Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối

Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối

Tải bản đầy đủ - 0trang

19



2.2.3



Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối



Định lý 2.5. Xét hàm f : [a, b] → R

ta có bất đẳng thức sau

f (a) + f (b)

b

(b − a)

a f (x)dx −

2



(b − a)2





f ∞ nếu







4















1





1+





(a − b) q

nếu

1













2(q + 1) q



















 (b − a) f 1

nếu

2



là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b]. Khi đó



f ∈ L∞ [a; b];



f ∈ Lp [a; b], p > 1,



1 1

+ = 1;

p q



(2.26)



f ∈ L1 [a; b];



với . p là chuẩn thông thường trong không gian các hàm khả tích Lebesgue Lp [a, b].

Nghĩa là,

f ∞ := ess sup |f (t)|,

t∈[a;b]







1

p



b



f



p



p



|f (t)| dt



:=



với p ≥ 1.



a



Chứng minh. Tích phân từng phần ta được

b



t−

a



a+b

(b − a)(f (a) + f (b))



f (t)dt =

2

2



b



f (t)dt



(2.27)



a+b

|f (t)|dt.

2



(2.28)



a



Từ đẳng thức (2.27) ta thu được bất đẳng thức sau

b

a



f (a) + f (b)

f (t)dt − (b − a)

2



b



t−

a



Nếu hàm f ∈ L∞ [a, b], thì ta có

b



b



(b − a)2

f ∞

.



4

a

a

1 1

Nếu hàm f ∈ Lp [a, b], thỡ theo bt ng thc Hăolder vi p > 1,

+ = 1, ta có

p q

a+b

|f (t)|dt t −

2



a+b

t−

dt = f

2



20



bất đẳng thức

b



|f (t)|dt t −

a



b



a+b

2



a



1

1

(a − b)1+ q

a+b

q

=

f

dt

t−

1

2

2(q + 1) q



p.



Nếu hàm f ∈ L1 [a, b], thì ta có

b

a



b



a+b

a+b

|f (t)| t −

dt ≤ sup t −

2

2

t∈[a;b]



|f (t)|dt =

a



b−a

f

2



1



vậy ta có bất đẳng thức (2.26).

Nhận xét 2.5. Giả sử f là hàm như trên và In là một phân hoạch của [a, b]. Khi

đó ta có

b



f (x)dx = AT (f, In ) + RT (f, In )



(2.29)



a



với AT (f, In ) là quy tắc trapezoid và phần dư RT (f, In ) thỏa mãn bất đẳng thức

|RT (f, In )|



n−1





1



f ∞

h2i ;





4





i=0







n−1



1

q+1 q

1

; với p > 1, p1 + 1q = 1;

f

h

1

p

(2.30)

i

q

2(q+1)





i=0

















 1 f 1 ν(h),

2

trong đó hi := xi+1 − xi , (i = 0, · · · , n − 1) và ν(h) := max {hi }. Áp dụng đánh

i=0,n−1



giá (2.26) trên đoạn [xi , xi+1 ], ta thu được

xi+1

xi



f (xi ) + f (xi+1 )

f (x)dx − t −

hi

2



1

2(q + 1)



1+ 1q

h

1

i

q



xi+1



1

p



|f (t)|p dt



,



xi



với mọi i ∈ {0, · · · , n − 1}.

Lấy tổng theo i = 0, 1, . . . , n − 1 và áp dụng bất đẳng thức Hă

older ta thu c

n1



1



|RT (f, In )|



2(q + 1)





1

q



1

2(q + 1)



1

q



xi+1



1+ 1q

hi



i=0

n−1



i=0



|f (t)|p dt



1

p



(2.31)



xi

xi+1

xi



|f (t)|p dt



1

p



p



1

p



n−1



i=0



1+ 1

hi q



q



1

q



21



=



1

q



n−1



1

1



f



2(q + 1) q



hq+1

i



p



,



i=0



vậy ta thu được bất đẳng thức (2.30).

2.2.4



Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có đạo hàm cấp hai



Định lý 2.6. Giả sử hàm f : [a, b] → R có đạo hàm f

Khi đó ta có bất đẳng thức sau

f (a) + f (b)

b

f

(x)dx



(b − a)

a

2



f ∞





(b − a)3

nếu





12





1

1





1

2+

f ” p [B(q + 1; q + 1)] q (b − a) q nếu

2

















 1 f ” 1 (b − a)2

nếu

8



liên tục tuyệt đối trên [a, b].



f ” ∈ L∞ [a; b];

f ” ∈ Lp [a; b];



(2.32)



f ” ∈ L1 [a; b].



với . p là chuẩn thông thường (p ∈ [1, ∞]) trên Lp [a, b] và B(., .) là hàm Beta của

Euler, nghĩa là

1



tα−1 (1 − t)β−1 dt, α, β > 0.



B(α; β) =



(2.33)



0



Chứng minh. Tích phân từng phần hai lần trên [a, b], ta thu được

b



b



(x − a)(b − x)f ”(x)dx = (b − a)(f (a) + f (b)) − 2

a



f (x)dx,



(2.34)



a



vì vậy

b

a



f (a) + f (b)

f (x)dx −

(b − a)

2



1

2



b



(x − a)(b − x)|f ”(x)|dx.

a



Nếu hàm f ” ∈ L∞ [a, b] thì

1

2



b

a



b

1

(x − a)(b − x)|f ”(x)|dx

f” ∞

(x − a)(b − x)dx

2

a

f” ∞

(b − a)3 .

=

12



Vậy ta chứng minh được bất đẳng thức đầu trong (2.32).



(2.35)



22



Nếu hàm f ” ∈ Lp [a, b], thì theo bất ng thc Hăolder ta cú





b



(x a)(b x)|f (x)|dx

a



f



p







b



1

q



(x − a)q (b − x)q dx , p > 1,







1 1

+ =1

p q



a



(2.36)

Sử dụng biến đổi x = (1 − t)a + tb, t ∈ [0, 1] ta có

(x − a)q (b − x)q = (b − a)2q tq (1 − tq ), dx = (b − a)dt

Vì vậy

b



(x − a)q (b − x)q dx = (b − a)2q+1 B(q + 1, q + 1).

a



Từ bất đẳng thức (2.35) và (2.36) ta thu được phần hai của bất đẳng thức (2.32).

Nếu hàm f ” ∈ L1 [a, b] thì ta có

b



(x − a)(b − x)|f (x)|dx



max [(x − a)(b − x)] f ”

x∈[a,b]



1



a



(b − a)2

=

f ” 1.

4

Vậy ta thu được bất đẳng thức sau cùng trong (2.32).

Nhận xét 2.6. Giả sử hàm f xác định như trên và In là một phân hoạch của đoạn

[a, b]. Khi đó ta có

b



f (x)dx = AT (f, In ) + RT (f, In )



(2.37)



a



trong đó AT (f, In ) là cơng thức trapezoid và phần dư RT (f, In ) thỏa mãn bất đẳng

thức sau



1





f ” ∞ n−1

h3i ;



i=0



 12

1

1

1

q

2q+1

n−1

q

|RT (f, In )| ≤

(2.38)

f ” p [B(q + 1, q + 1)]

hi

,

i=0



2







 1 f ” 1 v 2 (h),

8

trong đó hi := xx+1 − xi (i = 0, . . . , n − 1) và v(In ) := max {hi }.

i=0,n−1



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×