Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
1 Một số vấn đề về   đại số

1 Một số vấn đề về   đại số

Tải bản đầy đủ - 0trang

1.1.2 Các ví dụ



(i) Đại số M n () là một   đại số nếu xét các ma trận như là các tốn tử trên











khơng gian Euclide  n , và dùng chuẩn toán tử f  sup f (v) : v   n , v  1 cho

các ma trận. Còn ánh xạ đối hợp chính là phép chuyển vị và liên hợp  : A  A .

(ii) Khơng gian () các tốn tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert 

là một   đại số với ánh xạ đối hợp  : x  x là toán tử phụ hợp của toán tử

x :   .



(iii) Xét không gian Hausdorff compact địa phương X , không gian C0 ( X ) các

hàm liên tục nhận giá trị phức trên X triệt tiêu ở vô cùng làm thành một   đại số

giao hoán với phép nhân, phép cộng và phép đối hợp theo từng điểm. C0 ( X ) có đơn vị

nhân khi và chỉ khi X compact. Tuy nhiên trường hợp X Hausdorff compact địa

phương thì C0 ( X ) vẫn có phần tử đơn vị xấp xỉ như sau: Xét tập định hướng các tập

con compact của X , với mỗi tập compact K ta ký hiệu f K là hàm đồng nhất 1 trên

K . Các hàm như vậy tồn tại theo định lí mở rộng Tietze và X luôn được phủ bởi các

tập compact K như thế, ta gọi { f K }K là phần tử đơn vị xấp xỉ của   đại số C0 ( X ) .

Ta có kết quả quan trọng về các   đại số như sau:

Định lí Gelfand  Naimark. A là một   đại số giao hốn có đơn vị nếu và chỉ

nếu A  C ( X ) ,   đại số các hàm phức liên tục trên không gian Hausdorff compact

X . Và A là một   đại số nếu và chỉ nếu A   đẳng cấu với một   đại số con đóng

của () ,   đại số các tốn tử bị chặn trên một không gian Hilbert  .

(iv) Xét  là không gian Hilbert vô hạn chiều khả tách. Đại số k ( ) các toán

tử compact trên  là một đại số con đóng với chuẩn của   đại số () . k ( )

cũng đóng với phép đối hợp nên nó cũng là một   đại số.



1.1.3 Tích xiên (xem [4, tr.175  177])



Cho A là một   đại số, H là nhóm Lie compact địa phương và



 : H  AutA là một tác động liên tục của H lên A . Tức là với mỗi h  H ,



 h  AutA là một   tự đẳng cấu của A và với mỗi a  A , ánh xạ h   h (a ) liên tục

theo chuẩn. Khi đó, ta xác định một   đại số A  A H gọi là tích xiên của A và

H bởi tác động  như sau:



Xét không gian véctơ Cc ( H , A) (các hàm phức liên tục có giá compact từ H

vào A) với phép nhân và phép đối hợp như sau ( dh là độ đo Haar trái trên H ):











f1. f 2 (h)   f1 (h1 ). h1 f 2 (h11h) dh1 , với f1 , f 2  Cc ( H , A), h  H ,











f  (h)   (h) 1. h f (h 1 ) , với đồng cấu  : H  * , d (h 1 )   (h).d (h) .



Khi đó Cc ( H , A) là một   đại số. Ta sẽ xây dựng một chuẩn trên Cc ( H , A) .

Một biểu diễn hiệp biến  của ( A,  ) là một cặp gồm một biểu diễn unita  A

của A và một biểu diễn  H của H trên một không gian Hilbert sao cho:



 H (h). A (a). H (h 1 )   A  h (a)  , h  H , a  A

Với mỗi  ta định nghĩa một biểu diễn đối hợp  của Cc ( H , A) như sau:



 ( f )    A  f (h)  . H (h)dh, f  Cc ( H , A)

Khi đó ta định nghĩa A là   đại số bổ sung của   đại số Cc ( H , A) bởi

chuẩn f  sup   ( f ) :   (với  là biểu diễn hiệp biến của ( A,  ) ).

Tính chất của tích xiên:

(i) Nếu f : A  B là một   đồng cấu H  đẳng biến giữa các   đại số, thì

 xác định bởi cơng thức:

A B

nó sẽ cảm sinh một   đồng cấu đối ngẫu ˆf : 



 fˆ (a)  (h)  f  a(h)  , với a  C ( H , A), h  H .

c



j



(ii) Nếu 0  J 

 A 

 B  0 là một dãy khớp ngắn (chẻ ra) H  đẳng



biến ( H tác động liên tục lên các   đại số J , A,B ), thì dãy các tích xiên sau đây

ˆ



j



cũng khớp (chẻ ra) 0  J  H 

 A H 

 B H  0 .

ˆ



1.1.4 Tích thớ



Cho A1 , A2 , A' là các   đại số,  i : Ai  A ' (i  1, 2) là các







 đồng cấu.



  đại số A và cặp đồng cấu pi : A  Ai (i  1, 2) được gọi là tích thớ (hay còn gọi

là sơ đồ kéo lại) của cặp ( 1 ,  2 ) nếu thỏa 2 điều kiện sau:

(i) Có sơ đồ giao hốn:

p1

A 

 A1

p2



1







 A'

A2 



2



(ii) Bộ ba ( A, p1 , p2 ) có tính chất phổ dụng, tức là với mọi bộ ba ( B, q1 , q2 ) có

tính chất tương tự và làm cho sơ đồ sau giao hoán:

q1

B 

 A1

q2





1

A2 

 A'



2



Thì tồn tại duy nhất một   đồng cấu  : B  A sao cho   pi  qi (i  1, 2) .

