Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
§ 5. HÀM TỬ EXT

§ 5. HÀM TỬ EXT

Tải bản đầy đủ - 0trang

29



b)Xét biểu đồ giao hoán :



Lấy hàm chọn u' của Eγ. Tương ứng với nó ta có hệ các thương (f', g'). Dễ thấy là có thể lấy

được hàm chọn u của E mà β u' = uγ.

Thật vậy vì C = γ(C') u (C\γ(C )) nên V c ∈ γ (C ') lấy u(c) ∈ βu'γ-1(c).

Còn c ∈ c \ γ(C') chọn u(c) tùy ý thỏa σu(c) = c.

Ta tính hệ các thương (f' , g') của Eγ. ∀c1' c2’∈ C' ta có :

tác động β lên ta có



đơn ánh nên:

[

]



Tương tự ta cũng có : ∀ r∈ R, ∀c’ ∈ C’

G’(r, c’) = g[r, (c’)] hay g’ = g(1R ⊕ ).

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 5.1

Trước tiên ta thấy rằng α* và γ* là những ánh xạ. Điều nàv được suy trực tiếp từ các mệnh đề

3.1, 3.2, 3.5. 3.6.

a) Để chứng minh α* là đồng cấu nhóm ta chỉ ra tồn tại một đồng cấu :





và α* sẽ là thu hẹp của ̃ trên nhóm con Ext(C, A) của nhóm FR(C, A)/ SR(C, A).

Ta thiết lập ̃ như sau :



̃ được thiết lập như vậy là một ánh xạ vì nếu có :

( )=

thì :

=

Thật vậy, từ

=

, Suy ra

∃( Ch , Rh) ∈ SR(C, A) sao cho :

(f, g) – (f1, g1) = ( Ch , Rh).

Khi đó ta xét các tích:



30



Vậy thì :

( f, g) – ( f1, g1) = ( f - f1, g - g1)

= ( (f - f1), (g – g1))

=(

Ch,

Rh)

=( C( h), R( h)) ∈ SR(C, A’)

Suy ra :

=

+) ̃ là một đơng cấu nhóm



+) Ta có biểu đồ sau là giao hốn :



Vì theo phần a) của bổ đề ∀E ∈ Ext(C, A), ta có biểu đồ giao hốn :



Do biểu đồ giao hoán nên nếu coi Ext(C, A) và Ext(C, A ) là các nhóm con của FR(C, a) /

SR(C, A) và FR(C, A' ) / SR(C, A' ) thì có thể coi α* = Ext(C. a). Vậy ̃ = α* là đồng cấu

nhóm.

b) Tương tự như a) ta chỉ ra tồn tại đồng cấu :



31



+) ( ̃) là mội ánh xạ vì :

Giả sử

=

(f, g) – (f’, g’) = (

Vì vậy :



suy ra tồn tại (

Rh, Rh).



Rh,



Rh)



∈ SR(C, A) sao cho :



Suy ra :



+) ̃ là đồng cấu :



Biểu đồ giao hốn :



Vì theo phần b) bổ đề trên ta có ∀ E ∈ Ext(C, A) biểu đồ sau giao hốn :



Từ đó nếu coi Ext(C, A), Ext(C'. A) là các nhóm con của nhóm FR(C, A) / SR(C, A) và nhóm

FR(C’, A) / SR(C’, A) thì có thể coi :

γ* - ( ̃) | Ext(C, A). Vậv γ* là đồng cấu nhóm.

Bây giờ ta sẽ xây dựng các hàm tử một biến Ext( - ; A) và Ext(C; -).

• Cho A là mođun cố định. Khi đó ta định nghĩa : Ext(- ; A) là hàm tử từ phạm trù Modun vào

phạm trù Abel đặt tương ứng mỗi mođun C một nhóm Ext(C, A) ∈ Ab và đặt tương ứng mỗi

cấu xạ γ : C' → C một cấu xạ γ* : Ext(C, A)→ Ext(C’, A).



32

Chứng minh :

Ta chứng minh Ext(-, A) là hàm tử phản biến, tức là nó thỏa hai tính chất :

HT1 ; Ext (1C, 1A) = 1Ext(C, A)

HT2 : Ext ( 1 2, 1A) = Ext( 2, 1A). Ext( 1, 1A)

HT1 là thỏa mãn hiển nhiên. Khơng khó khan lắm để kiểm tra HT2. Thật vậy nếu :

C’’ C’ C thì ∀ E ∈ Ext (C, A):

( 1 2)* (E) = E( 1 2) = (E 2) 1 = 1*( 2*(E))

Hay Ext( 1 2, 1A)(E) = Ext( 2, 1A).Ext( 1, 1A)

• Cho C là mođun cố định. Ta xây dựng hàm tử Ext(C, -) từ phạm trù Mod đến phạm trù Ab

bàng cách cho tương ứng.

+ Mỗi mođun A một nhóm Ext(C, A)

+ Mỗi cấu xạ α : A → a' với cấu xạ

a*:Ext(C, A) → Ext(C. Al).

