Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Dạng 21. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (Q): Ax+ By + Cz + D = 0 một góc Φ cho trước.

Dạng 21. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (Q): Ax+ By + Cz + D = 0 một góc Φ cho trước.

Tải bản đầy đủ - 0trang

• Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+ 2y + z - 3= 0



và đường thẳng d:

. Viết phương trình mặt phẳng (P)

chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc α thỏa mãn cosα = √3/6

A. y- z+ 3= 0



B. 5x- 3y + 8z- 10= 0



C. 2x- 3y+ 5z- 10= 0



D. Đáp án khác



Hướng dẫn giải:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax+ By + Cz + D = 0 (A 2 + B2 + C2 >

0) nhận vectơ n→( A;B; C) làm vecto pháp tuyến.

Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương u→(1; -1; -1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→(1; 2; 1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→.nQ→ = 0

⇔ A- B – C= 0 ⇔ C = A – B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc góc α thỏa mãn cosα = √3/6



⇔ A2+ B2 - AB = 4A2+ 4AB + B2

⇔ 3A2 + 5AB = 0

+ Với A = 0, chọn B = 1 thì C= - 1

Mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và nhận vecto ( 0; 1; -1) làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mp (P): 0( x+ 1) + 1( y - 2) – 1( z+ 3) = 0 hay y - z – 5= 0

+ Với 3A = - 5B; chọn B = - 3 => A= 5; C= 8

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và có VTPT nP→(5; -3; 8)

là:

5( x+ 1) – 3( y- 2) + 8( z+ 3) = 0 hay 5x – 3y + 8z + 35= 0

Chọn D.



Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình



(d):

và mặt phẳng (Q): x + 2y + z – 5= 0 . Viết phương trình mặt

phẳng (P) chứa (d) và hợp với (Q) một góc 30o.

A. x+ y- 2= 0 hoặc x+ z – 2= 0

B. x+ y - 2= 0 hoặc y+ z - 2= 0

C. y+ z - 2= 0 hoặc x – z - 2= 0

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax+ By + Cz + D = 0 nhận

vecto nP→(A; B; C) làm vecto pháp tuyến.

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 2; 0) và có vecto chỉ phương u→(1; -1; 1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→(1 ; 2;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→.nP→ = 0





A- B+ C = 0 ⇔ C = B - A



Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 30o nên ta có:



⇔ A2 + B2 – AB= B2





A2 – AB = 0



+ Với A = 0, chọn B = 1; C = 1.

Mặt phẳng ( P) đi qua M(0; 2; 0) và nhận vecto (0;1; 1) làm vecto pháp tuyến:

0(x - 0) + 1( y - 2) +1.( z - 0) = 0 hay y+ z - 2 = 0

+ Với A = B , chọn A= B = 1 C = 0

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(0; 2; 0) và có VTPT nP→(1; 1;0) là:

1( x- 0) + 1( y-2) + 0( z- 0) = 0 hay x+ y- 2= 0

Chọn B

Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (α): 3x- 2y + 2z – 5= 0. Điểm A( 1; -2; 2). Có bao nhiêu

mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (α) một góc 45o

A. Vơ số.



B. 1.



Hướng dẫn giải:



C. 2.



D. 4.



Gọi nβ→(a; b;c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β) cần lập.



=> 2( 3a – 2b + 2c)2 = 17 (a2 + b2+ c2)

⇔ a2 - 9b2 – 9c2 - 12ab – 8bc + 12ac = 0

Phương trình trên có vơ số nghiệm.

Suy ra có vô số vectơ nβ→(a; b; c) là véc tơ pháp tuyến của (β)

Suy ra có vơ số mặt phẳng (β) thỏa mãn điều kiện bài tốn

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 0;0) và N(0; 0;

-1).Mặt phẳng (P) qua điểm M; N và tạo với mặt phẳng (Q): x- y- 4= 0 một góc

bằng 45o. Phương trình mặt phẳng (P) là



Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là nQ→(1; -1; 0)

+ Mặt phẳng (P) đi qua M(1; 0; 0) và vectơ pháp tuyến n→(a; b; c) với a2+

b2 +c2 > 0 có phương trình là:

a( x - 1) + b(y - 0) + c( z - 0) = 0 hay ax + by+ cz – a= 0



+ Mặt phẳng (P) đi qua điểm N( 0; 0; -1) nên :

a.0+ b.0+ c.(-1) - a= 0 hay –c - a= 0 ⇔ c = -a

+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) hợp nhau góc 45o nên :



+ Với a= 0 => c= 0; chọn b= 1

Mặt phẳng (P)đi qua M( 1; 0; 0 ) vecto pháp tuyến (0; 1; 0) nên phương trình (P):

y= 0

+ Với a= -2b chọn b= -1 suy ra a= 2

mặt phẳng đi qua M( 1; 0; 0) và vecto pháp tuyến ( 2; -1;-2)

