Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Hình 4.10 : Đồ thị dãy .

Hình 4.10 : Đồ thị dãy .

Tải bản đầy đủ - 0trang

X ( k ) N  X ( N  k ) N



[4.3-13]



Nếu x(n)N là dãy thực thì theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

N1







X ( k ) N 



N1



 x ( n)



x(n) N .e  j (  k )1n 



n 0



N



.e jk1n  X * (k ) N



n 0



Do đó nếu x(n)N là dãy thực thì : X ( k ) N  X * (k ) N

[4.3-14]

4.3.2e DFT của tích chập vòng hai dãy : DFT của tích chập vòng hai dãy bằng tích các DFT của hai dãy thành phần.



Nếu :

Thì :



DFT [ x1 (n) N ]  X 1 (k ) N và DFT [ x 2 (n) N ]  X 2 (k ) N

DFT  y (n) N  x1 ( n) N * x 2 ( n) N   X 1 ( k ) N . X 2 (k ) N

[4.3-15]



Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

DFT  y ( n) N  

DFT  y (n) N  

DFT  y (n) N  



N1 N1



  x ( m)



N



.x 2 ( n  m) N e  jk1n



  x ( m)



N



.x 2 (n  m) N e  jk1n .e jk1m .e  jk1m



1



n 0 m 0

N1 N1



1



n 0 m 0

N1



 x ( m)

1



N



.e  jk1m



m 0



Hay :



N1



x



2 (n



 m) N .e jk1 ( n  m)



n 0



DFT  y (n) N  x1 ( n) N * x 2 ( n) N   X 1 ( k ) N . X 2 ( k ) N



Tính chất trên được sử dụng để tính tích chập vòng thơng qua

y ( n) N  x1 (n) L * x 2 ( n) M như sau :

- Tìm các DFT thuận : DFT[ x1 (n) N ]  X 1 (k ) N và DFT [ x 2 (n) N ]  X 2 (k ) N

Y (k ) N  X 1 (k ) N . X 2 (k ) N

- Từ đó có :

y (n) N  IDFT [ X 1 (k ) N . X 2 (k ) N ]

- Tìm DFT ngược :



DFT . Các



bước tính



Ví dụ 4.12 : Hãy tính tích chập vòng y (n) 3  rect 3 (n) *  (n)

Giải : Sử dụng các biểu thức [4.2-18] và [4.2-16] với N = 3 được :

X 1 ( k ) 3  DFT [rect 3 ( n)]  3. ( k ) 3

X 2 ( k ) 3  DFT [ ( n) 3 ]  rect 3 (k )

Y (k ) 3  X 1 (k ) 3 . X 2 ( k ) 3  3. ( k ) 3 rect 3 ( k )  3. ( k ) 3



y (n) 3  IDFT [ X 1 (k ) 3 . X 2 (k ) 3 ]  IDFT [3. (k ) 3 ]  rect 3 (n)



Đúng với kết quả tính trực tiếp tích chập vòng này ở ví dụ 4.5.

4.3.2f DFT của tích hai dãy : DFT của tích hai dãy bằng tích chập

Nếu : DFT [ x1 (n) N ]  X 1 (k ) N và DFT [ x 2 (n) N ]  X 2 (k ) N



Thì :



DFT  y ( n) N  x1 ( n) N .x 2 (n) N  



Hay :



N1



1



X



N



DFT  y (n) N  x1 (n) N .x 2 (n) N  



vòng các DFT của hai dãy thành phần chia cho N.



1 (l ) N



X 2 (k  l ) N



[4.3-16]



l 0



1

N



X 1 (k ) N * X 2 (k ) N



[4.3-17]



Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

DFT  y (n) N  



N1



 x ( n)

1



N



.x 2 (n) N e  jk1n



n 0



Khi thay x1(n) bằng biểu thức DFT ngược [4.2-4] của nó :

x1 (n) N 



1

N



N1



X



1 (l ) N



l 0



DFT  y (n) N  



Nhận được :



DFT  y ( n) N  



1



DFT  y ( n) N  



1



N1



1



n 0  N







N1



X

N

l 0



N1



X



X

N



1 (l ) N



1 (l ) N



l 0



N1



1 (l ) N



x



2 ( n) N





e jl1n .x 2 (n) N e  jk1n





e  j ( k  l )1n



n 0



N1



l 0



4.3.2g Quan hệ



e jl1n



X 2 (k  l ) N 



1

N



X 1 (k ) N * X 2 (k ) N



Parseval : Năng lượng của tín hiệu số có thể được tính qua phổ rời rạc DFT theo cơng thức



Parseval :

81



N1



Ex 



 x( n)



2







N



n 0



N1



1



 X (k )

N



2



[4.3-18]



N



n 0



Chứng minh : Dùng [4.3-16] với x1 (n) N  x2 (n) N  x(n) N nhận được [4.3-18].

