Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Áp dụng trong thực tế dạy học

Áp dụng trong thực tế dạy học

Tải bản đầy đủ - 0trang

Giáo viên cần tận dụng các cơ hội để rèn luyện cho học sinh khả năng thực

hiện bốn bước giải bài tốn hình học bằng PPVT thơng qua các bài tập, có thể

minh hoạ quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau:

Bài tốn: Cho góc xOy và hai điểm di chuyển trên hai cạnh của góc. M

thuộc Ox, N thuộc Oy, luôn luôn thoả mãn OM = 2ON. Chứng minh rằng trung

điểm I của MN luôn thuộc đường thẳng cố định.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Lấy điểm A ∈ Ox, B ∈Oy sao cho OA = OB, và chọn hai véc tơ

uuu

r uuur

OA, OB làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véctơ trong bài tốn đều phân tích được (hoặc

biểu thị được) qua hai véc tơ này.

uuur

uuur

uuuu

r

uuu

r

Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên nếu ON = kOB , thì OM = 2kOA . Điều

phải chứng minh là I uthuộc

một đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng này đi

ur

r

r

qua O) tương đương OI = pv , với v là một véc tơ cố định nào đó.

Bước 3: Do I là trung điểm của MN, nên ta có

uur 1 uuuu

r uuur 1

uuu

r uuuu

r

OI = (OM + ON ) = k (2OA + OB )

2

2

uuu

r uuu

r r

1

Đặt k = p, 2OA + OB = v , ta được điều phải chứng minh.

2



A



A'



x



Bước 4: Nhận

xét:

uuur

uuu

r

I

Nếu lấy OA' = 2OA thì

O

r uuur uuur

v = OA' + OB ⇒ đường thẳng cố

B

định đó đi qua trung điểm A’B.

N

y

* Có thể tổng qt hố bài toán theo hai cách:

- Thay cho giả thiết OM = 2ON bằng OM = m.ON (m là một hằng số).

- Thay cho kết luận: Trung điểm I của MN thuộc một đường thẳng cố định

IM



p



bằng kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỷ số IN = q (p, q là hằng số dương) đều

thuộc một đường thẳng cố định.

Trong q trình hướng dẫn học sinh giải tốn bằng PPVT, giáo viên cần chú

ý đến những tri thức phương pháp:

Ở bước 1: Nên chọn các véctơ cơ sở sao cho các véctơ trong bài tốn phân

tích theo chúng thuận lợi nhất. Qua mỗi bài toán học sinh sẽ thấy việc chọn các

véctơ cơ sở như thế nào.

Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ một cách thành

thạo. Cách chuyển đổi như thế nào ta có thể thấy qua từng nhóm bài tốn sẽ được

trình bày dưới đây.

Ở bước 3: Cần nắm vững các phép toán véc tơ. Đồng thời, thông qua các bài

tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ được tính ưu việt của PPVT. Đặc

biệt các bài tập về tìm tập hợp điểm, các bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng,

chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc,... là những

dạng tốn có nhiều cơ hội để làm rõ vấn đề này.

4.2. Trước khi giải các bài tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học

sinh các kiến thức và bài tập cơ bản sau (vì đây là các tri thức phương pháp để

giải các bài tập sau này).

A - Điều kiện cần và đủ để hai véctơ khơng cùng phương

6



r



r



Bài tốn 1: Chứng minh rằng hai véctơ a rvà br cùng

phương khi và chỉ khi

r

có cặp rsố m,r n khơng đồng thời bằng 0 sao cho ma + mb = 0 . Suy ra điều kiện

cần



r

r r

đủ để a và b cùng phương là có cặp số m, n khơng thời bằng 0 sao cho ma + mb = 0

.

B-Tính chất trung điểm.

uuur uuur r

Bài toán 2: M là trung điểm

của

đoạn

thẳng

AB

khi



chỉ

khi

MA + MB = 0

uuur uuur

uuu

r

Hoặc với điểm M bất kỳ ta có MA + MB = 2MI .

