Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Bài tập minh hoạ:

Bài tập minh hoạ:

Tải bản đầy đủ - 0trang

Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

5



1



3



dx

1/ ∫

4 .

0 (x − 4)



2/ ∫ x( x 2 − 1) 2 dx .

−2



π

2



1



− x 3 .e x + x 2

dx

x3

−1



3/ ∫ 14 dx

0 cos x



4/ ∫



π



Bài 2



Tính tích phân



I=



dx



∫ 1 + sin x

0



1+ t2

2dt

x

1

* Biến đổi sai: Đặt t = tg thì dx =

;

=

2

1 + t 2 1 + sin x (1 + t ) 2





2dt

dx =

−2



∫ 1 + sin x (1 + t ) 2 = ∫ 2(t + 1) d(t+1) =



−2

dx

⇒ I= ∫

= tg x + 1

1 + sin x

0

2

π



π

0



2 +c

t +1



−2

2

= tg π + 1 - tg 0 + 1

2



π

2



do tg khơng xác định nên tích phân trên không tồn tại

* Nguyên nhân:

Đặt t = tg



x

x

x∈ [ 0; π ] tại x = π thì tg khơng có nghĩa.

2

2



* Lời giải đúng:



x π

d − 

dx

dx

π

2 4

x π

 −π

=∫ 

= tg  −  π0 = tg − tg 

I= ∫

=∫

π

1 + sin x

4



x π

2 4

 4

0

0

1 + cos x −  0 cos 2  − 

2



2 4

π



π



π





 = 2.





* Chú ý :



Giáo viên: Võ Tố Như



*



Trường THPT Số 1 Quảng Trạch



‫٭‬



7



Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục

và có đạo hàm liên tục trên [ a; b] .

*Một số bài tập tương tự:

Tính các tích phân sau:

π



π



dx

1/ ∫

sin x

0



dx

1 + cos x

0



2/ ∫



4



Bài 3



Tính I =







x 2 − 6x + 9 dx



0



* Biến đổi sai:

4



I=





0



4



x 2 − 6x + 9 dx = ∫

0



( x − 3) 2 dx = ∫ ( x − 3) d ( x − 3) = ( x − 3)

4



2



0



2

4

0



=



1 9

− = −4

2 2



* Nguyên nhân :

Phép biến đổi ( x − 3) = x − 3 với x ∈ [ 0;4] là không tương đương.

2



* Lời giải đúng:

4



I=







x 2 − 6x + 9 dx



0



4



4



3



4



0



0



0



3



2

= ∫ ( x − 3) dx = ∫ x − 3 d ( x − 3) = ∫ − ( x − 3) d ( x − 3) + ∫ ( x − 3) d ( x − 3)



2

(

x − 3)

=-



2



3

0



2

(

x − 3)

+



2



4

3



=



9 1

+ =5

2 2



* Chú ý :

2n



( f ( x ) ) 2n



= f ( x)



( n ≥ 1, n ∈ N )



Giáo viên: Võ Tố Như



*



Trường THPT Số 1 Quảng Trạch



‫٭‬



8



Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

b



b



2n

I = ∫ ( f ( x) )



∫ f ( x ) dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [ a; b]



=



2n



a



rồi dùng tính chất tích



a



phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.

* Một số bài tập tương tự:

π



1/ I =



3







1 − sin 2 x dx ;



2



1

 2



 x + 2 − 2  dx

x







2/ I =



0



x 3 − 2 x 2 + x dx



0







3/ I =







1

2



π

3



4/ I =





π



tg 2 x + cot g 2 x − 2 dx



6



0



Bài 4



Tính



I=



∫x



−1



2



dx

+ 2x + 2



* Biến đổi sai:

0



I=



d ( x + 1)



∫ ( x + 1)



−1



2



+1



= arctg ( x + 1)



0

−1



= arctg1 − arctg 0 =



π

4



* Nguyên nhân sai lầm :

Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời

* Lời giải đúng:

Đặt x+1 = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2 t ) dt

với x=-1 thì t = 0

với x = 0 thì t =



Khi đó I =



π

4





0



π

4



(1 + tg t )dt =

2



tg t + 1



π

4



∫ dt = t

0



Giáo viên: Võ Tố Như



π

4

0



=



π

4



*



Trường THPT Số 1 Quảng Trạch



‫٭‬



9



Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

* Chú ý :

Các khái niệm arcsinx , arctgx khơng trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học

sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham

khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000

đến nay do các khái niệm này khơng có trong sách giáo khoa nên học sinh khơng



b



được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng



1



∫1+ x



2



dx ta



a



dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ;

b





a



1

1− x2



dx thì đặt x = sint hoặc x = cost



*Một số bài tập tương tự:

8



1/ I =





4



1



2x 3 + 2x + 3

dx

2/ I = ∫

x2 +1

0



x 2 − 16

dx

x



1



3/ I =



3





0



x 3 dx

1 − x8



Bài 5



Tính



I=



1

4





0



x3

1 − x2



dx



* Biến đổi sai: Đặt x= sint , dx = costdt







x3

1 − x2



dx = ∫



sin 3 t

dt

cos t



Đổi cận: với x = 0 thì t = 0



Giáo viên: Võ Tố Như



*



Trường THPT Số 1 Quảng Trạch



‫٭‬



10



Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

với x=



1

thì t = ?

