Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
3 K lý thuyết của phân lá

3 K lý thuyết của phân lá

Tải bản đầy đủ - 0trang

Mặt khác, dãy khớp trên cũng xác định một phần tử Index C  (V , F ) của



KK  nhóm Ext ( B, J ) . Khi Ki ( B ) là các nhóm aben tự do, theo định lí Rosenberg về

hệ tử phổ dụng ta có đẳng cấu:

Ext ( B, J )  Hom  K 0 ( B), K1 ( J )   Hom  K1 ( B), K 0 ( J ) 

Index C  (V , F )  ( 0 , 1 )



Khi đó cặp ( 0 , 1 ) xác định kiểu ổn định của C  (V , F ) (xem mục 3 chương 1).

Hơn nữa, nếu mở rộng trên là hấp thụ, ta có Ext ( B, J )  Exta ( B, J ) nhóm các

lớp tương đương unita của các mở rộng hấp thụ. Do đó, ( 0 , 1 ) xác định duy nhất

[ ]  Exta ( B, J ) , nên nó cũng xác định duy nhất mở rộng (2.1) (tương ứng 1  1 với



 ) sai khác một tương đương unita, tức là ( 0 , 1 ) xác định C  (V , F ) một cách duy

nhất.

(ii) Còn đối với phân lá phức tạp hơn (như phân lá kim cương thực) ta không thể

nhúng C  (V , F ) vào một mở rộng dạng (2.1) . Khi đó ta tìm cách nhúng C  (V , F ) một

cách chính tắc vào các mở rộng lặp dạng:

0  J1  C  (V , F )  B1  0

0  J2 



B1



 B2  0



...

0  Jh 



(2.2)



Bh1  Bh  0



Trong đó các   đại số J i (i  1, h) và Bh có dạng C0 ( X )  k và h là một số

tự nhiên hữu hạn nào đó. Bấy giờ tất cả các phần tử  1 ,  2 ,...,  h theo thứ tự trong các

KK  nhóm Ext ( Bi , J i ) (i  1, h) lần lượt tương ứng với các mở rộng trong (2.2) mới



đủ xác định kiểu ổn định của C  (V , F ) như là một phần tử của ih1 Ext ( Bi , J i ) .

(iii) Xét phân lá (V , F ) thu được bằng cách dán các biên chung của hai phân lá

thành phần (V1 , F1 ), (V2 , F2 ) . Nếu (V , F ) được cho bởi tác động của nhóm Lie trung



bình hóa H1 sao cho (V1 , F1 ) có đồ thị G1  V1  H1 và (V2 , F2 ) có đồ thị G2  V2  H 2 ,

trong đó H 2  H1 / N là một nhóm thương của H1 . Khi đó ta nhận được Cc (G ,  1 2 )

là tích thớ:

p1 '

Cc (G ,  1 2 ) 

 Cc (G1 ,  1 2 )

p2 '



1 '







2 '

Cc (G2 ,  1 2 ) 

Cc ( L  H 2 ,  1 2 )



Với L là biên chung của V1 , V2 , các ánh xạ p1 ', p2 ', 2 ' là các ánh xạ thu hẹp,

còn ánh xạ 1 ' là hợp thành của ánh xạ thu hẹp lên L  H1 và ánh xạ



 : Cc ( L  H1 ,  1 2 )  Cc ( L  H 2 ,  1 2 ) , với  f ( ,  )   r N f ( , r ) .

Tích thớ trên mở rộng thành một tích thớ các   đại số, tức là ta thu được



C  (V , F ) như là tích thớ của C  (V1 , F ) và C  (V2 , F2 ) :

p1

C  (V , F ) 

 C  (V1 , F1 )  A1

p2







1



2

 C  ( L, H 2 )

A2  C  (V2 , F2 ) 



Sơ đồ kéo lại này sinh ra dãy khớp Mayer  Vietoris:







K1 C  (V , F )



















p1  p2

1  2



 K1 ( A1 )  K1 ( A2 ) 

 K1 C  ( L, H 2 )















1  2

p1  p2

 K 0 ( A1 )  K 0 ( A2 ) 

 K 0 C  (V , F )

K 0 C  ( L, H 2 ) 











Việc tính các đồng cấu  1   2 cho ta thông tin về cấu trúc của C  (V , F ) .



