Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
2   đại số liên kết với phân lá

2   đại số liên kết với phân lá

Tải bản đầy đủ - 0trang

với cùng các tập hồnh là trùng nhau nếu nó đồng nhất trên một tập con mở của miền

xác định có bao đóng chứa x .

2.2.2 Khơng gian các nửa mật độ



Cho (V , F ) là phân lá k chiều định hướng được, mỗi x  V ta định nghĩa:



 x1 2 : { :  k Fx   :  ( v)  



12



 (v), v   k Fx ,   }



Trong đó  k Fx là không gian véctơ thực một chiều các k  dạng tuyến tính đan

trên Fx (tức là với một bản đồ địa phương của L tại x thì  k Fx có cơ sở là

{dx1  dx 2  ...  dx k } ). Ta thấy ngay  x1 2 cũng là một không gian véctơ phức một



chiều. Ta gọi ( x1 2 ) xV là phân thớ các nửa mật độ trên V . Nếu   G , s ( )  x ,

r ( )  y và đặt 1 2   x1 2   1y 2 , thì 1 2 là khơng gian véctơ phức một chiều.



Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp G Hausdorff.

Ta đặt:

Cc (G ,  1 2 ) : { f :   G  f ( )  1 2 } ,



là khơng gian các hàm trơn có giá compact.

Vì V định hướng nên ( k Fx ) xV là phân thớ tầm thường trên V , nên ( x1 2 ) xV

cũng là một phân thớ tầm thường. Ta chọn một tầm thường v , tức là đã cố định một cơ

sở cho mỗi  x1 2 , do đó cũng cố định cơ sở cho mỗi 1 2 ,  G . Do vậy ta có thể đồng

nhất hàm f  Cc (G ) với f .(v  s  v  r )  Cc (G ,  1 2 ) theo cách sau: Với   G ,



 f .(v  s  v  r )  ( )  f ( ). v  s( )  v  r ( )  ,

Trong đó  v  s ( )  v  r ( )  là một cơ sở cố định qua v của 1 2 , nên khi đó

f ( ).  v  s ( )  v  r ( )   1 2 .



Trường hợp G không Hausdorff. Ta dùng cấu trúc đa tạp của G để định nghĩa

Cc (G ,  1 2 ) như sau: Với mỗi bản đồ địa phương (U , h) của đa tạp G ta xét các hàm



thực   Cc ( n k ) , supp  h(U ) , ta có   h  Cc (U ) . Vì U Hausdorff nên có thể

đồng nhất   h  Cc (U ) với Cc (U ,  1 2 ) như trong trường hợp trên.

Do đó, nếu ta định nghĩa Cc (G ) là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các



  h như thế, thì ta hồn tồn có thể đồng nhất Cc (G ) với Cc (G,  1 2 ) là tập các tổ

hợp tuyến tính hữu hạn của các f  Cc (U ,  1 2 ) . Vậy cả hai trường hợp của G ta đã

định nghĩa được Cc (G ,  1 2 ) , nó là một không gian véctơ và được gọi là không gian

các nửa mật độ trơn trên G.

2.2.3 Xây dựng   đại số C  (V , F ) (xem [3, tr.15-21])



Trên không gian véctơ Cc (G ,  1 2 ) ta định nghĩa tích chập và phép đối hợp

như sau: Với f , g  Cc (G ,  1 2 ) ta định nghĩa:

f  g ( )  



1 2 



f ( 1 ).g ( 2 ) và f * ( )  f ( 1 ) .



Với hai phép tốn này thì Cc (G ,  1 2 ) là một   đại số.

Mỗi x  V , Gx  {  G, s ( )  x} là phủ holonomy của lá chứa x , thì có một

biểu diễn tự nhiên  x của Cc (G ,  1 2 ) trên L2 (Gx ,  1 2 ) (không gian các nửa mật độ

trên Gx bình phương khả tích) như sau:



 x ( f )  ( )  1 2  f ( 1 ). ( 2 ),   L2 (Gx ,  1 2 )

Với định nghĩa này  x ( f ) là một toán tử trơn, bị chặn trên L2 (Gx ,  1 2 ) . Ta

xác định một chuẩn trên Cc (G ,  1 2 ) bởi f  sup xV  x ( f ) , khi đó Cc (G ,  1 2 )



trở thành một không gian định chuẩn. Đến đây ta định nghĩa C  (V , F ) là   đại số

bổ sung đầy đủ của Cc (G ,  1 2 ) vởi chuẩn trên.

Một số tính chất của C  (V , F ) : (xem [1, tr.61  63])



(i) C  (V , F )  k  C  (V , F ) nếu dim F  0 (ta luôn ký hiệu k là   đại số

các tốn tử compact trên một khơng gian Hilbert vô hạn chiều tách được), tức là

C  (V , F ) có tính ổn định.



(ii) Các phân lá cùng kiểu tôpô phân lá cho ta các   đại số đẳng cấu.

(iii) Nếu phân lá (V , F ) được cho bởi phân thớ (phép ngập) p : V  B , thì

(V , F ) khơng có holonomy và đồ thị G  {( x, y )  V  V : p( x)  p( y )} là đa tạp con



của V  V , khi đó C  (V , F )  C0 ( B )  k .

(iv) Nếu (V , F ) được cho bởi tác động  của nhóm Lie compact địa phương

H sao cho đồ thị G  V  H , thì C  (V , F )  C0 (V ) ˆ H .