4.3.2h DFT của dãy đảo dấu : DFT của dãy thực x(n)N và dãy thực đảo dấu x(-n)N là cặp dãy liên hợp phức.



Nếu : DFT [ x(n) N ]  X (k ) N  X N (k ) .e j ( k )

Thì : DFT  x( n) N   X ( k ) N  X * (k )  X N (k ) .e  j ( k )

Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :

DFT  x( n) N  



N1







[4.3-19]



x( n) N e  jk1n 



n 0



N1



 x ( n)



N



e  j (  k )1 (  n )  X ( k ) N



n 0



*



Vì x(n)N là dãy thực nên theo [4.3-14] thì X ( k ) N  X (k ) N , do đó có [4-52].



Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có dãy biên độ tần số giống

nhau, còn dãy pha tần số ngược dấu.

4.3.2i Tính đối xứng của DFT



: Nếu x(n)N là dãy phức và :



DFT [ x (n) N ]  X ( k ) N



DFT  x( n) *N   X * (  k ) N  X * ( N  k ) N

Thì :

[4.3-20]

*

Các dãy X ( N  k ) N và X ( N  k ) N là liên hợp phức, và X ( N  k ) N là dãy đối xứng vòng của

Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có :







N1



  x( n)



DFT x(n) *N 



*

N



e  jk1n 



n 0



Hay :







N1



   x ( n)



DFT x(n) *N 



  x(n)

N1



*

N



e  jk1n



X (k ) N



.







* *



n 0



jk1n

Ne







*



N1







n 0



  x( n)



N



e  j (  k )1n







*



 X * ( k ) N



n 0



: DFT có tính đối ngẫu, nghĩa là các tính chất và các dãy trong miền thời gian rời rạc

n và miền tần số rời rạc k của DFT là hốn vị cho nhau.

Có thể thấy rất rõ điều đó ở các tính chất dịch vòng thời gian và dịch vòng tần số, tích chập trong miền

thời gian là tích thường trong miền tần số và ngược lại. Biểu thức DFT [ (n) N ]  rect N (k ) và biểu thức

DFT [ rect N (n) N ]  N . (k ) N cũng là thể hiện tính đối ngẫu của DFT đối với các dãy trong miền thời gian và miền

tần số.

4.3.2k Tính đối ngẫu của DFT



4.4



tính trực tiếp DFT và IDFT



được sử dụng rất nhiều trong thực tế, đặc biệt là để phân tích phổ tín hiệu khi xử lý tiếng nói, xử lý

ảnh, và tổng hợp mạch lọc số.

DFT



4.4.1 Số lượng phép tốn khi tính trực tiếp DFT và IDFT

4.4.1a Số lượng phép toán của DFT



Nếu x(n) là dãy số thực, có thể tính trực tiếp DFT theo [4.2-3] :

N



N1



X (k ) N 



 x (n)



N



e  jk1n  X R (k ) N  jX I (k ) N



n 0



X ( k ) N  DFT  x( n) N   A(k ) N e j ( k )  X (k ) N .e j ( k )



Hay :

Trong đó :



1 

N1



Nên :



X (k ) N 



n 0



82







  x(n)



N



2

N



 2 .n 

 2 .n  

cos

.k   jx (n) N sin

.k  

 N



 N





[4.4-1]

[4.4-2]

[4.4-3]



N1



 x ( n)



X R (k ) N 



Dãy phần thực :



n 0



N



 2 .n 

. cos

.k 

 N





N1



X I (k ) N  



Dãy phần ảo :



 x(n)

n 0



N



[4.4-4]



 2 .n 

. sin 

.k 

 N





Dãy mô đun :



