Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
1 Một số vấn đề về tôpô phân lá

1 Một số vấn đề về tôpô phân lá

Tải bản đầy đủ - 0trang

chiều (đối chiều n  k ) trên V , ký hiệu là (V , F ) ; V được gọi là đa tạp phân lá. Mỗi

đa tạp con liên thông đường tối đại của F trong V được gọi là một lá của phân lá

(V , F ) . Mỗi lá là một đa tạp con dìm k chiều của V , ta cũng ký hiệu tập các lá này



bởi chính ký hiệu F .

Một tập con A của đa tạp phân lá V được gọi là bảo hòa đối với phân lá (V , F )

nếu A là hợp của các lá.

Cho T là một đa tạp con dìm của V , có số chiều bằng đối chiều của phân lá

(V , F ) , T được gọi là tập con hoành (hay tập hoành) của phân lá (V , F ) , nếu tại mỗi

x  T ta có TxV  TxT  Tx Lx , trong đó Lx là lá chứa x .



2.1.2 Các ví dụ



Ví dụ 1. Xét hàm số f : (1,1)  , x  e x



2



1 x 2



 1 , V  [1,1]   và họ



F  {L   x,   f ( x)  , x  (1,1)}  {L , L } , với L  {( 1, y ), y  } .



Ta sẽ kiểm tra (V , F ) là phân lá 1 chiều. Thật vậy, xét phân bố 1 chiều trên V

(vẫn ký hiệu là F ) như sau: Với ( x0 , y0 )  V , ta định nghĩa trường véctơ:

 

 (1, y0 ), neáu x0  1,

 y

2

2 

 

2x

F ( x0 , y0 )  

( x0 , y0 ) 

.e x 1 x . ( x0 , y0 ), neáu x0  (1,1),

2

y

(1  x)

 x

 

(1, y0 ), neáu x0  1.



 y



F là một trường véctơ trơn một chiều trên V , do đó tính khả tích của nó là tầm

thường. Hơn nữa, các đường cong tích phân thơng thường của trường véctơ này chính

là họ F được xác định như trên. Cần chú ý rằng đa tạp V có biên là hợp của các

đường cong tích phân, đây là một đặc điểm quan trọng của các đa tạp phân lá có biên.

Như vậy F xác định một phân bố trơn một chiều trên V , và theo định nghĩa ta

có (V , F ) là một phân lá 1 chiều, đối chiều 1 (Hình 2.1 ).



1k



x  1



x 1



1



0



Hình 2.1



1k



1



0



Hình 2.2



Hình 2.3



Ví dụ 2 (Phân lá Kronecker). Xét M  {( x, y ) : x  [0,1], y  [0,1]} , phân hoạch

M thành P ( M ) họ các đoạn thẳng song song có hệ số góc k (ta chỉ cần xét k  0 ).

Đồng nhất các biên đối diện của M ta thu được xuyến 2 . Khi đó mỗi họ các đoạn

thẳng của P ( M ) “nối được” với nhau (tức điểm cuối của đoạn này đồng nhất với điểm

đầu của đoạn kế tiếp) sẽ tạo thành một lá trên 2 . Tức ta thu được một phân lá trên

2 , phân bố khả tích 1 chiều xác định phân lá này là ảnh của trường véctơ song song



X  (1, k ) qua phép đồng nhất trên.



Nhận xét. Nếu k  m n   , (m, n)  1 (Hình 2.2 ) thì mỗi lá của phân lá trên là

hợp khép kín của m đoạn trong P ( M ) . Vì qua mỗi lần đồng nhất sẽ “nhích” được một

đoạn 1 k  n m (để “nối” được khép kín thì ta cần phải nhích một khoảng ngun),

nên sau m vòng thì sự nối đi được lặp lại. Do đó trường hợp này mỗi lá đều đồng

phơi với S 1 (là một đường khép kín quấn quanh 2 m vòng).

Nếu k   (Hình 2.3 ), thì q trình nối đi sẽ diễn ra vơ hạn khơng lặp lại (vì

với mọi số ngun n   , thì n k   ). Do đó mỗi lá đều đồng phôi với  (quấn

quanh 2 một cách vô hạn) và trù mật trong 2 .



