Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác

Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

BC :�

2x - y - 6 = 0



AD :�

2x - y + 13 = 0

 Nhận xét: Bài tốn trên có thể lấy đối xứng của điểm N, P qua tâm I. Khi đó

ta tìm được tọa độ hai điểm đối xứng là N’ và P’ lần lượt nằm trên hai đường

thẳng AD và AB.

Ví dụ 2:



1 �



I�

;0�









2





Oxy

,

ABCD

Trong mặt phẳng tọa độ

cho hình chữ nhật

có tâm





x - 2y + 2 = 0�và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh của

đường thẳng AB :�

hình chữ nhật.

 Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình chữ nhật.

Lời giải:



Lấy



M ( 0;1)



thuộc đường thẳng AB







Do I là tâm HCN nên lấy M �đối xứng với M qua I � M (1;- 1), M �CD PT

đường thẳng CD qua M �và song song với AB là: x - 2y - 3 = 0.



Tac�

� : AD = d ( AB ,CD ) = d ( M �

, AB ) =



1- 2.( - 1) + 2

5



= 5



� AB = 2AD = 2 5 � d ( I , AD ) = 5

PT đường thẳng AD vng góc với đường thẳng AB là: 2x + y + c = 0

� d ( I , AD ) = 5 �





c=4

= 5��



c=- 6

5





1+ c



Suy ra đường thẳng AD có 2 PT:



2x + y + 4 = 0�

v��

2x + y - 6 = 0

40



Trường hợp 1: Nếu



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

AD : 2x + y + 4 = 0



Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT:



x - 2y + 2 = 0� �

x =- 2



��

� A ( - 2,0) � C ( 3;0)







2x + y + 4 = 0 �



�y = 0



Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT:





x - 2y - 3 = 0

x =- 1



��

� D ( - 1;- 2) � B ( 2;2)







2x + y + 4 = 0 �

y=- 2







Trường hợp 2: Nếu



AD : 2x + y - 6 = 0



Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT:



x - 2y + 2 = 0� �

x=2



��

� A ( 2;2) � C ( - 1;- 2)







2x + y - 6 = 0 �

y=2







Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT:



x - 2y - 3 = 0 �

x=3



��

� D ( 3;0) � B ( - 2;0)







2x + y - 6 = 0 �

y=0







Vậy tọa độ các đỉnh hình chữ nhật là:



A ( - 2;0) ; �

B ( 2;2) ; C

�( 3;0) ; �

D ( - 1;- 2)



hoặc



A ( 2;2) ; B ( - 2;0) ; C

�( - 1;- 2) ; D ( 3;0)

Ví dụ 3( Khối D-2012):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng



v�x - y + 4 = 0, đường

AC và AD lần lượt có phương trình là 2x - y + 3 = 0��

�1 �



M�

- ;1�

.









3 �



thẳng BD đi qua điểm

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật



ABCD.

Lời giải:



41



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng



Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT:

�x + 3y = 0� �

x =- 3



��

� A ( - 3;1)







x - y + 4 = 0 �y = 1







Gọi d là đường thẳng qua M và song song với AD thì phương trình d có dạng:

x - y + m = 0�

m � 4)

(�

M �d � m =



4

4

� ( d) : x - y + = 0

3

3



Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT:





4

x =- 1



� 1�

x- y+ = 0 �













N

- 1; �







3

1











3





y

=





x

+

3

y

=

0





3

� 2 2�



I�

- ; �





� 3 3�



Gọi I là trung điểm của MN thì �



Gọi D là đường thẳng qua I và vng góc với AB thì phương trình của D là:



x +y +n = 0

Điểm I �D � n = 0 � D : x + y = 0

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì tọa độ điểm O là nghiệm của hệ PT:



x + 3y = 0� �

x=0







� O ( 0;0)









x

+

y

=

0

y

=

0







Phương trình đường thẳng BD đi qua 2 điểm M, O có dạng: x + 3y = 0.

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT:

�3x + y = 0� �

x =- 1



��

� D ( - 1;3)







x- y +4= 0 �



�y = 3

42



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

B ( 1;- 3) ; C

�( 3;- 1)

Do O là trung điểm của AC và BD nên ta có

Vậy



tọa



độ



các



đỉnh



của



hình



chữ



nhật



là:







D ( - 1;3) ;�

B ( 1;- 3) ;C ( 3;- 1) ;�

A ( - 3;1) �





 Nhận xét: Ở đây ta để ý để chỉ ra ON=OM.

Ta có thể dùng cách 2: Viết phương trình đường thẳng BD qua M

tạo với AD một góc bằng (AD,AC). Khi đó được hai đường nhưng có 1 đường

song song với AC.

Ví dụ 4( Khối A-2012):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD. Gọi M là trung điểm

của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử





11 1�





M� ; �



�2 2�

�và đường thẳng AN có phương trình: 2x - y - 3 = 0. Tìm tọa độ



điểm A.