X (k ) N  X R2 (k ) N  X I2 (k ) N



Dãy Argumen :



 X (k ) 

 (k )  arctg  I N 

 X R (k ) N 



[4.4-5]

[4.4-6]

[4.4-7]



Như vậy, để tìm X(k)N , cần phải tính các dãy phần thực và phần ảo, để từ đó tính được mơ đun và

argumen của X(k)N , hoặc độ lớn A(k)N và pha (k). Tại mỗi mẫu của X(k)N cần phải tính N lần cos(k1n) và

sin(k1n) , 2N phép nhân số thực, 2(N - 1) phép cộng số thực, 2 phép bình phương, 1 phép khai căn, 1 phép chia, và

1 phép tính artg. Để nhận được N mẫu của X(k)N phải thực hiện gấp N lần số phép tốn trên. Tức là, để tính trực

tiếp DFT độ dài N cần :



- 2N2 phép tính hàm số lượng giác.

- 2 N2 phép nhân số thực.

- 2 N(N - 1) phép cộng số thực.

- Ngồi ra còn, 2N phép bình phương, N phép khai căn, N phép chia, và N phép tính artg.

Trong trường hợp x(n)N là dãy phức : x(n) N  x1 (n) N  jx 2 (n) N , thì số lượng các phép tốn trên phải tăng

gấp đơi. Như vậy, số lượng các phép tốn để tính DFT là rất lớn, nên khi N lớn thì tính DFT bằng máy tính cũng

tốn rất nhiều thời gian.

4.4.1b Số lượng các phép tốn khi tính trực tiếp IDFT



x(n) N  IDFT  X (k ) N  



Tính trực tiếp IDFT thực hiện theo biểu thức [4.2-4] :



1



N1



 X (k )

N



N



e jk1n



n 0



Hay :



x( n) N



N1





 2 .n 

 2 .n  



X (k ) N cos

.k   jX (k ) N sin

.k  



N n 0 

 N



 N



1







[4.4-8]



So sánh các biểu thức [4.4-3] và [4.4-8] thấy rằng, biểu thức tính DFT và IDFT chỉ khác nhau dấu của phần

ảo và hệ số chia N. Do đó, số lượng các phép tính và thuật tốn để tính DFT và IDFT về cơ bản là giống nhau. Sau

đây sẽ xét một số trường hợp thực tế thường gặp.



4.4.2 Tính DFT và IDFT của dãy x(n) thực, đối xứng, N lẻ

N



4.4.2a Tính DFT



Dãy x(n)N thực, đối xứng có :

x ( N  1  n) N  x ( n) N



Do N lẻ, nên trục đối xứng ở

mẫu n = (N - 1)/2 . Ví dụ, dãy đối

xứng x(n)5 trên hình 4.11 có N = 5 , nên

trục đối xứng ở mẫu n = 2 .

Theo biểu thức DFT [4.2-3] có :



Hình 4.11 : Dãy x(n)5 đối xứng.

N1



X (k ) N  DFT [ x( n) N ] 



 x (n)



N



e  jk1n



n 0



Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :

 N 2 1  1







  N  1   jk1  N2 1    N  1



 jk1n 

 jk1n 

X (k ) N  

x (n) N e

x (n) N e



   x 2  e



N 1

n



0

N





 n  2  1

















Đổi biến thành phần thứ ba, đặt m = (N - 1 - n) => n = (N - 1 - m),

N1 

N1 

 1 , khi n  ( N  1) thì m  0 :

 1 thì m  

 2



 2





khi n  



N1





n



N 1



2



x(n) N e  jk1n 

1



0



 x ( N  1  m)



m



N 1



2



N



e  jk1 ( N  1 m )



1



Đổi lại biến m về n và đảo cận của tổng trên, nhận được X(k)N có dạng :

83



 N 2 1  1



  N  1   jk1  N2 1  



 jk1n 

X (k ) N  

x (n) N e



 

  x 2  e





n



0

N









 N 2 1  1





 jk1 ( N  1 n ) 



x ( N  1  n) N e



n



0















Vì dãy x(n)N đối xứng có x(n)  x( N  1  n) nên nhận được :

