Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 3: K-LÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ CHO BỞI THÀNH PHẦNREEB TRÊN 2 VÀ CỦA PHÂN LÁ KIM CƯƠNG THỰC

Chương 3: K-LÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ CHO BỞI THÀNH PHẦNREEB TRÊN 2 VÀ CỦA PHÂN LÁ KIM CƯƠNG THỰC

Tải bản đầy đủ - 0trang

Phân lá của Hình 3.1 được gọi là thành phần Reeb đảo hướng, phân lá của Hình

3.2 được gọi là thành phần Reeb bảo toàn hướng. Cần để ý rằng các phân lá trên

[0,1]  S 1 này cũng có thể nhận được bằng cách chiếu lên [0,1]  S 1 từ một phân lá của



[0,1]  (phân lá bất biến tịnh tiến) được cho bởi các đường thẳng x  0 , x  1 và các



đồ thị của các hàm số { y  f ( x)  c, x  (0,1)}c , với hàm f : (0,1)   thỏa mãn

điều kiện lim f ( x)   .

x0,1



Việc tìm hiểu các thành phần Reeb cơ sở là hết sức cần thiết cho việc tính

K  lý thuyết cho các phân lá trên 2 có chứa lá đóng. Từ nay ta sẽ gọi phân lá có



chứa lá đóng khơng tầm thường trên 2 là phân lá cho bởi các thành phần Reeb.

Ta cũng cần chú ý rằng một phân lá của 2 có thể chứa vơ hạn các thành phần

Reeb bảo toàn hướng và các lá compact ổn định. Nhưng do tính compact của 2 , nên

phân lá trên 2 chỉ có thể chứa hữu hạn các thành phần Reeb đảo hướng. Một phân lá

trơn bất kì trên 2 mà không chứa thành phần Reeb đảo hướng đều có thể nhận được

bằng cách xây dựng mà ta sẽ trình bày trong phần tiếp theo. Do vậy, mọi phân lá trơn

của 2 đều nhận được bằng cách chèn dọc các lá compact của các phân lá nhận được

bằng cách xây dựng như thế một số hữu hạn các thành phần Reeb đảo hướng. Một

phân lá của 2 được định hướng hồnh và vì vậy nó được xác định bởi một dòng

(flow) nếu và chỉ nếu nó chứa một số chẵn các thành phần Reeb đảo hướng.

Cách xây dựng. Cho  : S 1  S 1 là một vi phơi bảo tồn hướng của đường tròn

S 1 . Ta có thể xem 2 như là thương 2  S 1   /  , ở đó  được sinh bởi vi phôi



( , t )   ( ), t  1 . Phân lá { }   S1 của S 1   chiếu lên S 1    thành một



phân lá trên 2 .



3.2 K  lý thuyết của các thành phần Reeb



Thành phần Reeb là các trụ phân lá khá đơn giản, chúng có cấu trúc các lá và

khơng gian lá dễ hình dung. Ở đây chủ yếu chúng tơi trình bày các kết quả đã có trong

[6] theo một bố cục đơn giãn và có phần chi tiết hơn. Nội dung của phần này đóng vai

trò then chốt để tính K  lý thuyết cho các phân lá trơn trên 2 .

3.2.1   đại số của các thành phần Reeb



Trước tiên ta nhận xét rằng các thành phần Reeb là các phân lá cho bởi tác động

của nhóm Lie  trên [0,1]  S 1 .

Các lá trong của phân lá này đồng phơi với  đơn liên nên có holonomy tầm

thường, nên phủ holonomy của các lá trong đều là  . Còn các lá biên S 1 có



 1 ( S 1 , )   , nên nhóm holonomy của các lá biên cũng là  , nên phủ holonomy của

lá biên S 1 là S 1     . Vậy tất cả các lá của thành phần Reeb đều có phủ holonomy

là  , nên có đồ thị G  [0,1]  S 1   và C  ([0,1]  S 1 , F i )  C ([0,1]  S 1 )   (i  1, 2) .

