Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHƯƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU

CHƯƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Điểm F là trung điểm

của đoạn DI . Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam

giác NDC nên CF ^ DN . Mà CF / / MN nên DN ^ MN .

Cách 2 . (Sử dụng công cụ véc tơ)



A



uuu

r r uuur r �

rr

r

r�

DA = x;DC = y �

x.y = 0; x = y �







�. Ta có

Đặt

uuur 3 r 1 r uuur uuur uuur 1 r 3 r

DN = x + y;MN = DN - DM = x - y.

4

4

4

4



B

N



M



x



C



D

y



uuur uuur

r 2 r 2�

3�



DN .MN = �

x - y �

= 0 � DN ^ MN







16�





Suy ra

.



Cách 3. (Sử dụng công cụ tọa độ)

N

M



Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Khi đó



D ( 0;0) , A ( 0;a) ,C ( a;0) ,



Nên



� a�





uuur uuur

a 3a �







3 2

3





M�

a; �

,N � ; �

.

DN .MN = a + a2 = 0 � DN ^ MN .









2

4

4

� � �

�Do đó

16

16



Cách 4. (Sử dụng cơng cụ lượng giác)

Đặt AB = BC = CD = DA = a.

5

DN 2 = AN 2 + AD 2 - 2AN .AD.cosA = a2.

8

- Xét tam giác AND , ta có

58



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

- Xét tam giác CMN , ta có

5

MN 2 = CN 2 +CM 2 - 2CN .CM .cosC = a2.

8

5

DM 2 = DC 2 +CM 2 = a2.

4

- Xét tam giác DCM , ta có

Suy ra

DM 2 = DN 2 + MN 2 � DN ^ MN .



B



A

N



M



Sau khi chứng minh DN ^ MN ta có

Phương trình đường thẳng DN : x + y + 1 = 0.



C



D





x +y +1= 0 �

x =1



��

� D ( 1;- 2)







x- y- 3= 0 �

y =- 2



Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ �

.



Giả sử



A ( m;n) ,



từ



uuur

uuur

AC = 4AN � C ( - 6 - 3m;2- 3n) .



uuur uuur

AB = DC � B ( - 7 - 2m;4 - 2n) .



Từ



Suy ra tọa độ điểm







- 13- 5m 6- 5n �



M�

;

.







2 �

� 2





- 13 - 5m = 2 �

m=- 3







� A ( - 3;0) , B ( - 1;4) ;C ( 3;2)









6

5

n

=

6

n

=

0



Từ đó ta có �



Nhận xét:

Để giải quyết bài toán 1 ta mở “ nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm D nhờ mối

quan hệ DN ^ MN . Như vậy bài toán 1 thực chất được xây dựng trên bài tốn

hình phẳng thuần túy : Cho hình vng ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh



59



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

1

AN = AC

4

BC; N là điểm trên cạnh AC sao cho

. Chứng minh rằng



DN ^ MN

Bài toán 1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi

� 3 1�



N�

- ; �





� 2 2�

�là điểm trên cạnh AC sao cho

M là trung điểm của cạnh BC , �

AN =



1

AC

4

. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vng ABCD , biết đường



thẳng DM có phương trình x - 1 = 0 .

Phân tích:

- Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M , N . Bằng trực quan ta dễ

nhận thấy những nét giống bài toán 1.

- Theo kết quả của bài toán 1, ta đã có DN ^ MN . Tuy nhiên một vấn đề

nảy sinh là giả thiết bài toán 2 không đủ để “mở nút thắt đầu tiên” chỉ với

mối quan hệ vng góc.

-



Từ đó ta đưa ra nhận định, giữa ba điểm này có mối quan hệ ràng buộc

khác nữa. Ta dễ dàng nhận ra mối quan hệ này là tam giác DMN vuông





0

cân, hay NDM = 45 từ cách giải 4 trong bài toán 1.

Giải:

Để chứng minh tam giác DMN vng cân tại N ta có thể thực hiện theo các

cách sau:



A



B

N



Cách 1: (Sử dụng công cụ lượng giác)



M



Đặt AB = BC = CD = DA = a.

D



C



5

DN 2 = AN 2 + AD 2 - 2AN .AD.cosA = a2.

8

Xét tam giác AND , ta có

60



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

5

MN 2 = CN 2 +CM 2 - 2CN .CM .cosC = a2.

8

Xét tam giác CMN , ta có

5

DM 2 = DC 2 +CM 2 = a2.

4

Xét tam giác DCM , ta có

Suy ra





DN = MN



� D DMN

� 2

2

2



DM

=

DN

+

MN



vuông cân tại N .



