Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mã

Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mã

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax + by + c ≤ 0 hoặc ax + by + c ≥ 0 thì

miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:



Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất

phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các

miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như

sau:

- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ

(tơ màu) miền còn lại.

- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên

cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại khơng bị gạch (tơ màu) chính là miền

nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Sau đây là một số bài tập ví dụ:

Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:

x − 2 y 2x + y +1

>

3

b) 2



a) 2 x − y ≥ 0

Lời giải



13



d : 2x − y = 0

d

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng ( )

. Ta có ( ) chia mặt



phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì khơng thuộc đường

thẳng đó, chẳng hạn điểm



M ( 1;0 )



. Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương



trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa

điểm



M ( 1;0 )



(Miền khơng được tơ màu trên hình vẽ).



x − 2 y 2x − y +1

>

⇔ 3 ( x − 2 y ) − 2 ( 2 x − y + 1) > 0

3

b)Tacó: 2

⇔ −x − 4 y − 2 > 0 ⇔ x + 4 y + 2 < 0



Trong mặt phẳng tọa độ,vẽ đường thẳng

∆ : x + 4y + 2 = 0



Xét điểm



O ( 0;0 )



,thấy O (



0; 0 )



khơng phải là



nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền

nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ ∆ (không kể đường thẳng ∆ ) và không chứa

điểm



O ( 0;0 )



(Miền khơng được tơ màu trên hình vẽ).



Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:

 x+ y−2≥0



a)  x − 3 y + 3 ≤ 0



b)



x + y > 0



 −2 x − 3 y + 6 > 0

x − 2 y +1 ≥ 0





14



Lời giải

d : x + y − 2 = 0 , ( d ') : x − 3 y + 3 = 0

a)Vẽ các đường thẳng ( )

trên mặt phẳng tọa độ

Oxy .



Xét điểm



O ( 0;0 )



0; 0

, thấy ( ) không phải là nghiệm của bất phương trình



x + y − 2 ≥ 0 và x − 3 y + 3 ≤ 0 do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng khơng



d

d'

được tơ màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng ( ) và ( ) .

d : x + y = 0, ( d ' ) : −2 x − 3 y + 6 = 0

d " : x − 2 y +1 = 0

b) Vẽ các đường thẳng ( )

và ( )

trên



mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm



O ( 0;0 )



0;0

, thấy ( ) là nghiệm của bất



2 x − 3 y + 6 > 0 và x − 2 y + 1 ≥ 0 . Do đó O ( 0; 0 ) thuộc



phương



trình



miền



nghiệm



của bất phương trình 2 x − 3 y + 6 > 0 và x − 2 y + 1 ≥ 0 .

Xét điểm



M ( 1;0 )



1;0

ta thấy ( ) là nghiệm của



M 1;0

bất phương trình x + y > 0 do đó điểm ( ) thuộc miền



nghiệm bất phương trình x + y > 0 .

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng khơng được tơ màu trên hình vẽ kể

d"

cả đường thẳng ( )

• ỨNG DỤNG VÀO BÀI TỐN KINH TẾ



Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ

đến quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành tốn học có nhiều ứng dụng trong đời

sống và kinh tế.



15



Trước khi vào bài tốn, tơi xin nêu ra phương pháp tìm cực trị của biểu

thức F = ax + by trên một miền đa giác. Có lẽ các bạn sẽ thấy lạ với phương

pháp này. Phương pháp này được nêu ra trong sách giáo khoa lớp 10 cơ bản trang

98 phần đọc thêm.

Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức



(a, b là



F = ax + by



hai số đã cho không đồng thời bằng 0), trong đó x, y là các tọa độ của các điểm

thuộc miền đa giác



A1 A2 ... Ai Ai +1... An



. Xác định x, y để F đạt giá trị lớn nhất, nhỏ



nhất.

Lời giải. Ta minh họa cách giải trong trường hợp n = 5 tức là xét ngũ giác lồi và

xét trường hợp b > 0 trường hợp ngược lại tương tự. Giả sử



M 0 ( xO ; yO )



là điểm



thuộc miền đa giác. Qua điểm M và mỗi đỉnh của một đa giác, kẻ các đường thẳng

song song với đường thẳng



ax + by = 0



.



