1], [v] lần



















lượt là các phần tử sinh của K 0 C ( S 1 ) , K1 C ( S 1 ) . Do tính chất bất biến đồng luân



















của các K  nhóm nên các nhóm K 0 C ([0,1]  S 1 ) , K1 C ([0,1]  S 1 ) lần lượt có phần

tử sinh là các lớp [1], [ v ] trong đó v ( x,  )  v( ),1  C ([0,1]  S 1 ) . Do đó, theo đẳng



cấu Thom  Connes thì  01 ([1]), 11 ([v ]) lần lượt là các phần tử sinh của K1 ( A1 ) và









K 0 ( A1 ) .



Tiếp theo, ta lấy p  Cc ( S 1  ), p ( , v)  g ( ).g (  v),   S 1 , v   , ở đây

g  Cc ( ) , supp g  (1 2   ,1 2   ) với   0 và



  g (v )



2



dv  1 , trong đó S 1 được



nhúng vào  bởi   exp(2 i )     [0,1)   . Lấy u  (C ( S 1 )    )  sao cho





u  1  Cc ( S 1  ) được cho bởi công thức ( , v)  l (v).1( ) ,   S 1 , v   , ở đây



1  l đồng luân với phần tử Bott b  C0 ( )   C ( S 1 ) , b( )  (  i ) (  i ) (với l là

biến đổi Fourier của l ). Ta có bổ đề sau:

Bổ đề (xem [6, tr.30]). (i) Hàm p như trên xác định một phép chiếu trong











C ( S 1 )    và lớp của p là một phần tử sinh của nhóm K 0 C ( S 1 )    .









(ii) Phần tử u là khả nghịch và lớp của u là một phần tử sinh của nhóm











K1 C ( S 1 )    .





3.2.4 Liên hệ giữa các phần tử sinh của các K  nhóm



Để xét dãy khớp K  lý thuyết của thành phần Reeb đảo hướng ta cần tìm mối

liên hệ giữa các phần tử sinh 1 ([v ]),  0 ([1]), [ p ], [u ] và cũng cần xác định các phần tử











sinh của các nhóm K i C ( S 1 )  k ( L2 ( )) . Ta có các bổ đề sau:

Bổ đề (xem [6, tr.30  31]). (i) Các phần tử sinh của K 0 ( A1 ) và K 0 ( B ) được

liên hệ với nhau bởi hệ thức sau:



ˆ 0 (1 ([v ]))  1 ([v])  [ p ]



(3.6)



(ˆ  ˆ1 ) (1 ([v ]))  1 ([v ])  [ p ]



(3.7)



(ii) Và các phần tử sinh của K1 ( A1 ) và K1 ( B ) liên hệ với nhau bởi:



ˆ 0 ( 0 ([1]))  1 ([1])  [u ]



(3.8)



(ˆ  ˆ1 ) ( 0 ([1]))  1 ([1])  [u ]



(3.9)



Chứng minh. Ta sẽ dùng vết tự nhiên  trên C ( S 1 ) xác định như sau:



 f  C (S ) 



 ( f )  S1 f ( )d



1



Vết đối ngẫu ˆ trên C ( S 1 )    khi đó được xác định:





 f C



 1

c ( S  )



ˆ( f )  S1 f ( ,0)d







Khi đó theo định nghĩa của p ta có:

2



ˆ( p)   p( ,0)d   g ( ).g ( )d   g ( ) d  1











Rõ ràng ˆ xác định một đẳng cấu ˆ : K 0 C ( S 1 )      , ˆ ([ p])  1 .























Xét đẳng cấu Thom  Connes 1 : K1 C ( S 1 )  K 0 C ( S 1 )    thì 1 ([v]) là















một phần tử sinh của K 0 C ( S 1 )    và ta có ˆ (1 ([v]))  1 .





Đến đây dùng tính chất tự nhiên của đẳng cấu Thom  Connes ta có các kết quả

bổ đề trên.











