Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học

Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học

Tải bản đầy đủ - 0trang

Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



Năm học 2012-



Theo giả thiết thì x + y = 7. Số được viết theo thứ tự ngược

lại là



yx = 10y + x



.



Theo đầu bài ta có hệ phương trình :

ìï x + y = 7

ï

í

ïï 10y + x - (10x + y) = 27



ìï x + y = 7

Rút gọn hệ này ta được : ïí

ïï y - x = 3





Cộng theo từng vế ta coù 2y = 10 hay y = 5. Suy ra x = 7 - 5 =

2.

Giá trò này thõa mãn điều kiện đã nêu.

Thử lại : 52 - 25 = 27

Vậy số phải tìm là 25.

Ví dụ 2: Một tam giác có cạnh huyền bằng 25cm và tổng

hai cạnh góc vuông bằng 35cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc

vuông.

Giải :

Gọi x (cm) là độ dài một cạnh góc vuông, x > 0. Cạnh

góc vuông kia dài 35 - x (cm). Theo đònh lý Pitago ta có phương

trình :

x2 + (35 - x)2 = 252

hay



x2 + 1225 - 70x + x2 = 625⇔x2 - 35x - 300 = 0

∆ = 1225 - 1200 = 25 ;



D = 5.



Phương trình có hai nghiệm: x 1 = 20 và x2 = 15. Hai giá trò

này thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại : 20 + 15 = 35 vaø 20 2

+ 152 = 400 + 225 = 625 = 252.

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là

15cm.



20cm và



Bài tập đề nghò :

1- Nhà trường dự đònh làm một sân tập thể dục hình chữ

nhật diện tích 350m 2. Tính kích thước của sân biết rằng nếu

giảm chiều dài 10m và tăng chiều rộng lên 4m thì diện tích

vẫn không đổi.



www.giaoducviet.net Trang 17



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



Năm học 2012-



2- Trong một tam giác vuông, đường cao thuộc cạnh huyền

dài 12cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 7cm.

Tính độ dài cạnh huyền.

Loại 4 : Bài toán có nội dung vật lý, hóa học

Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức,

đònh luật của vật lý, hóa học liên quan đến những đại lượng

có trong đề toán.

Ví dụ 1 : Dùng hai lượng nhiệt, mỗi lượng bằng 168kJ để

đun nóng hai khối nước hơn kém nhau 1kg thì khối nước nhỏ

nóng hơn khối nước lớn 20C. Tính xem khối nước nhỏ được đun

nóng thêm mấy độ?.

Phân tích : Công thức tính nhiệt lượng là : Q = cm (t2 - t1)

trong đó nhiệt độ được tăng thêm là t 2 - t1, suy ra khối lượng

của nước là



m=



Q

c(t - t ) , biết rằng nhiệt dung riêng của

2 1



nước là: c =4,2 kJ/kg.độ.

Giải: Giả sử khối nước nhỏ được đun nóng x độ(x>0). Như

vậy khối lượng nước

nhỏ là:



m=



Q

168

=

(kg) , vì khối nước lớn được đun nóng

c(t - t )

4

,2.x

2 1



kém hơn khối nước nhỏû 20C nên khối lượng của khối nước

lớn là:

ø



168

4,2(x - 2) (kg)

Theo đầu bài ta có phương trình :



168

168

+1 =

4,2(x - 2)

4,2.x



Giải phương trình trên ta được :



40

40

+ 1=

x

x- 2



40 (x - 2) + x (x - 2) = 40x ⇔ x2 - 2x - 80 = 0

∆‘ = 1 + 80 = 81 ⇒ ∆ ' = 9

Phương trình có hai nghiệm là x1 = 10; x2 = - 8

Vì x > 0 nên ta loại nghiệm âm.

Vậy khối nước nhỏ được đun nóng thêm 100C.

(Để giải bài toán này, có thể đặt ẩn là khối lượng

khối nước nhỏ).



www.giaoducviet.net Trang 18



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



Năm học 2012-



Ví dụ 2 : Lấy 40g chất lỏng thứ nhất trộn lẫn với 30g

chất lỏng thứ hai có khối lượng riêng nhỏ hơn 100kg/m 3 ta được

một hỗn hợp có khối lượng riêng là 350kg/m 3. Tính khối lượng

riêng của mỗi chất lỏng.

