Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
IV. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

IV. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

Tải bản đầy đủ - 0trang

• Khối tứ diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác.

• Xét tam giác BCD và hai điểm A, E ở về hai phía của mặt phẳng ( BCD ) . Khi đó ta có khối

lục diện ABCDE có 6 mặt là những tam giác.

• Khối bát diện ABCDEF có 8 mặt là các tam giác.

• Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm M, N ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác. Khi đó

khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là các tam giác.

+ Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì ln có thể được phân chia được thành những khối tứ

diện.

+ Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.

+ Kêt quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số

chẵn.

+ Tông quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng

số đỉnh là một số chẵn.

+ Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.

+ Kết quả 10: Khơng tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.

+ Kết quà 11: Với mỗi số nguyên k ≥ 3 ln tồn tại hình đa diện có 2k cạnh.

+ Kết quả 12: Với mỗi số nguyên k ≥ 4 ln tồn tại hình đa diện có 2k + 1 cạnh.

+ Kết quả 13: Khơng tồn tại một hình đa diện có

* Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh.

* Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.

+ Kết quả 14: Tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.

Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều. Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một mặt của từ

diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện ( H 6 ) có 6 mặt là tam giác đều.

Ghép thêm vào ( H 6 ) một khối tứ diện đều nữa ta được khối đa diện ( H 8 ) có 8 mặt là các tam giác

đều. Bằng cách như vậy, ta được khốỉ đa diện có 2n mặt là các tam giác đều.



H6



6



H8



Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l



V. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN

Kiến thức cần nhớ

Phép biến hình F trong khơng gian là một quy tắc để với mỗi điểm M xác định được một điểm

M ′ duy nhất gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

Qua phép biến hình F, mỗi hình ( H ) được biến thành hình ( H ') gồm tất cả các ảnh của các điểm

thuộc hình ( H ) .

PHÉP DỜI HÌNH.

1. Định nghĩa phép dời hình

Phép biến hình F trong khơng gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo tồn khoảng cách giữa hai

điểm bất kỳ, nghĩa là nếu F biến hai điểm bất kỳ M , N lần lược thành hai điểm M ′ và N ′ thì



M ' N ' = MN .

Tính chất: Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng…

2. Các phép dời hình trong khơng gian thường gặp

a. Phép đói xứng qua mặt phẳng

+ Định nghĩa: Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) là phép biến hình

biến mỗi điểm thuộc ( P ) thành chính nó và biến mỗi điểm M



M'



M



không thuộc ( P ) thành điếm M ′ sao cho ( P ) là mặt phẳng



N'



N



trung trực của đoạn MM ′ .



P



+ Định lí: Nếu phép đối xứng qua mp ( P ) biến hai điểm M , N lần lượt thành hai điểm M ′

và N ′ thì M ′N ′ = MN .

Như vậy: Phép đối xứng qua mặt phẳng là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điếm bất

kì.

+ Mặt phẳng đối xứng của một hình: Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) biến hình



( H ) thành chính nó thì ( P )



là mặt phẳng đối xứng qua hình ( H ) .



Ví dụ 1: Mọi mặt phẳng ( P ) đi qua tâm I của mặt cầu ( S ) đều là mặt phẳng

đối xứng của mặt cầu ( S ) .

Ví dụ 2: Hình tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng. Đó là các mặt



A



phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện. Chẳng hạn: Cho

tứ diện đều ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh CD . Khi đó ta có



( ABM ) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều



ABCD .



B



D

M

C



b. Phép tịnh tiến





 

Phép tịnh tiến theo vectơ v là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ′ sao cho MM ′ = v .

Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng



7



Kí hiệu là Tv .

c. Phép đối xứng trục

Cho đường thẳng d , phép đối xứng qua đường thẳng d là

phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó

và biến mỗi điểm M khơng thuộc d thành điểm M ′ sao

cho d là đường trung trực đoạn MM ′ .

d. Phép đối xứng tâm

Cho điểm O , phép đối xứng qua điểm O là phép biến

hình biến mỗi điểm M thành điểm M ′ sao cho

  

OM + OM ' =

0.