2.1.3 Kiểu tôpô phân lá



Cho (Vi , Fi ) là các phân lá ki chiều trên các đa tạp ni chiều Vi (i  1, 2) . Hai

phân lá (V1 , F1 ),(V2 , F2 ) được gọi là cùng kiểu tôpô phân lá nếu tồn tại phép đồng phôi

f :V1  V2 biến mỗi lá L  F1 thành lá f ( L)  F2 .



Nhận xét. Vì phép đồng phơi bảo toàn số chiều của đa tạp, nên hai phân lá cùng

kiểu tơpơ thì chúng cùng chiều và đối chiều. Ta có, quan hệ cùng kiểu tơpơ là quan hệ

tương đương và trong nghiên cứu tôpô phân lá, hai phân lá cùng kiểu tôpô được xem là

một (tức là xét không gian các lớp tôpô phân lá với quan hệ tương đương trên).

Ví dụ. Tất cả các phân lá Kronecker ứng với k   đều cùng kiểu tôpô với











nhau, và cùng kiểu với phân lá S 1  { }



S



1



của 2 .



2.1.4 Không gian lá



Định nghĩa. Cho (V , F ) là một phân lá, không gian V F nhận được từ V sau

khi dán mỗi lá thành một điểm (tức là không gian thương của V trên quan hệ tương

đương thuộc cùng một lá) được gọi là không gian lá của phân lá đã cho. Rõ ràng, hai

phân lá cùng kiểu tơpơ thì các khơng gian lá của chúng đồng phơi với nhau.

Ví dụ. Ta xét ví dụ 1, rõ ràng về mặt tập hợp V F    {}  {} . Gọi

p : V  V F là phép chiếu tự nhiên, khi đó tập G  V F là tập mở khi và chỉ khi

p 1 (G ) mở trong V .



Trường hợp 1. G      {}  {}  V F . Tức là  xem như là không gian

con của V F với tôpô cảm sinh (trùng với tôpô thơng thường trên  ).

Khi đó, G mở với tơpơ thương trong V F khi và chỉ khi G mở thông thường

trên  .

Trường hợp 2. G  A  {}  V F , A   .

( G mở trong V F )  ( p 1 (G )  p 1 ( A)  L mở trong V)



 ( p 1 ( A)  L là lân cận mở của L trong V )

 ( p 1 ( A) chứa trọn vẹn một đường thẳng nào đó song song với L trong V )

 A    G    {} .



Trường hợp 3. G  A  {} hoặc G  A  {}  {}, A   , lập luận tương tự

trường hợp 2 ta cũng có A  .

Kết luận. V F    {}  {} với tôpô gồm các tập G mở như sau: G mở

thông thường trong  , G    {}, G    {}, G  V F .

Nhận xét. Không gian lá V F khơng Hausdorff vì {} và các điểm thuộc  là

không tách được.

Ta xét phân lá Kronecker trên 2 . Khi k   , nó cùng kiểu phân lá với phân lá



S



1







 { }



S1



, nên không gian lá của nó là S 1 với tơpơ thơng thường trên S 1 (tức tôpô



cảm sinh từ tôpô thông thường trên  ).

Còn khi k   , thì khơng gian lá về mặt tập hợp là một tập vô hạn điểm rời rạc,

còn tơpơ chỉ là tơpơ thơ.

2.1.5 Hai kiểu phân lá điển hình



Phân lá cho bởi phân thớ. Xét phân thớ p : V  B , ta bảo phân thớ này khả vi

lớp C r (0  r  ) , nếu V và B là hai đa tạp khả vi lớp C r và p là ánh xạ khả vi

lớp C r , ta có kết quả: Mỗi phân thớ khả vi p : V  B đều xác định một phân lá trên V

mà mỗi lá là và chỉ là một thớ. Không gian lá trong trường hợp này chính là khơng

gian đáy B (có tôpô tốt).