1.2 Một số vấn đề về K  lý thuyết

K  lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng và việc tìm hiểu K  lý



thuyết là một vấn đề khơng hề dễ dàng. Tuy nhiên, vì mục tiêu của luận văn, ở đây

chúng tơi chỉ trình bày một cách đơn giản nhất việc xây dựng K  lý thuyết cho một



  đại số. Các ví dụ trong phần này đều là các kết quả cần thiết cho việc tính tốn

K  lý thuyết của các phân lá trong chương 3.



1.2.1 Phân thớ véctơ (xem [5, tr.4  9])



Một phân thớ véctơ n chiều trên không gian Hausdorff compact X là cặp

( E , p ) gồm không gian tôpô E và ánh xạ liên tục p : E  X thỏa các điều kiện sau:



(i) Mỗi x  X , thớ E x   1 ( x) trên X có cấu trúc của một khơng gian véctơ



n chiều.

(ii) Tất cả các thớ được “buộc” với nhau một cách liên tục bởi các tầm thường

địa phương.

Các ví dụ cơ bản của phân thớ véctơ là phân thớ tiếp xúc TM và phân thớ đối

tiếp xúc TM  trên một đa tạp compact M , ví dụ TS n1  {( x, v)  S n1   n : x.v  0} .

Trong luận văn này chúng ta chỉ xét các phân thớ véctơ phức.

Nếu ( E , p) là một phân thớ véctơ trên X , một nhát cắt của E là một hàm liên

tục f : X  E sao cho s ( x)  E x , x  X . Tập  ( E ) các nhát cắt của E có cấu trúc

khơng gian véctơ một cách tự nhiên với ( s   t )( x)   s ( x)   t ( x) , trong đó tổ hợp

tuyến tính trong vế phải được thực hiện trong không gian véctơ E x . Thực ra  ( E ) là

một môđun trên C ( X ) theo cách tự nhiên với ( f .s )( x)  f ( x).s ( x) .

Định lí Serre  Swan. Nếu ( E , p ) là một phân thớ véctơ trên không gian

Hausdorff compact X , thì  ( E ) là một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên C ( X ) (tức là

tồn tại s1 , s2 ,..., sn   ( E ) sao cho  ( E )   i 1 C ( X ).si ). Ngược lại, mọi môđun xạ

n



ảnh hữu hạn sinh trên C ( X ) đều có dạng này.

1.2.2 Xây dựng các K  nhóm (xem [12, tr.144  154])



Xét A là một   đại số có đơn vị, thì một cách tự nhiên M n ( A) cũng là một



  đại số có đơn vị, các phép tốn đại số là các phép tốn thơng thường và chuẩn

trên M n ( A) cũng thu được một cách tự nhiên. Do đó, nếu nhúng A  () (   đại

số các tốn tử bị chặn trên khơng gian Hilbert  ), thì ta có thể nhúng



M n ( A)  M n  ()   (  ...  ) ( n lần), ta sẽ đồng nhất M n ( A) với “góc Tây

 x 0

Bắc” của M n1 ( A) bởi x  

.

 0 0



Ta ký hiệu Pn ( A)  P  M n ( A)  và U n ( A)  U  M n ( A)  trong đó P ( B ) (tương

ứng U ( B ) ) ký hiệu tập hợp các phép chiếu { p  B : p  p 2  p} (tương ứng các phần

tử unita {u  B : u u  uu   1} ) trong một   đại số B bất kì.

Xem Pn ( A) và U n ( A) theo thứ tự bao hàm trong Pn1 ( A) và U n1 ( A) qua phép

 p 0

u 0



đồng nhất p  

và u  

, ta lần lượt ký hiệu các tập P ( A)   n1 Pn ( A) ,





 0 0

0 1









M  ( A)   n1 M n ( A) và U  ( A)   n1U n ( A) .



Mọi A  môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều có dạng V p  {  M1n ( A) :    p}

với p  Pn ( A) và số nguyên dương n , ở đây hiển nhiên A tác động lên V p theo quy

tắc (a. )i  a i . Với p, q  P ( A) , thì V p  Vq  (u  M  ( A) : u u  p, uu   q ) , khi

đó ta viết p  q .

Mệnh đề. Tập thương K 0 ( A)  P ( A)  có cấu trúc một vị nhóm aben với phép

cộng [ p ]  [q ]  [ p  q ] và có đơn vị là [0] .

Ta đã biết, nếu S là một vị nhóm aben, thì tập {a  b : a, b  S } các hiệu hình

thức trong S , trong đó (a  b  c  d )  (a  d  f  c  b  f ), f  S , làm thành một

nhóm, gọi là nhóm Grothendieck của S .

Định nghĩa. Nếu A là một   đại số có đơn vị, ta định nghĩa:

(i) K 0 ( A) là nhóm Grothendieck của vị nhóm aben K 0 ( A) .

(ii) K1 ( A) là nhóm thương của nhóm U  ( A) trên nhóm con chuẩn tắc U  ( A)(0)

(thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong U  ( A) ).

Khi đó K1 ( A) cũng là một nhóm aben với phép tốn như sau:



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

1 Một số vấn đề về   đại số

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×