3. Định nghĩa hai hình bằng nhau



Hai hình ( H ) và ( H ') gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Khi đó:



A



D



• Các hình chóp A. A′B′C ′D′ và C ′. ABCD bằng nhau (vì qua

phép đối xứng tâm O hình chóp A. A′B′C ′D′ biến thành



B



C



chình chóp C ′. ABCD )



O



• Các hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ và AA′D′.BB′C ′ bằng nhau

(Qua phép đối xứng mặt phẳng ( AB′C ′D ) thì hình lăng trụ



ABC. A′B′C ′ biến thành hình lăng trụ AA′D '.BB′C ′ )



D'



A'



B'



C'



+ Định lý: Hai hình tứ diện ABCD và A′B′C ′D′ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương

ứng bằng nhau, nghĩa là: AB = A′B′ , BC = B′C ′ , CD = C ′D′ , DA = D′A′ , AC = A′C ′ ,



BD = B′D′ .



8



Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l



4. Phép vị tự trong không gian

a. Định nghĩa: Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định. Phép biến hình trong khơng









gian biến điểm M thành điểm M ′ thỏa mãn: OM ′ = kOM được gọi là phép vị tự. Điểm O gọi là

tâm vị tự, số k được gọi là tỉ số vị tự.



S

S'

O



A'

A



C



C'

B'



B

b. Các tính chất cơ bản của phép vị tự







• Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M , N thành hai điểm M ', N ' thì M ' N ' = k MN , và do



đó M ′N ′ = k MN .





Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành



bốn điểm đồng phẳng.

5. Hai hình đồng dạng

Hình ( H ) được gọi là đồng dạng với hình ( H ′ ) nếu có phép vị tự biến hình ( H ) thành hình ( H1 )

mà hình ( H1 ) bằng hình ( H ′ ) .

VI. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

+ Kết quả 1: Phép biến hình biến mỗi điểm M của khơng gian thành chính nó gọi là phép

đồng nhất, thường kí hiệu là e . Phép đồng nhất



e là một phép dời hình.



+ Kết quả 2: Phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng bán kính.

+ Kết quả 3: Cho hai điểm A, B và phép dời hình f biến A thành A , biến B thành B .

Khi đó, f biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nó.

+ Kết quả 4. Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó với



f ( A ) = A , f ( B ) = B , f ( C ) = C . Khi đó,



f biến mọi điểm



M của mặt phẳng ( ABC )



thành chính nó, tức là f ( M ) = M .

+ Kết quả 5. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song ( P ) và ( Q ) là

một phép tịnh tiến.

+ Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên ( P ) và ( Q ) sao cho AB ⊥ ( P ) . Khi đó, thực hiện liên

tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song ( P ) và ( Q ) thì kết quả là phép tịnh tiến









theo véctơ v = 2 AB

Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng



9



+ Kết quả 6: Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vng góc với

nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng (là phép đối xứng qua đường thẳng giao tuyến

của ( P ) và ( Q ) ).

+ Kết quả 7: Phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng

với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.

+ Kết quả 8: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k ≠ 1 và phép vị tự V ′ tâm O′ tỉ số k ′ . Khi đó,

nếu kk ′ = 1 thì hợp thành của V và V ′ là một phép tịnh tiến.

+ Kết quả 9: Hai hình hộp chữ nhật bằng nhau nếu các kích thước của chúng bằng nhau.

+ Kết quả 10: Hai hình lập phương bằng nhau nếu các đường chéo của chúng có độ dài bằng

nhau.

+ Kết quả 11: Cho hai hình tứ diện $ABCD$ và A′B′C ′D′ có các cạnh tương ứng song song,

tức là: AB // A′B′ , AC // A′C ′ , AD // A′D′ , CB //C′B′ , BD // B′D′ , DC // D′C ′ . Khi đó hai

tứ diện đã cho đồng dạng.

+ Kết quả 12: Cho hai hình tứ diện ABCD và A′B′C ′D′ có các cạnh tương ứng tỉ lệ, tức là:

A′B′ B′C ′ C ′D′ D′A′

= = = =

AB

BC

CD

DA



10



A′C ′ B′D′

= = k . Khi đó hai tứ diện đã cho đồng dạng.

AC

BD



Chương 1. Khối đa diện Tự học điểm 9l



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

IV. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×