Cho (V , F ) là một phân lá, phân lá (V , F ) được gọi là cho bởi phân thớ nếu tồn

tại một phân thớ khả vi p : V  B sao cho mỗi lá là và chỉ là một thớ của phân thớ này.

Theo trên ta có V F  B.



Phân lá cho bởi tác động của nhóm Lie. Cho (V , F ) là một phân lá, và H là

một nhóm Lie. Nếu H tác động liên tục lên đa tạp phân lá V sao cho mỗi lá là và chỉ

là một H  quĩ đạo, thì phân lá (V , F ) được gọi là cho bởi tác động của nhóm Lie H .

Khi đó, khơng gian lá V F chính là khơng gian V H các H  quĩ đạo.

2.1.6 Phân lá đo được (xem [1, tr.44  45])



Xét phân lá (V , F ) và T là một đa tạp con hoành của phân lá (V , F ) . Khi đó ta

có thể chọn một bản đồ phân lá (U , ) quanh mỗi p  T sao cho các tấm trong U

tương ứng 1  1 với các điểm của T  U , tức là mỗi tấm trong U cắt T tại một và chỉ

một điểm. Một tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu

với mỗi lá L của phân lá thì tập B  L đếm được. Chú ý rằng mỗi tập hoành Borel đều

là hợp đếm được của các tập hoành Borel B kiểu sau: Tồn tại đơn ánh  : B  T từ B

vào một đa tạp con hồnh T nào đó sao cho  ( x) thuộc lá chứa x với mỗi x  B .

Định nghĩa. Một độ đo hoành  đối với phân lá (V , F ) là một ánh xạ   cộng

tính B   ( B ) từ họ các tập con hoành Borel của V đến [0, ] thỏa các tiên đề sau:

(1 ) Nếu  : B1  B2 là song ánh Borel và  ( x) thuộc lá chứa x (x  B1 ) thì

 ( B1 )   ( B2 ) (tính đẳng biến Borel).



( 2 )  ( K )   nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành.



Phân lá (V , F ) cùng với một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được.

2.1.7 Holonomy lá (xem [11, tr.22  27])



Holonomy lá là một bất biến cơ bản mơ phỏng tính phức tạp tồn cục của một

phân lá.

Xét L là một lá của phân lá (V , F ) và T , T ' là hai tập con hoành lần lượt đi qua

hai điểm x0 ,x0 ' của lá L . Mục tiêu của ta là xây dựng một ánh xạ địa phương từ T

đến T ' bảo tồn tính thuộc lá của mỗi điểm. Khó khăn của ta ở đây là các lá gần L

qua x  T có thể khơng cắt T ' hoặc cắt T ' nhiều hơn một điểm.



Trước tiên ta xét trường hợp phân lá đơn cho bởi phép ngập p : V  B (tức

Fx  kerp x ,x  V ), vì p ( x0 )  p( x0 ')  y0  B . Nên p sẽ cảm sinh các etale  ánh



xạ (tức là ánh xạ có ánh xạ tiếp xúc đơn ánh tại mọi điểm) từ các đa tạp hồnh đến B .



Do đó, tồn tại các lân cận mở v,v' theo thứ tự của x0 ,x0 ' trong T ,T ' sao cho

p : v  p (v), p : v '  p (v ') là các vi phơi. Khi đó, bằng cách thu hẹp v,v' sao cho

p (v)  p (v ') , ta thu được một vi phôi  : v  v' bảo tồn tính thuộc lá của mỗi điểm,



và  được gọi là trượt dọc các lá. Bây giờ với một phân lá tổng quát ta sẽ xây dựng

một xích các tập mở đơn từ x0 đến x0 ' .

Để làm điều đó trước tiên ta chọn một đường liên tục  :[0,1]  L ,  (0)  x0 ,



 (1)  x0 ' . Lấy t0  0  t1  t2  ...  tk  1 là một phân hoạch của [0,1] sao cho: Với

mỗi i (i  1, k ) thì  ([ti 1 , ti ]) chứa trong một tập con mở đơn U i của V (điều này có

được do tính compact của  ([0,1]) và phủ {U  (t ) }t[0,1] các tập con mở đơn của nó).