C-Tính chất trọng tâm tam giác.

Bài

toán 3: Cho tam giác ABC. CMR điểm G là

trọng tâm tamuuugiác

khi và

uuu

r uuur uuur r

uuu

r uuur uuur

u

r

chỉ khi GA + GB + GC = 0 hoặc với điểm M bất kỳ ta có GA + GB + GC = 3MG .

D-Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.

Bài toán 4 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi thoả mãn

một trong các điều kiện sau:

uuur

uuur

1. Tồn tại một số k khác 0 sao cho AB = k AC

uu

r uur

uur

2. Cho một điểm I và một số t nào đó sao cho IA = t IB + (1 − t ) IC là điều kiện

cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.

E-Công thức điểm chia.

Bài toán 5: Cho đoạn

thẳng

AB, số thực k khác 0 và 1. Ta nói điểm M chia

uuur

uuur

đoạn AB theo tỉ số k nếu MA = k MB . CMR với điểm C bất kỳ ta có:

uuuu

r

r

r

1 uuu

k uuu

CM =

CA −

CB (*). Ta gọi (*) là công thức điểm chia

1− k

1− k



F-Cơng thức hình chiếu. uuur uuur

Bài tốn 6: Cho hai véc tơ OA, OB . Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường

uuu

r uuu

r uuu

r uuur

thẳng OA khi đó: OA.OB = OA.OB ' .

uuur

uuu

r

Véc tơ OB ' gọi là hình chiếu của OA trên đường thẳng OA; Công thức

uuu

r uuu

r uuu

r uuur'

OA.OB = OA.OB gọi là công thức hình chiếu.

4.3. Hệ thống bài tập.

Trong thực tế giảng dạy và học tập, không phải lúc nào giải bài tập cũng làm

theo 4 bước như trên, không phải lúc nào cũng phân tích các véctơ theo hai véctơ

cơ sở cho trước, mà có thể giải quyết bài tốn một cách linh hoạt.

Việc rèn luyện cho học sinh thông qua một hệ thống bài tập đã được phân

loại sẽ đem lại hiệu quả cao trong dạy học.

Việc đưa ra hệ thống bài tập đã được phân loại nhằm giúp học sinh có kinh

nghiệm giải tốn và rèn luyện các kỹ năng:

- Chuyển bài tốn sang ngơn ngữ véctơ.

- Phân tích một véctơ thành một tổ hợp véctơ.

- Kỹ năng biết cách ghép một số véc tơ trong một tổ hợp véctơ.

- Biết khái quát hoá một số những kết quả để vận dụng vào bài toán tổng quát

hơn.

Đặc biệt biết vận dụng quy trình bốn bước giải bài tốn hình học bằng PPVT

vào giải các bài tập hình học.

* Giáo viên có thể sử dụng hệ thống bài tập đã phân dạng này trong các tình

huống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hoá, dùng để bồi

dưỡng HS khá giỏi, dùng để kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm... góp phần bồi dưỡng

năng lực giải toán cho học sinh (chủ yếu là bồi dưỡng học sinh khá giỏi).

7



Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Đối với dạng tốn trên ta có thể dùng điều kiện cùng phương của hai véctơ

để giải toán.

r

r

r

Véc tơ b cùng phương với véc tơ a(a ≠ 0) khi và chỉ khi có số k sao cho

r

r

b = ka .

* Từ đó ứng dụng vào dạng tốn:

Cho 3 điểm A, B, C thoả mãn một điều kiện xác định. Chứng minh rằng A,

B, C thẳng hàng.

Phương pháp:

uuur uuur

- Hãy xác định véc tơ AB, AC

- Chỉuuura

rằng hai véc tơ đó cùng phương, nghĩa là hãy chỉ ra số thực k sao

uuur

r

cho AB = k AC .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng

AB, BC, CA theo các tỷ số lần lượt là m, n, p (đều khác 1).

Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi mnp = 1 (Định lý

Mênêlauýt).

Hướng dẫn giải: (Theo quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT)

Bước 1: GV chọn véctơ

cơrsở.

uuu

r uuu

HS: Chọn hai véc tơ CA, CB làm hai véctơ cơ sở. Mọi véc tơ xuất hiện trong

A

bài toán đều phân tích được theo hai véctơ này.

Bước 2:

P

GV: Các điểm M, N, P lần lượt chia các

đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỷ số

M

lần lượt là m, n, p (đều khác 1) tương

đương với các

đẳnguuu

thức

vécutơ

nào? uuur

uuur

r uuur

uur uuur

HS: MA = mMB; NB = nNC ; PC = pPA .

N

C

B

GV: Điều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương đương với đẳng thức

véctơ nào phải xảy ra?

uuur

uuuu

r

HS: - Chỉ ra số thực k sao cho MP = k MN hoặcuuuur uuur

uuu

r

- Với điểm O bất kỳ và một số thực ta có OM = tON + (1 − t )OP .

Bước 3:

Lấyuđiểm

O nào

đó, ta có uuur uuur

uuu

r

uu

r

uuu

r uuur

uuuu

r OA − mOB uuur OB − nOC uuu

r OC − pOA

OM =

; ON =

; OP =

1− m

1− n

1− p



Để đơnuuurgiảnutính

tốn,uutaur chọn điểm

O trùng với điểm C khi đó ta có:

uu

r

uuu

r

uuuu

r CA − mCB uuur CB uuu

r pCA

CM =

; CN =

; CP =

(1)

1− m

1− n

1− p



Từ hai đẳng thức cuối của (1) ta có:



uuu

r

uuur uuu

r p − 1 uuu

r

CB = (1 − n)CN ; CA =

CP Và thay vào đẳng thức đầu của (1) ta được:

p

uuuu

r

u

u

u

r

p −1

m(1 − n) uuur

CM =

CP −

CN

p (1 − m)

1− m



Từ Bài toán 9: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm M, N, P thẳng hàng là:

p −1

m(1 − n)



= 1 ⇔ p − 1 − pm(1 − n) = p (1 − m) ⇔ mnp = 1

p (1 − m)

1− n

8



Bước 4: Vậy cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn

thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p thì M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: mnp =1.

Lưu ý: Học sinh có thể vận dụng cách chứng minh bài toán trên vào giải các

bài toán sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn trên ngoại tiếp

O. Chứnguuminh

rằng:

u

r uuur uuur uuur

a/ OA

+ OB + OC = OH

uuur uuur uuur

uuur

b/ HA + HB + HC = 2OH

Bài 2: Cho 3 dây cung song song AA1, BB1, CC1 của hình tròn (O). Chứng

minh rằng trực tâm của 3 tam giác ABC 1, BCA1 và ACB1 nằm trên một đường

thẳng.

Bài 3: Cho tam giác ABC đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc

với cạnh BC tại D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh 3

điểm M, N, I thẳng hàng.

Chứng minh trên có sử dụng kết quả bài tập sau:

Bài 4: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC

= a, CA = b. Gọi I là tâm

uu

r uur uur r

đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: aIA + bIB + cIC = 0 .

* Hệ thống bài tập

Bài 1: Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điêm A, B cố định.

Chứng

minh

rằnguuđiểm

M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có số α sao cho:

uuuu

r

uuu

r

u

r

OM = α OA + (1 − α )OB . Với điều kiện nào của α thì M thuộc đoạn thẳng AB.

Bài 2:uuTrên

các cạnh của

tam giác ABC,uulấy

các uđiểm

M,

N, P sao cho:

uuur uuur

ur uuur uuur uuu

r r

ur

uuu

r

uuur

MA + 3MB = 6 NB − NC = PC + 2 PA = 0 . Hãy biểu thị AN qua AM và AP , từ đó suy ra

M, N, P thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam

giác ABC,

gọi D, I, N là các điểm xác định bởi hệ thức:

uuur uuur r uuur

uuur uur

uuur

3DB − 2 DC = 0, AN = 3 NB, CI = 2CN . Chứng minh A, I, D thẳng hàng.