Hàm tử Ext(C. -) là một hàm tử hiệp biến. vì nó có hai tính chất:



Chứng minh :

Hoàn toàn tương tự như với HT Ext(-. A)

Mệnh đề 5.2

Các hàm tử Ext(C. -) và Ext(-. A) là các hàm tử cộng tính.

Chứng minh :

a) Để chứng minh Ext(C, -) là hàm tử cộng tính ta phải chứng minh :



(α1 + α2) = α1* + α2* , trong đó :

α1, α2: A → A1 là các đồng cấu.

Thật vậy. với ∀ E ∈ Ext(C.A), lấy 1 hệ các thương của E là (f, g). Theo phần a) bổ đề trên

(α1f, α1g) là hệ các thương của α1E và (α2f, α2g) là hệ các thương của α2E và ((α1+α2))f,

(α1+α2)g) là hệ các thương của (α1+α2)E.

Mà rõ ràng :

hay cũng vậy:



b) Một cách tương tự khi áp dụng phần b) bổ đề ta có tính cộng tính của Ext(-. A).



33

Coi như là hệ quả của mệnh đề 5.2. chúng ta có :

Mệnh đề 5.3



Chứng minh :

Là các phép nhúng.



Là các phép chiếu

Từ các hệ thức đặc trưng của tổng trực tiếp :



Tác động Ext(C, -) vào biểu đồ (*) và các hệ thức (**) ta có biểu đồ và các hệ thức sau :



Từ đó ta có:

Ext(C, A1⊕A2 ) ≅ Ext(C, A1) ⊕ Ext(C, A2)

② Chứng minh tương tự ta cũng được :



34



§ 6. XÂY DỰNG EXT n(C, A)

Trong phần trên, từ tập hợp các mở rộng từ A tới C, tức là tập hợp các dãy khớp có độ

dài 1. ta đã xây dựng Ext(C, A). Một vấn đề được đặt ra là nếu ta tăng độ dài các dãy khớp

đến số n nào đó dữ liệu ta có được kết quả tương tự hay khơng ? Để tìm câu giải đáp. chúng

ta tiến hành các bước như đã thực hiện trên Ext (C, A).

Ta gọi một mở rộng độ dài n. bắt đầu từ A và kết thúc ở C. là một dãy khớp S có độ

dài n. Các R-mođun và các R-đồng cấu :



Tập tất cả các mở rộng độ dài n. bắt đầu A và kết thúc ở C. ta ký hiệu là (C, A).

Trong trường n = 1. tập này chính là

( C, A) mà ta đã nói ở §2.

Bây giờ nếu ta ký hiệu Ck = Ker k = Im k+1 và k : Bk

Im k = Ck -1 mà k (b) =

Bk-1 là phép nhúng thì ta có các dãy khớp ngắn sau :

k(b) và ik : Ker k



và mở rộng S được phân tích thành Ionet các E1như sau :



Giả sử S và S' thuộc



n



(C. A). Ta gọi S và S' là chập được nếu tồn tại một cấu xạ :

Hoặc một cấu xạ

Khi đó ta ký hiệu S ~ S’ .



Ta nhận thấy nếu s và s' có dạng phân tích :



35

S = En.En-1……. E1, S’ = E’n.E’n-1….E’1 thì cấu xạ

dãy các cấu xạ :



:S



S’ có thể phân tích thành



trong đó



Ở đây β*k là đồng cấu cảm sinh bời βk : Bk →B’k .Rõ ràng quan hệ chập được trên

(C, A) là có tính chất phản xạ. đối xứng nhưng khơng có tính bắc cầu và vì vậy để tương

đương hóa quan hệ này ta cần tới định nghĩa sau :

Cho S,S' ∈ n(C, A). S được gọi là toàn đẳng với S' nếu tồn tại mọi dãy hữu hạn các

mở rộng n - dài:

S0 = S, S1…Sk = S' sao cho ∀ i ≥ 0. i < k thì Si và Si+1 là chập được .

Nếu S toàn đẳng S' thì ta cũng viết S≡S' Quan hệ tồn đẳng trên n (C, A) là quan hệ tương

đương như chứng minh dưới đây :

Mệnh đề 6,1 :

Quan hệ toàn đẳng là quan hệ tương đương trên n(C, A).

Chứng minh :

 Tính chất phản xạ của quan hệ ≡ là hiển nhiên.

 Tính chất đối xứng :

Giả sử S ≡ S'. khi đó theo định nghĩa, tồn tại dãy hữu hạn :

S0 = S,S1 .... Sk = S' sao cho ∀ i ≥ 0. i < k thì Si ~ Si+1 khi đó ta cũng có dãy :

S1 = Sk, Sk-1,....S1. S0 = S. ∀k > i thì Si+1 ~Si. Suy ra S' ≡ S.

 Tính chất bắc cầu :

Giả sử S ≡ S' và S ≡ S". khi đó tồn tại dãy hữu hạn :

S= S0, S1,.....,Sk-1.Sk = S' sao cho : Si ~ Sj+1. ∀ i ≥ 0. i < k và dãy hữu hạn :

S'= Sk,Sk+1, .....Sn-1.Sn = S" sao cho : Si ~ Sj+1 . ∀ j ≥ 0, j< n.

n



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§ 5. HÀM TỬ EXT

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×