Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
§ 4. CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C, A)

§ 4. CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C, A)

Tải bản đầy đủ - 0trang

20



Mệnh đề 4.2

Cho các mở rộng E1 E1’, E2 E2’. Vậy thì E1 + E2 E1’ + E2’

Chứng minh :

Theo mệnh đề 4.1 chúng ta đà có : E1 ⊕E2 E1’⊕ E2’

Hơn nữa, từ các hệ quả của mệnh đề 3.2; 3.6 ta có :



Bây giờ chúng ta sẽ xác định phép cộng cho Ext (C, A):

Cho ,

Ext (C, A).Lớp chứa mở rộng E1 + E2 được gọi là tổng của và

hay

+

=

Mệnh đề 4.2 cho ta định nghĩa trên là tốt hay nói cách khác, tổng

+

khơng phụ thuộc

vào mở rộng đại diện E1 + E2.

Trong những trường hợp không sợ nhầm lẫn. ta có thể viết E1+ E2 thav cho

+

Chúng ta có thể chỉ ra rằng Ext (C, A) với phép cộng trên lặp thành một nhóm Abel. Để thực

hiện điều này. ta xây dựng một nhóm Abel và nhúng Ext (C, A) vào nhóm đó như là một

nhóm con.

Giả sử A, c là các R -mođun. Ta đặt:



trong đó (f, g) là cặp các hàm f : CxC A và hàm g : RxC A.

Trên FR(C, A), ta xác định phép cộng như sau :

Nếu (f1, g1), (f2. g2) ∈ FR (C, A) thì : (f1, g1) + (f2, g2) = (f1+ f2, g1 + g2)

Nhờ phép cộng này. FR (C, A) trở thành nhóm Abel có phẩn tử trung hòa là :

( CxC, RxC)trong đó :



Phần tử đối của phần tử (f. g) là (-f. -g). Trong nhóm FR (C, A). chúng ta chú ý đến một nhóm

con mà ta ký hiệu là SR (C, A) sẽ thiết lập dưới đây.

Với mỗi hàm h : C A, chúng ta lập hàm : Ch : CxC theo qui tắc :



Khi đó ta đặt :



21

Rõ ràng SR(C, A) là một bộ phận của FR(C. A). Hơn nữa. SR(C, A) là nhóm con của FR (C,

A). Bởi vì với ∀ ( Ch, Ch) ( Ch’, Rh’) thuộc SR(C, A) ta có :



thật vậy







Từ (1) và (2) ta suy ra :



Vì FR (C, A) là nhóm giao hốn nên SR (C, A) là nhóm con chuẩn tắc của FR (C, A). Từ đó ta

có nhóm thương : FR (C, A) / SR (C, A)

Để nhúng Ext(C,A) vào nhóm thương này, ta sẽ thiết lập một qui tắc :

: Ext(C, A) FR(C, A)/SR(C, A) như sau:

Với mỗi mở rộng E : 0 → A B C →0

Ta xác định một cặp (f,g) ∈ FR(C, A) mà ta sẽ gọi là hệ các thương của mở rộng E. Ta lấy

hàm chọn u: C

B của mở rộng E sao cho u =1C ; tức là : u(c) = c, ∀c ∈C. Điều này thực

hiện được vì là tồn ánh .

Khi đó ∀(c1,c2) ∈CxC thì:

Suy ra : u(c1) + u(c2) –u(c1 + c2) ∈ Ker = Im

Do đơn ánh nên tồn tại duy nhất a ∈A sao cho :

Đặt f(c1,c2) = a ta được hàm f : CxC →A thỏa mãn:

Tương tự, ∀(r,c) ∈ RxC:

Suy ra ru(c) – u(rc) ∈ Ker = Im . Vì đơn ánh nên ∃ duy nhất a ∈ A mà :

(a) = ru(c) – u(rc)

Đặt g(r,c) = a , vậy thì tồn tại hàm g : RxC →A mà ru(c) + u(rc) = [g(r,c)]

Ta đặt :



Ta nhận thấv rằng một hệ các thương (f, g) của mở rộng E xác đinh như trên là phụ, thuộc

vào cách lấy hàm chọn u. Như vậy có thể bị phụ thuộc vào hàm chọn u.