Bài 4: Bài 20a-tr8-SBT HH10-nâng cao

Cho tam giác ABC và các điểm A1, B1, C1 lần lượt nằm trên các đường thẳng

BC, CA, AB. Gọi A2, B2, C2 lần lượt là các điểm đối xứng với A 1, B1, C1 qua trung

điểm của của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

a) Nếu 3 điểm A1, B1, C1 thẳng hàng thì 3 điểm A2, B2, C2 cũng thế.

b) Trọng tâm của 3 tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2 thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC đều, tâm O. M bất kỳ ở trong tam giác ABC và có

hình chiếu xuống 3 cạnh BC, CA, AB tương ứng là P, Q, R. Gọi K là trọng tâm tam

giác PQR.

a) Chứng minh: M, O, K thẳng hàng.

b) Cho N là một điểm tùy ý trên BC. Hạ NE, NF tương ứng vng góc với

AC, AB. Chứng minh N, J, O thẳng hàng, với J là trung điểm của EF.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc.

Vận dụng các kiến thức và PPVT để giải quyết các bài toán về quan hệ

vng góc sẽ cho lời giải khá rõ ràng, ngắn gọn.

Thơng thường với dạng tốn trên, ta có thể quy về bài tốn chứng minh hai

đường thẳng rvng

góc, hay từ định nghĩa tích vơ hướng của hai véc tơ ta có thể

r

r

r

r

suy ra: Nếu a, b là hai véc tơ khác 0 với a nằm trên đường thẳng a, b nằm trên

rr

đường thẳng b thì a ⊥ b ⇔ a.b = 0 .

9



Vậy bài toán chứng minh hai đường thẳng vng góc có thể quy về bài tốn

chứng minh tích vơ hướng của hai véc tơ bằng 0.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A; M là trung điểm của BC, H là hình

chiếu của M trên AC, E là trung điểm của MH. Chứng minh rằng AE ⊥ BH.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn.

Trước hết học sinh phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể: Đây là dạng toán

chứng minh hai đường thẳng vng góc. Tiếp theo phải phân tích bài tốn đã cho.

- Bài tốn cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân tại A, H là hình chiếu của M

trên AC, E là trung điểm của MH).

- Bài tốn hỏi gì? (Chứng minh AE ⊥ BH).

- Tìm mối liên hệ giữa cái phải tìm với cái đã cho.

Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Để chứng minh AE ⊥ BH, ta phải chứng minh những gì ? (phải chứng minh

uuur uuur

đẳng thức véc tơ AE.BH = 0 )

A

uuuu

r uuur

Để sử dụng giả thiết AM ⊥ BC (Hay AM .BC = 0 )

uuuur uuur

và MH ⊥ AC (Hay MH . AC = 0 ) ta phải phân tích

uuur uuur

véc tơ AE , BH theo những véc tơ nào?

uuur uuur

Khi đó AE.BH = ?

H

Bước

3: Thựcr hiện

chương

trình giải

uuur uuur uuuu

uuur uuuu

r uuur

2 AE.BH = ( AM + AH )( BM + BH )

uuuu

ruuuur uuuruuuu

r

B

= uAM

MH

+

AH

BM

uuu

ruuuur uuuu

r uuuur uuuu

r uuuu

ruuuur uuuuruuuu

r

= AM MH + ( AM + MH ) BM = AM MH + MH MC

uuuuruuuur uuuuruuuur uuuur uuuur

= HM MH + MH MH = MH 2 + MH 2 = 0 ⇒ AE ⊥ BH



E

M



C



Bước 4:



- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

- Kiểm tra lại các bước giải của bài toán.