Khi đó ta có đường thẳng qua M có phương trình



trục tung tại điểm



chỉ khi



ax0 + by0

b



 ax + byO 

N  0; O

÷

b







. Vì b > 0 nên



ax0 + by0



16



và cắt



đạt giá trị lớn nhất khi và



lớn nhất. Từ đó ta được kết quả bài tốn.



Tổng qt hóa



ax + by = ax0 + by0



Ta ln có thể giả thiết rằng b > 0, bởi vì nếu b < 0 thì ta có thể nhân hai vế

với -1 và bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của

tốn tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của



F ( x; y)



− F ( x; y ) = − ax + b ' y



sẽ trở thành bài



, trong đó



b ' = −b > 0



.

y



ax + by = 0

A2



A1



A3

O



M ( x0 ; y0 )



A5



A4



N



Tập các điểm



( x; y )



để



F ( x; y)



x



nhận giá trị p là đường thẳng



ax + by = p



; hay



a

p

y =− x+

b

b



Đường thẳng này có hệ số góc bằng



với

m=



p

b



17



a



b



và cắt trục tung tại điểm



M (0; m)



Ký hiệu đường thẳng này là

lớn nhất) của



với



P ( x; y ) = p



(hay lớn nhất) của



p

m=

b



( x; y)



. Vì b > 0 nên việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay



miền đa giác quy về việc tìm giá trị nhỏ nhất



, tức là tìm điểm M ở vị trí thấp nhất (hay cao nhất) trên



trục tung sao cho đường thẳng

Từ đó chú ý rằng



(d m )



(d m )



(d m )



có ít nhất một điểm chung với (S).



có hệ số góc bằng



a



b



khơng đổi. Ta đi đến cách làm



sau:

Khi tìm giá trị nhỏ nhất của



, ta cho đường thẳng



F ( x; y)



(d m )



chuyển động



song song với chính nó từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền đa giác và đi lên cho

đến khi



(d m )



lần đầu tiên đi qua một điểm



( x0 ; y0 )



nào đó của miền đa giác. Khi đó,



m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của



F ( x0 ; y0 ) = ax0 + by0



. Đó là



.



Khi tìm giá trị lớn nhất của



a



b



F ( x; y )



F ( x, y )



, ta cho đường thẳng



(d m )



với hệ số góc



chuyển động song song với chính nó từ một vị trí nào đó trên miền đa giác và



đi xuống cho đến khi



(d m )



lần đầu tiên đi qua một điểm

18



( x0 ; y0 )



nào đó của miền



đa giác. Khi đó, m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất của

F ( x, y )



. Đó là



F ( x0 ; y0 ) = ax0 + by0



.



Vậy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức F = ax + by đạt được tại

một trong các đỉnh của một miền đa giác.

Sau đây là một số bài tốn ví dụ ứng dụng hệ bất phương trình:

Ví dụ 1: Một cơng ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại

nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty

trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng

phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát

thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu

quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình

dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên

truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Cơng ty dự định chi tối

đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên

sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Lời giải

Phân tích bài tốn: Gọi thời lượng cơng ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là

x



(phút), trên truyền hình là



y



(phút). Chi phí cho việc này là:



800.000 x + 4.000000 y (đồng)



Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức:

 800.000 x + 4.000.000 y  ≤ 16.000.000 hay  x + 5y  −20 ≤ 0



Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: x ≥ 5, y ≤ 4 .

19



Đồng thời do x, y là thời lượng nên x ≥ 0, y ≥ 0 . Hiệu quả chung của quảng cáo là:

x + 6y .



Bài toán trở thành: Xác định x, y

sao cho:



M ( x; y ) = x + 6 y



đạt giá trị



lớn nhất.

  x + 5y  −20 ≤ 0



x ≥ 5



Với các điều kiện 0 ≤ y ≤ 4

(*)



Trước tiên ta xác định miền nghiệm

của hệ bất phương trình (*)

Trong



mặt



phẳng



tọa



độ



vẽ



các



đường



thẳng



( d ) : x + 5 y − 20 = 0, ( d ') : x = 5, ( d '') : y = 4

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tam giác)

khơng tơ màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của

Ta có



M ( x; y ) = x + 6 y



5;3 , 5;0 , 20;0 )

đạt tại một trong các điểm ( ) ( ) (



M ( 5;3) = 23, M ( 5;0 ) = 5, M ( 20;0 ) = 20



suy ra giá trị lớn nhất của



M ( x; y )



bằng



23 tại ( 5;3) tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và



trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Ví dụ 2: [Đề Dự Bị THPT Quốc Gia Năm 2015]. Trong một cuộc thi pha chế,

mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 21g đường để pha

chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước

và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương

liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80

điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số

điểm thưởng là lớn nhất?

