Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 3: CÁC KẾT QUẢ CHỈNH HOÁ

Chương 3: CÁC KẾT QUẢ CHỈNH HOÁ

Tải bản đầy đủ - 0trang

23



ai

φi .

α + e −T λ







=∑



i



i=1





⎛ ∞ −Tλ





(S(T )u,u) = ⎜⎜∑ e aiφi ,∑ aiφi ⎟⎟⎟

⎝ i=1



i=1

i







= ∑ e−Tλ (aiφi ,aiφi )

i



i=1





= ∑ e−Tλ ai2 φi



2



i



i=1





= ∑ ai2 e−Tλ .

i



i=1



Vaø ta coù

−1



−1



(αI + S(T )) = sup (αI + S(T )) u

u =1



1



2

⎛∞

⎟⎟⎞

⎜⎜

ai2

= sup ⎜⎜∑

⎟⎟

−T λ 2 ⎟

u =1 ⎜ i=1

⎝ (α + e ) ⎟⎠

i



1



⎛ ∞ ai2 ⎞⎟2

≤ sup ⎜⎜∑ 2 ⎟⎟

⎜ i=1 α ⎠⎟

u =1 ⎝

=



1

α



(







∑a

i=1



2

i



= 1 vì u = 1).



Bổ đề sau cho một điều kiện cần và đủ để bài toán FVP có nghiệm.





Bổ đề 3.1.1. Nếu f = ∑ biφi thì

i=1



⎧u'(t)+Au(t)=0 , 0
(FVP) ⎨

u(T)= f.





có nghiệm khi và chỉ khi







∑b e

i=1



Chứng minh. Nếu







∑b e

i =1



2 2T λi

i



2 2 T λi

i



hội tụ.



hội tụ



24



Ta đònh nghóa u(t)=







∑e



(T −t ) λi



i=1



biφi , lấy u là một nghiệm của (FVP) thì u(0) có





khai triển theo các hàm riêng là u(0)= ∑ aiφi vaø

i=1







∑ biφi = f = u(T) = S(0) 0 u(T) = S(T)u(0) =

i=1







2











∑ ai S(T )φi = ∑ ai e−Tλ φi

i



i=1



i=1







Neân ai e−Tλ = bi hay ai = bi eTλ , do u(0) = ∑ ai2 = ∑ bi2 e2Tλ < ∞ .

i



i



i



i=1



i=1



Vậy u(0)∈H .

Bây giờ ta sẽ chứng tỏ bài toán xấp xỉ (QBVP) của ta là bài toán chỉnh.

−1



Đònh nghóa 3.1.2. uα (t) = S(t) (α I + S(T )) f , f ∈ H , α > 0 , t ∈ [ 0 ,T ] .

Đònh lý 3.1.3. Hàm uα (t) là nghiệm duy nhất của phương trình

,

⎪⎧uα (t ) + Auα (t ) = 0, 0 < t < T ,



⎪⎩α uα (0) + uα (T ) = f .



(QBVP)



(1)

(2)



Và nó phụ thuộc liên tục vào f.

Chứng minh. Ta để ý: –A là toán tử vi phân sinh ra nửa nhóm co S(t)



{



D ( A) = x ∈ X : lim

t → 0+



}



S(t)x − x

tồn tại ,

t



S(0) = I ,

dS(t)x

=-AS(t)x=S(t)(-A)x.

dt

−1



• Ta có : x:= (α I + S(T )) f ∈ D ( A) . Khi đó:

−1



dS(t) (α I + S(T )) f

−1

u (t ) =

= − AS(t) (α I + S(T )) f .

dt

'

α



Nên uα (t) thoả (1)

−1



−1



αuα (0) + uα (T ) = α (αI + S(T )) f +S(T) (αI + S(T )) f



(



−1



= α (αI + S(T ))



−1



+S(T) (αI + S(T ))



)f



25



−1



= (α I + S(T ))(α I + S(T )) f

= f.



Vậy uα (t) là nghiệm của (QBVP).

