Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski đối với hàm Chebysev

Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski đối với hàm Chebysev

Tải bản đầy đủ - 0trang

23



2.3.



Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski đối với hàm Chebysev



Các kết quả của mục này được trình bày lại từ bài báo của Dragomir công bố

năm 2003.

Bổ đề 2.1 (Bổ đề 1, [5]). Xét hàm h : [a, b] → R khả tích trên [a, b] sao cho

−∞ < γ



Γ<∞



h(x)



với hầu hết x ∈ [a, b].



(2.39)



Khi đó ta có bất đẳng thức

b



x



1

b−a

a



a



b



x−a

h(u)du dx

h(t)dt −

b−a

a

 



b

1

1 1

h(u)du − γ  × Γ −

2 b−a

b−a

a



(2.40)

b







b−a

h(u)du

Γ−γ



a



1

(Γ − γ)(b − a).

8

Hằng số



1

1

và là đánh giá tốt nhất không thể thay thế bởi số bé hơn.

2

8



Chứng minh. Năm 1970, Ostrowski đã chứng minh được kết quả sau. Nếu hàm

f : [a, b] → R là khả tích và

b



−α



f (x)



1 − α, α ∈ [0, 1] và



f (x)dx = 0,



(2.41)



a



thì ta có

b



|F (x)|dx



α(1 − α)

(b − a)2 ,

2



a



trong đó F (x) =



x

a f (t)dt.



Đặt hàm f xác định như sau





b

1 

1

f (t) =

h(t) −

h(u)du , t ∈ [a, b], (Γ = γ).

Γ−γ

b−a

a



Ta hiển nhiên có



b



f (t)dt = 0

a



(2.42)



24



và từ điều kiện (2.39)

Γ−

f (t)



1

1

b

b

h(u)du

h(u)du − γ

a

a

b−a

b



a

=1−

, t ∈ [a, b]

Γ−γ

Γ−γ



(2.43)





f (t) ≥



γ−



1

b−a



b

a h(u)du



Γ−γ



, t ∈ [a, b].



(2.44)



Ký hiệu

α :=



1

b−a



b

a h(u)du



−γ



Γ−γ



Ta thấy rằng, từ bất đẳng thức (2.42) và (2.43) cho ta

−α



f (x)



1 − α f or x ∈ [a, b].



Ta cũng có

x



1

f (t)dt =

Γ−γ



F (x) =

a



x

a



b



x−a

h(t)dt −

b−a



h(u)du

a



và vì vậy từ điều kiện (2.41), ta có bất đẳng thức sau

b



1

Γ−γ

a



x−a b

h(u)du dx

h(t)dt −

b−a a

a







b

b

1

1

h(u)du − γ   Γ −

h(u)du 

1

b−a a

b−a a









 (b − a)2

2

Γ−γ

Γ−γ





x



(2.45)



bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức đầu tiên trong (2.40). Để chứng

minh khẳng định thứ hai trong (2.40) ta sử dụng bất đẳng thức cơ bản sau

αβ



1

(α + β)2 , ∀α, β ∈ R;

4



(2.46)



dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α = β, bằng cách chọn

1

α=

b−a



b

a



1

h(u)du − γ, β = Γ −

b−a



b



h(u)du.

a



25



1

là đánh giá tốt nhất, ta giả sử rằng bất đẳng thức (2.40)

2

đúng với hằng số C > 0 nào đó, nghĩa là



Để chứng minh hằng số

b



x



1

Γ−γ



a



a



C



x−a

h(t)dt −

b−a

1

b−a



b



h(u)du dx

a



b



b



1

Γ−

b−a



h(u)du − γ

a



h(u)du

a



b−a

.

Γ−γ



(2.47)



Xét hàm số h : [a, b] → R, xác định bởi





−1 t ∈ [a, a + b ],

2

h(t) :=

a

+

b



1

, b].

t∈(

2

b

a h(u)du



Hiển nhiên γ = −1, Γ = 1, và

b



a



x

a



= 0. Ta có



a+b

2



1

h(t)dt =

b−a



x



a



x



h(t)dt dx +

a

a+b

2



1

=

b−a



h(t)dt dx

a+b

2



a



a



a



(x − a)dx +



(b − x)dx =

a+b

2



a



b−a

,

4



vì vậy từ bất đẳng thức (2.47) ta thu được

b−a

4

hay C



1

. Dễ dàng có hằng số

2



1

8



C.



b−a

,

2



là xấp xỉ tốt nhất.



Kế quả tiếp theo, ta trình bày về đánh giá biên của hàm Chebyshev T (f, g) (xem

[5]). Kết quả này được Dragomir chỉ ra năm 2003.

Định lý 2.7 (Định lý 1, [5]). Xét các hàm f, g : [a, b] → R, với g là hàm liên tục

tuyệt đối trên [a, b] và g ∈ L∞ [a, b] và f là hàm khả tích Lebesgue sao cho tồn tại

m, M ∈ R thỏa mãn

−∞ < m



f (x)



M < ∞ với x ∈ [a, b].



(2.48)



Khi đó có bất đẳng thức

|T (f, g)|



1

g

2







1

( b−a



b

a f (x)dx



− m)(M −

M −m



1

b−a



b

a f (x)dx)



(b − a)



(2.49)



26



1

(b − a)(M − m) g

8

các hằng số



1

2







1

8



∞.



là đánh giá tốt nhất trong bất đẳng thức trên.