20



Lời giải: Đối với những bài toán như thế này, ta phải đọc thật kỹ, xem đề bài yêu

cầu làm gì và chuyển bài tốn đó về những mơ hình tốn học mà mình đã học? Ở

đây, u cầu đề bài: “cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại”. Như

vậy, ta gọi ẩn x, y tương ứng là số lít nước trái cây tương ứng mỗi loại. Mà mỗi lít

nước cam nhận được 60 điểm thưởng thì x lít nước cam nhân được 60x điểm

thưởng; mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng thì y lít nước táo nhận được

80y điểm thưởng. Khi đó ta có số điểm thưởng nhận được sau khi pha chế được x,

y lít nước trái cây mỗi loại là 60x + 80y.

Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và táo của mỗi đội pha chế



( x, y ≥ 0)



. Khi



đó số điểm thưởng nhận được của mỗi đội chơi là F = 60x + 80y.

Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước và x(g) hương liệu.

Để pha chế y lít nước cam cần 10y g đường, y lít nước và 4y (g) hương liệu.

Do đó, ta có:

Số gam đường cần dùng là: 30x + 10y

Số lít nước cần dùng là: x + y

Số gam hương liệu cần dùng là: x + 4y

Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít

nước







210g



đường



nên



30 x + 10 y ≤ 210

3 x + y ≤ 21

x + y ≤ 9

x + y ≤ 9











 x + 4 y ≤ 24

 x + 4 y ≤ 24

 x, y ≥ 0

 x, y ≥ 0



x,



y



(*)



21



thỏa



mãn



hệ



bất



phương



trình:



Khi đó bài tốn trở thành:

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm



F = 60 x + 80 y



( x = x0 , y = y0 )



sao cho



lớn nhất.



Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần

mặt phẳng chứa điểm



M ( x, y )



thỏa mãn (*). Khi đó



miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ

giác OABCD kể cả miền trong của tam giác (như

hình vẽ). Biểu thức



F = 60 x + 80 y



đạt giá trị lớn



nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác OABCD.

Tại các đỉnh O(0; 0), A(7; 0), B(6; 3), C(4; 5), D(0; 6). Ta thấy F đạt giá trị

lớn nhất tại x = 4, y = 5.

Khi đó



F = 60.4 + 80.5 = 640



.



Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo thì số tiền thưởng lớn nhất

là 640.

Ví dụ 3. [SGK Đại số & Giải tích 10 nâng cao] Một gia đình cần ít nhất 900g

chất prơtein và 400g chất lipit trong thức ăn mỗi ngày. Biết rằng thịt bò chứa 80%

prơtein và 20% lipit. Thịt lợn chứa 60% prơtein và 40% lipit. Biết rằng gia đình

này chỉ mua nhiều nhất là 1600g thịt bò và 1100g thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bò là

45 nghìn đồng, 1kg thịt lợn là 35 nghìn đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu

kg thịt mỗi loại để chi phí ít nhất?



22



Lời giải: Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn (

chi phí mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là



T = 45 x + 35 y



Theo giả thuyết, x và y thỏa mãn điều kiện



x, y ≥ 0



). Khi đó



(nghìn đồng).



x ≤ 1, 6; y ≤ 1,1



.



Khi đó lượng prơtein có được là 80%x + 60%y và lượng lipit có được là

20%x + 40%y.

Vì gia đình đó cần ít nhất 0,9kg chất prôtein và 0,4kg chất lipit trong thức

ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là 80%x + 60%y ≥ 0,9 và 20%x + 40%y ≥

0,4 hay 4x + 3y ≥ 4,5 và x + 2y ≥ 2.

Vậy x, y thỏa mãn hệ bất



phương trình:



0 ≤ x ≤ 1, 6

0 ≤ y ≤ 1,1





 4 x + 3 y ≥ 4,5

 x + 2 y ≥ 2



(*)



Khi đó bài tốn trở thành:

Trong các nghiệm của hệ

bất phương trình (*), tìm nghiệm (

x = x0 , y = y0



) sao cho



T = 45 x + 35 y



nhỏ nhất.



23



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mã

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×