 N  1   jk1  N2 1 

X ( k ) N  x



 e

 2 N



Trong đó :



e



 jk1n



Hay :



e



 jk1n



N1  1



2



 x (n)  e

N



 jk1n



 e  jk1 ( N  1 n )







[4.4-9]



n 0



 jk1 ( N  1 n )



 e



 N 1

 jk1 



 2 



e



 e  jk1 ( N  1 n )  2.e







 N1  

 jk1  N  1  n 

 jk1 

 n

2





 2



e

e











 N 1

 jk1 



 2 





N1



cos k 1 

 n 

 2







Do đó [4.4-9] được đưa về dạng :

 N  1   jk1  N2 1 

 x



 e

 2 N



X (k ) N



N1



2



1





n 0



 N1



2 





N1

   jk1 

2.x( n) N cos  k 1 

 n   .e

 2







N1



N1



 n  => n  

 m  , khi n  0 thì

 2



 2



2

 N  1

N1 

m 

 1 thì m 1 , đồng thời thay  1 

 , khi n  

:

N

 2 

 2



2  N  1 





1

 N  1

N1



 2k    jk N  2 

X ( k ) N   x



2

.

x



m

cos

m

.

e











  2 N

 2

N

 N



m N  1





2



Đổi biến, đặt m  







Đổi biến m trở về n và đảo cận của dấu tổng, nhận được :

X (k ) N



N1





 N  1

  x

 

  2 N





2









N1



 2 .n   

 n  cos

.k  .e

 2

N

 N







2.x



n 1



j



( N  1)

N



.k



[4.4-10]



N1



Dãy độ lớn :



A(k ) N



Dãy pha :



2

 N  1

N1



 2 .n 

[4.4-11]

 x

2.x

 n  cos

.k 

 

 2

N

 N



 2 N

n 1

( N  1)

 (k )  

.k

[4.4-12]







N



Theo [4.4-12], X(k)N có pha (k) tuyến tính . Theo [4.4-11], số phép tốn để tính A(k)N tại mỗi điểm giảm gần

một nửa. Hơn nữa, A(k)N là dãy đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1) , nên để nhận được A(k)N , chỉ cần tính A(0)N

và A(1)N đến A[(N- 1)/2]N rồi lấy đối xứng. Vậy khi x(n)N là dãy thực đối xứng, N lẻ thì số phép tốn tính DFT giảm

còn khoảng 1/4 .

Ví dụ 4.13 : Tính DFT của dãy x(n)5 thực, đối xứng, với N lẻ ở hình 4.11 .

Giải : Để tiện tính tốn, theo giá trị của x(n)5 ở hình 4.11 , lập bảng 4.3 :

Bảng 4.3 : Các giá trị của dãy x(n)5 đối xứng.

0

1

2

3

4

n

0,25

0,50

1,00

0,50

0,25

x(n)5

Với N = 5 thì



( N  1)

2







(5  1)

2



 2 , theo [4.4-12] có :  ( k )  

2



4

5



k



 2 .n 

.k 

 5





Theo [4.4-11] có : A(k ) 5  x(2) 5   2.x 2  n  5 cos

n 1



Vậy :



84



 2 

 4 

A( k ) 5  x (2) 5  2.x(1) 5 cos

k   2. x(0) 5 cos

k

 5 

 5 



 2 

 4 

k   0,5 cos

k

5





 5 



Theo bảng 4.3 có : A(k ) 5 1  cos



 2 

 4 

A(0) 5 1  cos

0   0,5 cos

0  1  1  0,5  2,5

 5 

 5 



Vậy :



 2 

 4 

A(1) 5 1  cos

  0,5 cos

 1  0,3  0,5.( 0,8)  0,9

 5 

 5 

 2 

 4 

A(2) 5 1  cos

2   0,5 cos

2  1  ( 0,8)  0,5.0,3  0,35

 5 

 5 

 2 

 4 

A(3) 5 1  cos

3   0,5 cos 

3  1  (  0,8)  0,5.0,3  0,35

5





 5 

 2 

 4 

A(4) 5 1  cos

4   0,5 cos

4  1  0,3  0,5.(  0,8)  0,9

 5 

 5 



Do tính đối xứng của A(k)5 trong khoảng 1  k  (N - 1), nên có thể suy ra ngay : A(3) 5  A(2) 5  0,35 ;

A( 4) 5  A(1) 5  0,9



Theo các giá trị đã tính được của A(k)5 , lập bảng 4.4 .

