Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác

Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

uuur uuur



AB .�

AC = 0



� 2



AB = AC 2





Theo bài ra tam giác ABC cân tại A nên:



- 2b( 2c - 4) + ( b - 1) ( c - 1) = 0�

















(�1)





�� 2

2

2

2



4

b

+

b

1

=

2

c

4

+

c

1





(

)

(

)

(

)

(�2)





Xét PT (1):



- 2b( 2c - 4) + ( b - 1) ( c - 1) = 0



Nếu b = 0 thì c = 1 khơng thỏa mãn PT (2) suy ra b � 0.



Khi đó PT (1)



� 2c - 4 =



( b - 1) ( c - 1)

2b



Thay vào PT (2) ta được



( b - 1) ( c - 1)

=

2



4b2 + ( b - 1)



2



4b2



2



c - 1)

2�

(



�2

��

4b + ( b - 1) �

� 2 � 4b











( c - 1)





2



+ ( c - 1)



2







1�

=0









2



- 1= 0



4b2



� ( c - 1) = 4b2

2



�c - 1 = 2b

��



c

�- 1 = - 2b



� 5



c=

� c - 1 = 2b







�� 3







2

c

4

=

b

1

1





b=





� 3

Trường hợp 1:



Suy ra







4 1� �

4 5�







B�

,

C

;

�; �











3 3�

3 3�



� �





21



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

�c - 1 = - 2b

�c = 3



��







2c - 4 = 1- b �

b=- 1



Trường hợp 2: �

Suy ra



B ( 4;- 1) , C ( 4;3) .





� �

4 1�

4 5�







B�

;

,

C

; �













B ( 4;- 1) , C ( 4;3)



3 3�

3 3�







Vậy với

hoặc

thỏa mãn yêu cầu bài tốn.



Ví dụ 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết PT các đường thẳng

chứa các cạnh AB, BC lần lượt là: 4x + 3y - 4 = 0;x - y - 1 = 0. Phân giác

trong của góc A có phương trình: x + 2y - 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam

giác ABC .

Lời giải:



Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT:



4x + 3y - 4 = 0 �

x =- 2



��

� A ( - 2;4)









�x + 2y - 6 = 0

�y = 4



Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT:



4x + 3y - 4 = 0 �

x =1



��

� B ( 1;0)









x

y

1

=

0�

y

=

0





A ( - 2;4)

Phương trình đường thẳng AC qua điểm

có dạng:

a ( x + 2) + b( y - 4) = 0 � ax + by + 2a - 4b = 0



�:�

x + 2y - 6 = 0

Gọi d

Theo bài ra ta có d là phân giác trong của góc A nên:

22



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Cos ( AB,d) = Cos ( AC ,d)









1

.a + 2.b

a2 + b2 . 5



=





4.1+ 2.3

25. 5



� �

a + b = 2 a2 + b2

� a ( 3a - 4b) = 0



� a=0

��



3a - 4b = 0





-



0

+) Nếu a =



b



0.�

Do�

đ��

AC : y



4



0



�= 4�

th�

b

�= 3.

+) Nếu 3a - 4b = 0: chọn a



Suyra

��

AC : 4x + 3y - 4 = 0



(trùng với AB )



�:�- 4 = 0

Vậy PT đường thẳng AC l�y

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT:

� y- 4= 0



x=5



��

� C ( 5;4)









x

y

1

=

0

y

=

4







Vậy với



A ( - 2;4) ;B ( 1;0) ; C ( 5;4)



thỏa mãn yêu cầu bài toán.



 Nhận xét: Khi bài tốn cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm

ảnh của B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC. Khi đó ta viết được

phương trình đường AC.



Ví dụ 4( Khối D-2011):



23



Chun đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

B ( - 4;1) ,

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh

trọng

tâm



G ( 1;1)



và đường phân giác trong của góc A có PT: x - y - 1 = 0. Tìm tọa



độ đỉnh A và C .

 Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta làm tương tự như ví dụ trên.

Lời giải:



x - y - 1= 0

Gọi AE là đường phân giác trong của góc A suy ra AE :�

Gọi M là trung điểm của AC . Do G là trọng tâm tam giác ABC nên

uuur 1 uuur

GM = �

BG

2



5 �

7

uuur







7 �

x

1

=

xM =







M



BG ( 5;0) �





suyra

��











M

;1�



2

2











2









y

1

=

0

y

=

1

M

M













Từ B kẻ BK vng góc với



AE (K ��

AC )



tại I; Tam giác ABK có AI vừa là



đường cao vừa là đường phân giác nên cân tại A, suy ra I là trung điểm của BK.

Đường thẳng BK ^ AE nên BK có dạng : x + y + c = 0.

