Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Bài toán tính góc.

Bài toán tính góc.

Tải bản đầy đủ - 0trang

TRƯƠNG THPT ……………

Chú ý: Khi xác định góc giữa các đối tượng thì học sinh thường lúng túng trong việc

xác định góc giữa hai mặt phẳng. Để xác định góc gữa hai mặt phẳng ta có thể làm

theo hai cách:

Cách 1: Trên (P) hoặc (Q) có sẵn (hoặc dễ

dàng tìm được) một điểm mà có thể xác định

được hình chiếu trên mặt phẳng còn lại.

 B1: Xác định giao tuyến d của (P) và

(Q) (thơng thường là đã có sẵn)

 B2: Chọn một điểm A trên (Q) và xác

định hình chiếu H của A lên (P).

 B3:Từ H kẻ HB vng góc với d (

B �d ) thì góc giữa hai mặt phẳng là



ABH .

Cách 2: Từ một điểm nào đó trên giao tuyến của

hai mặt phẳng ta kẻ hai đường thẳng cùng vng

góc với giao tuyến và nằm trên hai mặt phẳng.

Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai mặt

phẳng.

3. Thể tích khối chóp

a. Khối chóp có một cạnh bên vng góc với đáy.

Đây là khối chóp cơ bản và thường dễ dàng nhất khi tính thể tích. Ở khối chóp

này cạnh bên chính là đường cao. Các giả thiết của bài toán sẽ đủ để chúng ta

có thể tính được độ dài đường cao.

Ví dụ 1. (THPT QG 2015)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với

mặt phẳn (ABCD) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0. Tính

theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.

Lời giải

*Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ hình vng đáy, vẽ đường cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng đứng

 Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu của nó

lên (ABCD)

- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.

* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a SA  ( ABCD) � AC là hình chiếu của SC lên mp

S

�  45o ,

(ABCD) � (�

SC ,( ABCD))  (�

SC , AC )  SCA

+ Suy ra SA = AC = 2 a

2

+ SABCD  a

+ VS . ABCD



H



1

1

2a 3

2

 SA.S ABCD 

2a.a 

3

3

3



A



* Kẻ đường thẳng d qua B và song song

với AC

Gọi M là hình chiếu vng góc của A lên d

H là hình chiếu vng góc của A lên SM

…………………



10



M



D



d

B



C



TRƯƠNG THPT ……………

�SA  BM

� AH  BM � AH  ( SBM )

�MA  BM



Ta có �



Do đó: d(AC, SB)=d(A,(SBM))=AH

1

1

1

5

 2

 2

2

2

AH

SA

AM

2a



Tam giác SAM vng tại A, có đường cao AH nên

. Vậy d(AC, SB) = AH =



10.a

.

5



Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại B, AB = a, �

ACB  600 ,

cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 0

Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng

 Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó

lên (ABC)

 Lời giải:

�  45o

� (�

* Ta có :AB = a , AB  hc( ABCSB

SB, ( ABC ))  (�

SB, AB )  SBA

)



*  ABC vng tại B có AB = a, �

ACB  600

� BC 



S



AB

a

a 3





0

tan 60

3

3



2

� SABC  1 BA.BC  1 .a. a 3  a . 3

2

2

3

6



*  SAB vng tại A có AB= a, B  450

� SA  AB.tan 45o  a

1

1 a2. 3

a3. 3

* VS . ABC  .S ABC .SA  .

.a 

3

3 6

18



A



C



B



Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh a; SA vng góc với

mp(ABCD); (P) là mặt phẳng đi qua A, vng góc với AC cắt SB, SC, SD lần lượt tại

B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và SA’B’C’D’, biết SC hợp với mặt

phẳng ABCD một góc 450.

Lời giải

- SC hợp với (ABCD) một góc 45 0 nên SA=AC=

1

a3 2

.

a 2 � VS . ABCD  a 2.a 2 

3

3

1

3

 2S AB ' C ' .



- Do SC  (AB’C’D’) nên VS . AB 'C ' D '  SC '.S AB 'C ' D '

Do tính đối xứng nên S AB 'C ' D '



�AB '  SB

� AB '   SBC  � AB '  B ' C '

�AB '  BC



Mà �



…………………



11



TRƯƠNG THPT ……………

AB 2 . AS 2

2a 4 2a 2

a 6

;





� AB ' 

2

2

2

AB  AS

3a

3

3

AC

2a 2 a 3

AC ' 

 a � B 'C '  a2 



.

3

3

2



Ta có AB '2 



1

1 a2 2 a2 2

1

a 2 2 a3 2

. Vậy VS . AB ' C ' D '  . 2a 2  a 2 .

