Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi. Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi. Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn.

Tải bản đầy đủ - 0trang

M0 là điểm chung của hai đồ thị và tiếp tuyến

với hai đồ thị tại M0 trùng nhau.



Từ định nghĩa trên ta có kết quả sau :

Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi hệ sau

 f ( x ) = ax + b

có nghiệm.



 f '( x) = a

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x0 thuộc khoảng

(a; b). Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó. Khi đó

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại

M(x0; f(x0)).

Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có kết quả sau:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; f(x0)) có dạng

y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0 (trong đó y0 = f ( x0 ) )

II. CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp điểm là

M0(x0 ; y0).

Cách giải:

Tính f /( x0 )

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:



y = f /( x0 )(x - x0) + y0



Chú ý:

4



* Thuật ngữ thường dùng trong bài toán là từ “tại điểm M0(x0; y0)”, khi đó điểm

M0(x0; y0) phải thuộc đồ thị y = f(x), y0 = f(x0) và M0(x0 ; y0) chính là tiếp điểm.

* Trong một số bài toán chỉ cho biết một tọa độ của tiếp điểm ( hồnh độ hoặc tung

độ ) khi đó ta cần tìm tọa độ điểm M từ phương trình y0 = f(x0)

Ví dụ 1 Cho hàm số y = − x3 + 3x2 − 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(-1;2)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ là 2.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 0.

Bài giải:

Ta có y' = −3x2 + 6x



( )



a) Do y' −1 = −9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(-1;2) là

y = y'(−1)(x+ 1) + 2⇔ y = −9x − 7

b) Ta có y0 = y(2) = 2; y’(2) = 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ 2 là

y = y'(2)(x− 2) + 2 ⇔ y = 2

c) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số

3

2

3

2

Ta có y(x0) = 2 ⇔ − x0 + 3x0 − 2 = −2 ⇔ − x0 + 3x0 = 0⇔ x0 = 0∨ x0 = 3







Với x0 = 0. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = y'(0)(x− 0) − 2 ⇔ y = −2







Với x0 = 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = y'(3)(x− 3) − 2⇔ y = −9x + 25



Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = -2; y = -9x + 25.

5



x + 1 (C)

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

x− 1

giao điểm của (C) và trục Ox.

Ví dụ 2 Cho hàm số y =



Bài giải:

Tọa độ giao điểm của ( C) và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình



 x+1

 x=−1

 y=



x



1





 y= 0

 y= 0



Tọa độ giao điểm của (C) và trục Ox là M (-1; 0).

Ta có y =



−2 ,∀x ≠ 1⇒ y'(−1) = − 1

(x − 1)2

2



Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(-1;0) là

1

1

y = y'(−1)(x+ 1) + 0 ⇔ y = − x−

2

2

Bài tập tự luyện:

< 1 > Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) Tại giao điểm của đồ thi hàm số với trục tung.

b) Tại điểm có tung độ y = - 1

< 2 > Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1



a) y=− x3 + 2x2 −3x tại điểm có hồnh độ là nghiệm của phương trình y”(x) = 6



3



1

3

5

b) y=− x4 + x2 − tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

4

2

4



6



c)



y= 3x+ 1 biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

x− 3



( 7x− 11) .y'(x) = 10

Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc của

tiếp tuyến là k.

Cách giải:

( C1 ) Đưa về bài tốn tìm tiếp điểm:

Gọi M0 (x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số

Từ phương trình f ’(x0) = k ta tìm được x0, tính y0 = f(x0)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = k(x - x0) + y0

( C2 ) Sử dụng điều kiện tiếp xúc của đạo hàm:

Đường thẳng (d) có hệ số góc k có dạng: y = kx + b ( b ∈R) (* ).

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) thì



ìï f ( x)=kx +b

hệ : ïí

có nghiệm . Từ đó => b

ïïỵ f '( x)=k

Thay b vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý: Hệ số góc k cũng có khi cho dưới dạng gián tiếp như:

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b ( => k = a )

- Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b ( => k = -



1

)

a



- Tiếp tuyến tạo với chiều dương của 0x 1 góc α ( => k = tanα )

- Tiếp tuyến tạo với 0x 1 góc α ( => k = tanα )

7



- Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b một góc α ( sử dụng cơng thức

góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc k 1 , k 2 : tanα =



k2 − k1

=> hệ số góc của

1+ k2.k1



tiếp tuyến )

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x − 2 biết

hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

( Khối D năm 2014 )

Bài giải:

- Phương trình đường thẳng có hệ số góc 9 có dạng (t) y = 9x+b.

3

 x − 3x − 2 = 9x + b (1)

- Để (t) là tiếp tuyến của (C) thì hệ  2

có nghiệm.