Phân tích : Công thức khối lượng riêng: D =



M

(kg/m3)

V



Chú ý khi trộn hai chất lỏng có khối lượng riêng khác

nhau thì khối lượng riêng của hỗn hợp cũng sẽ khác nhưng thể

tích của mỗi hỗn hợp thì bao giờ cũng bằng tổng thể tích của

hai chất lỏng đem trộn mà công thức tính thể tích: V =



M

.

D



Giải :

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (kg/m 3)

thì khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là (x - 100) kg/m 3.

Điều kiện x > 100.



0.04

0.03



với thể

x

x - 100

0,04 + 0,03 0,07

=

350

350



So sánh thể tích của hai chất lỏng

tích củahỗn hợp:

Ta đi đến phương trình :



0.04

0.03

0,07

+

=

x

x - 100

350



Nhân hai vế với 100 và thay



7

1

=

ta được phương trình:

350 50



4

3

1

+

=

x x - 100 50



⇔50 (4x - 400 + 3x) = x (x -100) ⇔ x2 - 450x + 20000 = 0

∆ = 202500 - 80000 = 122500 = 350 2 ;



D = 350.



Phương trình có hai nghiệm : x1 = 400; x2 = 50.

Theo điều kiện đã đặt ra, ta chỉ lấy nghiệm x = 400.

Vậy khối lượng riêng của hai chất lỏng là 400kg/m 3 và

300kg/m3.

Bài tập đề nghò :

1- Có hai loại dung dòch chứa cùng một thứ axit. Loại I

chứa 30% axit, loại II chứa 50% axit. Muốn có 50 lít dung dòch

chứa 15% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dòch mỗi

loại?



www.giaoducviet.net Trang 19



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



Năm học 2012-



2- Một hợp kim đồng và nhôm nặng 11,250kg, có thể tích

là 3,500dm3.

Tính khối lượng của đồng và nhôm có trong hợp kim, biết

rằng khối lượng riêng của đồng là 8,9g/cm 3; của nhôm là

2,6g/cm3.

Loại 5 : Bài toán về công việc làm chung, làm riêng

Chú ý : Nếu mất n đơn vò thời gian (giờ, ngày...) để làm

xong một công việc thì trong 1 đơn vò thời gian ấy sẽ làm được

1

công việc.

n



Ví dụ 1 : Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì

mất 6 ngày sẽ làm xong công trình. Nếu làm riêng thì đội I

phải làm lâu hơn đội II là 5 ngày. Hỏi mỗi đội làm riêng thì

mất bao nhiêu ngày sẽ xong công trình.

Giải :

Gọi x là số ngày mà đội I phải làm một mình để hoàn

thành công trình. Như vậy đội II làm riêng phải mất x - 5 ngày.

Điều kiện x > 5. Mỗi ngày đội I làm được

II làm được



1

x



công trình, đội



1

công trình và cả hai đội

x- 5



làm chung được



1

công trình. Ta có phương trình :

6



1

1

1

+

=

x x- 5

6



Giải phương trình trên :

6(x - 5) + 6x = x(x - 5)⇔ x2 - 17x + 30 = 0

∆ = 289 - 120 = 169 = 132;



D = 13



Phương trình có nghiệm là x1 = 15, x2 = 2

Vì x > 5 nên ta chỉ lấy nghiệm x = 15

Ví dụ 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước

trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4

giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy



2

bể. Hỏi mỗi vòi

5



nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể.

Giải : Gọi x và y là số giờ mà mỗi vòi nước chảy một mình

để đầy bể, x và y dương và tính bằng giờ. Như vậy, sau 1 giờ



www.giaoducviet.net Trang 20



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



mỗi vòi chảy được



Năm học 2012-



1

1

1

và bể, cả hai vòi chảy được

bể.

y

x

12



Theo đề bài ta có hệ phương trình :

ìï 1 1

ïï + = 1

ïï x y 12

í

ïï 4 6 2

ïï + =

5

ïỵ x y



Giải hệ phương trình : x =20 và y = 30

Mà x = 20, từ đó y = 30 thỏa mãn điều kiện đã nêu.

Thử lại đúng.Vậy mỗi vòi nếu chảy riêng thì lần lượt phải

mất 20 giờ và 30 giờ mới đầy bể.

