Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 6. Nón - trụ - cầu

Chương 6. Nón - trụ - cầu

Tải bản đầy đủ - 0trang

3) Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

Cắ t mă ̣t nón tròn xoay bởi mp (Q) đi qua đın

̉ h của mặt nón.

mp (Q) cắ t mă ̣t nón theo 2 đường sinh.



Thiế t diê ̣n là tam giác cân.



mp (Q) tiế p xúc với mă ̣t nón theo mô ̣t đường sinh.



(Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình



nón.

Cắ t mă ̣t nón tròn xoay bởi mp (Q ) khơng đi qua đın

̉ h của mặt nón.

mp(Q ) vuông góc với tru ̣c hın

̀ h nón.



Giao tuyế n là 1 đường parabol.



mp(Q ) song song với 2 đường sinh hın

̀ h nón.



Giao tuyế n là 2 nhánh của 1 hypebol.



mp(Q ) song song với 1 đường sinh hı̀nh nón.



Giao tú n là mơ ̣t đường tròn.



DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TỒN PHẦN

CỦA HÌNH NĨN TRỊN XOAY VÀ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI NĨN

a) Phương pháp giải

Dùng cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và tính thể tích để giải

Vı́ du ̣ điể n hın

̀ h:

Vı́ du ̣ 1: Mô ̣t hıǹ h nón tròn xoay có đường cao h  20cm , bán kıń h đáy r  25cm .

a) Tıń h diê ̣n tıć h xung quanh hıǹ h nón đã cho.

b) Tính diện tích tồn phần hình nón đã cho

Hướng dẫn giải:

Tıń h diê ̣n tıć h xung quanh hıǹ h nón đã cho.

* Ta có: SA  AO 2  SO 2  202  252  5 41 cm 

(Pitago trong tam giác vuông SAO)

* Diê ̣n tı́ch xung quanh của hı̀nh nón:











S xq  .r .l  .OA.SA  .25.5 41  125 41 cm 2 .



* Diện tích tồn phần của hình nón:







Stp  rl  r 2  .OA.SA  .OA2  .25.5 41  .252  125( 41  5) cm 2







Vı́ du ̣ 2: Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2

và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 .

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón



S



Hướng dẫn giải:

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón. Theo giải



a 2



a 2



thiết ta có đường sinh SA = a 2 và góc giữa đường sinh và mặt

 = 600 . Trong tam giác vuông SAO , ta có:

phẳng đáy là SAO



70



600

O



Chương 2. Nón – trụ - cầu Tự học điểm 9l



A



=

OA SA

=

cos 600



a 2

3 a 6

; SO SA=

.

=

.sin 600 a=

2.

2

2

2



Diện tích xung quanh hình nón S=

π=

rl π .

xq



a 2

.a =

2 π a 2 (đvdt).

2

2



1 2

1  a 2  a 6 π a3 6

(đvtt)

Thể tích của khối nón tròn xoay

.

V

=

=

πr h

π

 =

3

3  2 

2

12

Vı́ du ̣ 3: Một hình nón có đường kính đáy là 2a 3 , góc ở đỉnh là 1200 . Tính thể tích của khối nón

đó theo a .

Hướng dẫn giải:



B



Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm

thuộc đường tròn đáy.



600



Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có bán kính

=

r OA

= a 3 (cm)



1200



và góc ASO

= = 600 . Xét tam giác SOA vng tại

2



O , ta có =

SO



A



a 3



C



OA

a 3

=

= a . Do đó chiều cao hình nón là h = a .

0

tan 60

3



Vậy thể tích khối nón=

là V



Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng



1 2

1

a 2 .a π a 3

=

=

πr h

π .3

3

3



71



DẠNG 2: TƯƠNG GIAO GIỮA NÓN VÀ MẶT PHẲNG. BÀI TOÁN THIẾT DIỆN

a) Phương pháp giải

TRƯỜNG HỢP 1: Thiết diện qua trục của hình nón: mp ( P) đi qua trục của hình nón và

cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiế t diê ̣n là tam giác cân.

Cách vẽ hình: trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB



Cách 1



Cách 2



Thiết diện qua trục của hình nón thơng thường hay gặp ở một số dạng như:





Thiết diện qua trục là một tam giác vng







Thiết diện qua trục là một tam giác vng cân







Thiết diện qua trục là một tam giác đều







Thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng số độ cho trước (60 độ hay 120 độ.)







….



TRƯỜNG HỢP 2: Thiết diện qua đỉnh của hình nón: mp ( P) đi qua đı̉nh của hình nón và

cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiế t diê ̣n cũng là tam giác cân.

