Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chuyên đề 1.1Rút Gọn Và Tính Giá Trị Của Biểu Thức

Chuyên đề 1.1Rút Gọn Và Tính Giá Trị Của Biểu Thức

Tải bản đầy đủ - 0trang

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:

FB:ToanhocSodo

1

x +1

x≠−

A=

.

2

2x + 1

x≠2

Vậy với



thì

Thí dụ 2: rút gọn biểu thức

2xy − x 2 + z 2 − y 2

B= 2 2

.

x + z − y 2 + 2xz

Lời giải.

z 2 − (x 2 − 2xy + y 2 ) z 2 − (x − y) 2 (z + x − y)(z − x + y)

B= 2

=

=

.

(x + 2xz + z 2 ) − y 2 (x + z) 2 − y 2 (x + z + y)(x + z − y)

B=



z−x+y

.

x+z+y



x + y + z ≠ 0, x − y + z ≠ 0

Với

thì

II- Rút Gọn Biểu Thức Có Chứa Căn Thức.

Ta Thường Dùng Các Hằng Đẳng Thức

a − b = ( a − b)( a + b)



, với



a ≥ 0, b ≥ 0;



a a + b b = ( a + b)(a − ab + b)

a a − b b = ( a − b)(a + ab + b)



, với

, với



a ≥ 0, b ≥ 0;

a ≥ 0, b ≥ 0;



ua ≥ b

a − b neá

(a − b) 2 = a − b = 

ua < b.

b − a nế

Thí dụ 3: rút gọn biểu thức

C = x + 2y − x 2 − 4xy + 4y 2 .



Lời giải.



C = x + 2y − (x − 2y) 2 = x + 2y − x − 2y .

Ta có:

x ≥ 2y



x − 2y = x − 2y.



C = x + 2y − x + 2y = 4y.

do đó

x − 2y = −x + 2y

Nếu x < 2y thì

. Do đó c = x + 2y + x – 2y = 2x.

4y neá

ux ≥ y

C=

u x
2x nế

Vậy

Thí dụ 4: rút gọn biểu thc :



Nu



thỡ



(



)



2



a+ b

a b

a a b b

D=



ữì

a b

a b ÷



 a a+ b b



ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



Bộ chun đề ôn thi toán 9:

FB:ToanhocSodo

a ≥ 0,b ≥ 0,a ≠ b

Lời giải: điều kiện xác định

. Khi đó:



D=









=



=



(



a+ b



)(



a− b



a− b



) (



(



)(

)(



)



(



)



2



a b a + ab + b

a+ b

ữì



a b

a + b ÷ a + b a− ab + b





) (



)(



)





a+ ab + b

a+ b

a+ b

ữì



a+ b ÷



 a− ab + b















(



) (



)



2



a + b − a + ab + b ữ

a+ b

ab

=

ữì

a+ b

ữ a ab + b a − ab + b





ab

a ≥ 0,b ≥ 0,a ≠ b

a− ab + b

Vậy với

thì d =

Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta có thể đưa bài tốn rút gọn biểu thức có chứa

căn về bài tốn rút gọn biểu thức hữu tỉ (không chứa căn) dễ biến đổi hơn

Thí dụ 5: rút gọn biểu thức:

2



 4 4 − 4 2 1+ 2 

E=

+

÷ −

4

 1− 4 2

÷

2





4



Lời giải: đặt



2=a



4



thì a = 2,

4



2



E=



 a2 − a 1+ a2 

+



÷ −

1



a

a







4 = a2 = 2



1+



2



1

2 2

+



1+ 2



. Ta có:



2 1

+

a2 a4

1+ a2



1+



2





1+ a2 

1+ a2

1 1

= 2− 2 =0

 −a +

÷ − 2

2

a  a (1+ a ) a a





=

Thí dụ 6: rút gọn biểu thức



F=



Lời giải: đặt



a= 45



thì



. Vậy e = 0



2

4 − 34 5 + 24 25 − 4 125



a 4 = 5; a 2 = 4 25; a 3 = 4 125



. Ta có:



ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



Bộ chun đề ơn thi tốn 9:

FB:ToanhocSodo

− ( a 3 + 3a + 2a 2 + 4 )

1

−1

=

=

2

2

4 − 3 4 5 + 2 4 25 − 4 135 ( a 3 + 3a ) − ( 2a 2 + 4 ) ( a 3 + 3a ) − ( 2a 2 + 4 )