3.2.2 Một số khái niệm



Gọi i : C ([0,1]  S 1 )  C ( S 1 ), ( i f )( )  f (i,  ) (i  0,1) là các đồng cấu thu

hẹp trên các biên của trụ [0,1]  S 1 .

Ta định nghĩa các tác động   của  lên C ( S 1 ) như sau:

(t f )( )  f (  t ), f  C ( S 1 ), t  ,   S 1    (tác động tịnh tiến miền



xác định).

Đối với thành phần Reeb đảo hướng ([0,1]  S 1 , F 1 ) , ta chọn một tác động 1

của  trên C ([0,1]  S 1 ) sao cho 0 (tương ứng 1 ) đẳng biến với tác động   (tương

ứng   ) của  trên C ( S 1 ) . Khi đó ta có các ánh xạ đối ngẫu giữa các tích xiên



ˆi : C ([0,1]  S 1 ) 1   C ( S 1 )    (i  0,1) được xác định bởi hệ thức:



( ˆ i f )( s )  i ( f ( s )), f  Cc ( , Cc ([0,1]  S 1 ))  Cc ([0,1]  S 1  ), s   .



Còn với thành phần Reeb bảo tồn hướng ([0,1]  S 1 , F 2 ) , ta chọn một tác động



 2 của  trên C ([0,1]  S 1 ) sao cho cả hai ánh xạ 0 và 1 đều đẳng biến với tác

động   của  trên C ( S 1 ) . Khi đó các ánh xạ đối ngẫu của i được cho bởi



ˆi : C ([0,1]  S 1 )  2   C ( S 1 )    (i  0,1) .

Tập (0,1)  S 1 là tập con mở bảo hòa của các thành phần Reeb ([0,1]  S 1, F i ) ,

nên   đại số liên kết của nó C  ((0,1)  S 1 , F i ) là một ideal của C  ([0,1]  S 1 , F i ) .

Trong phần tiếp theo ta sẽ dùng các ký hiệu và các đẳng cấu sau:

B  C ( S 1 )   





B  C ( S 1 )   





A1  C  ([0,1]  S 1, F 1 )  C ([0,1]  S 1 )  1 



(3.1)



A2  C  ([0,1]  S 1, F 2 )  C ([0,1]  S 1 )  2 



(3.2)



J1  C  ((0,1)  S 1, F 1 )  C ( S 1 )  k ( L2 ())



(3.3)



J 2  C  ((0,1)  S 1, F 2 )  C ( S1 )  k ( L2 ())



(3.4)











Hai đẳng cấu (3.3), (3.4) có được vì các phân lá ((0,1)  S 1, F i ) được cho bởi

các phép ngập trên đường hoành {1 2}  S 1 và mỗi lá của nó đều đồng phôi với  .

Cấu trúc của hai thành phần Reeb tương tự như nhau, vì vậy ta sẽ làm việc chi

tiết đối với thành phần Reeb đảo hướng và nêu kết quả tương tự đối với thành phần

Reeb bảo toàn hướng.

Phần bù của (0,1)  S 1 trong phân lá ([0,1]  S 1, F 1 ) là hai lá biên compact

S 1  S 1 có đồ thị là ( S 1  S 1 )   nên C  ( S 1  S 1 , F 1 )  C ( S 1  S 1 )   , ở đây tác



động của  lên C ( S 1  S 1 ) là thu hẹp của 1 . Đồng nhất C ( S 1  S 1 ) với

C ( S 1 )  C ( S 1 ) ta có:



C  ( S 1  S 1 , F 1 )  C ( S 1 )     C ( S 1 )     B  B









Vì  là nhóm Lie trung bình hóa nên ta có dãy khớp:

0  1

0  J1  A1 

B  B  0

ˆ



ˆ



Ta xét đẳng cấu   đẳng biến  : C ( S 1 )  C ( S 1 ), ( f )( )  f ( ) , thì ta có

đồng cấu đối ngẫu ˆ : B  B , ˆ ( g )( , t )  g ( , t ), g  Cc ( S 1  ) . Khi đó ta có dãy

khớp:

ˆ ˆ ˆ



0

1

0  J1  A1 

 B  B  0



(3.5)



Khi tính tốn ideal J1 ta thường dùng dạng J1  C0 ((0,1)  S 1 )  1  nhiều hơn





dạng (3.3) , nên ta cần biểu diễn chi tiết các phần tử của C0 ((0,1)  S 1 )  1  như là các





loop của các toán tử compact tương ứng với đường hoành {1 2}  S 1 .

