Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
§ 2. PHÂN LỚP CÁC MỞ RỘNG

§ 2. PHÂN LỚP CÁC MỞ RỘNG

Tải bản đầy đủ - 0trang

5



thì ta có thể mở rộng tổng trực tiếp :

(1)

Định nghĩa này là hợp lý vì khi đó dãy (1) là khớp.

Thật vậy. do χ1, χ2 đơn cấu nên χ1⊕ χ2 cũng đơn cấu, do σ1 , σ2 toàn cấu nên σ1⊕

σ2 cũng tồn cấu.

• Ta chứng minh : Im (χ1 ⊕ χ2) - Ker (σ1 ⊕ σ2)

Trước hết. (σ1⊕ σ2 (χ1 ⊕ χ2) = σ1 χ1 ⊕σ2 χ2 = 0

Suy ra : Im (χ1 ⊕ χ2) ∈ Ker(σ1 ⊕ σ2)



(2)



Ngược lại. ∀ (b1, b2) ∈ Ker (σ1 ⊕ σ2) thì: (σ1⊕ σ2)(b1, b2) = 0.

Suy ra (σ1 (b1), σ2 (b2)) = (0, 0). tức là σ1 (b1) = 0 và σ2 (b2) = 0.

Dẫn tới : b1 ∈ Ker σ1 = Im χ1 và b2 ∈ Ker σ2 = Im χ2

Vậy (b1, b2) ∈ Im(χ1 ⊕ χ2). Nghĩa là : Ker (σ1⊕ σ2) ∈ Im(χ1 ⊕ χ2)



(3)



Từ (2) và (3) suy ra đpcm .

Cho

là các mở rộng của A nhờ c. bộ ba các đồng cấu :





= (1A,



, lC)- Với



: B B’ được gọi là một cấu xạ toàn đẳng nếu biểu đồ sau là giao hốn:



Khi đó ta cùng nói E là tồn đẳng với E’ và ký hiệu E ≡ E’

Ví dụ, từ sơ đồ giao hốn :



Trong đó χ (m) = 2m, i(n) = n với



(k) = k ∈ Z2 ; ∀m, n, k ∈ z.



Ta có E= E’.

Ví dụ về sự khơng tồn đẳng của 2 mở rộng cùng nguồn & đích có thể xét -2 dãy sau :



6

Trong đó χ(m) = 3m. ∀m ∈ Z và là phép chiếu tự nhiên từ Z lên Z3 .

Thật vậy. nếu ∃α đẳng cấu : Z Z đế E ≡ E' thì vì Z là nhóm cyclic với 2 phân tử sinh là

1,-1 nên α chỉ có thể là lz hoặc - 1z . Cả 2 đẳng cấu đó đều khơng làm cho biểu đồ giao hốn.

Vậy E

E'.

Về tính chất của quan hệ tồn đẳng, chúng ta có mệnh đề sau :

Mệnh đề 2.2 : Quan hệ toàn đẳ

(C,A) là một quan hệ tương đương.

Chứng minh :

Với mỗi mở rộng E :

ta ln có cấu xạ tồn đẳng đồng

nhất:

tức E



E’.



Giả sử:



Và E’ : 0 → A



B’



C →0 là hai mở rộng mà E = E’ nhờ cấu xạ tồn đẳng :



=



(1 A , . lC). Lúc đó ta có biểu đồ giao hốn :



Vậy thì βχ.= χ'.1A với tích χ-1 A là một đơn cấu nên β là một đơn cấu và σ'. β = 1C. σ

, với tích lc.σ là tồn cấu nên β là một tồn cấu. Từ đó suy ra β là 1 đẳng cấu. Theo bổ đề 5

ngắn thì β đẳng cấu Suy ra tồn tại β-1 : B’→B và ta cũng có biểu đồ giao hốn :



tức là chúng ta có cấu xạ toàn đẳng : = (1A. β -1. lC): E'→ E

Điều này dẫn đến E ' E . hay quan hệ tồn đẳng có tính chất đối xứng.

Mặt khác nếu ta có E, E', E" ∈ D ( C ,



A)



mà E ≡ E' và E ≡ E” nhờ các cấu xạ tồn



đẳng :



Khi đó : = 2. 1=(lA, β2.β1, lC): E → E'' là cấu xạ toàn đẳng E ≡ E', nghĩa là quan

hệ tồn đắng có tính bắc cầu.

Vì quan hệ toàn đẳng là quan hệ tương đương trên (C, A) nên nó thưc hiện sự phân

lớp lặp (C. A). Ta gọi tập thương của (C, A) theo quan hệ tồn đẳng này là Ext (C, A).

Đó chính là tập các lớp toàn đẳng của các mở rộng của A nhờ C. mà lớp chứa mở rộng E ta

ký hiện là E hoặc Cls E. Đôi khi nếu không sự nhầm lẫn ta có thể viết E∈ Ext(C, A) thay

cho Cls E ∈ Ext( C. A).



7

Một ví dụ về Ext(C. A). đó là khi A là mođun nội xạ hoặc C là mođun xạ ảnh thì = (C, A)

chỉ gồm các mở rộng chẻ. do vậy Ext(C, A) chỉ gồm một lớp. hay nói cách khác Ext (C, A)

chỉ có một phần tử.

Bây giờ ta xét Ext(Z2, Z). Tập này chỉ có hai phần tử- là lớp các mở rộng chẻ có đại diện :



với i1 là phép nhúng,π1 là phép chiếu Z ⊕ Z2 lên Z2 và lớp còn lại với đại diện :



Trong đó i2 (m) = 2m và π2 (m) =



. ∀m ∈ Z. Thật vậy, trước hết E1 ≠ E2 vì nếu trái lại thì



Z ≅ Z⊕ Z2 là điều vơ lý.