Cách vẽ hình: trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB



Cách 1



Cách 2



Lưu ý: Khi vẽ thiết diện qua đỉnh, nếu kẻ OH ⊥ AB thì theo tính chất đường kính và dây

cung của đường tròn (đường kính vng góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây

cung và ngược lại), thì H chính là trung điểm của AB . Khi đó góc giữa mặt phẳng ( SAB )



với đường tròn đáy chính là SHO

Thiết diện qua đỉnh của hình nón thông thường hay gặp ở một số dạng như:

72



Chương 2. Nón – trụ - cầu Tự học điểm 9l







Thiết diện qua đỉnh là một tam giác vng







Thiết diện qua đỉnh là một tam giác vng cân







Thiết diện qua đỉnh là một tam giác đều







Thiết diện qua đỉnh có góc tạo bởi thiết diện và trục là số cho trước (60 độ hay 120

độ.)







Thiết diện qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy tới mặt phẳng chứa thiết

diện là a (cm)







Thiết diện là một tam giác cân đồng thời tạo với mặt phẳng đường tròn đáy góc cho

trước











TRƯỜNG HỢP 3: Thiết diện vng góc với trục của hình nón và song song với đường

tròn đáy hình nón: mp ( P) vuông góc với tru ̣c hı̀nh nón ⇒ giao tú n là mơ ̣t đường tròn.

Cách vẽ hình: trên hình vẽ, thiết diện là đường tròn tâm O '



TRƯỜNG HỢP 4: Thiết diện cắt mọi đường sinh của hình nón: mp ( P) cắt mọi đường

sinh hı̀nh nón ⇒ giao tuyế n là 1 đường elip.



Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng



73



TRƯỜNG HỢP 5: Thiết diện song song với 1 đường sinh của hình nón: mp ( P) song

song với 1 đường sinh hıǹ h nón ⇒ giao tuyế n là 1 đường parabol.



Vı́ du ̣ điể n hın

̀ h:

Vı́ du ̣ 1: Thiết diện qua trục một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng 2 3 . Thể

tích của khối nón này là

A. π 3 .



D. 3π 2



C. 3π .



B. 3π 3 .

Lời giải



+Gọi thiết diện qua trục là ∆SAB , tâm đường tròn đáy là O .

+ Xét ∆SAB vuông cân tại S : SO

= AO

=

+V

=



1

1

AB

=

.2 =

3

2

2



3



( )



2

1

1

1

2

=

.h.π r 2

SO.π=

. 3.π=

3

π 3

( OA)

3

3

3



Phân tı́ch các sai lầ m dễ mắ c phải của học sinh:

Khơng nắm được tính chất trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

bằng một nửa cạnh huyền. Trong ∆SAB vuông tại S , SO là đường trung tuyến, AB là

cạnh huyền.

Vı́ du ̣ 2: Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh S tạo với đáy góc 600 là tam giác đều cạnh bằng 4cm .

Thể tích của khối nón đó là:

A. 9π cm3 .



B. 4 3π cm3 .



C. 3π cm3 .



D. 7π cm3



Lời giải



74



Chương 2. Nón – trụ - cầu Tự học điểm 9l



+Gọi thiết diện qua đỉnh là ∆SAB , tâm đường tròn đáy là O .



AB

( O ) ∩ ( SAB ) =



= H ( HA

= HB ) .

+Góc giữa ( SAB ) và đáy: ( O ) : OH ⊥ AB



H

( SAB ) : SH ⊥ AB =



(



=

) (OH; SH

)





);(=

O)

Suy ra ( SAB





SHO

= 600



+Giả thiết cho ∆SAB đều cạnh 4cm ⇒ SH =

+ ∆SOH : sin 600 =



4 3

= 2 3

2



SO

3

SO

; OH =

.2 3 = 3=

⇒ SO = sin 600.SH =

tan 600

2

SH



3

3



2



+ ∆OAH : OA

=

+V

=



OH + AH=

2



2



 3 

2



 + 2=

 3



7



( )



2

1

1

1

2

.SO.π =

.3.π =

7

7π cm3

h.π r 2

=

( OA)

3

3

3



Phân tı́ch các sai lầ m dễ mắ c phải của học sinh:

a/Khơng biết phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng:

+Bước 1: Tìm giao tuyến chung của 2 mặt phẳng

+Bước 2: Lần lượt trên hai mặt phẳng xác định 2 đường thẳng cùng vuông với giao tuyến

chung tại một điểm

+Bước 3: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa 2 đường vừa tìm

b/Ghi nhớ: tam giác đều cạnh a ⇒ đường cao là



a 3

2



Vı́ du ̣ 3: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = a và bán kính đáy r =



5a

. Một mặt phẳng ( P )

4



đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy bằng



3a

. Diện tích thiết

5



diện tạo bởi ( P ) và hình nón là

A.