Mà B �BK nên - 4 + 1+ c = 0 � c = 3



x + y + 3 = 0.

Suy ra PT đường thẳng BK :�

I �AE nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

Ta thấy I �BK ,�





x =- 1

�x - y - 1 = 0 ��



� I ( - 1;- 2)







x

+

y

+

3

=

0

y

=

2







Lại có I là trung điểm của BK nên ta có tọa độ điểm



K ( 2;- 5) .



24



uuur � 3

MK = �

- ;�



2



Suy ra



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng



3



6�

= - ( 1;4)





2





K nên có phương trình:

Đường thẳng AC đi qua 2 điểm M ,�

x- 2 y +5

=

1

4



� 4x - y - 13 = 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:



4x - y - 13 = 0 �

x=4





��

� A ( 4;3)







y=3

�x - y - 1 = 0





M là trung điểm của AC nên C ( 3;- 1)

Vậy



A ( 4;3) ;C ( 3;- 1) .



Ví dụ 5( Khối D-2010):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm



A ( 0;2)



và D là đường thẳng đi qua



O. Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên D . Viết phương trình đường

thẳng D , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH .

Lời giải:

Gọi véc tơ chỉ phương của D là:



r

u ( a;b) ,�



(�a�2 + b2 �0)



PT tham số của đường thẳng D qua



O ( 0;0)



và có véc tơ chỉ phương



r

u ( a;b)



là:





x = at







y = bt





uuur

H�

�D � H ( at;bt) � AH ( at;bt - 2)



uuur r



AH ^ D � AH .�

u = 0 � a2t + b2 - 2b = 0

�t=



2b











( 1)

a + b2

2



25



Lại có:



d ( H ,0x) = AH



Chun đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng



2 2

� bt

= a2t 2 + ( bt - 2)



2



� a2t 2 - 4bt + 4 = 0�







( 2)

tac�a

:� + a .b ( 1) ,( 2) ��

Từ

4



2



2



b4 = 0



tac�:�

- b4 + 2b2 + 4 = 0 � b = � 1+ 5

Chọn a = 2��

� x = 2t











y

=

1

+

5

t



Vậy PT đường thẳng D là �

hoặc



� x = 2t



















y

=

1

+

5

t







Ví dụ 6( Khối B-2010):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng tại A, có đỉnh

C ( - 4;1) ,



phân giác trong góc A có PT: x + y - 5 = 0. Viết phương trình



đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hồnh độ

dương.

 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai điểm nằm cùng phía và khác

phía với một đường thẳng.



Lời giải:

A ( a;5 - a) �d

Gọi: d là đường phân giác trong góc A,�

uuur

� AC ( - 4 - a;a - 4)



26



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

r

n ( 1;1)

Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến

suy ra có véc tơ chỉ phương

r

u ( 1;- 1)



Tam giác ABC vuông tại A ta có:

uuur r

AC .u

Cos ( AC ,d) = uuur r

AC . �

u





- 4- a + 4- a

2. ( - 4 - a) + ( - 4 + a)

2



� - 2a =



2



1



=



( - 4- a) + ( - 4 + a)

2



2

2



� 4a2 = 2a2 + 32 � a2 = 16



� a = 4 ( do a có hồnh độ dương)

uuur

A ( 4;1)

AC ( 8,0) .

Suy ra

suy ra AC = 8 và

uuur

AB

B ( x;y)

( x - 4;y - 1) � AB =

Gọi

ta có



( x - 4)



2



+ ( y - 1)



2



1

SDABC = AB .AC

2

Theo bài ra ta có:







2

2

1

� 24 = .8. ( x - 4) + ( y - 1)

2

(1)

uuur uuur

AB .AC = 0 � 8.( x - 4) + 0.( y - 1) = 0 � x = 4



B ( 4;7)

B ( 4;- 5)

Thay vào (1) ta được y = 7 hoặc y = - 5. Suy ra

hoặc

.



Xét hàm số:

Với



B ( 4;7)



F ( x;y) = x + y - 5



, ta có:



F ( xB ;yB ) .F ( xC ;yC ) = - 48 < 0.



phía với đường phân giác góc A. Còn



B ( 4;- 5)



Suy ra B và C nằm khác



(loại).



27



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

BC : 3x - 4y + 16 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng

 Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta có thể làm như sau:

B1: Tìm C’ là ảnh của C qua d.

B2: Gọi A thuộc d, tìm tọa độ điểm A.

B3: Viết phương trình đường AC’.

B4: Gọi tọa độ điểm B thuộc AC’. Tính diện tích AB. Với điều kiện B, C’ nằm

uuur

uuuu

r

cùng phía với điểm A. Hay AB cùng chiều với AC ' .