.

AB '.B ' C ' 





2

2 3

6

3

3

9

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại B, AB = a 3 , BC = a,



Nên S AB 'C ' 



cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC)

một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC

S



Giải

 Sai lầm của học sinh:

 Gọi M là trung điểm BC

 Ta có AM  BC , SM  BC



C





�  60o

� ((

SBC ), ( ABC ))  (�

SM , AM )  SMA



60



A



M

B



(Hình vẽ sai)

 Lời giải đúng:



* Ta có : AB = a 3 , (SBC) � (ABC) = BC

AB  BC ( vì  ABC vng tại B)



�  60o

� ((

SB  BC ( vì AB  hc( ABCSB

SBC ),( ABC ))  (�

SB, AB)  SBA

) )

S



*  ABC vng tại B có AB = a 3 ,BC =a

2

� SABC  1 BA.BC  1 .a 3.a  a . 3

2

2

2

�  600

*  SAB vuông tại A có AB= a, B

� SA  AB.tan 60o  3a



A



C



60



1

3



B



Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a,

AD = 2a; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và

(ABCD) bằng 600. Tính thể tích hình chóp.

Lời giải:

Ta có AC  CD nên CD  (SAC) suy ra

�  600 � SA  AC 3  a 6 .

SCA

1

3



1

3



1

2



Vậy VS . ACBD  SA.S ABCD  a 6. 3a.a 



…………………



1 a2 . 3

a3 . 3

.3a 

3 2

2



*: VS . ABC  .S ABC .SA  .



12



a3 6

.

2



TRƯƠNG THPT ……………

Bài tập tự giải

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o.

Tính thể tích hình chóp .



Đs: V =



a3 2

6



Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng

tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối

Đs: V 



chóp SABC .



h3 3

3



Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng tại A và SB vng góc với đáy ABC

biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o

.Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp.

3

a

3

Đs: V 

27



Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD  (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm,

BC = 5 cm.

1) Tính thể tích ABCD.

Đs: V = 8 cm 3

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).



Đs: d =



12

34



Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc



BAC  120o , biết SA  (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45 o . Tính thể tích



a3

Đs: V 

9



khối chóp SABC.



b. Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy.

Khối chóp loại này có đường cao chính là đường cao của mặt bên vng góc với

đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a. Mặt bên

SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, Tính thể tích

khối chóp SABCD.

S



Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

VSAB đều � SH  AB

mà (SAB)  (ABCD) � SH  (ABCD)

Vậy H là chân đường cao của khối chóp.



a 3

2

3

1

a 3

suy ra V  SABCD .SH 

3

6



Ta có tam giác SAB đều nên SA =



D



A

B



H

a



C



Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều , BCD là tam giác vuông cân tại

D , (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD.

…………………



13



TRƯƠNG THPT ……………

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có tam giác ABC đều nên AH  (BCD) , mà (ABC) 

(BCD) � AH  (BCD) .

Ta có AH  HD � AH = AD.tan60o = a 3



a 3

3

VBCD � BC = 2HD = 2a 3 suy ra

3

1

11

a3 3

V = SBCD .AH  . BC.HD.AH 

3

32

9



A



a



& HD = AD.cot60o =



B

60



H



o



D



C



Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, có BC = a.

Mặt bên SAC vng góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc

450. Tính thể tích khối chóp SABC.

Lời giải:

S

+ Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), vì mp(SAC)

 mp(ABC) nên SH  mp(ABC).

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI 

�  45o

AB, SJ  BC, theo giả thiết �

SIH  SJH

Ta có: SHI SHJ  HI  HJ nên BH là

H

đường phân giác của VABC ừ đó suy ra H là trung

A

45

C

điểm của AC.

+ HI = HJ = SH =



a

1

a3

� VSABC= S ABC .SH 

2

3

12



I



J



B



Bài tập tự giải.

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC).

1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.

2) Tính thể tích khối chóp SABC.



Đs: V 



a3 3

24



Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân tại A với AB = AC = a biết tam

giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC)

hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC.

Đs: V 



a3

12





Bài 3: Cho hình chóp SABC có �

BAC  90o ;ABC

 30o ; SBC là tam giác đều cạnh



a và (SAB)  (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.



…………………



14



Đs: V 



a2 2

24



TRƯƠNG THPT ……………

Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao

SH = h và (SBC)  (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích

Đs: V 



hình chóp SABC.



4h3 3

9



Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt

phẳng vng góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.

Đs:



c. Thể tích khối chóp đều.