Bổ đề (xem [6, tr.31]). Phần tử sinh của nhóm K 0 C ( S 1 )  k ( L2 ( )) là lớp











[1  q] và phần tử sinh của nhóm K1 C ( S 1 )  k ( L2 ( )) là lớp [v  q  1  1  q ] ,

trong đó q là phép chiếu một chiều trong k ( L2 ()) .











Để đồng nhất các phần tử của K i C ( S 1 )  k ( L2 (  )) có tạo ảnh qua các ánh xạ

nối, ta dùng vết tự nhiên  trên C ( S 1 ) và Tr trên k ( L2 ()) . Đồng nhất k ( L2 ()) với

C0 ( )    , Tr được xác định bởi:





Tr ( f )   f ( s,0)ds





 f C





c (  )



Ta ký hiệu     Tr là vết trên C ( S1 )  k ( L2 ()) .















Vì  (1)   1 d  1 1  C ( S 1 ) và Tr (q )   q ( s,0)ds  1 , nên qua đẳng cấu

S















 : K 0 C ( S 1 )  k ( L2 ( ))   , thì ta có  ([1  q])  1 .







Nếu [V ]  K1 C ( S 1 )  k ( L2 (  ))







được biểu diễn bởi một loop khả vi





V : S 1  DomTr

thì [V ]  wV .[v  q  1  (1  q)] , trong đó wV là số vòng quay của V



được xác định bởi:

wV 











1 1

Tr V '( ).V ( ) 1 d



0

2 i



3.2.5 Dãy khớp K  lý thuyết của thành phần Reeb đảo hướng



Trong phần này ta sẽ tính các đồng cấu nối  0 và 1 của dãy khớp 6 thành phần

trong K  lý thuyết liên kết với dãy khớp (3.5) :

K1 ( J1 )



0 ( 1 )

 K1 ( A1 ) 

 K1 ( B  B )

ˆ



ˆ ˆ



0





1

K 0 ( B  B ) 

 K 0 ( A1 ) 

 K 0 ( J1 )

ˆ (ˆ ˆ )

0



1 



Chọn các phần tử sinh của các K  nhóm như trong 3.2.3 , theo (3.6) , (3.7) ,



(3.8) và (3.9) thì các ma trận của ˆ 0  (ˆ  ˆ1 ) trong K 0 , K1 lần lượt có các ma trận

 1 

 1

là   và   , và do tính khớp nên hai đồng cấu “ngang” còn lại phải là các đồng cấu

 1

 1



không. Như vậy dãy khớp trên trở thành:

 0



 

0



1



1

    





1

   

  



1

 0



(3.10)



 1



Bổ đề (xem [6, tr.32  39]). Các ánh xạ nối trong dãy khớp (3.10) được cho bởi

các ma trận:



 0  (1 1), 1  (1 1)

Chứng minh. (i) Trước tiên ta tính  0 : K 0 ( B  B )  K1 ( J1 ) .

Với [ f ]  K 0 ( B  B ) , theo định nghĩa thơng thường thì  0 ([ f ]) là lớp trong

K1 ( J1 ) của phần tử exp 2 if , trong đó f là nghịch ảnh của f  B  B trong (một



đại số ma trận trên) A1 .

Vì K 0 ( B ) có phần tử sinh [ p] nên K 0 ( B  B ) được sinh bởi hai phần tử

([ p ],0) và (0,[ p ]) (do K 0 ( B  B )  K 0 ( B )  K 0 ( B ) ), ta sẽ tính  0 ([ p ],0) .



Một phần tử p 0  Cc ([0,1]  S 1   ) (chú ý Cc ([0,1]  S 1   ) sinh ra A1 ) sao

cho ˆ 0 ( p 0 )  p và (ˆ  ˆ1 )( p 0 )  0 được cho bởi:

p 0 ( x,  , v)  h0 ( x). p ( , v) ( x  [0,1],   S 1 , v  ) ,



ở đây h0  C ( S 1 ) thỏa điều kiện h0 (0)  1, h0 (1)  0 . Rõ ràng nếu ta chọn h0 có giá

gần 0 như Hình 3.3 thì việc tính tốn sẽ đơn giản hơn.

h0



1

x0



x 1



Hình 3.3

Ta cần chú ý rằng một hàm của   S 1 có thể xem là một hàm tuần hoàn của



 '   . Nói riêng ta có thể thay p bởi một hàm p '  C  (  ) tuần hoàn theo biến

thứ nhất (chú ý p ' khơng có giá compact).