Khi đó ta có được một xích các tập mở đơn {U1 ,...,U k } phủ  . Vì  ([ti 1 , ti ]) liên

thơng nên nó nằm trong một tấm của U i . Với mỗi i , ta gọi Ti là một tập con hoành của

U i đi qua xi   (ti ) (i  1, k  1) , ta cũng viết T  T0 ,T '  Tk .



Như trường hợp phân lá đơn ở trên ta xây dựng được các vi phôi  i từ lân cận

mở vi 1 của xi 1 trong Ti (i  1, k ) . Nếu cần thiết ta có thể thu hẹp các vi , khi đó ta thu

được vi phôi    k   k 1  ...  1 : v0  vk . Rõ ràng  không phụ thuộc vào

T1 ,...,Tk 1 , ta ký hiệu mầm của vi phôi này tại x0 là h . Nó là một vi phơi từ mầm của

T tại x0 lên mầm của T ' tại x0 ' . Dễ thấy rằng h cũng khơng phụ thuộc vào xích mở



đơn {U1 ,...,U k } mà chỉ phụ thuộc vào  , chính xác hơn là chỉ phụ thuộc vào lớp đồng

luân [ ] của  trong L , h được gọi là ánh xạ holonomy của L tại x0 .



Đặc biệt khi x0 '  x0 , T '  T thì h là một mầm tại x0 của một vi phơi địa

phương của T bảo tồn x0 . Nếu  1 là một loop khác tại x0 trong L và nếu    1 là

tích của hai loop thì h 1  h  h1 .

Vì h chỉ phụ thuộc vào [ ] nên tương ứng [ ]  h xác định một đồng cấu

nhóm hx0 :  1 ( L, x0 )  Diff x0 (T ) từ nhóm cơ bản của L tại x0 đến nhóm các mầm

của các vi phơi địa phương của T bảo tồn x0 . Khi đó hx0 được gọi là biểu diễn

holonomy của L tại x0 , và nhóm hx0   1 ( L, x0 )  được gọi là nhóm holonomy của lá L



tại x0 . Ta để ý rằng nếu T ' là một tập hoành khác qua x0 thì trượt dọc các lá trong một

lân cận mở đơn tùy ý của x0 , ta có sự đồng nhất chính tắc giữa mầm của T tại x0 với

mầm của T ' tại x0 , do đó đồng nhất Diff x0 (T ) với Diff x0 (T ') . Qua phép đồng nhất

này thì nhóm holonomy của L tại x0 được định nghĩa không phụ thuộc vào T . Do đó

nếu cần, thay vì tính tốn trên các mầm của các đa tạp con hồnh ta có thể xem

h  hx0 ([ ]) như là một mầm của một vi phôi địa phương của một đa tạp thương địa



phương tại x0 .

Ví dụ. Xét phân lá Kronecker. Trường hợp k   thì (2 , F ) cùng kiểu tôpô với











phân lá đơn S 1  { }



S1



, mà với mọi phân lá đơn thì trượt dọc các lá theo một



đường bất kì đều xác định một ánh xạ đồng nhất trên mầm của một đa tạp con hồnh,

do đó nhóm holonomy của nó là nhóm tầm thường. Trường hợp k   thì mọi lá đều

đồng phơi với  (đơn liên, có  1 ( L, x0 ) tầm thường), nên nhóm holonomy của nó

tầm thường. Vậy cả hai trường hợp, phân lá Kronecker đều có nhóm holonomy tầm

thường. Một phân lá có nhóm holonomy tầm thường ta còn gọi là phân lá khơng có

holonomy.



2.2   đại số liên kết với phân lá



Đây là một đóng góp đặc sắc của Alain Connes đối với sự phát triển của lý

thuyết phân lá. Trong phần này chúng tôi nêu lại các bước xây dựng   đại số liên

kết với phân lá cùng các tính chất của nó, và đặc biệt quan tâm đến trường hợp phân lá

cho bởi phân thớ cũng như phân lá cho bởi tác động của nhóm Lie. Độc giả muốn tìm

hiểu đầy đủ hơn nội dung này có thể tham khảo trong [3].