* Hệ thống bài tập

Bài 1: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là

uuu

ruuur

BABC = AB 2 .

Bài

2: Tam

giác MNP có MN=4, MP=8, M = 600. Lấy điểm E trên tia MP và đặt

uuur

uuur

ME = k MP . Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF của tam giác MNP.

Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng

BC và H là

uuur uuuur

2

2

điểm nằm trên đường thẳng BC. Chứng minh rằng AB − AC = 2 BC. MH là điều

kiện cần và đủ để AH ⊥ BC.

Bài 4: Các đường AM, BE, CF là trung tuyến của tam giác ABC

a) Chứng minh rằng BE 2 + CF2 = 5AM 2 là điều kiện cần và đủ để BAC = 900

b) Chứng minh rằng AB2 + AC2 = 5BC2 là điều kiện cần và đủ để BE ⊥ CF

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A, trên các cạnh AB, BC, CA ta

lần lượt lấy các điểm M, N, E sao cho



AM BN CE

=

=

Chứng minh rằng: AN ⊥ ME

MB NC EA



Dạng 3: Chứng minh đẳng thức véc tơ.

Đẳng thức véctơ là một đẳng thức mà cả hai vế là các biểu thức véctơ. Mỗi

biểu thức chứa các hạng tử là véctơ và chúng được nối với nhau

bởi các dấu của

r

các phép toán véctơ hoặc một trong hai vế của đẳng thức đó là 0 .

10



Để chứng minh các bài tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng các quy tắc 3

điểm, quy tắc hình bình hành để dựng các véctơ được cho ở hai vế của đẳng thức,

sử dụng công thức trọng tâm của tam giác, trung điểm của đoạn thẳng, tính chất

của các phép tốn, các tính chất của tích vơ hướng của hai véctơ để rút gọn hai

vế...

Ví dụ: uChứng

minh rằng với 4 điểm A, B, C, D ta có

uur uuur uuur uuur uuur uuur

AB.CD + AC.DB + AB.BC = 0 (*)

Hướng dẫn giải:

uuur uuur uuur

Bước 1: Chọn véctơ AB, AC , AD làm các véctơ cơ sở. Mọi véctơ xuất hiện

trong bài tốn đều phân tích được qua véctơ này.

Bước 2: Bài tốn

đã cho dưới dạng ngơn ngữ véctơ.

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Bước 3:

AB.CD + AC.DB + AB.BC =

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

= AB( AD − AC ) + AC ( AB − AD) + AD( AC − AB )

uuur uuur uuur uuur uuur uuu

r uuur uuur uuur uuur uuur uuu

r

= AB

. AD − AB. AC + AC. AB − AC . AD + AD. AC − AD. AB

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

= ( AB. AD − AD. AB ) + ( AC. AB − AB. AC ) + ( AD. AC − AC.AD ) = 0

Bước 4: Nhận xét:

1. Đẳng thức véctơ (*) được gọi là hệ thức Ơle. Có thể dùng hệ thức Ơle để

chứng minh: Trong tam giác 3 đường cao đồng quy.

Thật vậy, giả sử các đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC cắt nhau tại H.

Áp dụng

hệ thức Ơler cho

4 điểm H, A, B, C ta có:

uuur uuur uuur uuu

uuur uuur

HA.BC + HB.CA + HC. AB = 0

uuur uuu

r uuur uuu

r

uuur uuur

HB

⊥ CA, HC ⊥ AB nên HB.CA = HC. AB = 0 từ đó HA.BC = 0 tức HA ⊥ BC .

Do



2.

Kết quả vừa chứng minh là sự mở rộng đẳng thức

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 khi A, B, C, D nằm trên một đường thẳng.