Với mỗi điểm ( x,  )  (0,1)  S 1 có duy nhất một tọa độ dòng ( , t )  S 1   sao

cho ( x,  )  t1 (1 2,  ) (khi t   thì x  0 , khi t   thì x  1 ). Khi đó ta nhận

được một vi phơi  : (0,1)  S 1    S 1    ,  ( x, , v)  ( , t , v) , nên ta có đẳng

cấu Cc ((0,1)  S 1  )  Cc ( S 1    ) . Nói riêng, nếu f , g  Cc ((0,1)  S 1   ) được

biểu diễn qua các tọa độ dòng ( , t , v)  S 1     , thì tích chập của chúng được cho

bởi:

f  g ( , t , v)   f ( , t , s ).g ( , t  s, v  s )ds





Với  cố định, đây là tích chập trên Cc (   )  C0 ( )     k ( L2 ( )) .





Đại số nhân của C ( S 1 )  k ( L2 ()) là Cs ( S 1 , ()) ,   đại số của các hàm





 liên tục mạnh từ S 1 vào ( L2 ( )) . Có một   đồng cấu tự nhiên:



 : C  ([0,1]  S 1, F 1 )  Cs ( S 1, ())



Gọi  (1 2, ) : C  ([0,1]  S 1 , F 1 )  ( L2 ( )) là biểu diễn liên kết với điểm

(1 2,  )  [0,1]  S 1 thì ta có thể định nghĩa  bởi  ( f )( )   (1 2, ) ( f ),   S 1 .



Bổ đề. Công thức  ( f )( )   (1 2, ) ( f ) xác định tốt một   đồng cấu:



 : C  ([0,1]  S 1 , F 1 )  C ( S 1 )  ( L2 ( ))

3.2.3 Các K  nhóm của thành phần Reeb đảo hướng



















Vì [0,1]  S 1 đồng luân với S 1 nên K 0 C ([0,1]  S 1 )  K 0 C ( S 1 )   , và dùng



















đẳng cấu Thom  Connes  01 : K 0 C ([0,1]  S 1 )  K1 C ([0,1]  S 1 )  1  ta có ngay









K1 ( A1 )   . Tương tự ta có K 0 ( A1 )   .



Ở đây ta đã dùng kết quả của (1.3) đó là:



 

K  C ( S )   K  C ()   K ()    {0}  

Ta cũng có ngay K ( B )  K  C ( S )     K  C ( S )   (i  0,1) .



K 0 C ( S 1 )  K 0  C0 ( )   K 0 ()  {0}    

1



1



i



1







0



1



1



i



1



i 1







Cuối cùng do tính ổn định của các K  nhóm, nên ta có:



















K i ( J1 )  K i C ( S 1 )  k ( L2 ( ))  K i C ( S 1 )   (i  0,1)



Phần tử sinh của các K  nhóm. Xét v  C ( S 1 ), v( )  e 2 i là hàm đồng nhất

S 1    với đường tròn đơn vị phức, và hàm hằng 1  C ( S 1 ) . Thì các lớp [1], [v] lần



















lượt là các phần tử sinh của K 0 C ( S 1 ) , K1 C ( S 1 ) . Do tính chất bất biến đồng luân



















của các K  nhóm nên các nhóm K 0 C ([0,1]  S 1 ) , K1 C ([0,1]  S 1 ) lần lượt có phần

tử sinh là các lớp [1], [ v ] trong đó v ( x,  )  v( ),1  C ([0,1]  S 1 ) . Do đó, theo đẳng



cấu Thom  Connes thì  01 ([1]), 11 ([v ]) lần lượt là các phần tử sinh của K1 ( A1 ) và









K 0 ( A1 ) .