• Nghiệm uα (t) phụ thuộc liên tục vào f trong H, thaät vaäy:

−1



−1



S(t) (αI + S(T )) f1 − S(t) (α I + S(T )) f2

−1



= S(t) (αI + S(T )) ( f1 − f2 )

−1



≤ S(t) (αI + S(T ))





f1 − f2



1

f1 − f2 .

α

−1



• Tính duy nhất đúng cho bất kỳ nghiệm v thoả , v(0) = (α I + S(T )) f .



Chúng ta thu được nhận xét hữu dụng sau này đó là: uα (t) ≤

Đònh lý 3.1.4.



f∈H, α >0, t∈[0,T]. Khi đó: uα (t) ≤ α





Chứng minh. ∀f ∈ H , f = ∑ biφi . Khi đó.

i=1



−1



uα (t) = S(t) (αI + S(T )) f

bi

φ

−T λ i

i=1 α + e



bi

=∑

S(t)φi

−T λ

i=1 α + e





= S (t)∑



i



i







=∑

i=1



bi

e−tλ φi .

−T λ

α+e

i



i



Neân

2







uα (t) = ∑

i=1



bi2 e−2 tλ



i



2



(α + e )

−T λi



φi



2







−2



= ∑ bi2 e−2 tλ (α + e−Tλ )

i



i=1



i



t−T

T



1

f .

α



f .



26







= ∑b e



2 −2 tλi

i



i=1



t

t



1− ⎤

⎢(α + e−Tλ )T (α + e−Tλ ) T ⎥

⎢⎣

⎥⎦

i



−2



i



t

t

⎡ (Tλ ) t

1− ⎤

= ∑ b ⎢e T (α + e−Tλ )T (α + e−Tλ ) T ⎥

⎢⎣

⎥⎦

i=1





2

i



i



i



bi2







=∑





t

t ⎤



Tλ T

−T λ 1−T ⎥

⎢(1 + αe ) (α + e ) ⎥







⎢ 

≥1

>0





2

bi



i=1



i







≤∑



bi2



i=1



(α )



≤∑



1−



i







2



i



⎡ α + e−Tλ 2 ⎤

) ⎥⎦

⎢⎣(



i=1



−2



i



t

T



t

2 1−T





= ∑ b ⎜⎜α

⎜⎝

i=1





2

i





= ⎜⎜α

⎜⎝



t−T

T





= ⎜⎜α

⎜⎝



t−T

T



2



⎟⎟⎞

⎟⎠



t

−1

T







2





⎟⎟⎟





∑b

i=1



2

i



2



⎟⎟⎞ f 2 .

⎟⎠



Vaäy: uα (t) ≤ α



t−T

T



f .



α →0

Đònh lý 3.1.5. ∀f ∈ H , uα (T ) − f ⎯⎯



→ 0 tức là uα (T ) hội tụ về f trong H.





Chứng minh. ∀f ∈ H , f = ∑ biφi . Khi đó.

i =1



uα (T ) − f



2



= S(T )(α I + S(T ))−1 f − f



2





biφi

= S (T )∑

− ∑ biφi

− T λi

i =1 α + e

i =1





2



27



2





bi e −T λi φi

= ∑



biφi



− T λi

i =1 α + e

i =1





2



e −T λi

= ∑ biφi (

− 1)

α + e −T λi

i =1









= ∑ α 2 bi2 (α + e −T λi )−2

i =1







≤ ∑ α 2 bi2 e2T λi .

i =1



Với ε > 0 chọn N sao cho







∑b



i = N +1



2

i



ε



<



2



Khi đó:

uα (T ) − f



2



N



= ∑ α 2 bi2 (α + e −T λi )−2 +

i =1



N



≤ α 2 ∑ bi2e2T λi +











∑α



i = N +1



b (α + e −T λi )−2



2 2

i



∑b



i =1



i = N +1



N



ε



2

i



<α 2 ∑ bi2e2T λi + .

2

i =1

⎛ ∞ 2 2T λi ⎞

Choïn α sao cho α < ε ⎜ 2∑ bi e ⎟

⎝ i =1





−1



2



Thì uα (T ) − f



2



<ε .



