Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên

Đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên

Tải bản đầy đủ - 0trang

Định nghĩa 1.3.1. Cho f (x) = ad xd + . . . + a1 x1 + a0 là đa thức có

hệ số nguyên, ad = 0. Cho n là một số tự nhiên. Ta nói f (x) hốn vị

modulo n nếu ánh xạ ϕ : Zn → Zn cho bởi ϕ(a) = f (a) là một song

ánh.

Ví dụ 1.3.2. Cho n = 4. Khi đó đa thức f (x) = 6x3 + 3x + 1 là hoán

vị modulo 4 vì ta có f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 0 trong Z4 .

Đa thức g(x) = 6x3 khơng hốn vị modulo 4 vì ta có g(0) = 0, g(1) =

2, g(2) = 0, g(3) = 2 trong Z4 .

Kết quả sau đây (xem tài liệu [2]) cho ta điều kiện về tính hốn vị

của đa thức modulo 2.

Mệnh đề 1.3.3. Đa thức f (x) = a0 + a1 x + . . . + ad xd hoán vị modulo

2 khi và chỉ khi a1 + a2 + . . . + ad là lẻ.

Kết quả tiếp theo (xem tài liệu [2]) cho ta điều kiện cần về tính hốn

vị modulo 2m với m là số chẵn.

Mệnh đề 1.3.4. Cho f (x) = a0 + a1 x + . . . + ad xd là đa thức với hệ số

nguyên và cho n = 2m là một số tự nhiên với m là số chẵn. Nếu f (x)

hốn vị modulo n thì a1 là số lẻ.

Cho n = 2w và m = 2w−1 . Kết quả sau đây (xem tài liệu [2]) cho ta

mối quan hệ giữa tính hốn vị modulo n và tính hốn vị modulo m.

Mệnh đề 1.3.5. Cho f (x) = a0 + a1 x + . . . + ad xd là đa thức với hệ số

nguyên. Cho n = 2w và m = 2w−1 . Khi đó nếu f (x) hốn vị modulo

m thì f (x) hốn vị modulo n.

11



Kết quả sau đây là mở rộng của Mệnh đề 1.3.5, trong đó n khơng

nhất thiết là lũy thừa của 2.

Mệnh đề 1.3.6. Cho f (x) = a0 + a1 x + . . . + ad xd là đa thức với hệ

số nguyên. Cho n = 2m với m là số tự nhiên chẵn. Nếu f (x) hốn vị

modulo m, thì f (x) hốn vị modulo n nếu và chỉ nếu (a3 +a5 +a7 +. . .)

là số chẵn.

Kết quả sau đây là đặc trưng tính hốn vị modulo lũy thừa của 2

(xem tài liệu [2]).

Mệnh đề 1.3.7. Đặt P (x) = a0 +a1 x+. . .+ad xd là một đa thức với hệ

số nguyên. Khi đó P (x) là đa thức hoán vị modulo n = 2w , w ≥ 2, nếu

và chỉ nếu a1 là số lẻ, (a2 +a4 +a6 +. . .) là số chẵn, và (a3 +a5 +a7 +. . .)

là số chẵn.



12



Chương 2



Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu

hạn có đặc số chẵn

Mục đích thứ nhất của Chương 2 là trình bày lại chi tiết các kết quả

trong bài báo [4] của R. Gupta và R. Sharma về 4 lớp tam thức hốn vị

trên trường có đặc số chẵn. Chú ý rằng nếu T là trường hữu hạn gồm q

phần tử và T có đặc số chẵn thì q là lũy thừa của 2. Trong suốt chương

này ta ký hiệu Fq là trường có q phần tử.

Chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh bốn định lý chính sau đây.

m



Định lý A. Đa thức f (x) = x4 + x2m+3 + x3·2



+1



∈ F22m [x] là hoán



vị trên F22m nếu và chỉ nếu gcd(m, 3) = 1.

m



m



Định lý B. Đa thức f2 (x) := x2 + x2·2 + x3·2



−1



∈ F22m [x] là một



đa thức hoán vị trên F22m khi và chỉ khi gcd(m, 3) = 1.

m



Định lý C. Đa thức f3 (x) := x5 + x2



+4



+ x4·2



m



+1



∈ F22m [x] là



một đa thức hoán vị trên F22m khi và chỉ khi m là số lẻ.

m



Định lý D. Đa thức f4 (x) := x3 + x3·2 + x2



m+2



−1



∈ F22m [x] là một



đa thức hoán vị trên F22m khi và chỉ khi m là số lẻ.

Mục đính thứ hai của Chương 2 là chứng minh lại chi tiết kết quả



13



trong bài báo [3] của C. Ding, L. Qu, Q. Wang, J. Yuan, P. Yuan về một

lớp tam thức hốn vị trên trường có đặc số chẵn F2m . Cụ thể, chúng tôi

tập trung chứng minh định lý sau.

Định lý E. Với mọi số tự nhiên lẻ m > 0, tam thức

f (x) = x + x



2



m+1 −1

2



2m −2



+x



m+1 +1

2



hoán vị trên trường F2m .



2.1



Trường đóng đại số



Để chứng minh các Định lý A, B, C, D chúng ta cần nhắc lại khái

niệm trường đóng đại số.

Định nghĩa 2.1.1. Cho T là một trường (hữu hạn hoặc vơ hạn). Ta nói

T là trường đóng đại số nếu mọi đa thức bậc dương với hệ số trên T

đều có ít nhất một nghiệm trong T .

Ví dụ 2.1.2.

(i) Trường Z2 khơng đóng đại số vì đa thức f (x) = x2 + x + 1 có bậc

2 nhưng khơng có nghiệm trong Z2 .

(ii) Trường R các số thực khơng đóng đại số vì đa thức x4 + 1 có bậc 4

nhưng khơng có nghiệm thực.

Định lý sau đây, được gọi là Định lý cơ bản của đại số, cho ta thấy

trường số phức C là trường đóng đại số.



14



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×