Tiếp theo, ta lấy p  Cc ( S 1  ), p ( , v)  g ( ).g (  v),   S 1 , v   , ở đây

g  Cc ( ) , supp g  (1 2   ,1 2   ) với   0 và



  g (v )



2



dv  1 , trong đó S 1 được



nhúng vào  bởi   exp(2 i )     [0,1)   . Lấy u  (C ( S 1 )    )  sao cho





u  1  Cc ( S 1  ) được cho bởi công thức ( , v)  l (v).1( ) ,   S 1 , v   , ở đây



1  l đồng luân với phần tử Bott b  C0 ( )   C ( S 1 ) , b( )  (  i ) (  i ) (với l là

biến đổi Fourier của l ). Ta có bổ đề sau:

Bổ đề (xem [6, tr.30]). (i) Hàm p như trên xác định một phép chiếu trong











C ( S 1 )    và lớp của p là một phần tử sinh của nhóm K 0 C ( S 1 )    .









(ii) Phần tử u là khả nghịch và lớp của u là một phần tử sinh của nhóm











K1 C ( S 1 )    .





3.2.4 Liên hệ giữa các phần tử sinh của các K  nhóm



Để xét dãy khớp K  lý thuyết của thành phần Reeb đảo hướng ta cần tìm mối

liên hệ giữa các phần tử sinh 1 ([v ]),  0 ([1]), [ p ], [u ] và cũng cần xác định các phần tử











sinh của các nhóm K i C ( S 1 )  k ( L2 ( )) . Ta có các bổ đề sau:

Bổ đề (xem [6, tr.30  31]). (i) Các phần tử sinh của K 0 ( A1 ) và K 0 ( B ) được

liên hệ với nhau bởi hệ thức sau:



ˆ 0 (1 ([v ]))  1 ([v])  [ p ]



(3.6)



(ˆ  ˆ1 ) (1 ([v ]))  1 ([v ])  [ p ]



(3.7)



(ii) Và các phần tử sinh của K1 ( A1 ) và K1 ( B ) liên hệ với nhau bởi:



ˆ 0 ( 0 ([1]))  1 ([1])  [u ]



(3.8)



(ˆ  ˆ1 ) ( 0 ([1]))  1 ([1])  [u ]



(3.9)



Chứng minh. Ta sẽ dùng vết tự nhiên  trên C ( S 1 ) xác định như sau:



 f  C (S ) 



 ( f )  S1 f ( )d



1



Vết đối ngẫu ˆ trên C ( S 1 )    khi đó được xác định:





 f C



 1

c ( S  )



ˆ( f )  S1 f ( ,0)d







Khi đó theo định nghĩa của p ta có:

2



ˆ( p)   p( ,0)d   g ( ).g ( )d   g ( ) d  1











Rõ ràng ˆ xác định một đẳng cấu ˆ : K 0 C ( S 1 )      , ˆ ([ p])  1 .























Xét đẳng cấu Thom  Connes 1 : K1 C ( S 1 )  K 0 C ( S 1 )    thì 1 ([v]) là















một phần tử sinh của K 0 C ( S 1 )    và ta có ˆ (1 ([v]))  1 .





Đến đây dùng tính chất tự nhiên của đẳng cấu Thom  Connes ta có các kết quả

bổ đề trên.











Bổ đề (xem [6, tr.31]). Phần tử sinh của nhóm K 0 C ( S 1 )  k ( L2 ( )) là lớp











[1  q] và phần tử sinh của nhóm K1 C ( S 1 )  k ( L2 ( )) là lớp [v  q  1  1  q ] ,

trong đó q là phép chiếu một chiều trong k ( L2 ()) .