=> Phương trình ( P): 2( x - 1) – 1( y - 0) – 2( z - 0) = 0 hay 2x – y - 2z - 2= 0

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là : z = 0 và 2x- y- 2z – 2= 0

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz; cho điểm M( 0; -1; 2) ; N( -1;

1; 3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M; N và tạo với mặt phẳng (Q): 2x – y – 2z –

2= 0 góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A( 1;2; 3) cách mp (P) một khoảng là



Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là : nQ→(2; -1; -2)

+ Gọi vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là : nP→(a; b;c) ( a2+ b2+ c2 > 0)

+ Mặt phẳng (P) có VTPT n→ vng góc với MN→(-1; 2; 1) nên

-1.a+ 2b+ 1.c= 0 ⇔ a= 2b+ c

=> Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P) là : nP→(2b+c; b;c)

+ Gọi α là góc tạo bởi (P) và ( Q) , α nhỏ nhất khi cosα lớn nhất.

Ta có



+ Nếu b=0 thì cosα= 0



Khi đó, cos α lớn nhất khi và chỉ khi 2(c/b + 1)2 +3 nhỏ nhất



=> c/b = -1 chọn b = 1=> c= -1 và a= 2b+ c= 1

Vậy mặt phẳng (P) đi qua M( 0; -1; 2) vecto pháp tuyến ( 1; 1; -1) có phương trình



1( x- 0) +1(y+ 1) - 1(z- 2) = 0 hay x+ y- z + 3= 0.

Do đó



Chọn A.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến

Phương pháp giải

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x o ;yo ;zo ) và có Vecto pháp

tuyến n→(A;B;C) là:

A(x -xo ) +B(y -yo ) +C(z -zo )=0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A (1;

0; -2) và có vecto pháp tuyến n→ (2; -1;1)

Hướng dẫn:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (1; 0; -2) và có vecto pháp tuyến n→ (2; -1;1) có

phương trình là:

1(x -1) -1(y -0) +1(z +2) =0

⇔ x -y +z +1 =0



Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; -2; 1) và có vecto pháp

tuyến n→ (0; 2;-1)

Hướng dẫn:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (1; -2; 1) và có vecto pháp tuyến n→ (0; 2;-1) có

phương trình là:

0 . (x -1) +2(y +2) -1(z -1) =0

⇔ 2y -z +5 =0

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto pháp

tuyến n→ (-1;2;-1)

Hướng dẫn:

Mặt phẳng đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến n→ (-1;2;-1) có

phương trình là:

-1(x -0) +2(y -0) -1(z -0) =0

⇔ -x +2y -z =0

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (-2; 5; -4) và có vecto pháp

tuyến n→ (0;2;-1)

Hướng dẫn:

Mặt phẳng đi qua điểm A (-2; 5; -4) và có vecto pháp tuyến n→ (0;2;-1) có

phương trình là:

0 . (x +2) +2(y -5) -1 . (z +4) =0

⇔ 2y -z -14 =0

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳng



Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳng

Phương pháp giải

Cách 1:

1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n→ (A;B;C)

2. Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α)

là n→ (A;B;C).

3. Phương trình mặt phẳng (α):

A(x -xo ) +B(y -yo ) +C(z -zo) =0

Cách 2:

1. Mặt phẳng (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng:

Ax +By +Cz +D'=0 (*) với D'≠D

2. Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo ;yo ;zo ) nên thay tọa độ điểm

M (xo ;yo ;zo ) vào (*) tìm đươc D’

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M

(0; 1; 2) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 2 = 0.

Hướng dẫn:

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng

(Q) là n→ (2; -4;0)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 2) và có vecto pháp tuyến n→ (2; -4;0) nên có

phương trình là:

2(x -0) -4(y -1) +0 . (z -2) =0



⇔2x -4y +4 =0

⇔x -2y +2 =0

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; -3) và song song với

mặt phẳng (Oxy)

Hướng dẫn:

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z=0

Do mặt phẳng (P) song song song với mặt phẳng (Oxy) nên mặt phẳng (P) có

dạng: z +c =0 (z≠0)

Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; -3) nên ta có: -3 +c = 0 ⇔ c =3

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: z +3 =0

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (0; -1; 3) và song song với

mặt phẳng (Q): 2x+3y-z+5=0

Hướng dẫn:

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp

tuyến n→ (2; 3;-1)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ (2; 3;-1) và đi qua điểm M

(0; -1; 3) là:

2(x -0) +3(y +1) -1(z -3)=0

⇔ 2x +3y -z =0

Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4),

D(4; 0; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng

(ABC)

Hướng dẫn:



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Dạng 21. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (Q): Ax+ By + Cz + D = 0 một góc Φ cho trước.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×