Khối chóp đều là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều;

đường cao của khối chóp chính là đường nối đỉnh với tâm của đáy.

a. Khối tứ diện đều:



+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau



A



+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO  (BCD)

D



B



O



S



M

C



b. Khối chóp tứ giác đều



+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau

A



+ Đa giác đáy là hình vng tâm O

+ SO  (ABCD)



D



B



O

C



Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng

minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính

thể tích chóp đều SABC .

S

Lời giải:

Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA =

2a

OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

C

Ta có tam giác ABC đều nên

A

AO =



2

2a 3 a 3

AH 



3

3 2

3



VSAO � SO2  SA 2  OA 2 

� SO 



a



O



11a

3



B



a 11

1

a3 11

.Vậy V  SABC .SO 

3

12

3



Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a.

1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.

…………………



H



2



15



TRƯƠNG THPT ……………

2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

Lời giải:

Dựng SO  (ABCD)

Ta có SA = SB = SC = SD nên

OA = OB = OC = OD � ABCD là hình thoi có

đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vng .

Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên VASC

a 2

vuông tại S � OS 

2

3

� V  1 S ABCD .SO  1 a 2 a 2  a 2

3

3

2

6

Vậy V 



S



C



D

O

A



a



B



a3 2

6



Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với đáy lớn CD = 2a, AB =

BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết hình chóp có các cạnh bên bằng

nhau và SA hợp với (ABCD) một góc 600.

Lời giải

Do SA=SB=SC=SD nên ABCD là một đa giác nội tiếp đường tròn. Suy ra ABCD là

hình thang cân.

Gọi O là trung điểm CD, ta có các tam giác OAB, OBC, OAD là những tam giác đều

cạnh a. Do đó O là tâm của hình thang ABCD và SO   ABCD  .

a 2 3 3a 2 3

Suy ra S ABCD  3S OAB  3.

.



4

4

�  600 � SO  OA.tan 600  3 3.

Theo giả thiết suy ra SAO

1

3



1

3



Vậy VS . ABCD  SO.S ABCD  .a 3



3a 2 3 3a 3

.



4

4



Bài tập tự giải

Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc

Đs: V 



60o . Tính thể tích hình chóp.



3a3

16



Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên

là 45o.

1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .



Đs: SH =



2) Tính thể tích hình chóp SABC.



Đs: V 



a3

6



a

3



Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một

Đs: V 



góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC.



…………………



16



a3 3

24



TRƯƠNG THPT ……………

Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .

Đs: V 



Tính thể tích hình chóp.



h3 3

3



Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh

bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.



Đs: V 



h3 3

8



B. Phương pháp gián tiếp tính thể tích khối đa diện.

Phương pháp gián tiếp nghĩa là chúng ta tính thể tích khối đa diện thơng qua

 Phép phân chia khối đa diện thành những khối cơ bản

 Bổ sung khối đa diện thành khối đa diện cơ bản

 So sánh về thể tích khối đa diện với khối đa diện đã biết.

Các kết quả sau đây được sử dụng nhiều:

1. Cho lăng trụ tam giác. Mọi tứ diện có bốn đỉnh lấy ra từ các đỉnh của lăng

trụ đều có thể tích bằng



1

thể tích lăng trụ.

3



2. Mọi tứ diện đều có thể bổ sung thành một lăng trụ tam giác và thể tích của

lăng trụ đó bằng 3 lần thể tích của tứ diện



3. Mọi tứ diện đều có thể bổ sung thành

một hình hộp và thể tích của hình hộp

đó bằng 3 lần thể tích lăng trụ.



4. Nếu hai hình chóp (lăng trụ) có chung đáy

thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số

đường cao. Nếu hai hình chóp (lăng trụ)

có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích

của chúng bằng tỉ số diện tích hai đáy.

5. Cho hình chóp tam giác SABC. A’, B’, C’

lần lượt nằm trên SA, SB, SC. Thế thì ta có

VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '



.

.

.

VS . ABC

SA SB SC



…………………



17



TRƯƠNG THPT ……………



Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh được. Điều quan trọng là cần

nắm được để đưa ra định hướng giải quyết cho mỗi bài tốn.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC

vng cân ở B, AC  a 2 , SA vng góc với



S



đáy ABC , SA  a , Gọi G là trọng tâm tam giác

SBC, mặt phẳng (  ) qua AG và song song với BC

cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối

chóp S.AMN

Lời giải:



1

S ABC .SA và SA  a

3

+ ABC cân có : AC  a 2 � AB  a

1

1 1

a3

� S ABC  a 2 Vậy: VSABC  . a 2 .a 

2

3 2

6



C



G



A



Ta có: VS . ABC 



Gọi I là trung điểm BC, do G là trọng tâm, ta có :



N



M

I

B



SG 2



SI 3



SM SN SG 2







SB SC SI 3

3

SM SN 4



.