Bảng 4.4 : Các giá trị A(k)5 và (k) của ví dụ 4.13

0

1

2

3

4

k

2,5

0,9

0,35

0,35

0,9

A(k)5

0,0

-2,5

-5,0

-7,5

-10

(k)

Theo bảng 4.4 , xây dựng được đồ thị của A(k)5 và (k) trên hình 4.12 .



(k)



A(k)5



2 ,5



0

0 ,9



0 ,9



0



1



2



3



2



- 2 ,5



0 ,3 5



-1



1



3



- 5 ,0



k

4



4



- 7 ,5



5



k



-10



5



Hình 4.12 : Đồ thị DFT của dãy



x(n)5 thực, đối xứng, N lẻ



4.4.2b Tính IDFT khi x(n)N là dãy



thực, đối xứng, N lẻ

Mục 4.4.2a ở trên cho thấy, khi X(k) có N lẻ, (k) tuyến tính theo [4.4-12] và A(k) đối xứng

trong khoảng 1  k  (N - 1) , thì x(n) là dãy thực đối xứng. Theo biểu thức IDFT [4.2-4] có :

N



N



N



x ( n) N 



Theo [4.4-12] có :

Vậy :



e j ( k ) e jk .1n  e



x ( n) N 



1



 j



N1



 A(k )

N



N



.e







N



( N  1)

N



N1



1



.k



 jk



X (k ) N e



jk1n







k 0



e



e



j



 2 

j . k

n

 N 



k

N



e



 j



N1



1



 A(k )



N



k . N

N



e



N



.e j ( k ) e jk1n



k 0



j



k

N



(1 2 n )



( 2 n 1)



k 0



Khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :

N1



x ( n) N 



A(0) N

N







1



2





N



A(k ) N .e  jk e



j



k

N



( 2 n 1)







k 1







1

N



N1



 A(k )

N1



k



2



N



.e



 jk



e



j



k

N



( 2 n 1)



[4.4-13]



1



Đổi biến thành phần thứ ba, đặt m = (N - k)  k = (N - m) . Khi

85



k 



N1

2



1



thì



N1



m



, còn khi k = (N - 1) thì m = 1 , do đó có :



2

N1



1

N





k



A(k ) N .e  jk e



N1



2



j



k

N



( 2 n 1)







1



1



1







N



A( N  m) N .e  j ( N  m ) e



j



( N  m )



( 2 n 1)



N



N1



m



2



Trong đó, vì N lẻ và (2n + 1) lẻ nên :

e  j ( N  m) e



j



( N  m )

N



( 2 n 1)



 e  jN e jm e



j



N .

N



( 2 n 1)  j



e



m

N



( 2 n 1)



 ( 1)e jm ( 1)e



 j



m

N



( 2 n 1)



Đổi biến m trở về k và đổi cận của dấu tổng, nhận được :

N1



1



 A(k )



N



k



N1



2



N



.e



 jk



e



j



N1



k



( 2 n 1)



N







1



2



 A( N  k )

N



N



jk



.e



e



 j



k

N



( 2 n 1)



k 1



1



Do đó biểu thức [4.4-13] của x(n) có dạng :

N



N1



x ( n) N 



A(0) N

N







2



1



 A(k )

N



N



.e



 jk



e



j



k

N



N1



( 2 n 1)



k 1



x ( n) N 



A(0) N

N







1





N



2



 A( N  k )

N



N



.e



jk



e



 j



k

N



( 2 n 1)



k 1



N1



2







1



A(k ) N .( 1) k e



j



k

N



N1



( 2 n 1)







k 1



1



2





N



A( N  k ) N .( 1) k e



 j



k

N



( 2 n 1)



Vì A(k) đối xứng trong

N



k 1



khoảng 1  k  (N - 1) , nên A(k) = A(N- k) :

N



N



N1



x ( n) N 



A(0) N

N



k

 j k ( 2 n 1)

 j

( 2 n 1) 

N



( 1) A(k ) N . e

e N



N k 1







1



2







k



N1



Vậy :



x ( n) N 



A(0) N







N



2



2



 ( 1)

N

k 1



k



 k



A( k ) N . cos

(2n  1)

N







[4.4-14]



Theo [4.4-14], số phép tốn để tính x(n)N tại mỗi điểm giảm gần một nửa, hơn nữa x(n)N là dãy đối xứng,

nên để nhận được x(n)N , chỉ cần tính x(0)N đến x[(N - 1)/2]N rồi lấy đối xứng . Vậy khi X(k)N có N lẻ, pha (k) tuyến

tính và A(k)N đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1), thì số phép tốn của IDFT giảm còn khoảng 1/4 .