3 x − 3 = 9 (2)



Giải (2) được x = ±2 .

Với x = 2 thì b = -18. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x - 18.

Với x = −2 thì b = 14. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - 9x + 14.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) = − x 4 − x 2 + 6 biết

1

tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x − 1.

6

( Khối D năm 2010 )

Bài giải:

Vì tiếp tuyến của cần tìm vng góc với đường thẳng y =



1

x − 1 nên hệ số góc của

6



tiếp tuyến bằng - 6.

Phương trình đường thẳng (t) có hệ số góc - 6 có dạng y = - 6x + b.

4

2

− x − x + 6 = −6x + b (1)

Để (t) là tiếp tuyến của (C) thì hệ 

có nghiệm.

3

−4 x − 2 x = −6 (2)



8



Giải (2) được x = 1 .

Với x = 1 thì b = 10 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −6 x + 10

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =



3x − 2

biết tiếp tuyến

x −1



tạo với trục hồnh một góc 450.

Bài giải:

Gọi hệ số góc của tiếp tuyến là k, tiếp tuyến tạo với Ox một góc 450 nên có

k = tan 450 = 1 ⇒ k = ±1 .

Do y ' =



−1

< 0, ∀x ⇒ k = −1 .

( x − 1) 2



Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

y '(x) = −1 ⇔



 x = 2 ⇒ y (2) = 4

−1

=



1



 x = 0 ⇒ y (0) = 2

( x − 1) 2





Phương trình tiếp tuyến tại x = 2 là y = −1( x − 2 ) + 4 hay y = − x + 6.

Phương trình tiếp tuyến tại x = 0 là y = −1( x − 0 ) + 2 hay y = − x + 2 .



x+2

. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm

2x + 3

số biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB cân đỉnh O.

Ví dụ 4: Cho hàm số y =



(Khối A năm 2009)

Bài giải:

Tam giác OAB cân đỉnh O suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là ±1 .



x +2 

3

Nếu M  x0 ; 0

÷, (x0 ≠ − ) là tiếp điểm thì hệ số góc của tiếp tuyến là

2x + 3





y '(x 0 ) = −



0







2



1

. Do y '(x 0 ) < 0 ⇒ y '(x 0 ) = − 1 .

(2 x 0 + 3) 2



9



⇔−



1

= −1 ⇔

(2 x 0 + 3) 2



 2 x0 + 3 = 1

 2 x + 3 = −1 ⇔

 0



 x0 = −1

 x = −2

 0



• Với x 0 = − 1 ⇒ y(x 0 ) = 1. Phương trình tiếp tuyến có dạng y = − x ( loại ).

• Với x 0 = − 2 ⇒ y(x 0 ) = 0. Phương trình tiếp tuyến có dạng y = − x − 2 .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = − x − 2 .

Bài tập tương tự:

< 1 > Cho hàm số y = x 3 - 3x2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: 5y - 3x + 4 = 0.

< 2 > Cho đồ thị (C): y = x 3 - 3x2 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp

tuyến vng góc với đường thẳng: y =

< 3 > Cho hàm số y =



1

x.

3



x −3

(C), giả sử (C) cắt Ox, Oy tại A và B. Hãy viết phương

2x − 1



trình tiếp tuyến với (C) sao cho tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng AB.

< 4 > Cho hàm số



y=



x +1

(C) . Tìm

x- 3



tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến của đồ thị



hàm số ( C ) với trục hoành , biết tiếp tuyến đó vng góc với đường y = x + 2001

< 5 > Cho hàm số y = x3 - 3x2 +1 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y = 9x + 2001

x+3

biết tiếp tuyến cắt

2x + 2

Ox, Oy tại A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ.

< 6 > Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =



Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đó thỏa

mãn điều kiện K .



10



Cách giải : Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì phương trình tiếp tuyến tại

điểm M(x0; f(x0)) là: y – y0 = f ’( x0 )(x - x0).

Dựa vào điều kiện bài tốn ta tìm được hồnh độ tiếp điểm x 0. Từ đó suy ra tiếp

tuyến cần tìm.

x +1

( C ) , biết rằng

x+2

tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt tại A, B

sao cho tam giác IAB cân, với I là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Bài giải:



Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =



Ta có y ' =



1

> 0, ∀ x ≠ − 2.

( x + 2) 2





x +1 

Nếu M  x0 ; 0 ÷ , (x0 ≠ −2) là tiếp điểm thì phương trình tiếp tuyến cần tìm có

x +2





dạng: y =



0







x +1

1

x − x0 ) + 0

(d )

2 (

x

+

2

x

+

2

0

( 0 )



Tiệm cận đứng của ( C ) là đường thẳng x = -2.

Tiệm cận ngang của ( C ) là đường thẳng y = 1.