Chương 3

K  LÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ CHO BỞI THÀNH PHẦN

REEB TRÊN 2 VÀ CỦA PHÂN LÁ KIM CƯƠNG THỰC



Trong chương này chúng tơi trình bày mô tả   đại số của một số phân lá đơn

giản. Với gốc độ lần đầu tiên tìm hiểu vấn đề này, chúng tơi xem đây là những ví dụ

tham khảo tốt và hy vọng có thể áp dụng vào tính tốn cho một vài phân lá khác hơn.

3.1 Phân loại các phân lá trơn trên 2 (xem [6, tr.24  25])



Xuyến 2 là đa tạp định hướng compact hai chiều duy nhất có các phân lá một

chiều khơng tầm thường. Sai khác một tương đương tơpơ ta có sự phân loại các phân lá

trơn trên 2 như sau:

(i) Nếu phân lá khơng có lá đóng, thì nó tương đương với phân lá Kronecker với

hệ số góc vơ tỉ.   đại số liên kết với phân lá Kronecker trên 2 là tích xiên

C (2 )   , nó tương đương Morita với đại số các phép quay vô tỉ C ( S 1 )   . K  lý



thuyết của phân lá này đã được Pimsner and Voiculescu tính xong.

(ii) Nếu phân lá có chứa lá đóng, ta có thể cắt 2 dọc theo lá này và thu được

một trụ phân lá. Nếu trụ phân lá khơng có lá đóng trong miền trong, thì nó sẽ tương

đương với một trong các phân lá sau (kết quả này nhận được từ kết quả của định lí

Poincare – Bendixon).



x0



x 1



Hình 3.1



x0



x 1



Hình 3.2



Phân lá của Hình 3.1 được gọi là thành phần Reeb đảo hướng, phân lá của Hình

3.2 được gọi là thành phần Reeb bảo tồn hướng. Cần để ý rằng các phân lá trên

[0,1]  S 1 này cũng có thể nhận được bằng cách chiếu lên [0,1]  S 1 từ một phân lá của



[0,1]  (phân lá bất biến tịnh tiến) được cho bởi các đường thẳng x  0 , x  1 và các



đồ thị của các hàm số { y  f ( x)  c, x  (0,1)}c , với hàm f : (0,1)   thỏa mãn

điều kiện lim f ( x)   .

x0,1



Việc tìm hiểu các thành phần Reeb cơ sở là hết sức cần thiết cho việc tính

K  lý thuyết cho các phân lá trên 2 có chứa lá đóng. Từ nay ta sẽ gọi phân lá có



chứa lá đóng khơng tầm thường trên 2 là phân lá cho bởi các thành phần Reeb.

Ta cũng cần chú ý rằng một phân lá của 2 có thể chứa vơ hạn các thành phần

Reeb bảo tồn hướng và các lá compact ổn định. Nhưng do tính compact của 2 , nên

phân lá trên 2 chỉ có thể chứa hữu hạn các thành phần Reeb đảo hướng. Một phân lá

trơn bất kì trên 2 mà khơng chứa thành phần Reeb đảo hướng đều có thể nhận được

bằng cách xây dựng mà ta sẽ trình bày trong phần tiếp theo. Do vậy, mọi phân lá trơn

của 2 đều nhận được bằng cách chèn dọc các lá compact của các phân lá nhận được

bằng cách xây dựng như thế một số hữu hạn các thành phần Reeb đảo hướng. Một

phân lá của 2 được định hướng hồnh và vì vậy nó được xác định bởi một dòng

(flow) nếu và chỉ nếu nó chứa một số chẵn các thành phần Reeb đảo hướng.

Cách xây dựng. Cho  : S 1  S 1 là một vi phơi bảo tồn hướng của đường tròn

S 1 . Ta có thể xem 2 như là thương 2  S 1   /  , ở đó  được sinh bởi vi phơi



( , t )   ( ), t  1 . Phân lá { }   S1 của S 1   chiếu lên S 1    thành một



phân lá trên 2 .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

3 K lý thuyết của phân lá

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×