Để đồng nhất các phần tử của K i C ( S 1 )  k ( L2 (  )) có tạo ảnh qua các ánh xạ

nối, ta dùng vết tự nhiên  trên C ( S 1 ) và Tr trên k ( L2 ()) . Đồng nhất k ( L2 ()) với

C0 ( )    , Tr được xác định bởi:





Tr ( f )   f ( s,0)ds





 f C





c (  )



Ta ký hiệu     Tr là vết trên C ( S1 )  k ( L2 ()) .















Vì  (1)   1 d  1 1  C ( S 1 ) và Tr (q )   q ( s,0)ds  1 , nên qua đẳng cấu

S















 : K 0 C ( S 1 )  k ( L2 ( ))   , thì ta có  ([1  q])  1 .







Nếu [V ]  K1 C ( S 1 )  k ( L2 (  ))







được biểu diễn bởi một loop khả vi





V : S 1  DomTr

thì [V ]  wV .[v  q  1  (1  q)] , trong đó wV là số vòng quay của V



được xác định bởi:

wV 











1 1

Tr V '( ).V ( ) 1 d



0

2 i



3.2.5 Dãy khớp K  lý thuyết của thành phần Reeb đảo hướng



Trong phần này ta sẽ tính các đồng cấu nối  0 và 1 của dãy khớp 6 thành phần

trong K  lý thuyết liên kết với dãy khớp (3.5) :

K1 ( J1 )



0 ( 1 )

 K1 ( A1 ) 

 K1 ( B  B )

ˆ



ˆ ˆ



0





1

K 0 ( B  B ) 

 K 0 ( A1 ) 

 K 0 ( J1 )

ˆ (ˆ ˆ )

0



1 



Chọn các phần tử sinh của các K  nhóm như trong 3.2.3 , theo (3.6) , (3.7) ,



(3.8) và (3.9) thì các ma trận của ˆ 0  (ˆ  ˆ1 ) trong K 0 , K1 lần lượt có các ma trận

 1 

 1

là   và   , và do tính khớp nên hai đồng cấu “ngang” còn lại phải là các đồng cấu

 1

 1



khơng. Như vậy dãy khớp trên trở thành:

 0



 

0



1



1

    





1

   

  



1

 0



(3.10)



 1



Bổ đề (xem [6, tr.32  39]). Các ánh xạ nối trong dãy khớp (3.10) được cho bởi

các ma trận:



 0  (1 1), 1  (1 1)

Chứng minh. (i) Trước tiên ta tính  0 : K 0 ( B  B )  K1 ( J1 ) .

Với [ f ]  K 0 ( B  B ) , theo định nghĩa thơng thường thì  0 ([ f ]) là lớp trong

K1 ( J1 ) của phần tử exp 2 if , trong đó f là nghịch ảnh của f  B  B trong (một



đại số ma trận trên) A1 .

Vì K 0 ( B ) có phần tử sinh [ p] nên K 0 ( B  B ) được sinh bởi hai phần tử

([ p ],0) và (0,[ p ]) (do K 0 ( B  B )  K 0 ( B )  K 0 ( B ) ), ta sẽ tính  0 ([ p ],0) .



Một phần tử p 0  Cc ([0,1]  S 1   ) (chú ý Cc ([0,1]  S 1   ) sinh ra A1 ) sao

cho ˆ 0 ( p 0 )  p và (ˆ  ˆ1 )( p 0 )  0 được cho bởi:

p 0 ( x,  , v)  h0 ( x). p ( , v) ( x  [0,1],   S 1 , v  ) ,



ở đây h0  C ( S 1 ) thỏa điều kiện h0 (0)  1, h0 (1)  0 . Rõ ràng nếu ta chọn h0 có giá

gần 0 như Hình 3.3 thì việc tính tốn sẽ đơn giản hơn.

h0



1

x0



x 1



Hình 3.3

Ta cần chú ý rằng một hàm của   S 1 có thể xem là một hàm tuần hồn của



 '   . Nói riêng ta có thể thay p bởi một hàm p '  C  (  ) tuần hoàn theo biến

thứ nhất (chú ý p ' khơng có giá compact).