Khi đó p ' có thể viết thành một tổng vô hạn p '   n pn , pn  Cc (   )

được cho bởi pn ( s, v)  g ( s  n).g  ( s  n)  v  . Để ý rằng mỗi pn đều xác định một

phép chiếu một chiều trong C0 ( )     k ( L2 ( )) .





Với tích chập trong C0 ( )    , ta có pn  pm  0 khi n  m .





Bằng cách tương tự ta có thể biểu diễn



p 0



bởi hàm



p '



của



( x,  ', v)  [0,1]     tuần hoàn theo biến thứ hai.





Khi đó ta có p '   n p n0 , với p n0  Cc ([0,1]    ) được xác định tương tự

như p 0 , tức là p n0 ( x,  ', v)  h0 ( x). pn ( ', v) ( x  [0,1],  '  , v  ) .

Do các thành phần Reeb được sinh ra một cách tự nhiên từ một phân lá của

[0,1]  (xem mục 3.1 ), nên từ đây về sau ta có thể thu hẹp các hàm đang xét trên tập



con mở bảo hòa (0,1)   .

Vi phôi  (xem 3.2.2 ) mở rộng một cách tự nhiên thành vi phôi:

(0,1)          



Do vậy p ' có thể viết được qua tọa độ dòng ( , t , v)       và p ' là một

hàm tuần hoàn theo    . Rõ ràng các hàm p n0 thỏa các điều kiện:

p n0 ( , t , v)  p n01 (  1, t , v),

p n0 (1, t , v)  0, neáu n  1.



Theo định nghĩa p n0 chỉ khác không khi v gần 0 . Hàm t  p n0 ( , t ,0) (  cố

định) bằng 0 khi t gần 0 (xem Hình 3.4 ), và khi n tiệm cận về  thì p n0 có giá gần

n    t ' , với t ' chỉ phụ thuộc vào tác động 1 .

p 00 (1, t ,0)



p 00 (3 4, t ,0)



 1



t







3

4



p 00 (1 2, t ,0)







1

2



t



t



p 00 (0, t ,0)



 0

Hình 3.4



t



Do tính hình học của phân lá nên ta có thể chọn hàm h0 sao cho:

(i) p n0  p m0  0 khi n  m .

(ii) Tồn tại số N   sao cho p n0 ( ,.,.) xác định một phép chiếu một chiều khi



  [0,1] và n   N .

Trong hình 3.4 chúng ta đã phát họa đồ thị của hàm số t  p n0 ( , t ,0) với các

giá trị của   [0,1] . Ta có thể thấy rằng  chạy trong khoảng [0,1] , một “bump” xuất

hiện và dần dịch chuyển ra xa vị trí t  0 về phía t có giá trị âm. Khi   N thì cái

bump đó sẽ biểu diễn một phép chiếu một chiều.

Bây giờ ta sẽ xét phần tử khả nghịch exp 2 ip 0 và tìm cách biểu diễn nó như

một loop trong k ( L2 ()) . Ta viết exp 2 ip 0 như một hàm có giá trị là các tốn tử tuần

hồn của    , từ các nhận xét trên ta thấy rằng với   [0,1] thì exp 2 ip 0 có thể

được viết thành:

exp 2 ip 0   n N exp 2 ip n0

0



Bởi vì mỗi p n0 là một hàm khả vi của  và xác định một phần tử trong



DomTr  k ( L2 ( )) , nên suy ra exp 2 ip 0 là một loop khả vi trong DomTr

.