22

Dưới đây ta sẽ chứng minh rằng thật ra có được xác định như vậy là hợp lý.Điều đó được

khẳng định bởi các mệnh đề dưới đây :

Mệnh đề 4.3 :

Với mỗi mở rộng E, lớp chứa hệ các thương (f, g) thuộc FR / SR (C, A) không phụ thuộc vào

việc lấy hàm chọn u.

Mệnh đề 4.4 :

Nếu E E’ thì E và E’ có chung một hệ các thương. Hay nói cách khác khơng phụ thuộc

vào cách lựa chọn mở rộng trong một lớp toàn đẳng.

Chứng minh :

a)Mệnh đề 4.3

Cho mở rộng E : 0 → A B C →0

Ta lấy hai hàm chọn u’ u, khi đó ∀c ∈C :u’(c) – u(c) ∈ Ker = Im .

Do đơn ánh , tồn tại hàm h : C → A sao cho :

(1)

Ta gọi hệ thương của E theo hàm chọn u’ là (f’, g). Ta có : ∀(c1,c2) ∈CxC :









đơn cấu , suy ra:



 ∀(r,c) ∈ RxC :



Do



đơn cấu nên :



Từ (2) & (3) dẫn tới :

(4)

Công thức (4) cho ta mối liên hệ giữa các "hệ các thương" của cùng một mở rộng E: nghĩa là

các hệ các thương của cùng mở rộng E thì thuộc cùng một lớp ghép đối với SR (C, A) hay nói

cách khác. lớp

∈ FR (C, A) / SR (C, A) không phụ thuộc vào việc lựa chọn hàm u.

b) Chứng minh mệnh đề 4.4 :

Ta phải chỉ ra rằng : Nếu E E’ thì E & E’ có chung một thương; giả sử (f, g) là một hệ các

thương của E với hàm chọn u : C → B. Ta sẽ chứng minh (f, g) cùng là một hệ các thương

của E’. Do E E’ nên ta có biểu đồ giao hoán :



23



Ta lấy hàm chọn u’: C B’ như sau : u’= u

(điều đó hợp lý vì ∀ c ∈ C: u(c) = u(c) =c )

Khi đó ∀ (c1,c2) ∈ CxC, ∀(r,c) ∈ RxC :

 [f(c1,c2)] = u(c1) + u(c2) – u(c1 + c2) Tác động lên ta có:

[f(c1,c2)] = u(c1) + u(c2) - u(c1+ c2)

(5)

Do biểu đồ giao hoán nên từ (5) suy ra :

’[f(c1,c2)] = u’(c1) + u’(c2) –u’(c1 + c2)

(6)

 [g(r,c)] = ru(c) – u(rc). Tác động lên ta có :

[g(r,c)] = [ru(c)] - u(rc)

(7)

Do biểu đồ giao hốn nên từ (7) ta có :

’[g(r,c)] = ru’(c) – u’ (rc)

(8)

Từ (6) (8) hiển nhiên (f,g) cũng là hệ các thương của E’

Mệnh đề 4.2 và 4.4 chứng tỏ rằng qui tắc ω thiết lập như trên là một ánh xạ Ext(C, A) vào

nhóm thương FR (C, A) / SR (C, A).

Hơn nữa chúng ta có :

Mệnh đề 4.5 :

Ánh xạ ω :

là một ánh xạ đơn ánh

Chứng minh:

Để chỉ ra ω đơn ánh. ta chỉ cần chứng tỏ từ ω(E) = ω(E') suy ra E ≡ E'.

Ta lấy hàm chọn u' của E' mà u'(0) = 0. u' sinh ra hệ các thương (f, g) của E'.

Vì ω(E) = ω(E’) nên ∃ hàm chọn u của E' để u sinh ra đúng hệ các thương (f, g) nói trên.