Khi đó p ' có thể viết thành một tổng vơ hạn p '   n pn , pn  Cc (   )

được cho bởi pn ( s, v)  g ( s  n).g  ( s  n)  v  . Để ý rằng mỗi pn đều xác định một

phép chiếu một chiều trong C0 ( )     k ( L2 ( )) .





Với tích chập trong C0 ( )    , ta có pn  pm  0 khi n  m .





Bằng cách tương tự ta có thể biểu diễn



p 0



bởi hàm



p '



của



( x,  ', v)  [0,1]     tuần hồn theo biến thứ hai.





Khi đó ta có p '   n p n0 , với p n0  Cc ([0,1]    ) được xác định tương tự

như p 0 , tức là p n0 ( x,  ', v)  h0 ( x). pn ( ', v) ( x  [0,1],  '  , v  ) .

Do các thành phần Reeb được sinh ra một cách tự nhiên từ một phân lá của

[0,1]  (xem mục 3.1 ), nên từ đây về sau ta có thể thu hẹp các hàm đang xét trên tập



con mở bảo hòa (0,1)   .

Vi phôi  (xem 3.2.2 ) mở rộng một cách tự nhiên thành vi phôi:

(0,1)          



Do vậy p ' có thể viết được qua tọa độ dòng ( , t , v)       và p ' là một

hàm tuần hoàn theo    . Rõ ràng các hàm p n0 thỏa các điều kiện:

p n0 ( , t , v)  p n01 (  1, t , v),

p n0 (1, t , v)  0, neáu n  1.



Theo định nghĩa p n0 chỉ khác không khi v gần 0 . Hàm t  p n0 ( , t ,0) (  cố

định) bằng 0 khi t gần 0 (xem Hình 3.4 ), và khi n tiệm cận về  thì p n0 có giá gần

n    t ' , với t ' chỉ phụ thuộc vào tác động 1 .

p 00 (1, t ,0)



p 00 (3 4, t ,0)



 1



t







3

4



p 00 (1 2, t ,0)







1

2



t



t



p 00 (0, t ,0)



 0

Hình 3.4



t



Do tính hình học của phân lá nên ta có thể chọn hàm h0 sao cho:

(i) p n0  p m0  0 khi n  m .

(ii) Tồn tại số N   sao cho p n0 ( ,.,.) xác định một phép chiếu một chiều khi



  [0,1] và n   N .

Trong hình 3.4 chúng ta đã phát họa đồ thị của hàm số t  p n0 ( , t ,0) với các

giá trị của   [0,1] . Ta có thể thấy rằng  chạy trong khoảng [0,1] , một “bump” xuất

hiện và dần dịch chuyển ra xa vị trí t  0 về phía t có giá trị âm. Khi   N thì cái

bump đó sẽ biểu diễn một phép chiếu một chiều.

Bây giờ ta sẽ xét phần tử khả nghịch exp 2 ip 0 và tìm cách biểu diễn nó như

một loop trong k ( L2 ()) . Ta viết exp 2 ip 0 như một hàm có giá trị là các tốn tử tuần

hồn của    , từ các nhận xét trên ta thấy rằng với   [0,1] thì exp 2 ip 0 có thể

được viết thành:

exp 2 ip 0   n N exp 2 ip n0

0



Bởi vì mỗi p n0 là một hàm khả vi của  và xác định một phần tử trong



DomTr  k ( L2 ( )) , nên suy ra exp 2 ip 0 là một loop khả vi trong DomTr

.



Ta tính số vòng quay w của exp 2 ip 0 theo định nghĩa như sau (vì muốn lớp

của exp 2 ip 0 là phần tử sinh của K 0 ( J1 ) thì số vòng quay của nó phải là 1 ):

1 



w







0 











0

n  N



p n0

( , t ,0) dt d





  n N [ p n (1, t ,0)  p n (0, t ,0)] dt

0



0



0















  n N [ p n (1, t ,0)  p n1 (1, t ,0)] dt







0



0



0



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 3: K-LÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ CHO BỞI THÀNH PHẦNREEB TRÊN 2 VÀ CỦA PHÂN LÁ KIM CƯƠNG THỰC

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×