Ví dụ 7( Khối A-2010):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác



A ( 6;6) ,

cân tại A có đỉnh



đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình:



( D ) :x + y -



4 = 0.



E ( 1;- 3)

Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm

nằm trên



đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

Lời giải:



BC

Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh �

AH ^ D suy ra AH có phương trình: x - y + c = 0

AH qua A suy ra 6 - 6 + c = 0 � c = 0

Phương trình đường cao AH là: x - y = 0.

Gọi I là giao điểm của D và AH nên tọa độ I là nghiệm của hệ:



x +y - 4 = 0 �

x =2





��

� A(2;2)







y=2

� x- y = 0





Theo tính chất đường trung bình ta có I là trung điểm của AH

28



Suy ra



H ( - 2;- 2) .



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng



PT đường thẳng BC qua H và song song với D có dạng: x + y + d = 0.



H thuộc BC � - 2 - 2 + d = 0 � d = 4

Suy ra phương trình đường thẳng





BC :x + y + 4 = 0



B ( x1;- x1 - 4) ;C ( x2;- x2 - 4)

Gọi

ta có:

uuu

r

uuur

CE = ( 1- x2;1+ x2) ; AB = ( x1 - 6;- x1 - 10)



Theo bài ra ta có:

uuu

r uuur

CE .AB = 0 � ( 1- x2) ( x1 - 6) + ( 1+ x2 ) ( - x1 - 10) = 0�

(1)

Mặt khác H là trung điểm của BC nên: x1 + x2 = - 4

�x = 0

�1







x

=

4

Từ (1), (2) ta có: �2

hoặc



Vậy



B ( 0;- 4) ;C ( - 4;0)



hoặc



(2)





x1 = - 6











x

=

2

�2



B ( - 6;2) ,;C ( 2;- 6) .



Ví dụ 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong



AD : x - y = 0,

M ( 0;- 1) .



đường cao



CK : 2x + y + 3 = 0,



đường thẳng AC đi qua



Viết phương trình các cạnh biết BA = 2MA.



Lời giải:



Gọi N đối xứng với M qua AD thì N thuộc AB



29



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Phương trình đường thẳng MN qua M và vng góc với AD suy ra

MN : x + y + 1 = 0



Gọi I là giao của MN và AD suy ra tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:





x =�



x- y = 0







��





x

+

y

+

1

=

0





y =�







1

2�I

1

2



� 1 1�





- ;- �









� 2 2�



N ( - 1;0)

Mà I là trung điểm của MN nên



Đường thẳng AB qua N và vng góc với CK suy ra



AB : x - 2y + 1 = 0



Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:



x - 2y + 1 = 0 �

x =1











��

� A ( 1;1)





x

y

=

0

y

=

1







Đường thẳng AC qua A và M nên



AC : x - 2y - 1 = 0



Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

1

�x - 2y - 1 = 0 �



�1

x =�







��



C

- ;�

2





2x + y + 3 = 0 �

2



�y = - 2







Gọi







2�









B ( 2b - 1;b) �AB



AB 2 = ( 2b - 2) + ( b - 1) , MA2 = 5.

2



Ta có:



2





BA = 2MA � 4MA 2 = AB 2 � 5( b - 1) = 20

2









b=- 1

� ( b - 1) = 4 � �



b= 3



2



+) Nếu



b = - 1 � B ( - 3;- 1)



+) Nếu



b = 3 � B ( 5;3)



Thỏa mãn



không thỏa mãn do B,C nằm cùng một phía so với



AD.

30



Chun đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

5

11

x + y + = 0.

2

2

Suy ra đường thẳng BC qua B và C là:

Vậy phương trình các cạnh là:



AB :�

x - 2y + 1 = 0,

AC :�

x - 2y - 1 = 0,

5

11

BC :�



x + y + = 0.

2

2



Ví dụ 9 ( Khối B-2013):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ





17 1�



H�

;

,









D ( 5;3)

5

5





đỉnh A là

chân đường phân giác trong của góc A là



M ( 1;0) .

trung điểm của AB là

Tìm tọa độ đỉnh C .



Lời giải:



Ta có AH qua H và vng góc với HD nên AH có phương trình:



x + 2y - 3 = 0�

Gọi



A ( 3- 2a;a) �AH.



Do M là trung điểm của AB nên MA = MH





1



a =( 3- 2a) + ( a - 1) = 13 � �

�a = 35





Suy ra

2



a =-



+) Nếu

+) Nếu



2





1

17 1�





th�



A�

;- �









5

5�

�5

( loại do A �H )



a = 3�

th�



A ( - 3;3)



31



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×