5 2

a .

2



B.



5 2

a .

4



Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng



C.



15 2

a .

4



D.



7 2

a

2

75



Lời giải

+Gọi mặt phẳng qua đỉnh là ∆SAB .

+Khoảng cách từ O đến mặt ( SAB ) :



HB ) , nối SH , từ O kẻ

Từ O kẻ OH ⊥ AB ( HA =



OK ⊥ SH

⇒ OK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O;( SAB) ) = OK =

∆SOH :



3a

5



1

1

1

=

+

2

2

OK

OS

OH 2



+

=

⇒ OH



3a

.a

5= 3 a

2

4

 3a 

a2 −  

 5 



OK .OS

=

OS 2 − OK 2



2



5

3 

SH = SO + OH = a +  a  = a

4

4 

2



2



2



2



2



 5a   3a 

a ⇒ AB =

2a

+ ∆OAH : AH = OA − OH =   −   =

 4   4 

2



+Vậy

=

S SAB



2



1

1 5

5 2

. a.2a

=

SH . AB =

a

2

2 4

4



Phân tı́ch các sai lầ m dễ mắ c phải của học sinh: Không biết cách xác định khoảng cách

từ điểm đến mặt phẳng.

*Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

a/Cấp độ 1: Khoảng cách từ điểm M đến “mặt phẳng ( P ) chứa đường cao”:

+Bước 1: Dựng

Từ điểm M dựng trực tiếp đường vng góc MH đến cạnh đối diện của điểm M ( cạnh

này nằm trong mặt phẳng (P) và chính là cạnh đáy của hình chóp)



+Bước 2: Chứng minh MH ⊥ ( P ) ⇒ khoảng cách là MH

Lưu ý: Nếu từ chân đường vuông góc M , có sẵn đường thẳng vng góc với cạnh đối diện

điểm M rồi thì ko cần Bước 1

b/Cấp độ 2: Khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt phẳng

76



Chương 2. Nón – trụ - cầu Tự học điểm 9l



+Bước 1: Dựng:





Bước 1.1: Từ chân vng góc A dựng 1 đường AK vng góc với cạnh đối diện của

góc A ( cạnh này nằm trong mặt phẳng (P) và chính là cạnh đáy của hình chóp)







Bước 1.2: Nối S với K, được đường SK, từ A kẻ AH ⊥ SK



+Bước 2: Chưng minh AH ⊥ ( P ) ⇒ khoảng cách là AH

Lưu ý: Nếu từ chân đường vng góc A, có sẵn đường thẳng vng góc với cạnh đối diện

điểm A rồi thì ko cần Bước 1.1

c/Cấp độ 3: Điểm đến mặt mà điểm không là chân đường cao, mặt khơng có đường vng

góc (điểm bất kì đến mặt bất kì)

d ( B;( P ) )

+Nếu AB  ( P ) ⇒ d ( A;( P ) ) =



+Nếu AB ∩ ( P ) = {I } ⇒



AI d ( A;( P ) )

=

BI d ( B;( P ) )



DẠNG 3: SỰ TẠO THÀNH MẶT NĨN, HÌNH NÓN.

Phương pháp giải: Học sinh nắm chắc sự tạo thành mặt nón, hình nón, khối nón.

I. Ví dụ điển hình:

Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy

SC = a 6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành

một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:

A.



4π a 3

.

3



B.



a 3π 2

.

3



C.



π a3 3

3



.



D.



π a3 3

6



.



Lời giải

Ta có ngay



AC = a 2 ⇒ SA =



SC 2 − AC 2 =



6a 2 − 2a 2 = 2a



Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có

thể tích là:

=

V



1

1

1

4π a 3

2

=

π R2h

π AC

=

.SA

π .2=

a 2 .2a

3

3

3

3



Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng



77



Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón.

Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A. π a 2 .



B. 2π a 2 .



C.



1 2

πa .

2



D.