* Hệ thống bài tập

Bàiuu1:

Cho tam rgiác

ABC,

G là trọng tâm. Chứng minh rằng

ur uuur uuur uuu

uuuu

r uuur

1. MA.BC + MB.CA + MC. AB = 0

2. MA 2 + MB2 + MC2 = 3MG 2 + GA 2 + GB2 + GC2

3. GA 2 + GB2 + GC2 = a 2 + b2 + c 2 , với a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC.

4. Nếu tam giác ABC nội tiếp (O; R) thì OG 2 = R 2 − (a 2 + b2 + c2 ).

5. r Nếu

trọng tâm G của tam giác ABC thoả mãn điều kiện

uuu

r uuu

uuur r

aGA + bGB + cGC = 0 thì tam giác ABC đều.

Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm, I là tâm đường tròn nội tiếp.

Chứng minh:

uu

r uur uur r

1. aIA +ubIB

+ cIC = 0 (a, b, c là độ dài các cạnh tam giác ABC).

uur

uuur

uuur r

2. tan uAHA

+ tan BHB + tan C HC = 0

uur

uuur

uuuu

r r

3. Sa .MA + Sb .MB + Sc .MC = 0 , trongđó M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác

ABC, Sa, Sb, Sc theo thứ tự là diện tích của tam giác MBC, MCA, MAB.

4. a.IA 2 + b.IB2 + c.IC2 = abc .

Bài 3: cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hạ

MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

uuuu

r uuur uuur 3 uuuu

r

MD + ME + MF = MO

2



Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD.

Chứng minh rằng: AB2 + BC2 + CD2 + DA 2 = AC2 + BD2 + 4IJ 2

11



Bài 5: Cho tứ giác ABCD và số k ≠ 0; k ≠ 1. Trên các đường thẳng AB, BC,

CD, DA ta lấy các điểm tương ứng A’, B’, C’, D’ sao cho:

Hệ thống bài tập trên cùng với những kỹ năng giải toán cần thiết như:

Chuyển bài tốn sang ngơn ngữ véctơ, phân tích một véctơ thành một tổ hợp véctơ,

kỹ năng biết cách ghép một số véctơ trong một tổ hợp véctơ... đã giúp học sinh dễ

nhận dạng và tìm được cách giải cho mỗi bài tốn cụ thể, giúp học sinh có hứng

thú học tập mơn tốn, góp phần phát triển năng lực giải toán.

Sự phân dạng các bài tập trên đã tạo điều kiện cho học sinh tuỳ theo năng

lực, trình độ của mình có thể chủ động, sáng tạo hơn khi học tập, nghiên cứu về

chủ đề véctơ trong chương trình HH 10 (Cả sách cơ bản và nâng cao).

4.4. Chỉ ra những khó khăn sai lầm của học sinh gặp phải khi giải tốn hình

học phẳng bằng PPVT.

PPVT có nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, khi sử dụng

phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, và khơng tránh khỏi

những sai lầm trong khi giải tốn hình học lớp 10.

Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối

tượng mới là véctơ, các phép toán trên các véctơ. Các phép toán trên các véctơ

lại có nhiều tính chất tương tự như đối với các số mà học sinh đã học trước đó,

do đó vì học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các phép toán nên

dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT. uuur uuur uuur uuur

Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB . Với bài toán

trên, nhiều học sinh đã bị học sinh đã hiểu bài toán này như sau: Cho bốn điểm

A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB Vì hiểu sai bài tốn, dẫn đến khó

khăn trong q trình tìm lời giải bài tốn.

uuur uuur

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB =  3, AC =  5, BC =  7 . Tính AB . AC , tính góc A, và

góc giữa hai đường thẳnguAB

và AC. Có học sinh giải bài tốn này như sau: Ta có

uu

r uuur

uuu

r uuur

AB. AC

= 1 nên số đo của góc A là 00 , góc giữa hai đường

AB.CD = 3.5 = 15 ⇒ cos A =

AB. AC



thẳng AB, AC là 0 .

0



−15

uuu

r uuur 1

−15

2

2

2

Lời giải 2:Ta có AB. AC  =  2 ( AB    +  AC     −  BC   ) = 2   nên cos A = 2 = − 1

15

2



Do đó : góc A có số đo 120 độ. Góc giữa 2 đường thẳng AB, AC là 120 độ.