Bài tập đề nghò :

1- Hai cần cẩu làm chung thì hoàn thành công việc sau

7giờ 30 phút. Nếu cần cẩu thứ nhất làm riêng trong 5 giờ và

cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp tục trong 1 giờ 40 phút thì mới

được một nửa công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi cần cẩu

phải làm trong bao lâu để xong công việc?.

2- Hai đội sản xuất cùng đào một con mương. Nếu để

mỗi đội làm riêng cả con mương thì tính ra cả hai đội sẽ mất

tất cả 25 ngày mới xong. Nếu góp sức làm chung thì cả hai

đội chỉ mất 6 ngày. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải

mất bao lâu để đào xong mương ?

3- Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước, sau

11

giờ thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ đầy

12



2



bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy đầy bể

trong bao lâu?.

Loại 6 : Bài toán về tỉ lệ, về chia phần

Ví dụ 1 : Hai cửa hàng có tất cả 600 lít nước chấm. Nếu

cửa hàng thứ nhất chuyển sang cửa hàng thứ hai 80 lít thì số

nước chấm ở cửa hàng thứ hai sẽ tăng gấp đôi ở cửa

hàng thứ nhất. Hỏi mỗi cửa hàng chứa bao nhiêu lít nước

chấm?

Giải :Gọi số nước chấm có ở cửa hàng thứ nhất là x lít, ở

cửa hàng thứ hai là y lít. Điều kiện x, y dương và nhỏ hơn 600.

Theo gia thiết thứ nhất ta có

x + y = 600.



www.giaoducviet.net Trang 21



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



Năm học 2012-



Sau khi chuyển 80 lít sang cửa hàng thứ hai có (y + 80) lít.

Theo đề bài thì y + 80 = 2(x - 80). Như vậy ta có hệ phương

trình:

x + y = 600

y + 80 = 2(x - 80)

Giaûi hệ phương trình trên :

x + y = 600



x + y = 600



y - 2x = - 240



2x - y = 240



hay



Suy ra 3x = 840 hay x = 280, từ đó y = 600 - 280 hay y = 320.

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện đã nêu.

Thử lại : 280 + 320 = 600 ; 320 + 80 = 2 . 200 = 2 (280 - 80)

Vậy cửa hàng thứ nhất có 280 lít và cửa hàng thứ hai

có 320 lit nước chấm.

Ví dụ 2 : Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng .

Hôm làm việc, có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải

chở thêm 16 tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe?(SGK- Lớp 9 trang 95).

Giải : Gọi x là số xe của đội xe, x nguyên dương. Hôm làm

việc có (x - 2) xe. Theo dự đònh thì mỗi xe phải chở



120

tấn,

x



nhưng vì có 2 xe đi làm việc khác nên mỗi xe thực tế phải chở



120

tấn

x- 2

trình :



và như thế phải chở thêm 16 tấn. Ta có phương



120 120

= 16

x- 2 x



Giải phương trình :120x - 120(x - 2) = 16x (x - 2)

16x2 - 32x - 240



= 0 ⇔x2 - 2x - 15 = 0



∆‘ = 1 + 15 = 16 ⇒



∆' = 4



Phương trình có nghiệm là x1 = 5 và x = -3 . Chỉ có giá trò x

=5 là thích hợp với điều kiện đẫ nêu.

Thử lại:



120 : 5 =24 (tấn) ; 5-2=3 (xe)

120 : 3 =40 (tấn) ; 40 – 24 =16 (tấn).



Vậy đội xe co 5 xe ô tô.

Bài tập đề nghò :



www.giaoducviet.net Trang 22



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



Năm học 2012-



1-Hai lớp 91 và 92 được mua tất cả thảy 380 tập giấy và

được phân phối đều cho hai lớp theo tỷ lệ



9

. Hỏi mỗi lớp

10



mua được bao nhiêu tập giấy.

2-Một đội thanh niên xung phong theo kế hoạch phải đào

40 m3 đất. Nhưng khi bất đầu làm đôïi được bổ sung thêm 5

người nên mỗi người giảm được đònh mức 0,4m 3 đất. Hỏi đội

có bao nhiêu người?

3- Hội trường có 320 chỗ ngồi. Số người đến dự là 420

người, do đó phải xếp để mỗi dãy thêm 4 ghế và phải đặt

thêm một dãy ghế nữa mới đủ. Hỏi hội trường lúc đầu có

mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế.

C – BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:

Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc phân tích bài

toán “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” với thời lượng

lên lớp chính khóa (2tiết) là rất khó.Do đo,ù bản thân tôi

mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:

1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tôi

đó là giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bò một hệ

thống câu hỏi phù hợp, các bài tập trắc nghiệm, tự luận

phù hợp.

2/ Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ

phụ đạo do nhà trường tổ chức hoặc trong các giờ học môn

tự chọn môn toán.Tuy nhiên để truyền tải thông tin đến học

sinh nhanh nhất bản thân tôi soạn một số bài tập trắc

nghiệm nhỏ để các em thực hiện.

Ví dụ: Để ôn tập cho phần “Đường lối chung để giải bài

toán bằng cách lập hệ phương trình” tôi soạn một bài tập như

sau: Sắp xếp các bước sau theo cách hợp lý để chỉ ra “Đường

lối chung để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”

c- Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề

bài, mà lập phương trình,hệ phương trình

e- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vò và đặt điều kiện cho

ẩn số.

a-Nhận đònh kết quả, thử lại và trả lời. Chú ý so sánh

với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không, sau đó

trả lời bằng danh số (có kèm theo đơn vò).

d- Dùng ẩn số và các số đã biết cho ở đề bài để

biểu thò các số liệu khác, diễn giải các bộ phận hình thành

phương trình, hệ phương trình.



www.giaoducviet.net Trang 23



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



Năm học 2012-



h-Lập phương trình gồm các công việc :

b-Giải phương trình (hệ phương trình). Tùy theo từng dạng

phương trình mà chọn cách giải thích thích hợp và ngắn gọn.”

*Hoặc với bài toán :”Nếu hai vòi cùng chảy vào bể thì

sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong

10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy



2

bể. Hỏi

15



nếu mỗi vòi chảy riêng thì phải bao lâu đầy bể ?”( Bài

5 trang 69 – Đại số 9). Bản thân tôi soạn một phiếu học

tập như sau: Em hãy điền vào chỗ trống (........) nội dung

thích hợp:

Nếu gọi thời gian vòi



2 chảy là x (h) .Điều kiện của



x ............

+ Năng suất của vòi 1 chảy là.........

+ Năng suất vòi 2 chảy là ..................

+ Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ :

Ta có phương trình :



1

2

+ ........... =

6x

15



3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ,mỗi nhóm có nhóm

trưởng (Học sinh có học lực khá ,có uy tín với các bạn ).Tổ

chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu”mà giáo viên đã

giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà

giáo viên đưa ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài

giaiû của mình (có thuyết trình). Các thành viên còn lại của

lớp có thể đặt câu hỏi pháp vấn nhóm giải bài. (nếu câu

hỏi hay giáo viên phải kòp thời khen ngợi các em)

4/ Giáo viên phải chuẩn bò một số bài tập tương tự cho

các em ( bản thân tôi photo các đề bài đã biên soạn ở trên

phát cho các nhóm) về nhà thực hiện. Buổi sau ,bản thân tôi

thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số

em, sửa từng câu văn, phép tính. Đây là một việc làm

không khó, tuy nhiên nó đòi hỏi ở giáo viên sự tận tâm,

tận tụy chòu khó trong công việc.

D - KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ

thực tế những năm giảng dạy của bản thân tôi. Phần giải



www.giaoducviet.net Trang 24



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



Năm học 2012-



toán bằng cách lập phương trình cũng rất đa dạng, tuy nhiên

với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến một số dạng

đơn giản mà các em thường gặp ở chương trình lớp 8, lớp 9.

Tôi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp

các em có kỹ năng lập phương trình bài toán, bởi vì muốn

giải được bài toán bằng cách lập phương trình thì phải lập

được phương trình, có phương trình đúng thì giải phương trình có

kết quả đúng, dẫn đến mới trả lời được điều mà bài toán

đòi hỏi.

Với những việc làm như đã nêu ở trên, bản thân tôi tự

nghiên cứu áp dụng .Bước đầu tôi thấy có một số kết quả

sau:

-Trước khi thực hiện phương pháp này, đầu năm học tôi

cho cacù học sinh lớp 9 (năm học: 2011-2012) do tôi phụ trách

( gồm 48 em) làm một bài toán giải của lớp 8,Tôi ghi lại kết

quả theo dõi như sau:

-Điểm 9 ; 10: 04 học sinh.

