Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Dạng 15. Viết phương trình mặt phẳng (P) liên quan đến mặt cầu (S).

Dạng 15. Viết phương trình mặt phẳng (P) liên quan đến mặt cầu (S).

Tải bản đầy đủ - 0trang

• Khi bài tốn khơng cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài tốn để

tìm VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng: Ax+ By+ Cz +D = 0 (D

chưa biết)

Sử dụng điều kiện khoảng cách để tìm D

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng song song với

mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu (S): (x - 1) 2 + ( y+ 2)2 + z2 = 12 theo đường tròn có

chu vi lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

A. x+ 12= 0



B. y+ z= 0



C. y - 4= 0



D. y+ 2= 0



Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 0) và bán kính R = 2√3 .

Mặt phẳng Oxz có phương trình y= 0

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên phương trình mặt phẳng (P) có

dạng:

y + D = 0 (D ≠ 0)

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng

(P) đi qua tâm I của mặt cầu.

Thay tọa độ tâm I vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : - 2+ D = 0 nên D = 2

Phương trình mặt phẳng (P) là: y+ 2= 0

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt cầu (S): (x-1) 2 +(y2)2 +(z- 3)2 = 9, điểm A( 0; 0; 2) . Mặt phẳng ( P) đi qua A và cắt mặt cầu ( S) theo

hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất. Tìm một vecto pháp tuyến của (P) ?

A. n→(1;2;3).



B. n→(1;2;1).



C.n→(1;2;0) .



D. n→(1;-2;1).



Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R= 3.



Ta có

trong mặt cầu.



nên điểm A nằm



Ta có :

Diện tích hình tròn (C) là: S= 4πr 2 nên diện tích hình tròn ( C) nhỏ nhất khi và chỉ

khi r nhỏ nhất ⇔ d(I,(P)) lớn nhất.

Do d(I,(P)) ≤ IA nên maxd(I; (P)) = IA

Khi đó mặt phẳng (P) đi qua A và nhận IA→(-1;-2;-1) làm vecto pháp tuyến.

Mà vecto n→(1; 2; 1) cùng phương với vecto IA → nên n→(1; 2; 1) là vecto pháp

tuyến của (P).

Chọn B.

Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) : 2x – 2y – 2z

+ 18= 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3= 0.Tiếp diện của (S) song

song với (P) có phương trình ?



Hướng dẫn giải:

Vì mp (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) có dạng: 2x – y – 2z + m = 0 .

Mặt cầu (S) có tâm I( 1; -1; 2) và bán kính R = 3.



Mà (Q) là tiếp diện của mặt cầu (S) nên d(I; (Q)) = R



Vậy phương trình mặt phẳng (Q) cần tìm là: 2x- y – 2z – 8= 0 hoặc 2x – y - 2z +

10 = 0

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): 2x + 2y + z 15 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z - 16 = 0. Mặt phẳng (Q) song

song với (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 16π.

Khi đó (Q) có phương trình là

A.(Q): 2x + 2y + z+ 5 = 0 hoặc 2x+ 2y + z – 13 = 0

B.(Q): 2x + 2y + z -19 = 0 hoặc 2x+ 2y + z+ 1= 0

C.(Q): 2x + 2y + z – 3= 0 hoặc 2x + 2y + z +15 = 0

D.(Q): 2x + 2y + z – 7 = 0 hoặc 2x + 2y + z + 11 = 0

Hướng dẫn giải:

+ Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) có dạng :

(Q) : 2x+ 2y + z + m = 0 (m ≠ -15)

+ Mặt cầu ( S) có tâm I( 1 ; 2 ; -2) và bán kính R= 5.

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến, khi đó :



Vậy phương trình mặt phẳng ( Q) : 2x+ 2y + z+ 5= 0 hoặc 2x+ 2y +z – 13= 0

Chọn A

Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt cầu (S):(x - 2) 2 + ( y

- 1)2 + z2 = 16. Mặt phẳng (P): 2x+ 2y- z = 0 cắt mặt cầu theo một đường tròn ( C)

có bán kính r. Tính r?

A. 2



B. 3



C. 2√3



D. √3



Hướng dẫn giải:

+ Mặt cầu (S) có tâm I( 2; 1; 0) và bán kính R= 4.

+ Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P):



Suy ra, mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính:



Chọn C.

Dạng 16. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng



1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(xo; yo;zo) và mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz +

D=0

+ Khi đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:



+ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách giữa đường

thẳng d và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng d

đến mặt phẳng (P).

+ Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì khoảng cách hai mặt

phẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt

phẳng kia.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 1;2) đến mặt

phẳng : x+ 2y- 2z – 2= 0 bằng:

A. 3



B. 1



C. 13/3



D. 1/3



Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là:



Chọn B



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Dạng 15. Viết phương trình mặt phẳng (P) liên quan đến mặt cầu (S).

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×