 . Vậy: VSAMN  4 VSABC  2a

SB SC 9

9

27



(  )// BC � MN// BC �



VSAMN

VSABC

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA =

a 2 . Gọi E là trung điểm SC, (P) là mặt phẳng qua AE song song với BD cắt SB, SD

lần lượt tại I, K. Tính thể tích khối chóp S.AIMK.

Lời giải:

Gọi O là tâm của ABCD, G là giao điểm của AE với SO, suy ra G là trọng tâm tam

giác SAC và SBD. Do (P) song song với BD nên





KI / / BD �



SI SK SG 2





 .

SB SD SO 3



…………………



18



TRƯƠNG THPT ……………

a2 a 6

1 a 6 2 a3 6



� VS . ABCD  .

.a 

.

2

2

3 2

6

SA SI SE 1

1



. .

 � VS . AIE  VS . ABC .

SA SB SC 3

3

SA SK SE 1

1



.

.

 � VS . AKE  VS . ADC

SA SD SC 3

3



Ta có SO  SA2  OA2  2a 2 

VS . AIE

VS . ABC

VS . AKE

Tương tự

VS . ADC



Mặt khác



Mà dễ thấy VS . ABC  VS . ADC � VS . AIEK  VS . AIE  VS . AKE 



1

1

a3 6

.

 VS . ABC  VS . ADC   VS . ABCD 

3

3

18



Ví dụ 3. Cho tứ diện gần đều ABCD có AB=CD=a; AC=BD=b; AD=BC=c. Tính thể

tích tứ diện.

Lời giải:

Gọi M, N lầ lượt là trung điểm AB và CD. Do

tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau

nên bốn mặt của tứ diện là những tam giác

bằng nhau. Suy ra MC  MD � MN  CD.

Tương tự ta cũng có MN  AB. Vậy MN là

đoạn vng góc chung của AB và CD.

Bổ sung tứ diện thành hình hộp

AC’BD’.A’CB’D

(hình

vẽ).

Ta



AC’BD’.A’CB’D là hình hộp chữ nhật. Đặt

D’A = x, D’B = y, D’D = z ta có

�2 a 2  c2  b 2

�x 

2

2

2

2

�x  y  a



2

�2

� 2 a  b2  c 2

2

2

� VAC ' BD '. A 'CB ' D 

�y  z  b � �y 

2

�z 2  x 2  c 2





�2 c 2  b2  a 2

�z 

2



1

2 a 2  c2  b2 a 2  b2  c2

Vậy suy ra VABCD 

12











�a 2  c 2  b 2 �

�a 2  b 2  c 2 �

�c 2  b 2  a 2 �













2

2

2















c



2



Ví dụ 4.(ĐHA11)



Lời giải:





 SAB    ABC 



� SA   ABC 

 SAC    ABC 





Có �



do đó góc giữa



�  600.

(ABC) và (SBC) là SBA

Suy ra SA  AB.tan 600  2a 3 .



…………………



19







 b2  a 2 .



TRƯƠNG THPT ……………

1

3



1

2



Vậy VSABC  2a 3. 4a 2 



4a 3 3

3 4a 3 3

� VSBCNM  .

 a 3 3. .

3

4

3



Ví dụ 5.(ĐHD10) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên

SA =a. HÌnh chiếu vng góc của S lên mp(ABCD) là điểm H thuộc AC và AH=



AC

4



. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. CMR M là trung điểm SA và tính thể tích

khối tứ diện SMBC theo a.

Lời giải:

Ta có SH  SA2  AH 2  a 2 



a 2 a 14

.



8

4



Suy

SC  SH 2  HC 2 



ra

7 a 2 9a 2



a 2

8

8



Vậy tam giác SAC cân tại C nên M là trung

điểm SA.

Ta có

VS .MBC SM 1

1

1 1

1

a 3 14



 � VS .MBC  VS . ABC  . .SH . a 2 

.

VS . ABC

SA 2

2

2 3

2

12



Ví dụ 6.(ĐHA10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Gọi

M, N lần lượt là trung điểm AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH

vng góc với (ABCD) và SH= a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính

khoảng cách giữa DM và SC theo a.

Lời giải:

Ta có



SCDNM  S ABCD  S AMN

1

VS .CDNM  SH .SCDNM

3



a 2 a 2 5a 2

 S BCM  a  



Vậy

8

4

8

1

5a 2 5a 3 3

.

 a 3.



3

8

24

2



Gọi K là hình chiếu của H lên SC.

Ta có DM  CN



…………………



20



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Bài toán tính góc.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×