Bài trên học sinh giải sai do chưa nắm vững các kiến thức về véc tơ, có nhầm lẫn giữa

véctơ với đoạn thẳng, đặc biệt việc xác định góc giữa hai véctơ với góc giữa hai

đường thẳng (khơng hiểu, khơng học kỹ định nghĩa).

Lời giải



đúng như sau:



−15

1

cos A = 2 = − . Góc

15

2

0

0

α = 180 − 120 = 600 .



Ta có



uuu

r uuur 1

−15

AB. AC  =   ( AB  2  +  AC  2   −  BC  2 ) =

 

2

2



nên



ur

A = 1200 , góc giữa hai đường thẳng AB, AC là



Khó khăn thứ hai khi sử dụng véc tơ để giải tốn hình học lớp 10 là học sinh

phải gần như thoát ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ, (ít vẽ hình minh họa nếu

khơng cần thiết), nên khó tưởng tượng, hiểu bài tốn một cách hình thức, khơng

hiểu hết ý nghĩa hình học của bài tốn. Vì học sinh có thói quen giải bài tốn hình

học là phải vẽ hình nên khi sử dụng PPVT để giải một số bài tập không sử dụng

12



hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khănulúng

túng.

ur r uuu

r r

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Đặt CA = a, CB = b . Lấy các điểm A’, B’ sao cho

uuur

r uuur

r

uur

CA ' = ma , CB ' = nb . Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy biểu thị véc tơ CI

r r

theo hai véc tơ a, b.

uuur



r uuur



r



Học sinh đã giải bài toán như sau: ta có CA ' = ma, CB ' = nb nên



CA '

=m

CA



CA '+ A ' A 1

CA '

m

. Tương tự: BB ' = 1 − n . Gọi I chia đoạn AB’ theo

= ⇒

=

CA '

m

A' A 1 − m

CB

tỷ số x , do B, I, A’ thẳng hàng nên áp dụng định l Menêlẳyt ta có

uur

m − 1 uuur

CA



CB '

uu

r

r uur

m

1 − m AI

m − 1 uuu

m(1 − n )

(1 + n )

x =1⇔ x =

.

IA =

IB ' ⇒ CI =

hay

m −1

1− m

m(1 − n ) IB '

m(1 − n )

1−

m(1 − n )

u

u

r

u

u

u

r

m( n − 1)

n(1 − m)

=

CA +

CB ' .

1 − mn

1 − mn





Nhìn kết quả và q trình làm bài có vẻ lơgic và hồn hảo.

Phân tích sai lầm: Trong q trình giải, do thốt ly khỏi hình vẽ nên HS

đã xác định “nhầm” vị trí điểm I: điểm I nằm trong tam giác ABC.Mặc dù kết quả

đúng cuối cùng đúng, nhưng lời giải này vẫn chưa chính xác, vì đã “thu hẹp”

điều kiện của m, n là: m > 0, n > 0. Mặt khác, HS đã xác “định” nhầm: từ tỉ số

BB '

= 1 − n , đã suy ra ngay điểm B chia đoạn thẳng B’C theo tỷ số 1 − n , và cũng

BC



làm tương tự như thế với điểm A’.

-Lời giải

đúng

của bài utốn

này

như sau:

Vì I thuộc

A’B và

AB’ nên có rcác số x

uur

uuur

uu

r

uur

uuur

r

r ur

và y : CI = x.CA ' + (1 − x ).CB = y.CA + (1 − y )CB ' hay xma  +  (1 −  x )b =  ya  +  (1 −  y )nb .

 mx = y

1− n

⇒x=

và kết quả

1 − mn

1 − x = (1 − y )n



r r



Vì hai véc tơ a, b không cùng phương nên : 

uur



như đã biết CI =



m( n − 1) uur n(1 − m) uuur

CA +

CB ' .