Ngồi ra, Ext(Z2, Z) khơng có lớp nào khác.

Nếu có một lớp



∈ Ext(Z2, Z) mà



1







2



ta sẽ chứng minh



1







2 hay



E ≡ E2.



Thật vậy :

Giả sử

Để chứng minh E ≡ E2 ta tìm 1 đồng cấu

β : B→ Z sao cho biểu đồ sau giao hoán :



u



i



b∈B



b



kI

b- ku ∈ ku π3 = im i3



ku



kI



b = ku + i3 (m) m ∈ z

Trước hết ta cố định u ∈ B mà π3 (u) =



∈ Z2



Khi đó với mọi b ∈ B có sự biểu diễn : b = i3(m) + k.u (k = 0; 1)

Thật vậv, nếu b ∈ i3(z) thì k = 0. còn nếu b∉ i3(z) thì π3(b - u) = 0

nên b - u = i3(m). với m nào đó



b = i3 tức k =1. b ∉ i3 (Z)



b ∉ ker π3



Vì 2u ∈ Im i3 nên∃n0 ∈Z mà i3(n0) = 2u.

Phép cộng trong B theo đó sẽ là :



Đặt

Bằng cách sử dụng bảng cộng (*) sẽ tính tốn dễ dàng để thấy B là đẳng cấu và các hình

vng trong biểu đồ trên là giao hốn và do vậy:E2 ≡ E .



8



§ 3. TÍCH MỞ RỘNG VÀ CÁC ĐỒNG CẤU.

Bây giờ ta cần trang bị cho Ext (C, A) một phép toán, hai ngơi để nó trở thành một nhóm

Abel. Muốn thực hiện điều này ta cần một vài chuẩn bị trước :

Trước hết ta đưa ra định nghĩa tích bên phải của một mở rộng với một đồng cấu.

Cho E : 0 → A B C →0 là một mở rộng của A nhờ C và đồng cấu γ : c →c.

Mở rộng E’: 0 → A B C →0 được gọi là tích của mở rộng E và đồng cấu γ nếu tồn tại

cấu xạ = (1A, β, γ) : E' → E. nghĩa là ta có biểu đồ giao hốn sau :



Tích của mở rộng E và đồng cấu γ được ký hiệu bởi: E' = Eγ

Ví dụ. từ biểu đồ giao hoán các đồng cấu trong phạm trù z - mođun :

(2)

Trong đó



Ta có E' = Eγ

Định nghĩa trên là tốt. theo như khẳng định trong mệnh đề sau :

Mệnh đề 3.1 : Cho mở rộng :

và đồng cấu γ : C' → C. Ln ln tồn tại ít nhất một mở

rộng :

E’: 0 → A B C →0 sao cho E - Eγ :

Chứng minh :

Để chứng tỏ sự tồn tại của mở rộng E', ta cần tìm modun B' và các đồng cấu :

sao cho biểu đồ :



là giao hồn và dòng trên là khớp.

• Ta lấy B' là tập con của B ⊕ C' được xác định :



9



Dĩ nhiên B' mođun con của B ⊕ C '. vì:

∀ (b,c’) và (b1,c1’) ∈ B’ ta có : (b, c’) – (b1,c1’) = (b - b1, c’-c1) ∈ B’ bởi vì



(b –b1) =



(b) –



(b1) = (c’) - (c1’) = (c’ – c1’)

∀r ∈ r ta có : r(b,c’) = (rb,rc’) ∈ B’ vì

Ta lấy các đồng cấu



,



(rb) = r (b) = r (c’) = (rc’).



là các phép chiếu từ modun B’ xuống các modun thành phần B và



C’ tương ứng, tức là :

((b, c’)) = b,



, ’ dễ dàng nhận thấy chúng là các đồng cấu.



Ta kiểm tra tính giao hốn của biểu đồ :



Ta có :











• Để chứng minh tính khớp của dòng trên ta lần lượt kiểm tra :

Im



đơn ánh. σ'- tồn ánh



+ Ta có,



nên



(*)



+ ∀ (b. c') ∈ Ker σ' ta có :σ' (b. c') = c' - 0 và σ(b) = γ (c') - γ (0) = 0

Suy ra b ∈ Ker σ = Imχ . nghĩa là ∃a ∈ A sao cho b = χ(a)

Vậy (b. c') = (χ (a), 0) = χ'(a) ∈ Imχ' tức là Ker σ'



Im χ'



(**)



Từ (*) và (**) suv ra Ker = Im χ'

• Do χ đơn ánh nên từ χ' (a) = χ'(a1) suy ra (χ (a), 0) = (χ (a1), 0), kéo theo χ(a) = χ(a1)



a=



a1. Vậy χ' đơn ánh.

• Để chứng tỏ σ' tồn ánh, ta lấy c' ∈ C’



γ (c') ∈ C



Vì σ tồn ánh nên ∃ b ∈ B sao cho σ (b) = γ (c')



∃ (b. c') ∈ B' mà σ' (b, c') = c'



σ' tồn



ánh.

Ta đã kiểm tra được dòng trên là khớp, vậy E' là một mở rộng và biểu đồ là giao hoán. tức

= (1A, .β, γ) là một cấu xạ từ E' vào E. điều đó có nghía là : E' = E γ

Chú ý rằng E' nói trong mệnh đề 3.1 nói chung là khơng duy nhất khi cho trước mở rộng :

và đồng cấu γ :C ' → C.

Chẳng hạn , trong phạm trù Z - mođun từ biểu đồ giao hoán sau :



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§ 2. PHÂN LỚP CÁC MỞ RỘNG

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×