− ( a 3 + 3a + 2 a 2 + 4 )



=



=



a 3 + 3a + 2a 2 + 4

2a 2 + 6



a 6 + 6a 4 + 9a 2 − 4a 4 − 16a 2 − 16

a 3 + 3a + 2a 2 + 4 ) ( a 2 − 3) a 5 + 2a 4 − 2a 2 − 9a − 12  a + 1 2

(

=

=

=

÷

−8

2 ( a4 − 9)

 2 

2



 a +1 

4

F =2 

÷ = a +1 = 5 +1

 2 



Suy ra

Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu của hai biểu thức liên hợp bậc

hai



M = a +b c ,M ' = a −b c



( M + M ')



2



, ta có:



= 2a + 2 a 2 − b 2 c , ( M − M ' ) = 2a − 2 a 2 − b 2 c

2



Vì vậy có thể dùng phép lũy thừa bậc hai để khử bớt căn



 Thí dụ 7: rút gọn biểu thức:

G = a + b + c + 2 ac + bc + a + b + c − 2 ac + bc



trong đó a,b,c là các số khơng âm



Lời giải : bình phương biểu thức g ta có :

G2 = 2 ( a + b + c) + 2

= 2( a + b + c) + 2



Nếu

Nếu



a+b ≥ c

a+b < c



( a + b + c)



( a + b − c)



thì

thì



2



2



− 4 ( ac + bc )



= 2( a + b + c) + 2 a + b − c



G 2 = 2 ( a + b + c ) + 2 ( a + b − c ) = 4(a + b) ⇒ G = 2 a + b

G 2 = 2 ( a + b + c ) − 2 ( a + b − c ) = 4c ⇒ G = 2 c



 2 a + b khi a + b ≥ c

G=

khi a + b < c

 2 c



Vậy

-Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu của hai biểu thức liên hợp bậc

ba



M = 3 a +b c ,M ' = 3 a −b c



( M + M ')



3



, ta có :



= M 3 + M ' 3 + 3M .M '( M + M ') = 2a + 3 3 a 2 − b 2 c ( M + M ' )



Nên m+ m’ là một nghiệm của phương trình :



x 3 − 3 3 a 2 − b 2 c x − 2a = 0



ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



Bộ chun đề ơn thi tốn 9:

FB:ToanhocSodo



M −M

Tương tự

là một nghiệm của phương trình



x 3 + 3 3 a 2 − b 2 c − 2a = 0



.Vì vậy dùng lũy thừa bậc ba để khử bớt căn.



Thí dụ 8: Rút Gọn Biểu Thức

H = 3 10 + 6 3 + 3 10 − 6 3



.



Lời giải. Lập phương biểu thức



H



ta có:



H 3 = 20 − 3 3 102 − 62.3 .H ⇔ H 3 + 6 H − 20 = 0 ⇔ ( H − 2 ) ( H 2 − 2 H + 10 ) = 0

H 2 − 2 H + 10 = ( H − 1) + 9 > 0

2



Do



nên suy ra



H −2 =0 ⇔ H = 2



.



.



A2 = A

Khi gặp biểu thức chứa căn bậc hai, nếu biến đổi được thành

hiện phép tính sẽ đơn giản hơn nhiều.



thì việc thực



Xuất phát từ đẳng thức

1 1 1

2

2

2

1 1 1 2( a + b + c)

1 1 1

+ +

= 2+ 2+ 2+

 + + ÷ = 2+ 2+ 2+

a b c

ab ac bc a b c

abc

a b c

2



.



2



Nếu



a +b +c = 0



Suy ra : với



thì



1 1 1

1 1 1

 + + ÷ = 2+ 2+ 2

a b c

a b c



.



abc ≠ 0 a + b + c = 0

,

thì



1 1 1

1 1 1

+ 2+ 2 = + +

2

a b c

a b c



Vận dụng đẳng thức

Thí dụ 9: cho



a, b, c



( *)

( *)



vào rút gọn biểu thức chứa căn rất hiệu quả.



là các số hữu tỉ đơi một khác nhau. Chứng minh rằng



ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



Bộ chun đề ơn thi tốn 9:

FB:ToanhocSodo

1

1

1

S=

+

+

2

2

2

( a − b) ( b − c) ( c − a )

là số hữu tỉ.



( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) = 0



Lời giải. Nhận thấy

Áp dụng

S=







( *)



cho ba số







a −b ≠ 0 b−c ≠ 0 c −a ≠ 0

,

,

.



a −b b−c c−a

,

,

ta có



1

1

1

+

+

a −b b−c c −a

a, b, c



là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên



S



phải là số hữu tỉ.



Thí dụ 10: rút gọn biểu thức

P=



1

1

1

1

1

+

+ 4+ 4+

2

2

x + y ( x + y)

x

y ( x2 + y 2 ) 2

2



Lời giải. Điều kiện

cho ba số



x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ − y



x2 , y 2 , − ( x2 + y 2 )



.



. Nhận thấy



x2 + y 2 + ( − x2 − y 2 ) = 0



ta được



1

1

1

1

1

1

1

1

1

+ 4+

= 2+ 2+

= 2+ 2− 2

2

4

2

2

x

y ( x2 + y 2 )

x

y −( x + y ) x

y ( x + y2 )



P=



Do đó:

Lại áp dụng

P=



. Áp dụng



.



1

1

1

+ 2+

2

x

y ( x + y) 2



( *)



với ba số



x, y , − ( x + y )



1 1

1

1 1

1

+ +

= + −

x y −( x + y)

x y x+ y



ta có:



.



Thí dụ 11: tính tổng gồm 2010 số hạng

ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



( *)



Bộ chun đề ơn thi tốn 9:

FB:ToanhocSodo

1 1

1 1

1

1

S = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +

+

2

2 3

3 4

2011 20122

.

Lời giải. Mỗi số hạng của tổng có dạng

1+



1



( n − 1)



2



+



1

1

1

1

1

1

= 2+

+

= 1+

− ( n = 3,..., 2012 )

2

2

2

n

1 ( n − 1)

n −1 n

( −n )



.



Từ đó, ta có:

1

1 

1

1

 1 1  1 1



S =  1 + − ÷+  1 + − ÷+ ... +  1 +



÷ = 2010 + −

2 2012

 2 3  3 4

 2011 2012 

= 2010



1005

2012



.



III – Vận Dụng Tính Chất Nghiệm Của Đa Thức Để Rút Gọn

1. Cơ sở lí thuyết

Mệnh đề



f ( x ) = ax + b



a.Nếu nhị thức dạng



a =b=0



, tức là



f ( x)



đồng nhất bằng



b.Nếu tam thức dạng

một khác nhau thì



(



a, b



là các tham số ) có hai nghiệm phân biệt thì



0



f ( x ) = ax 2 + bx + c



a=b=c=0



, tức là



.

(



a , b, c



f ( x)



là các tham số ) có ba nghiệm đơi



đồng nhất bằng



0



.



Chứng minh

a.Giả sử với

. Vì



x1 − x2 ≠ 0



x1 ≠ x2



nên







a=0



f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0



suy ra



b=0



thì



ax1 + b = 0







ax2 + b = 0



. Từ đó



.



ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



a ( x1 − x2 ) = 0



Bộ chun đề ơn thi tốn 9:

FB:ToanhocSodo

f ( x1 ) = f ( x2 ) = f ( x3 ) = 0

x1 , x2 , x3

ax12 + bx1 + c = 0

b.Giả sử

đơi một khác nhau mà

thì

;

ax22 + bx2 + c = 0



;



ax32 + bx3 + c = 0



.



a ( x12 − x22 ) + b ( x1 − x2 ) = 0 a ( x12 − x32 ) + b ( x1 − x3 ) = 0

x1 ≠ x2 x1 ≠ x3

Từ đó suy ra

;

. Do

,

, nên



a ( x1 + x2 ) + b = 0 a ( x1 + x3 ) + b = 0

;

.

Suy ra



a ( x2 − x3 ) = 0



. Vì



x2 ≠ x3



a=0



nên



. Từ đó suy ra



b=0 c=0

,

.



Khi rút gọn các phân thức hữu tỉ, nếu khai triển các phép tính gặp phải những

biến đổi phức tạp thì ta nên coi nó như một đa thức theo một biến rồi áp dụng

mệnh đề trên. Lúc đó cơng việc trở nên dễ dàng hơn.

2. Một số thí dụ áp dụng

Thí dụ 12. Rút gọn biểu thức



( d − b) ( d − c) + ( d − c) ( d − a) + ( d − a ) ( d − b)

( a − b) ( a − c ) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b)

Lời giải. Điều kiện xác định

f ( x) =



Xét đa thức



a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a



Nhận thấy

Tương tự có

Như vậy

nghiệm.



f ( d)



.