Chứng minh. Tích phân từng phần ta được

b



x



1

b−a



f (t)dt −

a



a



x



1

=

b−a



a



x−a

b−a



b



f (u)du g (x)dx

a



x−a

f (t)dt −

b−a



b



f (u)du g(x)|ba

a

b



b



1

g(x) f (x) −



b−a

a

b

1

1

=−

g(x)f (x)dx +

b−a a

b−a

= −T (f, g).



f (u)du d(x)

a

b

a



1

g(x)dx.

b−a



b



f (x)dx

a



Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta có

|T (f, g)|







b



1

b−a



g







1

g

2



x



x−a b

f (u)du |g (x)|dx

b−a a

b

x−a b

f (u)du dx

f (t)dt −

b−a a

a



f (t)dt −

a



1

b−a

1

b−a



a

b

a



b

a f (x)dx



−m







M−



1

b−a



b

a f (x)dx



M −m



(b − a).



1

là đánh giá tốt nhất, ta giả sử rằng bất đẳng thức

2

(2.49) thỏa mãn với hằng số D > 0 nào đó. Nghĩa là

Để chứng minh hằng số



|T (f, g)|



D g



b

a f (x)dx



1

b−a





−m



M−



f (x) =



b



−1

1



a+b

2 ,



(b − a).



và f : [a.b] → R,



nếu x ∈ [a, a+b

2 ],

nếu x ∈ ( a+b

2 , b].



b



f (x)dx =

a



b

a f (x)dx



M −m



Xét các hàm g và f xác định như sau g(x) = x −



khi đó



1

b−a



g(x)dx = 0, g

a







= 1, m = −1, M = 1



(2.50)



27





T (f, g) =



b



1

b−a



x−

a



b−a

a+b

.

dx =

2

4



vì vậy, từ bất đẳng thức (2.50) ta có

b−a

4



D.



b−a

,

2



1

.

2

1

Tương tự ta có hằng số là đánh giá tốt nhất trong bất đẳng thức (2.49).

8



suy ra D



Nhận xét 2.7. Từ bất đẳng thức (2.46), đẳng thức xảy trong bất đẳng thức (2.49)

khi và chỉ khi α = β, vì vậy

1

b−a



b



f (x)dx =

a



m+M

.

2



28



Chương 3



Bất đẳng thức kiểu Ostrowski và

trapezoid liên hệ với định lý giá trị

trung bình Pompeiu với trọng số mũ

phức

Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày về bất đẳng thức kiểu Ostrowski và

trapezoid với trọng số mũ giá trị phức, đối với hàm liên tục tuyệt đối giá trị phức.

Các bất đẳng thức này liên quan tới định lý giá trị trung bình Pompeiu. Đặc biệt

từ các bất đẳng thức này thu được một số kết quả vận dụng, chẳng hạn như:

• Làm chặt bất đẳng thức kiểu Ostrowski và bất đẳng thức trapezoid;

• Bất đẳng thức kiểu Ostrowski và bất đẳng thức trapezoid mới.

Năm 1946, Pompeiu đã đưa ra một dạng khác của định lý giá trị trung bình

Lagrange, kết quả này được biết đến như định lý giá trị trung bình Pompeiu, kết

quả này được phát biểu trong định lý dưới đây:

Định lý 3.1. Với mọi hàm thực f khả vi trên [a, b] khoảng này không chứa 0 và

với mọi cặp x1 = x2 trong [a, b], tồn tại ξ giữa x1 và x2 sao cho

x1 f (x2 ) − x2 f (x1 )

= f (ξ) − ξf (ξ).

x1 − x2

Định lý giá trị trung bình Pompeiu được vận dụng để đưa ra các cách xấp xỉ

khác nhau của trung bình tích phân, chẳng hạn như kết quả dưới đây.

Định lý 3.2. (Dragomir, 2005 [9]) Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục trên [a, b]

và khả vi trên (a, b) với [a, b] không chứa 0. Khi đó với bất kỳ x ∈ [a, b], ta có bất



29



đẳng thức sau





b



1

a + b f (x)

.



2

2

b−a



f (t)dt

a



trong đó (t) = t, t ∈ [a, b]. Hằng số





a+b 2

x−





2 

+



 f− f

b−a





b−a

1

|x|  4



∞.



1

là đánh giá tốt nhất.

4



Một số bất đẳng thức kiểu Pompeiu mũ với hàm phức liên tục tuyệt đối đã được

chứng minh bởi Dragomir với các vận dụng là thu được một số bất đẳng thức kiểu

Ostrowski mới.

Định lý 3.3. Giả sử f : [a, b] → C là hàm liên tục tuyệt đối trên trên [a, b] và

α = β + iγ ∈ C với β > 0. Khi đó với bất kỳ x ∈ [a, b] ta có

αb



f (x)



e



−e

α



b



αa



− eαx



f (t)dt



a





|β|B1 (a, b, x, α) f − αf ∞ ,

f − αf ∈ L∞ [a, b],









 q 1/q |β|1/q (b − a)1/p |bq (a, b, x, α)|1/q f − αf p , f − αf ∈ Lp [a, b],



1 1



p > 1, + = 1,





p q





 B (a, b, x, α) f − αf .



1



trong đó

xqβ



Bq (a, b, x, α) = 2 e

với q



a+b

x−

2



1

+





ebqβ + eaqβ

− exqβ

2



1 và

B∞ (a, b, x, α) := exβ (x − a) + β −1 [ebβ − exβ ].



Nếu β = 0, khi đó với bất kỳ x ∈ [a, b] thì ta có

b



eiγb − eiγa

f (x)

− eiγx





f (t)dt

a



,



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski đối với hàm Chebysev

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×