Ta tính số vòng quay w của exp 2 ip 0 theo định nghĩa như sau (vì muốn lớp

của exp 2 ip 0 là phần tử sinh của K 0 ( J1 ) thì số vòng quay của nó phải là 1 ):

1 



w







0 











0

n  N



p n0

( , t ,0) dt d





  n N [ p n (1, t ,0)  p n (0, t ,0)] dt

0



0



0















  n N [ p n (1, t ,0)  p n1 (1, t ,0)] dt







0



0



0











 [ p  N (1, t ,0)  p1 (1, t ,0)] dt  1

0



0







Vậy  0 ([ p ],0) là phần tử sinh dương của K 0 ( J1 ) , tức là  0 ([ p ],0) tương ứng

với phần tử sinh 1 của  trong đẳng cấu K 0 ( J1 )   .

Ta cũng có phép tính tương tự cho  0 (0,[ p ]) . Trong đó ta chọn h1 thuộc

C ([0,1]) thỏa điều kiện h1 (0)  0, h1 (1)  1 . Ta thấy rằng p 1  C ([0,1]  S 1   ) được



cho bởi p 1 ( x,  , v)  h1 ( x). p (  , v) thỏa mãn ˆ 0 ( p 1 )  0,(ˆ  ˆ1 )( p 1 )  p .

Ta có số vòng quay của exp 2 ip 1 là 1 . Còn về mặt hình học thì cái bump xuất

hiện và dần dịch chuyển ra xa vị trí t  0 về phía t có giá trị dương. Như vậy ta đã tính

xong  0 .

(ii) Bây giờ ta tính 1 : K1 ( B  B )  K 0 ( J1 ) .

Do K1 ( B  B )  K1 ( B )  K1 ( B ) , nên trước tiên ta tính 1 ([u ],0) . Nhưng do











đẳng cấu  : K 0 C ( S 1 )  k ( L2 (  ))   nên ta chỉ cần tính   1 ([u ],[1]) .

Theo định nghĩa 1 ([u ],[1]) là lớp trong K 0 của phần tử:

 u

 11

 u 21



 u

trong đó  11

 u

 21



u12   1 0   u11





u 22   0 0   u 21



u12 



u 22 



1 



   1 0  

  0 0  





(3.11)



u12 

  GL2 ( A1 ) thỏa điều kiện:

u 22 

 u11

 u

 21



ˆ 0 



u12   u 0 

 u11

ˆ

ˆ













1

 u

u 22   0 u 1 

 21



u12   1 0 

.



u 22   0 1 



Ta có u11  A1 là một nghịch ảnh của (u ,1) và xác định một họ liên tục   F

của các toán tử trong ( L2 ()) được tham số hóa bởi   S 1 , ở đây S 1 được đồng

nhất với đường hoành {1 2}  S 1  (0,1)  S 1 .

Giả sử rằng u11 được chọn sao cho F là các toán tử Fredholm. Gọi p và q

lần lượt là các phép chiếu trên hạt nhân và đối hạt nhân của F , thì p và q hữu hạn

chiều và F xác định một đẳng cấu (1  p ) L2 ()  (1  q ) L2 ( ) .

Ta ký hiệu nghịch đảo của đẳng cấu này là V , và ta mở rộng V lên L2 ()

bằng cách nhận giá trị 0 trên q .L2 ( ) .

 F

Toán tử 

 p



q 

 V

khả nghịch trong M 2 ( L2 ()) và 



V 

 q











p 

là tốn tử

F 



ngược của nó. Ta có thể thay F sao cho   p và   q là các hàm liên tục, thì

chúng biểu diễn các phần tử trong C ( S 1 )  k ( L2 ()) và ta có thể chọn làm một nghịch

ảnh trong



GL2 ( A1 )



của



u 0  1 0

,

,

 

1   0 1  



u

0















phần



 F

F q

(0,1)  S 1  S 1   được cho bởi loop 

:  



p V

 p



tử



có thu hẹp trên



q 

(  S 1 ) .



V 



Khi đó, với chú ý F  p  0, p  V  0, p 2  p và F  V  1  q thì (3.11) trở

thành:

 F q  1 0  V







 p V  0 0  q

 1  q

 

 0



p    1 0  





F    0 0  



0    1 0  



  [ p]  [q]

p    0 0  



Vậy   1 ([u ],[1])   ([ p]  [q])    Tr ([ p]  [q]) .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

2 K lý thuyết của các thành phần Reeb

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×