-Điểm 5;6;7;8: 20 học sinh .

-Điểm dưới trung bình: 24 học sinh.

Sau khi thực hiện tôi thấy kết quả của các em nâng lên

rõ rệt:

-Điểm 9 ; 10 :



10 học sinh.



-Điểm 5;6;7;8 :



26 học sinh.



-Điểm dưới trung bình: 8 học sinh. (Kết quả kiểm tra học kỳ

I) và trong bài kiểm tra chương III Đại số 9, Tôi thấy hầu hết

các em đã biết trình bày bài toán dạng này (36/44 học sinh đạt

điểm trên trung bình). Tuy nhiên, một kết quả khác mà học

sinh của tôi đạt được . Tôi thiết nghó không thể nói lên bằng

các con số đó là:

-Phần lớn học sinh đã say mê giải những bài toán bằng

cách lập phương trình.

- Các em không còn lúng túng khi lập phương trình nữa.

- Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học

toán , Từ đó, nó tạo cho các em tính tự tin độc lập suy nghó.



www.giaoducviet.net Trang 25



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



Năm học 2012-



-Phát triển tư duy logic, óc quan sát, suy luận toán học,

các em đã biết “Phiên dòch” các vấn đề từ ngôn ngữ văn

học sang ngôn ngữ toán học thông qua các phép toán, biểu

thức, phương trình.... giaiû quyết vấn đề đó .Từ đó, nó giúp

phát triển ngôn ngữ và tạo cho cá em một tư thế mới , vững

vàng trong học tập , lao động và trong cuộc sống.

- Trong quá trình giải các bài tập đã giúp các em có khả

năng phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề một cách chặt

chẽ, các em không còn ngại khó, mà rất tự tin vào khả

năng học tập của mình.

- Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn

gọn phù hợp.

Tuy vậy bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn

một số ít học sinh học yếu , lười học, chưa có khả năng tự

mình giải được những bài toán bằng cách lập phương trình. Đối

với các em yếu, đây là một việc thực sự khó khăn. Một

phần cũng là do khả năng học toán của các em còn hạn

chế, mặt khác dạng toán này lại rất khó, đòi hỏi sự tư duy

nhiều ở các em.

Một yếu tố cũng ảnh hưởng đến chất lượng học của

các em có lẽ là phương pháp giảng dạy của bản thân tôi

đôi lúc chưa thực sự hợp lý.

Trong quá trình giảng dạy, chắc hẳn ai cũng mong muốn

cho học sinh hiểu bài, chất lượng học tập của các em tốt hơn,

tạo cho các em có đầy đủ điều kiện bước vào cuộc sống

hoặc học lên nữa. Vì vậy nó đòi hỏi chúng ta là người tạo ra

những sản phẩm ấy cần phải :

- Có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền

thụ phù hợp với từng đối tượng học sinh.

- Học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực

hành từng loại toán, giải nhanh, thành thạo bằng nhiều cách.

Trên cơ sở giải bài tập, biết đặt ra bài tập mới để kích thích

sự say mê học toán của mình.

Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày

ở trên,bước đầu chưa đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn

đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu thực hiện tốt



www.giaoducviet.net Trang 26



Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013



tôi nghó nó cũng



Năm học 2012-



góp phần đổi mới phương pháp dạy học



mà ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác , với cách

trình bày như trên (nếu thành công) .Tôi thiết nghó , chúng ta

có thể áp dụng cho một số phần khác như:Giải phương trình

quy về bậc hai,Hệ thức Viet và áp dụng của nó.Các phương

pháp chứng minh hình học.

Tôi tin chắc rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là

một trong những biện pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm

được đúc kết qua sách vơ,û cũng như của quý thầy giáo, cô

giáo đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy, bản thân tôi

rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô

giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước

hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình.Từ đó, bản thân

tôi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa trí lực của mình cho

sự nghiệp giáo dục mà Bác Hồ kính yêu của chúng ta hằng

mong ước và toàn Đảng, toàn dân ta hằng quan tâm. Tôi xin

chân thành cảm ơn.

Tháng 11 năm 2012.

Người

biên soạn



MAI

TRỌNG MẬU



www.giaoducviet.net Trang 27



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×