Lời giải:





� = b,��

a,�



DAN

tac�:�

Đặt BAM =�

tana =



BM

1

DN

1

= ,�

tanb =

=

AB

2

AD

3



1 1

+

tana + tanb

2

3 = 1 � a + b = 450

� ( a + b) =

tan

=

1 1

1- tana.tanb

1- .

2 3

Mặt khác:



� MAN

= 450

43



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng



0

 Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là ta chỉ ra được MAN = 45. Đến đây thì

bài tốn trở nên dễ dàng.

Gọi



A ( a;2a - 3) �AN ,



uuur �

� 1

11

7





AM = �

a

;

a

= ( 11- 2a;7 - 4a)









2

2

2





Ta có:



Đường thẳng AM , AN có véc tơ chỉ phương lần lượt là:

uuur

uuur

AM ( 11- 2a;7 - 4a) , �

AN ( 1;2)

ta có:

uuur uuur



AM .AN

0

Cos45 = uuur uuur

AM . AN





1

2



=



25 - 10a



( 11-



2a) + ( 7 - 4a) . 5

2



2



� 5- 2a = 2a2 - 10a + 17



� ( 5 - 2a) = 2a2 - 10a + 17

2





a =1

� a - 5a + 4 = 0 � �



a=4



2



Vậy có 2 điểm A cần tìm là:



A1 ( 1;- 1) ,�A2 ( 4;5)



Ví dụ 5( Khối A- 2013):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD với điểm C

thuộc đường thẳng



d : 2x + y + 5 = 0��

v�A ( - 4;8) .



Gọi M là điểm đối xứng của



B qua C, N là hình chiếu vng góc của B trên MD.Tìm tọa độ các điểm B và C,

biết rằng



N ( 5;4) .



Lời giải:

44



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng



Gọi



C ( t;- 2t - 5) �d,



của AC nên



gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra I là trung điểm





t - 4 - 2t + 3�





I�

;









2 �

�2



Tam giác BDN vuông tại N nên IN = IB (trong tam giác vuông đường trung

tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) suy ra IN = IA

Do đó ta có phương trình:

2



2



2



2



� t - 4�



� �

� - 2t + 3�



- 2t + 3�

t - 4�





















5+

4

=

4

+

8





















� �



� �



2 �

2 �

2 �

2 �



� �



� t = 1 � C ( 1, - 7)



Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB

Mà CB = AD và CM song song với AD ( tính chất hình chữ nhật) nên tứ giác

ACMD là hình bình hành.

Suy ra AC song song DM

AC và CB = CN .

Lại có BN ^ DM , suy ra BN ^�



Vậy B là điểm đối xứng với N qua AC.

Phương trình đường thẳng AC qua A và C là: 3x + y + 4 = 0.

Đường thẳng BN qua N và vng góc với AC là: x - 3y - 17 = 0.



3a + 22 a - 4�





K�

;







B ( 3a + 17;a) ,



2

2 �



Gọi

gọi K là trung điểm của BN suy ra



� a- 4

3a + 22�



K �AC � 3�



�+ 2 + 4 = 0 � a = - 7 � B ( - 4;- 7)



� 2 �



45



Vậy



B ( - 4;- 7) ,�

C ( 1;- 7)



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

.



Ví dụ 6( Khối B- 2013):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường

chéo vng góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình:



x + 2y - 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm H ( - 3;2) . Tìm tọa độ các đỉnh C

và D.

Lời giải:





0

Gọi I là giao điểm của AC và BD suy ra IB = IC � ICB = 45



Mà I B ^ IC (gt) nên tam giác BIC vuông cân tại I

BH ��

^AD � BH �

^ BC � D HBC �

vuông cân tại B suy ra I là trung điểm của



HC.



a - 3 b + 2�





C ( a;b) � I �

;









2

2 �



Gọi



Do



uuur uuur

CH �

^ BD � CH .BD = 0 � 2( a - 3) - ( b - 2) = 0



I �BD �



a- 3

b+ 2

+ 2.

- 6= 0

2

2



(1)

(2)





a =- 1



� C ( - 1,6)





b

=

6

Từ (1), (2) suy ra �

IC

IB

BC

1

=

=

= � 3I C = I D

ID

AD

3

Ta có ID



M�CD

:� = IC 2 + ID 2 = 10IC 2 = 5 2 ( theo pitago)

46



Gọi



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

D ( 6- 2t,t) �DB ��

v�CD = 5 2





t =1

2

2

� ( 7 - 2t) + ( t - 6) = 50 � �



t =7





Vậy



C ( - 1;6) , D ( 4;1)



hoặc



C ( - 1;6) , �

D ( - 8;7) .



Ví dụ 7:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo

M ( 4;- 4)

BD nằm trên đường thẳng D : x - y - 2 = 0. Điểm

nằm trên đường



thẳng chứa cạnh BC, điểm



N ( - 5;1)



nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB. Biết



BD = 8 2. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD , biết điểm D có hồnh



độ âm.

 Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng trục của hình thoi.

Lời giải:



BD � M �

( - 2;2)

Gọi M �đối xứng với M qua

N nên

Đường thẳng AB qua M �



AB : x - 3y + 8 = 0



Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT:

�x - y - 2 = 0� �

x=7



��

� B ( 7;5)







x - 3y + 8 = 0 �

y=5







Gọi



D ( d,d - 2) �D,

47



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng



doBD

� = 8 2 � ( d - 7) + ( d - 7) = 128 � d = - 1 � D ( - 1, - 3)

2



Gọi I là tâm hình thoi suy ra



2



I ( 3;1) ,



khi đó đường thẳng AC qua I và vng góc



với BD suy ra AC có phương trình: x + y - 4 = 0.

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT:

�x + y - 4 = 0



x =1



��

� A ( 1,3) � C ( 5,- 1)







x - 3y + 8 = 0 �

y=3







Vậy tọa độ các đỉnh hình thoi là:



A ( 1;3) ,�

B ( 7;5) ,�

C ( 5;- 1) ,�

D ( - 1;- 3)



.



 Nhận xét: Bài tốn trên có thể lấy đối xứng của điểm N qua trục đối xứng

AC. Khi đó ta tìm được tọa độ điểm đối xứng là N’ nằm trên đường thẳng AD.

Ví dụ 8:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD trong đó A

thuộc đường thẳng d1 : x + y - 1 = 0, và C, D nằm trên đường thẳng

d2 :2x - y + 3 = 0.



Tìm tọa độ các đỉnh của hình vng biết hình vng có



diện tích bằng 5.

Lời giải:



Gọi I là tâm hình vng ABCD .

Gọi



A ( a;1- a) �d



,���

tac�SABCD = 5 � d ( A,d2) = AD = 5

1





2a - 1+ a + 3

5



= 5



48



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

�a = 1



� 3a + 2 = 5 � �

7



a

=



3



*) Với



a = 1 � A ( 1;0)



suy ra phương trình cạnh AD : x + 2y - 1 = 0



Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT:



2x - y + 3 = 0� �

x =- 1







� D ( - 1;1)









x

+

2

y

1

=

0

y

=

1







Gọi



C ( a,b) tac�

��

C �d2 ��

v�DC = 5



Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT:



��

a=0

��

��

� 2a - b + 3 = 0�

b= 3



��



� ��

2

2







a =- 2

( a + 1) + ( b- 1) = 5 �













b=- 1







Suy ra



C ( 0;3)



hoặc



C ( - 2;- 1) .





1 3�



C ( 0,3) � I �

� B ( 2;2)

�; �







2 2�



+) Với

� 1 1�



C ( - 2, - 1) � I �

- ;- �

� B(0;- 2)









2 2�



+) Với

a =-



*) Với

x + 2y +





7

- 7 10�



� A�

� ; �





3

�3 3 �

�suy ra phương trình cạnh AD là:



13

=0

3



Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT:



1





2

x

y

+

3

=

0�

x =�



� 1 7�





3 � D�





- ; �







13











7

3

3





x

+

2

y

+

=

0





y

=





3





3



49



Gọi



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

C ( a;b) tac�

��

C �d2 ��

v�DC = 5



Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT:





2a - b + 3 = 0





2



� 1�

� �







a+ �

+�

b�













� 3�

� �









4





a

=







3







1





b=





2



3





7�







2



=5 �





a=





3�





3







13





b=







3







� 4 1�



C�

- ; �

�I









3 3�



+) Với



+) Với





2 13�



C�

; �

�I









3 3�





� 11 11�







- 10 4�







; �



B

;









� 6 6�

� 3 3�











� 5 23�

� 4 16�











;



B

- ; �

















� 6 6�

� 3 3�



Vậy có 4 hình vng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

A ( 1;0) ,�

B ( 2;2) ,�

C ( 0;3) , D ( - 1;1)



hoặc



A ( 1;0) ,�

B ( 0;- 2) ,C ( - 2;- 1) ,�

D ( - 1;1)



hoặc





� 4 1�

� 1 7�



- 7 10� �

- 10 4�



















A�

,�

B

;

,

C

;

,

D

;

� ; �













� �

� �

� �





� 3 3�

� 3 3�

� 3 3�

�3 3 �





hoặc





� 4 16�



� � 1 7�

- 7 10�

2 13�



















A� ; �

,B �

- ; �

, C �; �

,D �

- ; �

.





















3

3

3

3

3

3

3

3



� �

� �

� �





Ví dụ 9 (Khối A-2014):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có M là trung

điểm AB , N thuộc cạnh AC sao cho AN = 3NC . Viết phương trình đường

thẳng CD, biết



M ( 1;2) , N ( 2;- 1) .



Lời giải:



50



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×