.



( a − b) ( a − c) + ( a − c) ( a − a) + ( a − a) ( a − b)

( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b)



f ( b) = f ( c) = 1



f ( x ) −1



.



( x − b) ( x − c) + ( x − c) ( x − a ) + ( x − a) ( x − b)

( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a ) ( c − b)



Khi đó biểu thức đã cho chính là

f ( a) =



.



=1



.



.



là tam thức dạng



Ax 2 + Bx + C



nhận ba số khác nhau



a, b, c



ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



làm



Bộ chun đề ơn thi tốn 9:

FB:ToanhocSodo

f ( x ) −1

f ( x) = 1

f ( d) =1

0

Vậy

đồng nhất bằng , hay

với mọi x. Suy ra

.

Thí dụ 13. Đơn giản biểu thức

a − b b − c c − a ( a − b) ( b − c) ( c − a )

+

+

+

a + b b + c c + a ( a + b) ( b + c) ( c + a)



Lời giải. Điều kiện xác định



.



a ≠ −b, b ≠ −c, c ≠ −a



Sau khi quy đồng mẫu số chung



.



( a + b) ( b + c ) ( c + a )



, ta có tử thức là



P = ( a − b) ( b + c) ( c + a ) + ( a + b) ( b − c) ( c + a ) + ( a + b) ( b + c ) ( c − a ) + ( a − b ) ( b − c ) ( c − a )



xét



f ( x) = ( x − b) ( b + c) ( c + x) + ( x + b) ( b − c) ( c + x ) + ( x + b) ( b + c ) ( c − x ) + ( x − b) ( b − c ) ( c − x )



P = f ( a)



thì



.



Ta thấy



f ( b) = ( b + b) ( b − c ) ( c + b) + ( b + b) ( b + c ) ( c − b) = 0

f ( c) = ( c − b) ( b + c) ( c + c) + ( c + b) ( b − c) ( c + c) = 0

f ( 0 ) = −bc ( b + c ) + bc ( b − c ) + bc ( b + c ) − bc ( b − c )



-Nếu



b≠c



và đều khác



nhau làm nghiệm nên

-Nếu



b=0



hoặc



b=c



0



f ( x)



thì



f ( x)



hoặc



;



.

Ax 2 + Bx + C



đồng nhất bằng



c=0



Vậy biểu thức đã cho bằng



có dạng



;



0



thì suy ra



0



P=0







P=0



nhận



b , c, 0



đôi một khác



.



.



.

Bài Tập.



Bài 1.

rút gọn các biểu thức sau

ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



Bộ chun đề ơn thi toán 9:

FB:ToanhocSodo

2

2

 x+2

 2 − 4 x 3x − x + 1

M =

+

− 3 ÷:



x +1  x +1

3x

 3x

1)

.



2)



 x2 − 1

1   4 1 − x4 

N = 4



÷.  x −

÷

2

2

1 + x2 

 x − x +1 x +1  



N=



3)



a 2 − bc

b 2 − ac

c 2 − ab

+

+

( a + b) ( a + c ) ( b + c) ( b + a) ( c + a ) ( c + b)



Chứng minh rằng với



Bài 2.



.



a , b, c



.



là các số đôi một khác nhau thì



a 2 ( x − b ) ( x − c ) b2 ( x − c ) ( x − a ) c 2 ( x − a ) ( x − b )

+

+

= x2

( a − b) ( a − c)

( b − c) ( b − a)

( c − a ) ( c − b)

Rút gọn các biểu thức chứa căn thức



Bài 3.

A=

1)



2)



.



a 2 + 4a + 4

a −2



.



B = 3x − 4 − 2 3 x − 5



C=

3)



.



2 a −9

a + 3 2 a +1





a −5 a +6

a − 2 3− a



.



 1+ a a



a ( −a )  1 − a a

D=

:

+

a



a



÷

÷

÷ 1 + a

÷

1 − a 2  1 − a





3



4)



Rút gọn các biểu thức



Bài 4.

E=



1)



.



2

7 + 5 4 5 + 3 4 25 + 4 125

2



.



ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



Bộ chuyên đề ôn thi toán 9:

FB:ToanhocSodo



F = 3 6+

2)



847 3

847

+ 6−

.