4



* Ngun nhân :

Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 − x 2 thì thường đặt x = sint nhưng đối với



tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =



1

khơng tìm được chính

4



xác t = ?

* Lời giải đúng:

Đặt t = 1 − x 2 ⇒ dt =



x

1 − x2



dx ⇒ tdt = xdx



Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =

1

4



I =∫

0



15

4



x3

1− x



2



15

4



1



15

4



=



dx



(1 − t )tdt = (1 − t )dt =  t − t 







t

3 



2



1

thì t =

4



2



3



1



15

4



1



 15 15 15  2 33 15 2

− =

= 





 3

4

192

192

3







* Chú ý : Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 − x 2 thì thường đặt x = sint hoặc

gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tgt nhưng cần chú ý đến cận của

tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo

phương pháp này còn nếu khơng thì phải nghĩ đếnphương pháp khác.

* Một số bài tập tương tự:



Giáo viên: Võ Tố Như



*



Trường THPT Số 1 Quảng Trạch



‫٭‬



11



Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

7



1/ I =



2



x3







1 + x2



0



2/ I =



dx



∫x

1



dx

x2 + 1



1



Bài 6



Tính



x2 −1

dx

I= ∫

4

−1 1 + x



1 



1

1 − 2 

1

2

x 



x =

dx

* Biến đổi sai: thường mắc: I = ∫ 1



2

2

1





−1



1

+x

x +  − 2

x2

x



1





Đặt t = x+ ⇒ dt = 1 −

1

x







1

x2



1−





dx





Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;

2



2



dt

1

1



)dt =(ln t + 2 -ln t − 2 )

I=∫ 2

= ∫(

2 t− 2

−2 t − 2

−2 t +



= ln



2+ 2

2− 2



− ln



−2+ 2

−2− 2



= 2 ln



2

−2



= ln



t+ 2

t− 2



2

−2



2+ 2

2− 2



1

1− 2

x2 −1

x

=

* Nguyên nhân :

là sai vì trong [ − 1;1] chứa x = 0 nên không thể

4

1

1+ x

2

+

x

x2



chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được

* Lời giải đúng:

xét hàm số F(x) =



F’(x) =



1

2 2



ln



1

2 2



x2 − x 2 + 1

x2 + x 2 + 1



(ln



x2 − x 2 + 1

x2 + x 2 +1



Giáo viên: Võ Tố Như



*



)′ =



x2 −1

x4 +1



Trường THPT Số 1 Quảng Trạch



‫٭‬



12



Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

1



Do đó I =



x2 −1

1

x2 − x 2 +1

dx

ln

=

∫ 4

2 2 x2 + x 2 + 1

−1 1 + x



1

−1



=



1

2



ln



2− 2

2+ 2



*Chú ý :Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng

trong đoạn lấy tích phân phải khơng chứa điểm x = 0 .



PHẦN III:KẾT LUẬN



Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý

nghĩa rất lớn trong q trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh

nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về

vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ

động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ được kiến

thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các

trường đại học, cao đẳng , THCN.



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Phương pháp giải tốn Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB

Trẻ )

2. Phương pháp giải tốn Tích phân (Trần Đức Hun – Trần Chí Trung – NXB

Giáo Dục)



Giáo viên: Võ Tố Như



*



Trường THPT Số 1 Quảng Trạch



‫٭‬



13



Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

3. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Đồn Quỳnh Chủ biên – NXB GD – 2008)

4. Phương pháp giải tốn Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà

Nội – 2005)

5. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương và Nguyễn

Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)



MỤC LỤC



Trang



PHẦN I : MỞ ĐẦU

I. Đặt vấn đề



1



II. Cơ sở lý luận



1



III. Cơ sở thực tiễn



2



Giáo viên: Võ Tố Như



*



Trường THPT Số 1 Quảng Trạch



‫٭‬



14



Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

PHẦN II : NỘI DUNG

I. Nội dung cụ thể



3



PHẦN III: KẾT LUẬN

I. Kết luận



11



II. Tài liệu tham khảo



11



Giáo viên: Võ Tố Như



*



Trường THPT Số 1 Quảng Trạch



‫٭‬



15



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Bài tập minh hoạ:

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×