Cách 2: (Thuần túy hình phẳng)

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm F là trung điểm

của đoạn DI . Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam

giác NDC nên CF ^ DN . Mà CF//MN nên DN ^ MN .







0

Tứ giác DNMC nội tiếp nên NMD = NCD = 45 . Từ đó suy ra tam giác



DMN vng cân tại N .

Cách 3: (Sử dụng công cụ véc tơ)



uuu

r r uuur r �

rr

r

r





DA = x;DC = y �

x.y = 0; x = y = a�





�. Ta có

Đặt

uuur 3 r 1 r uuur uuur uuur 1 r 3 r

DN = x + y;MN = DN - DM = x - y;

4

4

4

4

Suy ra

uuur uuur

r 2 r 2�

3�



DM .MN = �

x - y �

= 0 � DN ^ MN .









16�



2

r 1 r�



3

9 r 2

1 r2 5 2





DN = � x + y�

=

x +

y = a



� 16



4

4 �

16

8



2



Lại có



()



()



;



61



Chun đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng



1 r 3 r�

1 r 2

9 r2 5 2

2





MN = � x - y�

=

x +

y = a � DN = MN





� 16

4

4 �

16

8



. Từ đó suy ra

2



()



()



tam giác DMN vuông cân tại N .

Cách 4: ( Sử dụng công cụ tọa độ )

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó



D ( 0;0) , A ( 0;a) ,C ( a;0)



.



� a�

� �

a 3a �







M�

a

;

;

N

; �















2�

4 4�







Ta có

.



Do đó

uuur �

�uuur � 3a a �

� uuur uuur

a 3a �

3 2

3





DN = � ; �

;MN = �

; �

� DN .MN = a + a2 � DN ^ MN .









4 4�

16

16





� 4 4�



5

DN 2 = MN 2 = a2.

8



Hay tam giác DMN vuông cân tại N .



Sau khi chứng minh tam giác DMN vng cân tại N ta có:

Giả sử



D ( 1;d)



, ta có



uuur r

1

dDN .u DM



d =- 2

2

2



cosNDM

= uuur r



=

��



2

2

d=3

2

��







DN uDM

5

1









+�

d- �

��



� �





� 2�

2�

��



Với



d = - 2 � D ( 1;- 2)



. Phương trình đường thẳng NM : x - y = - 2. Suy



ra M (1;3) .



62



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

A ( - 3;0) ;B ( - 1;4) ;C ( 3;2)

Từ đó theo kết quả bài tốn 1 ta có

.

Với



d = 3 � D ( 1;3)



. Phương trình đường thẳng AN �

. Suy ra M (1;- 2) .



Từ đó theo kết quả bài tốn 1.1 ta có M

Nhận xét :

- Ta nhận thấy bài tốn 1 và bài toán 2 là giống nhau về mặt hình thức,

song kết quả bài tốn 1 và bài tốn 2 lại có sự khác nhau . Nguyên nhân

của sự khác nhau này chính là việc lựa chọn mối quan hệ ba điểm tạo

thành góc AM trong cách phát biểu bài tốn.

- Từ đó ta cũng dễ dàng nhận ra bài toán 2 thực ra được xây dựng dựa trên

bài tốn thuần túy hình phẳng sau: Cho hình vng ABCD. Gọi M là

trung điểm của cạnh BC , N

AN =



là điểm trên cạnh AC



sao cho



1

AC

4

. Chứng minh tam giác DMN vuông cân.



Một số bài tập áp dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có phương trình

đường chéo AC : x + y - 5 = 0. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên

tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN = BM . Đường thẳng song song

với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau ở

F ( 0;- 3) .



Xác định tọa độ các đỉnh của hình vng ABCD, biết điểm M �

nằm



trên trục hoành.

A ( 1;4) .

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có

Trên



tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho



DN = BM . Đường thẳng song song với AN �

kẻ từ M và đường thẳng song

63



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F . Biết phương trình đường thẳng



CF : x- y- 3 = 0 . Xác định tọa độ các điểm M , N . Biết rằng M nằm trên

trục hoành.

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai

đường chéo cắt nhau ở



I ( 0;- 1) .



Kẻ AH và BK lần lượt vng góc với BD



� 3 1�



E�

- ; �









2

2





BK

AC

.

AH



Đường thẳng



cắt nhau ở

. Xác định tọa độ các



đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm H nằm trên đường thẳng



x + 2y - 1 = 0

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai

đường chéo cắt nhau tại I . Kẻ AH và BK lần lượt vng góc với BD và AC .

Đường thẳng AH và BK cắt nhau tại E . Xác định tọa độ các đỉnh của hình

chữ nhật ABCD, biết phương trình đường thẳng BK : 3x - y + 5 = 0 ,

� 3 4�



H�

- ; �









5

5





phương trình đường thẳng IE : x + y + 1 = 0 và tọa độ điểm

.



Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, D





11 5�

13 5�









I�

;

,

E

; �













� �3 3�



3

3





là trung điểm của đoạn AB. Biết rằng

lần lượt là tâm đường



tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng tâm tam giác ADC . Các điểm

M ( 3;- 1) , N ( - 3;0)



lần lượt thuộc các đường thẳng DC , AB . Tìm tọa độ các



đỉnh của tam giác ABC , biết A có tung độ dương.



64



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, D là trung





13 5�



E�

;







3 3�



�là trọng tâm tam giác ADC . Phương

AB

.

điểm của đoạn thẳng

Điểm



trình đường thẳng CD : x - 3 = 0 , đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

đi qua



N ( 2;0) .



Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .



Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng



ABCD, E ( 2;1)









3 6�



M�

� ;- �







5

5



�vng góc với DE cắt

một điểm thuộc cạnh BC . Đường thẳng qua

K ( 5;- 2)

các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và

. Xác định tọa độ



các đỉnh của hình vng , biết đường thẳng CH có phương trình



7x - y - 16 = 0 .

� 13�



N�

3; �









3





Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng

là một



điểm thuộc cạnh BC . Đường thẳng qua B vng góc với DE cắt các đường



62 34�



H�

� ; �



� K ( 5;- 2) .



25

25





thẳng DE và DC theo thứ tự ở



Xác định tọa độ các



đỉnh của hình vng, biết điểm C thuộc đường thẳng x + 2y + 2 = 0 .

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, gọi E là trung





11 2�



H�

;







5�

�5

�là hình chiếu vng góc của B lên CE và

AD

,

điểm của cạnh



65



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng







3 6�



M�

;







5 5�



�là trung điểm của BH . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vng



ABCD, biết điểm A có hồnh độ âm.

Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A.

Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AB = 2AM . Đường tròn tâm

I ( 1;- 1)



đường kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ các đỉnh của D ABC





4 �



N�

� ;0�







3



�, phương trình đường thẳng

biết đường thẳng BC đi qua



CD : x - 3y - 6 = 0 và điểm C có hồnh độ dương.

G ( 1;1) ,

Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm



đường cao từ đỉnh A có phương trình 2x - y + 1 = 0 và các đỉnh B, C thuộc

đường thẳng D : x + 2y - 1 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện

tích tam giác ABC bằng 6.

Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, có tâm O và hai

cạnh kề lần lượt đi qua



M ( - 1;2) , N ( 3;- 1) .



Xác định tọa độ các đỉnh của hình



vng.

Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có phương trình

đường thẳng chứa các cạnh AB và CD lần lượt là



4x - 3y - 4 = 0;4x - 3y - 18 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vng

ABCD, biết tâm I thuộc đường thẳng D : x + y - 1 = 0 .



66



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai

đáy



AB v�CD,



B ( 3;4)



A ( 0;3) ,

hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết



và điểm C nằm trên trục hồnh. Xác định tọa độ đỉnh D của hình



thang ABCD.

Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm

� 4�



M�

2; �





I ( 3;3)



3�



�thuộc đường thẳng AB, điểm

AC

=

2

BD

.



Điểm

� 13�



N�

3; �









� 3�

thuộc đường thẳng CD. Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh



B có hồnh độ nhỏ hơn 3.



67



Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

KẾT LUẬN

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là một nội dung quan trọng,

đòi hỏi học sinh phải biết cách tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp giải phù

hợp. Đề tài đã nêu lên các dạng phương trình đường thẳng, các phương pháp

giải phù hợp. Tuy nhiên, do đây là một nội dung rộng, nên việc đưa ra các

phương pháp đơi khi còn mang tính tương đối. Hi vọng qua bài viết này phần

nào giúp cho học sinh có tư duy tốt hơn, thành thạo kỹ năng giải toán và một số

các kiến thức liên quan.

Các kiến thức trong đề tài cũng đã được tôi áp dụng với học sinh các lớp

tôi dạy và cũng thu được một số kết quả khả quan. Tuy nhiên, do kiến thức cá

nhân có hạn, kinh nghiệm giảng dạy còn nhiều hạn chế và bài viết cũng chưa

được áp dụng nhiều đối với các đối tượng nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Hi

vọng sẽ nhận được sự góp ý của các thầy cơ, anh chị đồng nghiệp để đề tài được

hoàn thiện hơn và có ứng dụng rộng rãi hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

Sông Lô, tháng 11 năm 2015

Giáo viên thực hiện



Nguyễn Bá Huy



68



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHƯƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×