27

27



1

2

6

7 +

G= 3 −37−



7

1

3

7−

73 7 +

7



7−



3)



(



)



2



1 

÷

7



+



3



7

.

343



Sn = 1 + 99...9 + ( 0,99...9 ) .

2



Sn

hãy viết

dưới dạng số thập phân.

Tính Giá Trị Của Biểu Thức Đại Số Một Biến

Tính giá trị của biểu thức đại số một biến mà giá trị của biến là một biểu thức tạp

hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó là dạng tốn gặp nhiều trong các kì thi vào thpt,

thi học sinh giỏi với những bài tập hay và khó, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt và

sáng tạo các phép biến đổi. Ta thường sử dụng phương pháp phân tích từ điều

kiện đã cho của biến để biến đổi.

Cho



Bài 5.



Bài tốn 1: tính giá trị của biểu thức



(



)



A = x5 + x 4 − x3 + 1



x=

Lời Giải.



2012



+



(x



2



+ x −3



)



2012



x +x −x −2

5



4



3



x=



2012



khi



5 −1

.

2



5 −1

⇒ 2 x + 1 = 5 ⇒ 4 x 2 + 4 x + 1 = 5 ⇒ x 2 + x − 1 = 0.

2



x5 + x 4 − x 3 + 1 = x 3 ( x 2 + x − 1) + 1 = x 3 .0 + 1 = 1.



Ta có:



x 2 + x − 3 = x 2 + x − 1 − 2 = 0 − 2 = −2;

x5 + x 4 − x3 − 22012 = x3 ( x 2 + x − 1) − 22012 = x3 .0 − 22012 = −22012.



A =1



2012



Khi đó



( −2 )

+



2012



−22012



= 1+



22012

= 0.

−22012



(



)



2



B = 4 x5 + 4 x 4 − 5 x3 + 5 x − 2 + 2011.

Bài tốn 2: cho biểu thức



x=

Tính giá trị của biểu thức b khi



1

2



2 −1

.

2 +1



ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



Bộ chuyên đề ơn thi tốn 9:

FB:ToanhocSodo



2 −1 1

=

2 +1 2



1

x=

2



(



Lời Giải. Ta có



(



)



2 −1



)(



2 +1



2



=



)



2 −1



2 −1

⇒ 2x +1 = 2

2



⇒ ( 2 x + 1) = 2 ⇔ 4 x 2 + 4 x − 1 = 0.

2



Suy ra



4 x 5 + 4 x 4 − 5 x 3 + 5 x − 2 = x 3 ( 4 x 2 + 4 x − 1) − x ( 4 x 2 + 4 x − 1) + 4 x 2 + 4 x − 2



B = ( −1) + 2011 = 2012



=



x 3 .0 − x.0 + 0 − 1 = −1.



2



Vậy



.



2 x 2 + x − 1 = 0.



Bài toán 3: gọi a là nghiệm dương của phương trình



C=

phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức



2a − 3



2 ( 2a − 2 a + 3 ) + 2a

4



2 x 2 + x − 1 = 0.



Lời giải. Do a là nghiệm dương của phuong trình

ra



0 < a <1



C=



=







2a − 3



(



1

2



(



(



)



=



từ đó , ta có:



( 2a − 3 )



(



(



)



2 2a 4 − 2a + 3 − 2 a 2



4 a − 4 a + 6 − 4a



2 ( 2a 4 − 2 a + 3 ) − 2a 2

−2 ( 2a − 3 )



)



)=



2 ( 2 a 4 − 2a + 3 ) − 2 a 2 = −



2



nên



2a 2 = 1 − a



suy



4



)



2 ( 2a 4 − 2a + 3 ) − 2 a 2

−2



2−a

a − 2 1− a

1

+ a2 =

+

=−

.

2

2

2

2



Bài toán 4: chứng minh rằng phương trình



x1



.



2



2 2a 4 − 2a + 3 + 2 a 2



( 2a − 3 )



=−



2 a = 1 − 2a + a .

4



2



khơng giải



x2 + x −1 = 0



có hai nghiệm trái dấu. Gọi



là nghiệm âm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức



D = x18 + 10 x1 + 13 + x1.



ĐT:0945943199 Nhóm tài

liệuhttps://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chuyên đề 1.1Rút Gọn Và Tính Giá Trị Của Biểu Thức

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×