Nhận xét: Từ đònh lý ta thấy ngay khi (FVP) không có nghiệm, nghiệm chỉnh



hoá tại t=T vẫn hội tụ về f. Tuy nhiên ở đây không có tốc độ hội tụ.



Đònh lý 3.1.6. Với mỗi f∈H, (FVP) có nghiệm u khi và chỉ khi dãy uα (0) hội tụ



trong H. Hơn nữa, ta có uα (t ) hội tụ đều theo t về u(t) khi α tiến về 0.

Chứng minh. ⇒) Giả sử lim uα (0) = u0 tồn tại.

α →0



28



Lấy u(t) = S(t)u0,

Khi ñoù:

lim uα (T ) = lim S(T )(α I + S(T )) −1 f = f .



α →0



α →0



lim u(t) − uα (t) = lim S(t)u0 − uα (t)



α →0



α →0



= lim S(t)u0 − S(t)(α I + S(T )) −1 f

α →0



≤ lim S(t)(u0 − (α I + S(T )) −1 f )

α →0



(do S(t) ≤ 1)



≤ lim u0 − (α I + S(T )) −1 f

α →0



=lim u0 − uα (0) .

α →0



Do đó:

°u(T) = f,

°u(t) = S(t)u0 là lời giải của (FVP) (do u’(t) = -AS(t)u0 ),

° uα (t) hội tụ đều theo t đến u(t).

⇐) Giả sử u(t) là nghiệm (FVP).





Lấy ε > 0 , f = ∑ biφi ,

i =1







Theo bổ đề 3.1.1. ta có: u(0) = ∑ bi2 e2T λi < ∞ ,

2



i =1



Choïn N sao cho







∑be



i = N +1



2 2 T λi

i



<



ε

2



,



Laáy α , γ > 0 . Khi đó:

2



uα (0) − uγ (0) = (α I + S(T ))−1 f − (γ I + S(T ))−1 f



biφi

biφi

= ∑





− T λi

− T λi

i =1 α + e

i =1 γ + e





2



(γ − α )biφi

= ∑

− T λi

+ e −2T λi

i =1 αγ + (α + γ )e





2



2



29





(γ − α )2 bi2

(γ − α )2 bi2

+ ∑

=∑

− T λi

+ e−2T λi )2 i = N +1 (αγ + (α + γ )e−T λi + e −2T λi )2

i =1 (αγ + (α + γ )e

N



N



≤ ∑ (γ − α )2 bi2e 4T λi +

i =1



γ −α







∑ (α + γ ) b e

2



i = N +1



2 2T λi

i



.



N



Choïn δ > 0 sao cho α − γ < δ , δ < ε (2∑ bi2e 4T λi )−1 ,

2



i =1



2



Ta coù uα (0) − uγ (0) < ε , vậy {uα (0)} là dãy Cauchy nên hội tụ trong H,

theo phần trên ta có uα (t ) hội tụ đều theo t đến u(t).

Để kết thúc phần này, ta nêu một kết quả đánh giá tốc độ hội tụ tường

minh.

Đònh lý 3.1.7. Nếu f =







∑b q

i =0







∑b

i =1



i



e



2 ελiT



thuộc H và tồn tại một số dương ε sao cho



i i



hội tụ thì uα (T ) − f hội tụ về 0 với bậc α ε ε -2 .



Chứng minh. Lấy ε ∈ (0 ,2) sao cho







∑ b eε λ

2

i



i =1



Với số tự nhiên n ta đònh nghóa gn (α ) =



T



là hữu hạn, lấy k ∈ (0 , 2)



i



αk

−λnT 2



(α + e )



Lấy đạo hàm theo biến α ta coù

α k−1 ⎡⎢⎣(k − 2)α + ke−Tλ ⎤⎥⎦

g (α ) =

.

−λ T 3

α

e

+

(

)

n



'

n



n



•g'n (α ) = 0 ⇔ α = 0 ∨ α =



•gn (α ) > 0 , ∀α > 0 ,

• lim gn (α ) = 0 ,

α →∞



Suy ra



k −Tλ

e ,

2−k

n



.