2.2.1 Đồ thị của phân lá (xem [1, tr.58])



Cho (V , F ) là một đa tạp phân lá, ta sẽ xây dựng một đa tạp G , có số chiều

dimG  dimV  dim F gọi là đồ thị của phân lá (V , F ) .



Một phần tử  của G được cho bởi hai điểm x  s ( ), y  r ( ) trong V và một

lớp tương đương của các đường trơn  (t ), t  [0,1],  (0)  x,  (1)  y tiếp xúc với phân

lá F (tức là  '(t )  F (t ) , t  [0,1] , điều này suy ra x, y thuộc cùng một lá) bởi quan

hệ tương đương sau:  1 tương đương với  2 nếu holonomy của đường  2   11 tại x là

phép đồng nhất. Với cách xây dựng trên thì G là một đa tạp n  k chiều. Trong G có

phép nhân tự nhiên, với  , '  G thì    ' có nghĩa khi s ( )  r ( ') . Với phép tốn

này thì G là một phỏng nhóm, do đó G còn được gọi là phỏng nhóm holonomy của

phân lá (V , F ) . Nếu lá L chứa x, y khơng có holonomy thì lớp trong G chỉ phụ thuộc

vào x và y .

Nếu cố định x  L thì ánh xạ từ Gx  {  G : s ( )  x} vào L xác định bởi



  G  y  r ( ) được gọi là phủ holonomy của lá L tại x . Ta thấy các ánh xạ r , s từ

G vào V là các phép ngập, và ánh xạ (r , s ) là một phép dìm có ảnh là tập

{( x, y )  V  V : x, y  L0  V F } , thường là tập kì dị. Nói về tính Hausdorff của G ta



có định lí sau đây.

Định lí (xem [6, tr.9]). Đồ thị G là Hausdorff nếu và chỉ nếu với mọi cặp ( x, y )



thuộc cùng lá ta có: Các ánh xạ holonomy dọc hai đường bất kì  1 , 2 từ x đến y đối



với cùng các tập hoành là trùng nhau nếu nó đồng nhất trên một tập con mở của miền

xác định có bao đóng chứa x .

2.2.2 Khơng gian các nửa mật độ



Cho (V , F ) là phân lá k chiều định hướng được, mỗi x  V ta định nghĩa:



 x1 2 : { :  k Fx   :  ( v)  



12



 (v), v   k Fx ,   }



Trong đó  k Fx là khơng gian véctơ thực một chiều các k  dạng tuyến tính đan

trên Fx (tức là với một bản đồ địa phương của L tại x thì  k Fx có cơ sở là

{dx1  dx 2  ...  dx k } ). Ta thấy ngay  x1 2 cũng là một không gian véctơ phức một



chiều. Ta gọi ( x1 2 ) xV là phân thớ các nửa mật độ trên V . Nếu   G , s ( )  x ,

r ( )  y và đặt 1 2   x1 2   1y 2 , thì 1 2 là không gian véctơ phức một chiều.



Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp G Hausdorff.

Ta đặt:

Cc (G ,  1 2 ) : { f :   G  f ( )  1 2 } ,



là không gian các hàm trơn có giá compact.

Vì V định hướng nên ( k Fx ) xV là phân thớ tầm thường trên V , nên ( x1 2 ) xV

cũng là một phân thớ tầm thường. Ta chọn một tầm thường v , tức là đã cố định một cơ

sở cho mỗi  x1 2 , do đó cũng cố định cơ sở cho mỗi 1 2 ,  G . Do vậy ta có thể đồng

nhất hàm f  Cc (G ) với f .(v  s  v  r )  Cc (G ,  1 2 ) theo cách sau: Với   G ,



 f .(v  s  v  r )  ( )  f ( ). v  s( )  v  r ( )  ,

Trong đó  v  s ( )  v  r ( )  là một cơ sở cố định qua v của 1 2 , nên khi đó

f ( ).  v  s ( )  v  r ( )   1 2 .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

1 Một số vấn đề về tôpô phân lá

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×