Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Tải bản đầy đủ - 0trang

38

Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho x(t) là một hàm khả tích,

khơng âm trên [0; T ] và thỏa mãn bất đẳng thức tích phân

t



x(t) ≤ C1 + C2



x(s)ds,

0



với hầu khắp t và với C1 , C2 là các hằng số khơng âm. Khi đó

x(t) ≤ C1 (1 + C2 teC2 t ),

với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T.

Bất đẳng thức Halanay: Giả sử f : [t0 −τ, T ) → R+ , 0 ≤ t0 < T < +∞

thỏa mãn phương trình vi phân hàm sau

f (t) ≤ −γf (t) + ν sup f (s),

s∈[t−τ,t]



với t ≥ t0 , ở đó γ > ν > 0. Khi đó

f (t) ≤ κe− (t−t0 ) , t ≥ t0 ,

ở đây κ =



sup



f (s) và



là một nghiệm của phương trình γ = + νe− τ .



s∈[t0 −τ,t0 ]



Bất đẳng thức Poincaré: Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn có đường

kính khơng q d. Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc k và d sao cho

u2 dx ≤ C



|Dα u|2 dx

|α|=k Ω







với mọi u ∈ H0k (Ω). Trong trường hợp k = 1, C = λ−1

1 trong đó λ1 chính là giá

trị riêng đầu tiên của toán tử Laplace −∆D với điều kiện biên Dirichlet.



1.5.2



Một số bổ đề và định lý



Bổ đề 1.5.1 (Bổ đề Mazur). [48, Bổ đề 10.19] Cho X là một khơng gian Banach

và giả sử

un



u¯,



39

trong X. Khi đó tồn tại một hàm N : N → N và một dãy các tập của các số

N (n)

k=n αk (n)



thực không âm {α(n)k }N

k=n sao cho



= 1 thỏa mãn



N (n)



vn :=



α(n)k uk

k=n



hội tụ mạnh đến u¯ trong X.

Định lý sau nêu ra một tiêu chuẩn để xác định tính compact của một tập

con trong không gian các hàm liên tục.

Định lý 1.5.2 (Định lý Arzelà-Ascoli). Cho X là một không gian metric compact

và Y là một không gian metric đầy. Khi đó, một tập con D của C(X; Y ) là

compact tương đối trong C(X; Y ) nếu và chỉ nếu nó đồng liên tục và có lát cắt

hồn tồn bị chặn.



1.5.3



Một số không gian hàm



Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn . Trong luận án này, ta sử dụng một số

không gian hàm Sobolev quan trọng sau đây:

1. L2 (Ω) là không gian bao gồm tất cả những hàm u khả tích cấp 2 theo

Lebesgue trong Ω với chuẩn

1/2



u



L2 (Ω)



2



|u| dx



=



;







2. L∞ (Ω) là không gian bao gồm các hàm đo được và bị chặn hầu khắp nơi

trên Ω với chuẩn

u







= ess sup |u(x)|;

x∈Ω



3. H 1 (Ω) là không gian bao gồm tất cả những hàm u ∈ L2 (Ω) sao cho uxi (x) ∈

L2 (Ω), ∀1 ≤ i ≤ n và có chuẩn được cho bởi cơng thức

1/2



u



H 1 (Ω)



2



2



(|u| + |∇u| )dx



=





;



40

4. H01 (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong chuẩn của H 1 (Ω);

5. H −1 (Ω) là không gian đối ngẫu của H01 (Ω).

Ngồi ra, ta cần sử dụng một số khơng gian hàm phụ thuộc thời gian sau:

1. Lp (0, T ; E), 1 ≥ p < ∞ là không gian với chuẩn

1/p



T

p



|u| dx



u =



;



0



2. W 1,p ([0, T ]; E) là không gian bao gồm các hàm u : (0, T ) → E sao cho

u ∈ Lp (0, T ; E) và u ∈ Lp (0, T ; E) với chuẩn

1/p



T



u



W 1,p ([0,T ];E)



p



p



(|u| + |u | )dx



=



;



0



3. W 1,p ((0, T ]; E) là không gian bao gồm các hàm u : (0, T ) → E sao cho

u ∈ Lp (0, T ; E) và u ∈ Lp (δ, T ; E), ∀δ ∈ (0, T ).



Chương 2

BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG

KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một lớp các bất đẳng thức vi biến

phân trong không gian hữu hạn chiều. Trong đó, mơ hình bất đẳng thức vi biến

phân được thiết kế bởi bất đẳng thức biến phân liên kết với hệ động lực nửa

tuyến tính có trễ. Chúng tơi nghiên cứu dáng điệu nghiệm thông qua việc chứng

minh sự tồn tại nghiệm phân rã cấp độ mũ và sự tồn tại một tập hút tồn cục

cho nửa dòng đa trị sinh bởi hệ.

Nội dung của phần này dựa trên kết quả bài báo số [1] trong Danh mục cơng

trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án.