30



k



⎛ k ⎞⎟ −kλ T

⎜⎜

⎟ e

⎝ 2 − k ⎟⎠

n



gn (α ) ≤



⎛ k −λ T

⎜⎜

e

⎝2 − k

n



k



⎛ k ⎞⎟ ( 2−k )λ T

.

≤ ⎜⎜

⎟⎟ e

2





2



k



+ e−λ T ⎟⎟⎟





(*)



n



n



Khi đó:

uα (T ) − f



2



2



= S(T )(α I + S(T ))−1 f − f



=







∑α b

2



2

n



n=1



(α + e−Tλ )−2

n







= α 2-k ∑ bn2 gn (α )

n=1



k



⎛ k ⎞⎟

≤ α ⎜⎜



⎝ 2 − k ⎠⎟

(*)



2-k







∑b e

n=1



2 ( 2−k )λnT

n



.



Nếu ta chọn k = 2 – ε thì ta coù:

uα (T ) − f



2



2−ε ∞



⎛ 2 − ε ⎟⎞

≤ α ⎜⎜



⎝ ε ⎟⎠

ε



∑b e

n=1



2 ∞



⎛2⎞

≤ α ε ⎜⎜ ⎟⎟⎟

⎝ε⎠



∑b e

n=1



= C α ε ε −2



2 ελnT

n



2 ελnT

n



(do 0<ε<2)





(do C:=4 ∑ bn2 eελ T < ∞).

n



n=1



Đònh lý đã được chứng minh.

Nhận xét: Giả sử







∑b

i =1



i



e



2 ( 2 −ε ) λiT



hội tụ,



Khi đó:





uα (0) − u(0) = (α I + S(T )) f − ∑ bi e φi

2



−1



T λi



i =1



2





biφi

bi eT λi φi

= ∑





− T λi

i =1 α + e

i =1





1





= ∑⎜

− eT λi ⎟biφi

− T λi



i =1 ⎝ α + e





2



2



(bổ đề 3.1.1)



31



2



−α eT λi

= ∑



− T λi i i

i =1 α + e





e2T λi







=∑

i =1



(α + e )

− T λi



2

2 i



b α2







= α 2 − k ∑ bn2 gn (α )e2T λ



n



n =1



≤α



2-k



⎛ k ⎞





⎝2−k ⎠



k







∑b e



2 ( 4 − k ) λnT

n



n =1



.

2 ∞



⎛2⎞

Choïn k = 2-ε ta thu được u (0) − u(0) ≤ α ⎜⎜ ⎟⎟⎟

⎝ε⎠

2



α



ε



∑b e

n=1



2 ( 2+ε ) λnT

n



= C α ε ε −2 .



Kết hợp đònh lý 3.1.6 ta có hệ quả sau.

Hệ quả 3.1.8. Nếu f =







∑b q



i i



thuộc H và tồn tại một số dương ε sao cho



i= 0







sε ,T = ∑ bi 2 e( 2+ε ) λ T hội tụ thì uα (t) − u(t) hội tụ đều về 0 với bậc α ε ε -2 theo t.

i



i =1



Nhận xét: Hệ quả này cho ta một cận trên của tốc độ hội tụ mà chúng ta mong



đợi. Chúng ta sẽ kết thúc phần này bằng một số ký hiệu và tính chất sẽ được áp

dụng vào các phần sau.

Giả sử rằng -A là một toán tử vi phân elliptic đều trên miền xác đònh mở,

bò chặn trên Ω , với các dữ liệu Dirichlet đồng đều đặt lên ∂ Ω và lấy không

gian Hilbert H là L2( Ω ). Kết hợp với toán tử A là dạng song tuyến tính a:

H 01 (Ω) × H 01 (Ω) → R sao cho –Av = g khi và chỉ khi a(v,w) = (g,w) ∀ w ∈ H 01 ( Ω ).



Ta giaû sử rằng nghiệm của (FVP) thực sự tồn tại và thỏa u(t) ≤ m , ∀t ∈ [0, T]. Ở

đây và cả các phần sau, ⋅ là chuẩn trên L2( Ω ), và ⋅ r là chuẩn trên Hr( Ω ).