1 − mn

1 − mn



Học sinh thường gặp khó khăn chuyển bài tốn từ ngơn ngữ hình học thơng

thường sang ngơn ngữ hình học véctơ và ngược lại. Vì vậy cần rèn luyện

cho học sinh kỹ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học từ cách nói

thơng thường sang dạng véctơ để có thể vận dụng cơng cụ véctơ trong giải

tốn.

Phương pháp dùng véc tơ để giải tốn hình học lớp 10 có nhiều tiện lợi trong

việc giải các bài tập. Tuy vậy, khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải

một số khó khăn, và khơng tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán: lần đầu

tiên làm quen với đối tượng mới là véctơ, các phép toán trên các véctơ. Các phép

tốn trên các véctơ lại có nhiều tính chất tương tự như đối với các số mà học sinh

đã học trước đó, do đó vì học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các

phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT.



13



C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN

Sáng kiến này được áp dụng trong quá trình giảng dạy chuyên đề hình học ở

các lớp 10F, 10H, năm học 2017 – 2018. Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng

phương pháp đã nghiên cứu tơi thấy kỹ năng giải tốn hình học bằng phương pháp

véc tơ của các em được nâng lên rõ rệt, góp hần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ

mơn Tốn nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung. Điều đó được chứng minh bởi

kết quả học tập của học sinh lớp 10F, 10H năm học 2017 – 2018 như sau:



Giỏi



Khá



Trung bình



Yếu - Kém



Lớp



Đầu

năm



Cuối

năm



Đầu

năm



Cuối

năm



Đầu

năm



Cuối

năm



Đầu

năm



Cuối

năm



10F



4%



8%



32%



45%



54%



43%



10%



4%



10H



5%



9%



33%



46%



51%



42%



11%



3%



14



KẾT LUẬN

Qua những vấn đề trình bày trong s á n g k i ế n n à y có thể rút ra một số

kết luận sau:

1.Trong các nhiệm vụ của mơn tốn ở trường THPT, cùng với việc

truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là một nhiệm vụ quan trọng, là cơ sở

để thực hiện các nhiệm vụ khác. Để rèn luyện kỹ năng giải tốn, góp phần

bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh cần đưa ra một hệ thống bài tập

đa dạng, hợp lí, được sắp xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến

thức, rèn luyện kỹ năng phát triển tư duy và biết áp dụng toán học vào thực

tiễn.

2. S á n g k i ế n đã hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm lời giải của

bài tốn theo bốn bước trong lược đồ của Pôlya.

3. S á n g k i ế n đã đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp,

thông qua hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập HH bằng PPVT

với nội dung phong phú đã đề cập được tới hầu hết các tình huống điển hình mà

học sinh hay gặp khi giải toán HH phẳng bằng PPVT. Đáp ứng được nhu cầu tự

học, tự nghiên cứu của học sinh, điều đó có tác dụng rèn luyện năng lực giải

tốn cho học sinh THPT.

4. Kết quả thu được qua thử nghiệm đã chứng tỏ cho tính khả thi và hiệu

quả của các biện pháp mà sáng ki ến đề cập tới. Sáng ki ến đã góp được

phần nào trong việc nâng cao chất lượng dạy và học ở trường THPT.

Với những ý kiến được trình bày trên đây hi vọng rằng sẽ là tài liệu tham

khảo cho các Thầy cô giáo, đặc biệt là các thầy cơ giáo còn chưa có nhiều kinh

nghiệm trong giảng dạy, góp phần nâng cao giảng dạy nói chung và bộ mơn tốn

nói riêng. Với kinh nghiệm còn ít ỏi của mình chắc chắn sáng kiến này còn nhiều

thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của độc giả để bản sáng kiến được đầy

đủ và có ý nghĩa thiết thực hơn. Đồng thời đây cũng là vấn đề mở cần được tiếp

tục nghiên cứu mở rộng thêm.



15



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Áp dụng trong thực tế dạy học

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×