2.1



ĐẶT BÀI TOÁN



Ta xét bất đẳng thức vi biến phân có dạng như sau:

x (t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), xt )u(t), t ∈ [0, T ],

v − u(t), F (x(t)) + G(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ K, với hầu khắp t ∈ [0, T ],

x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0],



(2.1)

(2.2)

(2.3)



ở đó T > 0, τ > 0, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ K với K là một tập con lồi đóng trong Rm ,

xt là hàm quá khứ của trạng thái tính tới thời điểm t, tức là xt (s) = x(t + s)

với s ∈ [−τ, 0]; A, B, F, G và h là các ánh xạ cho trước.



41



42



2.2



SỰ TỒN TẠI NGHIỆM



Kí hiệu

J = [0, T ], CT = C([0, T ]; Rn ), Cτ = C([−τ, 0]; Rn ), C = C([−τ, T ]; Rn ).

Chúng tôi đưa ra các giả thiết sau để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán.

(H1) Toán tử A : Rn → Rn là tuyến tính trên Rn .

(H2) Ánh xạ B : Rn × Cτ → Rn×m là liên tục sao cho tồn tại các hằng số dương

ηB và ζB thỏa mãn

B(v, w) ≤ ηB ( v + w



Cτ )



+ ζB , với mọi v ∈ Rn , w ∈ Cτ .



(H3) Hàm F : Rn → Rm liên tục và tồn tại số ηF dương sao cho F (v) ≤ ηF

với mọi v ∈ Rn .

(H4) Hàm G : K → Rm là liên tục thỏa mãn:

1. G đơn điệu trên K, nghĩa là:

u − v, G(u) − G(v) ≥ 0, ∀u, v ∈ K;

2. tồn tại v0 ∈ K sao cho

lim



v∈K, v →∞



v − v0 , G(v)

> 0.

v 2



(H5) Hàm h : Rn → Rn là liên tục sao cho tồn tại hai hằng số dương ηh và ζh

thỏa mãn

h(u) ≤ ηh u + ζh , ∀u ∈ Rn .

Nghiệm của bài toán (2.1)-(2.3) được cho bởi định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 2.2.1. Cặp hàm (x, u) trong đó x : [−τ, T ] → Rn là hàm liên tục

tuyệt đối và u : [0, T ] → K là hàm khả tích được gọi là nghiệm của bất đẳng

thức biến phân (2.1)-(2.3) nếu

t



x(t) = etA ϕ(0) +



t



e(t−s)A B(x(s), xs )u(s)ds +

0



e(t−s)A h(x(s))ds, t ∈ J,

0



43

v − u(t), F (x(t)) + G(u(t)) ≥ 0, với hầu khắp t ∈ J và với mọi v ∈ K,

x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0].

Với mỗi hàm Q : Rm → Rm , kí hiệu SOL(K, Q) là tập nghiệm của bất đẳng

thức biến phân

w − v, Q(v) ≥ 0, ∀w ∈ K.

Dựa vào [49, Mệnh đề 6.2], ta thu được tính chất sau của tập nghiệm SOL(K, Q).

Bổ đề 2.2.2. Giả sử điều kiện (H4) được thỏa mãn. Khi đó với mọi z ∈ Rm ,

tập nghiệm SOL(K, z + G(·)) là khác rỗng, lồi và compact. Hơn nữa, tồn tại số

ηG > 0 sao cho

v ≤ ηG (1 + z ), ∀v ∈ SOL(K, z + G(·)).



(2.4)



Để đưa ra lược đồ cho tính giải được của hệ (2.1)-(2.3), chúng ta biến đổi

DVI đã cho về một bao hàm thức vi phân. Đặt

U (z) = SOL(K, z + G(·)), z ∈ Rm .

Khi đó theo Bổ đề 2.2.2 toán tử U : Rm → P(Rm ) có giá trị lồi, đóng. Ngồi

ta, ta thấy rằng U là một ánh xạ đóng. Nhờ có (2.4), tốn tử U là bị chặn địa

phương, do đó theo Bổ đề 1.3.2 nó có tính chất nửa liên tục trên.

Bây giờ ta định nghĩa Φ : Rn × Cτ → P(Rn ) như sau:

Φ(v, w) = {B(v, w)y + h(v) : y ∈ U (F (v))}.

Do toán tử B(v, w) là tuyến tính với mỗi v ∈ Rn , w ∈ Cτ và U có giá trị lồi,

đóng, ta suy ra Φ cũng có giá trị lồi đóng. Hơn nữa do tính liên tục của các ánh

xạ B, F , h và tính nửa liên tục trên của ánh xạ đa trị U , ta suy ra ánh xạ đa

trị hợp thành Φ cũng có tính chất nửa liên tục trên.

Từ các thiết lập trên, bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) được chuyển về

bao hàm thức vi phân sau

x (t) ∈ Ax(t) + Φ(x(t), xt ), t ∈ J,



(2.5)



x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0],



(2.6)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×