Giao hai đường tiệm cận là I( - 2; 1 ).

Tọa độ giao của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng của (C) là nghiệm của hệ



x0 + 1 

1



x

y

=

x



x

+

(

)

y= 0



0

x 

2





x0 + 2 ⇒ 

x0 + 2 ⇒ A  − 2; 0 ÷

( x0 + 2)



x0 + 2 





 x = −2

x

=



2





Tọa độ giao của tiếp tuyến (d) và tiệm cận ngang của (C) là nghiệm của hệ



11



x0 + 1

1



y

=

x



x

+

(

)

0

2



x0 + 2 ⇒  y = 1

⇒ B ( 2 x0 + 2;1)

( x0 + 2)



 x = 2 x0 + 2



y =1

Do tam giác IAB cân tại định I nên có IA = IB

2



 x



⇔  0 − 1÷ =

 x0 + 2 



( 2 x0 + 4 )



2







4



( x0 + 2 )



2



 x0 + 2 = 1

2

= 4 ( x0 + 2 ) ⇔ 



x

+

2

=



1

 0



 x0 = − 1



 x0 = − 3



Với x0 = - 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = x + 1

Với x0 = - 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = x + 5.

Ví dụ 2: Cho hàm số y =



1− x

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ

2x + 1



3

 1 1

thị (C) biết tiếp tuyến cách điểm I  − ; − ÷ một khoảng là

.

10

 2 2



Bài giải:

Ta có y ' = −



3

1

,∀x ≠ − .

2

(2 x + 1)

2





1 − x0 

1

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M  x0 ;

÷, (x0 ≠ − ) có dạng:

2x + 1





y=−



3



( x − x0 ) +



0



2







1 − x0

2 x0 + 1



( 2 x0 + 1)

2

⇔ 3x + ( 2 x0 + 1) y + 2 x02 − 4 x0 − 1 = 0 (∆ )

2



Khoảng cách từ I đến (∆ ) là d ( I , ∆ ) =



3 2 x0 + 1

9 + ( 2 x0 + 1)



4



. Ta có



12



d ( I,∆) =



3 2 x0 + 1

3

3



=

4

10

10

9 + ( 2 x0 + 1)



⇔ ( 2 x0 + 1) − 10 ( 2 x0 + 1) + 9 = 0

4



2



 x0 = 0

 ( 2 x0 + 1) = 1  x = − 1

0

⇔

⇔

2

 ( 2 x + 1) = 9  x0 = 1

 0



 x0 = − 2

2



Với x0 = 0. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − 3x + 1.

Với x0 = -1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − 3x − 5.



1



1

3



Với x0 = 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − x + .

3



1



5

3



Với x0 = -2. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − x − .

3



Ví dụ 3:



2x −1

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)

x −1

biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho OA = 4OB.

Bài giải:



Cho hàm số y =



Ta có y ' = −



1

> 0, ∀ x ≠ 1.

( x − 1)2





2 x −1 

Nếu M  x0 ; 0 ÷, (x0 ≠ 1) là tiếp điểm thì phương trình tiếp tuyến cần tìm có

x0 − 1 





dạng:



y=−



2x − 1

1

x − x0 ) + 0

(d )

2 (

x



1

x



1

0

( 0 )



2

Tọa độ giao của tiếp tuyến ( d) với Ox là A ( 2 x0 − 2 x0 + 1;0 )



13







Tọa độ giao của tiếp tuyến ( d) với Oy là B  0;





2 x0 2 − 2 x0 + 1 

÷

2

x



1

( 0 ) ÷



OA = 4OB





( 2x



0



2



− 2 x0 + 1) = 4

2



( 2x



2



0



− 2 x0 + 1)



( x0 − 1)



4



2



 x0 − 1 = 2

⇔



x



1

=



2

 0



 x0 = 3



 x0 = − 1



1



5

4



Với x0 = - 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = − x + .

4



1



Với x0 = 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = − x +

4



13

.

4



Nhận xét:

• Bài tốn trên còn có thể cho dưới dạng tìm tọa độ điểm M trên (C) sao

cho tiếp tuyến tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho OA = 4OB

Với câu hỏi trên sau khi tìm được x0 thay vào tọa độ M sẽ ra kết quả bài tốn.

• Cách làm trên còn có thể áp dụng cho các bài tốn tìm tọa độ điểm M

trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M thỏa mãn điều kiện cho

trước.

Ví dụ 4: Cho hàm số y =



2x

. Tìm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị (C)

x +1



tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là



1

.

4



(Khối D năm 2007)

Bài giải:

2



Ta có y ' = ( x + 1)2 , ∀x ≠ −1.



14



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi. Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×