Để chứng minh E ≡ E' ta phải chỉ ra có biểu đồ giao hốn :



Ta xác định β : B → B' như sau :

Sử dụng hàm chọn u. ∀ b ∈ B được phản tích duy nhất dưới dạng



thật vậy, vì b = u







(b) + b – u



(b)



24

Suy ra b - u (b) ∈ Ker = Im , tức là ∃a∈ : (a) = b - u (b)

hay b = u(c) + (a), với c = (b). Nếu còn có phân tích khác :

b = u(c1) + (a1), khi đó u(c) – u(c1) = (a –a1)

(u(c) – u(c1)) = 0 c = c1, từ đó a = a1 , tức sự phân tích là duy nhất

Đặt (b) = u’(c) + ’(a)

+ Đặt



là đồng cấu vì : ∀b1, b2 ∈ B mà

b1 = u(c1) + (a1)

b2 = u(c2) + (a2)



thì :



Còn nếu

Và :



+) Chứng minh biểu đồ giao hốn :

 ∀ a∈A ta có :

(a) = [ (a)] = [0 + (a)] = [u(0) + (a)] = u’(0) + ’(a) = ’(a)(do

cách chọn u’(0) = 0). Vậy

= ’

 Mặt khác, ∀b∈B , ’ (b) = ’ [u(c) + (a)] = ’[u’(c) + ’(a)]

= ’u’(c) + ’ ’(c) = c + 0 = c

(*)

Và (b) = c theo phân tích b ở trên . Từ đó ta suy ra ’ = .

Từ biểu đồ giao hoán suy ra E E’

Theo mệnh đề 4.5. ω thiết lập sự tương ứng 1 - 1 giữa tập Ext(C, A) với một bộ phận của

nhóm thương FR(C, A)/SR(C, A).

Hơn nữa tương ứng đó còn là một đồng cấu và ảnh qua ω của Ext(C, A) là nhóm con của

FR/SR.



25



Mệnh đề 4.6:



Chứng minh :

a) Để chứng minh a) ta cần chọn một hệ các thương (f, g) của E1 + E2 sao cho tồn tại

các hệ thương (f1, g1) của E1 và (f2 , g2) của E2 để :

Trong biểu đồ sau :



Ta lấy hàm chọn u : C B để có hệ các thương (f, g) của E1 + E2.

Vì 2 dòng dưới là khớp, A, 1C là toàn cấu nên là toàn cấu , suy ra ∃ hàm chọn u’ mở rộng

(E1 ⊕E2) C sao cho : u’ = u.

Vì ∀ c ∈ C ta có:

1⊕

2 [ ’(u’(c))] = C ’(u’(c)) = C( ’u’(c)) = C(c) = (c,c)

Và đặt ’u’(c) = (u1(c) , u2(c)) thì

( 1 ⊕ 2)[u1(c),u2(c)] = ( 1u1(c), 2u2(c)) = (c, c)

u1, u2 là các hàm chọn của các mở rộng E1, E2

Suy ra có các hệ thương (f1, g1),(f2,g2).

Lấy 1 hệ các thương (f’, g’) của (E1 ⊕ E2) C theo các hàm chọn u’

tác động lên ’ lên ta có :



⊕ 2 ) đơn cấu nên :

f’(c1,c2) = [f1(c1, c2), f2(c1, c2)]

Tác động A lên ta có:

Vì (



1



Mà do ’f’(c1,c2) = u’ (c1) + u’(c2) – u’(c1+ c2)

’f’(c1, c2)

= u’(c1) + u’(c2) - u’(c1+ c2) = u(c1) + u(c2) – u(c1 + c2)

= f(c1, c2).

Do đơn ánh



+) ’g’(r,c) = ru’(c) – u’ (rc) tác động



lên ta có :



26



Do 1 ⊕ 1 đơn ánh nên : g’(r, c) = (g1(r, c), g2(r, c))

Tương tự trên khi tác động A nên ta có :



Từ (1) và (2) suy ra :



Suy ra điều phải chứng minh a).

b) Để chứng minh b) ta chỉ ra nếu hệ các thương của E là (f, g) thì hệ các thương của

(-1 A )E là ( -f; -g).

Xét biểu đồ :



Giả sử (f’, g’) là hệ các thương của (-1 A )E và u là hàm chọn của hệ các thương (f, g).

