Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
§ 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§ 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tải bản đầy đủ - 0trang

2



2.Dãy khớp





Dãy các khớp đồng cấu :



Được gọi là dãy khớp nếu với mọi n:

Im fn-1 = Ker fn

(từ hai đầu nếu có)



Dãy khớp S có dạng :



Được gọi là bắt đầu từ A và kết thúc tại C và có độ dài n.



Cho 2 dãy khớp S và S’ có cùng độ dài n.

Bộ các đồng cấu

Trong đó : A A’ , i : Bi B’i ; i =

nếu biểu đồ sau là giao hốn :







;



1:



C



C’. Được gọi là một cấu xạ từ S



S’



Nếu T là dãy khớp khác :



Bắt đầu từ C và kết thúc tại D với độ dài m.

Khi đó : tích Ionet của hai dãy khớp S, T được xác định là dãy khớp sau :



Dĩ nhiên tích S.T bắt đầu từ A qua trung gian C kết thúc tại D có độ dài m+n.



Tổng trực tiếp của hai dãy khớp độ dài n.

Giả sử S và S’ là hai dãy khớp có độ dài n :



Khi đó tổng trực tiếp của S và S’ là dãy khớp sau :



3. Khái niệm dãy khớp ngắn :

Cho A, B, C là các R –Modun và x : A



Dãy E: 0 A

cấu và Im = Ker





B



Dãy khớp ngắn E : 0



;



:B



C là các R – đồng cấu



0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu



C

A



0



– đơn cấu ,



– toàn



3

được gọi là chẻ ra nếu B = Im ⊕ B’ . trong đó B’

là 1 hạng tử trực liếp của mođun B.



B. Nói cách khác. E là chẻ ra nếu Im



Mệnh đề 1.2 :

Cho f : X → Y. g : Y →Z là các đồng cấu. Nếu hợp thành gf : X →Z là đẳng cấu thì:

a ) g - toàn cấu, f đơn cấu

b) Y = Imf © Kerg

Mênh đề 1.3 :

Cho dãy khớp

E:0



A



0



Các phát biểu sau là tương dương :

i) Dãy E là chẻ ra.

ii) có nghịch đảo trái, tức là tồn tại đồng cấu p : B

iii) ơ có nghịch đảo phải, tức là tồn tại đồng cấu q : C



A sao cho p = 1A

B sao cho q = lC



Bổ đề (5 ngắn)

Cho biểu đồ các R-đồug cấu và R-mođun



trong đó 2 dòng là khớp, hai hình vng là giao hốn. Khi đó :

a) Nếu , - đơn cấu thì



- đơn cấu.



b) Nếu , - tồn cấu thì



- tồn cấu.



c) Nếu , - đẳng cấu thì



- đẳng cấu.



4. Đồng cấu chéo, đổng cấu tổng :

Cho các R - mođun A và C





Đồng cấu

c







Đồng cấu



C



:C



(c, c)

A



C⊕C

được gọi là đồng câu chéo.



:A⊕ A



(a1, a2)

Mệnh đề 1.4 : Giả sử ,



A



a1 + a2 được gọi là đồng cấu tổng.

là các đồng cấu



:A



A’ ;



: C’



C Thế thì:



4



§ 2. PHÂN LỚP CÁC MỞ RỘNG

Phần này dành cho việc xây dựng tập nếu Ext(C. A). Gia sử A và C ià các mođun trên vành R có đơn

vị. Ta gọi một mở rộng của A nhờ c là dãy khớp ngắn các R-mođun và R- đồng cấu :



Tập hợp các mở rộng của A nhờ C ta sẽ ký hiệu là D (C. A).

Một ví dụ về mở rộng của A nhờ C là dãy khớp ngắn :



trong đó i là phép nhúng A vào A ⊕ C và π là phép chiếu A⊕ C lên C. Mở rộng này thực chất là một

dãy khớp ngắn chẻ ra. Đôi khi chúng ta còn gọi là mở rộng tự phân rã hay mở rộng tầm thường.

Về một lớp các mở rộng chẻ, chúng ta có :

Mệnh đề 2.1 : Nếu A là rnođun nội xạ hoặc C là mođun xạ ảnh thì mọi mở rộng của A nhờ C

đều là mở rộng chẻ.

Chứng minh:

Để chứng tỏ mở rộng E : 0 → A → B → C → 0 là mở rộng chẻ với nội xạ A hoặc C là một xạ

ảnh thì ta chứng tỏ E là dày khớp ngắn chẻ ra.

Trường hợp C là mođun xạ ảnh, ta xét dãy khớp :



Do C xạ ảnh nên đồng cấu lC : C → C phân tích được qua

tồn cấu σ :B → c, ∃h : C → B sao cho : σ.h = lC .

Suy ra h là nghịch đảo phải của σ. Vậy là dãy khớp ngắn chẻ ra.

Trường hợp A là mođun nội xạ. thì trong dãy khớp :



do A là mođun nội xạ. nên đồng cấu 1 A : A



A phân tích được qua đơn



A→ B. tức là ∃ g : B → A sao cho : g.χ = lA Suy ra g là nghịch đảo

trái của χ Vậy E là dãy khớp ngắn chẻ ra.

cấu



Từ các mở rộng của Ai nhờ Ci (i =



) khi xử dụng khái niệm tổng trực tiếp của hai mô-đun ta có



thể xây dựng được các mở rộng mới. Cụ thể là với các mở rộng :



5



thì ta có thể mở rộng tổng trực tiếp :

(1)

Định nghĩa này là hợp lý vì khi đó dãy (1) là khớp.

Thật vậy. do χ1, χ2 đơn cấu nên χ1⊕ χ2 cũng đơn cấu, do σ1 , σ2 tồn cấu nên σ1⊕

σ2 cũng tồn cấu.

• Ta chứng minh : Im (χ1 ⊕ χ2) - Ker (σ1 ⊕ σ2)

Trước hết. (σ1⊕ σ2 (χ1 ⊕ χ2) = σ1 χ1 ⊕σ2 χ2 = 0

Suy ra : Im (χ1 ⊕ χ2) ∈ Ker(σ1 ⊕ σ2)



(2)



Ngược lại. ∀ (b1, b2) ∈ Ker (σ1 ⊕ σ2) thì: (σ1⊕ σ2)(b1, b2) = 0.

Suy ra (σ1 (b1), σ2 (b2)) = (0, 0). tức là σ1 (b1) = 0 và σ2 (b2) = 0.

Dẫn tới : b1 ∈ Ker σ1 = Im χ1 và b2 ∈ Ker σ2 = Im χ2

Vậy (b1, b2) ∈ Im(χ1 ⊕ χ2). Nghĩa là : Ker (σ1⊕ σ2) ∈ Im(χ1 ⊕ χ2)



(3)



Từ (2) và (3) suy ra đpcm .

Cho

là các mở rộng của A nhờ c. bộ ba các đồng cấu :





= (1A,



, lC)- Với



: B B’ được gọi là một cấu xạ toàn đẳng nếu biểu đồ sau là giao hốn:



Khi đó ta cùng nói E là tồn đẳng với E’ và ký hiệu E ≡ E’

Ví dụ, từ sơ đồ giao hốn :



Trong đó χ (m) = 2m, i(n) = n với



(k) = k ∈ Z2 ; ∀m, n, k ∈ z.



Ta có E= E’.

Ví dụ về sự khơng tồn đẳng của 2 mở rộng cùng nguồn & đích có thể xét -2 dãy sau :



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§ 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×