32



3.2. Phát biểu lại bài toán và đánh giá sai số chỉnh hoá.



Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh rằng (QBVP) có thể được viết lại

dưới dạng một phương trình tích phân Fredholm loại hai.

Cho S(t) là nửa nhóm co com pắc sinh bởi –A. Khi đó ta có



uα (t ) = S(t)uα (0) hay u (t) = S(t)( α I + S(T)) f ,

-1



α



Tác động 2 vế của (2) của (QBVP) với S(t) ta suy ra



α uα (t ) + S(T)uα (t ) = S(t)f .



(3)



Cố đònh t, (3) là một phương trình tích phân Fredholm loại hai. Để thấy rõ

hơn, lấy K là hạt nhân của toán tử ∂ t + A ta có



v(t) = S(t) v(0) khi và chỉ khi v(x, t) = ∫ K(x,t,ξ )v(ξ , 0)dξ ,

Ω



Do đó từ (3) ta có



α uα (x,t) + ∫ K(x,T ,ξ )uα (ξ ,t)dξ = F(x,t) ,



(4)



Ω



với F( x,t ) = ∫ K( x,t ,ξ ) f ( ξ )dξ .

Ω



Chúng ta chấp nhận quan điểm là chỉ quan tâm lấy xấp xỉ u tại thời điểm

cụ thể t = t* nghóa là ta chỉ quan tâm việc tính uα (t∗ ) . Để đơn giản ta ký hiệu



φ = u(t* ) và φα = uα (t* ) . Do đó ta có φα thỏa phương trình Fredholm loaïi hai

α φα (x) + ∫ K(x,T ,ξ )φα (ξ )dξ = F( x ,t*).



(5)



Ω



Để đơn giản ký hiệu ta viết (5) dưới dạng toán tử sau

α φα + K1 φα = K2f ,



với



K 1v =



∫ K(⋅,T ,ξ )v(ξ )dξ ,



Ω







K 2v =



∫ K(⋅,t ,ξ )v(ξ )dξ .

*



Ω



(6)



33



Từ đó biểu thức đánh giá nghiệm chỉnh hoá φ = u(t* ) theo hệ quả 3.1.8 trở

thành





∑b

i =0



i



φ − φα ≤ C α ε ε -2, với



e



2 ( 2 +ε ) λiT



hội tụ. Ta có thể chứng tỏ điều này một cách tường minh như sau.



Đònh lý 3.2.1. Nếu f =







∑b q



i i



i =1



cho







∑b

i =1



i



e



là chuẩn trong L2( Ω ) và giả sử rằng







2 2 (1+ε ) λiT



thuộc H=L2( Ω ) và tồn tại một số ε ∈ (0,1) sao



hội tụ thì, với t ≥ 0, uα (t) − u(t) ≤ α ε M( ε ).



(7)



ở đây

1



⎛ ∞

⎞2

M( ε ) = ⎜ ∑ bi 2 e2 (1+ε ) λ T ⎟ .

⎝ i =1



i



Hơn nữa, nếu ε ≤ t/T, thì uα (t) − u(t) ≤ α ε u(0) .



Chứng minh. Ở phần đầu ta đã giả sử (FVP) có nghiệm nên theo bổ đề 3.1.1





∑b



i



i =1



hội tụ.



e



2 2 λi T



Nên ta có thể viết

uα (t) = S(t)(α I + S(T )) −1 f ,

u(t) = S(t)u0 = S(t)lim uα (0) = S(t)S(T )−1 f .

α →0



Neân

u(t) − uα (t ) = S (t)(S (T ) − 1 − (α I + S (T )) − 1 ) f



bi q i ⎞

⎛ ∞

= S (t ) ⎜ ∑ e λ T bi q i − ∑

−λ T ⎟

i =1 α + e

⎝ i =1



λ

T

⎛ ∞ α e bi q i ⎞

=S (t ) ⎜ ∑

−λ T ⎟

⎝ i =1 α + e



i



i



i



i



eλ T bi

=α ∑

S(t)qi

−λ T

i =1 α + e





i



i



(8)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 3: CÁC KẾT QUẢ CHỈNH HOÁ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×