Gọi u’ là hàm chọn của hệ các thương (f’, g’). Ta có :

 ∀ (c1, c2) ∈ C : f(c1, c2) = u(c1) + (c2) – u(c1 + c2), tác động lên ta có :



Do (- ) đơn ánh nên :

(-1A) f(c1, c2) = f(c1, c2) Suy ra :

(-1A)f = f’

(3)

 ∀c ∈ C, ∀r ∈ R ta có :

g(r, c) = ru(c) – u(rc), tác động lên :

(- )(-1A)g(r, c) = ru’(c) – u’(rc) = g’(r, c)

Do (- ) đơn ánh nên :

(-1A)g(r, c) = g’(r, c), suy ra:

(-1A)g = g’

Từ (3) & (4) ta có :



(4)



((-1A)f, (-1A)g) = (f’, g’) Vậy : (-f, -g) = (f’, g’)



27

Đồng cấu cho phép ta nhúng Ext(C, A) vào nhóm Abel F R (C, A) / SR(C, A) và

đồng nhất Ext(C, A) với ảnh của nó. Do mệnh đề 4.6 ảnh ω [Ext (C, A)] là một nhóm con

của nhóm Abel F R (C, A) / S R(C. A). Do đó có thể coi Ext (C. A ) là nhóm con của F R (C, A )

/ SR(C, A). Nói cách khác Ext(C,A) với phép cộng lặp thành một nhóm Abel phần tử trung

hòa chính là lớp chứa mở rộng tầm thường.



Phần tử đối của E ∈ Ext(C, A ) là (-1A).E hay E(-lC).

Đặc biệt là mở rộng E0 có các hệ thương là (0. 0) với hàm chọn

u = iC : → A ⊕ C là phép nhúng C vào A ⊕ C.



28



§ 5. HÀM TỬ EXT

Mục này dành cho việc xây dựng hàm tử Ext từ phạm trù mođun vào phạm trù Abel.

Để làm điều đó, trước hết ta cần đến mệnh đề sau :

Mệnh đề 5.1

Cho các đồng cấu : A

Các quy tắc :



A’, : C’



C.



là các đồng cấu nhóm.

Chứng minh :

Trong chứng minh. chúng ta cần đến bổ đề sau :

Bổ đề : Nếu (f. g) là một hệ các thương của mở rộng E thì:

a) (αf, αg) là một hệ các thương của αE

b) Có thể chọn được hai hệ các thương (f. g) và (f', g') của các hệ mở rộng E và Eγ sao

cho : f' = f(γ ⊕γ) và g' = g(lR ⊕ γ) .

Thật vậy :

a) Xét biểu đồ giao hoán sau :



Gọi u là hàm chọn của hệ (f, g). Ta lấy hàm chọn u'= βu của mở rộng αE. (Khi đó : u' là hàm

chọn vì σ'u' = σ'βu = σu = lC).

Khi đó ∀c1, c2 ∈ C : f(c1, c2) = u(c1) + u(c2) – u(c2) – u(c1 + c2). Tác động β lên ta có :



(1)

Tương tự, ∀c ∈ C, ∀r ∈ R :



(2)

Từ (1) & (2): (αf, αg) là hệ các thương theo hàm chọn u1 = βu. l Tức a) đúng.



29



b)Xét biểu đồ giao hoán :



Lấy hàm chọn u' của Eγ. Tương ứng với nó ta có hệ các thương (f', g'). Dễ thấy là có thể lấy

được hàm chọn u của E mà β u' = uγ.

Thật vậy vì C = γ(C') u (C\γ(C )) nên V c ∈ γ (C ') lấy u(c) ∈ βu'γ-1(c).

Còn c ∈ c \ γ(C') chọn u(c) tùy ý thỏa σu(c) = c.

Ta tính hệ các thương (f' , g') của Eγ. ∀c1' c2’∈ C' ta có :

tác động β lên ta có



đơn ánh nên:

[

]



Tương tự ta cũng có : ∀ r∈ R, ∀c’ ∈ C’

G’(r, c’) = g[r, (c’)] hay g’ = g(1R ⊕ ).

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 5.1

Trước tiên ta thấy rằng α* và γ* là những ánh xạ. Điều nàv được suy trực tiếp từ các mệnh đề

3.1, 3.2, 3.5. 3.6.

a) Để chứng minh α* là đồng cấu nhóm ta chỉ ra tồn tại một đồng cấu :





và α* sẽ là thu hẹp của ̃ trên nhóm con Ext(C, A) của nhóm FR(C, A)/ SR(C, A).

Ta thiết lập ̃ như sau :



̃ được thiết lập như vậy là một ánh xạ vì nếu có :

( )=

thì :

=

Thật vậy, từ

=

, Suy ra

∃( Ch , Rh) ∈ SR(C, A) sao cho :

(f, g) – (f1, g1) = ( Ch , Rh).

Khi đó ta xét các tích:



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§ 4. CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C, A)

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×