2.2.4 Phức   đại số ứng với tập con mở bảo hòa (xem [6, tr.21  22])



Xét V ' là tập con mở bảo hòa đối với phân lá (V , F ) , thì ta có C  (V ', F ) là một

ideal của C  (V , F ) . Hơn nữa đồ thị G' của C  (V ', F ) là một tập con mở trong G , khi

đó G \ G ' đóng trong G . Nói chung G \ G ' không phải là đồ thị của phân lá

(V \ V ', F ) . Tuy nhiên ta vẫn có thể xác định biểu diễn  x ( x  V \ V ') của   đại số

Cc (G \ G ',  1 2 ) trong L2 (Gx ,  1 2 ) . Bổ sung theo chuẩn tương tự như trong xây dựng

C  (V , F ) , ta thu được một   đại số, và vẫn ký hiệu là C  (V \ V ', F ) . Phép lồng

i : G \ G'  G cho ta một   đồng cấu  ' : Cc (G ,  1 2 )  Cc (G \ G ',  1 2 ) bằng cách



thu hẹp. Vì chuẩn được định nghĩa theo lá nên  ' mở rộng được thành   đồng cấu



 : C  (V , F )  C  (V \ V ', F ) . Rõ ràng C  (V ', F )  ker , và vì mỗi phần tử bất kì của



Cc (G \ G ',  1 2 ) đều mở rộng được thành một hàm của Cc (G ,  1 2 ) nên  là tồn



cấu. Nên ta có dãy nửa khớp 0  C  (V ', F )  C  (V , F )  C  (V \ V ', F )  0 .

Bổ đề. Khi (V , F ) được cho bởi nhóm Lie trung bình hóa (các nhóm Lie  n là



trung bình hóa) H , sao cho G \ G'  V \V '  H thì dãy nửa khớp trên là khớp.

2.3 K  lý thuyết của phân lá



Ta đã biết K  lý thuyết hình học và K  lý thuyết đại số có liên hệ chặt chẽ với

nhau bởi K i ( X )  K i  C0 ( X )  . Như đã đề cập trong phần mở đầu, đối với không gian

lá V F thì K  lý thuyết hình học của nó khơng phản ánh được thông tin cần thiết về

phân lá. Nội dung của phần này là khắc phục nhược điểm trên bằng cách đưa thành quả

của Connes vào K  lý thuyết  tức là ta thay C0 (V F ) bởi C  (V , F ) mà K  lý thuyết

của nó vẫn cho ta thơng tin đủ tốt về phân lá. Như vậy K  lý thuyết của phân lá chính

là việc dùng phương pháp K  hàm tử để mô tả   đại số liên kết của một phân lá.

(i) Trong trường hợp phân lá đơn giản (như các thành phần Reeb) ta tìm cách

nhúng C  (V , F ) một cách chính tắc vào một mở rộng dạng:

i



0  J 

 C  (V , F ) 

B  0



(2.1)



Trong đó J là một ideal của C  (V , F ) , B  C  (V , F ) / J và J , B đã biết và có

dạng C0 ( X )  k . Dãy khớp trên sinh ra dãy khớp 6 thành phần K  lý thuyết:











i



K1 ( J ) 

 K1 C  (V , F ) 

 K1 ( B )



0















1





i

K 0 ( B ) 

K 0 C  (V , F ) 

 K0 ( J )



Việc xác định cặp đồng cấu nối ( 0 , 1 ) cho ta thông tin của C  (V , F ) .



Mặt khác, dãy khớp trên cũng xác định một phần tử Index C  (V , F ) của



KK  nhóm Ext ( B, J ) . Khi Ki ( B ) là các nhóm aben tự do, theo định lí Rosenberg về

hệ tử phổ dụng ta có đẳng cấu:

Ext ( B, J )  Hom  K 0 ( B), K1 ( J )   Hom  K1 ( B), K 0 ( J ) 

Index C  (V , F )  ( 0 , 1 )



Khi đó cặp ( 0 , 1 ) xác định kiểu ổn định của C  (V , F ) (xem mục 3 chương 1).

Hơn nữa, nếu mở rộng trên là hấp thụ, ta có Ext ( B, J )  Exta ( B, J ) nhóm các

lớp tương đương unita của các mở rộng hấp thụ. Do đó, ( 0 , 1 ) xác định duy nhất

[ ]  Exta ( B, J ) , nên nó cũng xác định duy nhất mở rộng (2.1) (tương ứng 1  1 với



 ) sai khác một tương đương unita, tức là ( 0 , 1 ) xác định C  (V , F ) một cách duy

nhất.

(ii) Còn đối với phân lá phức tạp hơn (như phân lá kim cương thực) ta không thể

nhúng C  (V , F ) vào một mở rộng dạng (2.1) . Khi đó ta tìm cách nhúng C  (V , F ) một

cách chính tắc vào các mở rộng lặp dạng:

0  J1  C  (V , F )  B1  0

0  J2 



B1



 B2  0



...

0  Jh 



(2.2)



Bh1  Bh  0



Trong đó các   đại số J i (i  1, h) và Bh có dạng C0 ( X )  k và h là một số

tự nhiên hữu hạn nào đó. Bấy giờ tất cả các phần tử  1 ,  2 ,...,  h theo thứ tự trong các

KK  nhóm Ext ( Bi , J i ) (i  1, h) lần lượt tương ứng với các mở rộng trong (2.2) mới



đủ xác định kiểu ổn định của C  (V , F ) như là một phần tử của ih1 Ext ( Bi , J i ) .

(iii) Xét phân lá (V , F ) thu được bằng cách dán các biên chung của hai phân lá

thành phần (V1 , F1 ), (V2 , F2 ) . Nếu (V , F ) được cho bởi tác động của nhóm Lie trung



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

2   đại số liên kết với phân lá

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×