3 2

πa

4



Lời giải

=

r



a

π a2

=

=

; l a; S=

π

rl

.

xq

2

2



Ví dụ 3. Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra:



A. Một hình trụ.



B. Một hình nón.



C. Một hình nón cụt.



D. Hai hình nón.



Lời giải

Chọn D

Gọi O là giao điểm của BC và AD Khi quay hình ABCD quanh BC tức là tam giác

vng OBA quanh OB và tam giác vuông OCD quanh OC . Mỗi hình quay sẽ tạo ra một

hình nón nên hình tạo ra sẽ tạo ra hai hình nón.

Ví dụ 4. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC ′

của hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ có cạnh b khi quay xung quang trục AA′ . Diện tích S là:

A. π b 2 . .



B. π b 2 2. .



C. π b 2 3. .



D. π b 2 6.



Lời giải

với r b=

2; l b 3 . Vậy S = π b 2 6 .

S = π rl=

Ví dụ 5. Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại

=

10, BC 2a . Gọi H là trung

A , AB a=

điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục



AH .

A. V = 2π a 3 .



78



B. V = 3π a 3 .



C. V = 9π a 3 .



D. V = π a 3 .



Chương 2. Nón – trụ - cầu Tự học điểm 9l



Lời giải

+ Đường sinh=

l AB

= a 10

+ Bán kính đáy=

r



BC

= a ⇒ đường cao h =

2



+ Thể tích của hình nón tạo thành

=

V



l 2 − r 2 = 3a



1

=

π hr 2 π a 3

3



Ví dụ 6. Cho tứ diện đều ABCD . Khi quay tứ diện đó quanh trục

AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành?

A. Một.



B. Hai.



C. Ba.



D. Khơng có hình nón nào.

Lời giải



Khi quay ta được hình như bên cạnh, hình này được tạo

thành từ hai hình nón.

Ví dụ 7. Cho hình tròn có bán kính là 6 . Cắt bỏ



1

hình

4



tròn giữa hai bán kính OA, OB rồi ghép hai bán

kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình

vẽ). Thể tích khối nón tương ứng đó là:

A.



81π 7

.

8



B.



9π 7

.

8



C.



81π 7

.

4



D.



9π 7

.

2



Lời giải

3

.12π

9

r= 4

= ;h=



2



l2 − r2 =



3 7

1

81π 7

.

; V = π r 2.h =

2

3

8



Ví dụ 8. Cho một hình cầu bán kính 5 cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện

tạo thành là một đường kính 4 cm. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là

tâm hình cầu đã cho. (lấy π ≈ 3,14 , kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

A. 50, 24 (ml).



B. 19,19 (ml).



C. 12,56 (ml).



D. 76, 74 (ml).



Lời giải



Tài liệu KYS Tài liệu liệu ơn thi chất lượng



79



Ta có:



MN= 4 ( cm ) ⇒ MA

= 2 ( cm )

⇒ OA

=



21 ( cm ) .



2

MO 2 − MA=



=

S d π=

R 2 3,14.4 ( cm 2 ) .



=

V



1

21.3,14.4 19,185

=

=

( ml ) 19,19 ( ml ) .

3



Ví dụ 9. Hình chữ nhật ABCD có=

AB 6,=

AD 4 . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh

AB, BC , CD, DA . Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN , tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn



xoay có thể tích bằng:

A. V = 8π .



B. V = 6π .



C. V = 4π .



D. V = 2π .



Lời giải

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD , suy ra MNPQ là hình thoi tâm O .

Ta có QO

= ON

=



1

1

= OP

=

AD

= 2

AB

= 3 và OM

2

2



Vật tròn xoay là hai hình nón bằng nhau có: đỉnh lần lượt là Q, N và chung đáy.

* Bán kính đáy OM = 2.

* Chiều cao hình nón OQ

= ON

= 3.

1



2

Vậy thể tích khối

tròn xoay V 2=

=

 π OM . ON  8π (đvtt).

3





Ví dụ 10. Cho một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy

=

AB 2=

a  , CD 4a, cạnh bên



AD

= BC

= 3a. Hãy tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối

xứng của nó.

14a 3 2

.

A.

3



56a 3 2

B.

.

3



14a 3

C.

.

3



D.



28a 3 2

.

3



Lời giải







Gọi AD và BC cắt nhau tại E . 2 AB = DC nên AB là đường trung bình ∆EDC



⇒ ED = 2 AD = 6a . Gọi H và K lần lượt là trung điểm AB và CD thì ta có EK vng

góc với CD và HK là trục đối xứng của ABCD.

80



Chương 2. Nón – trụ - cầu Tự học điểm 9l



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 6. Nón - trụ - cầu

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×