Ví dụ 4.14 : Tính IDFT của dãy X(k)5 có pha (k) tuyến tính theo [4.4-12] và A(k)5 đối xứng cho ở bảng 4.5 (xem

hình 4.12).

Bảng 4.5 : Các giá trị A(k)5 và (k) của ví dụ 4.14

0

1

2

3

4

k

2,5

0,9

0,35

0,35

0,9

A(k)5

0,0

-2,5

-5,0

-7,5

-10

(k)

Giải : Theo [4.4-14] và số liệu ở bảng 4.5 tính được :

A(0) 5

2 2

 k



k

x ( n) 5 



5







5



 ( 1)

k 1



A( k ) 5 . cos 

(2n  1) 

 5









 2



x(n) 5  0,5  0,4 A(1) 5 . cos  (2n  1)  0,4 A(2) 5 . cos 

( 2n  1)

5



 5



 

 2 

x(0) 5 0,5  0,4.0,9. cos   0,4.0,35. cos

 0,5  0,36.0,81  0,14.0,31 0,25

5

 5 

 3 

 6 

x(1) 5  0,5  0,36 cos

  0,14 cos

  0,5  0,36.( 0,31)  0,14.( 0,81)  0,5

 5 

 5 

 5 

 10 

x(2) 5  0,5  0,36 cos 

  0,14 cos

  0,5  0,36.( 1)  0,14.1 1

 5 

 5 



86



 7 

 14 

x(3) 5 0,5  0,36 cos

  0,14 cos

 0,5  0,36.( 0,31)  0,14.( 0,81) 0,5

5





 5 

 9 

 18 

x(4) 5  0,5  0,36 cos

  0,14 cos

  0,5  0,36.0,81  0,14.0,31  0,25

5





 5 



Theo các số liệu trên, lập được bảng 4.6 :

Bảng 4.6 : Các giá trị x(n)5 của ví dụ 4.14

0

1

2

3

n

0,25

0,50

1,00

0,50

x(n)5



Ví dụ 4.14 là bài tốn ngược của ví dụ

đồng nhất. Đồ thị của x(n)5 trên hình 4.11 .



4

0,25



4.13,



so sánh các bảng



4.6



và 4.3 , kết quả hai ví dụ là



4.4.3 Tính DFT và IDFT của dãy x(n) thực, đối xứng, N chẵn

N



4.4.3a Tính DFT

Vì N chẵn,



x(n)6



nên trục đối

xứng ở giữa hai mẫu [(N/2) - 1] và

(N/2) .

Ví dụ, dãy đối xứng x(n)6

trên hình 4.13 có N = 6 , nên trục đối

ở giữa hai mẫu n = 2 và n = 3 .

Theo biểu thức DFT [4.2-3] có :



1

0 ,5



0 ,2 5



-1



1



0



0 ,5



1



2



3



Hình 4.13 : Dãy

N1



X (k ) N  DFT [ x( n) N ] 



 x (n)



N



4



0 ,2 5



n



5



x(n)6 đối xứng.



e  jk1n



n 0



Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :

N  1



X (k ) N 



2







x(n) N e  jk1n 



N1



 x ( n)



N



e  jk1n



n N

2



n 0



Đổi biến tổng thứ hai và biến đổi tương tự ở mục 4.4.2a , nhận được :

N



X (k ) N 



2





n 1



  .(2n  1)   j

N



2.x  n  cos

.k .e

N

2

N





N



Dãy độ lớn :



A( k ) N 



2



N







 2.x 2  n 

n 1



Dãy pha :



 (k )  



N



( N  1)

N



( N  1)

N



.k



[4.4-15]



  .( 2n  1) 

cos 

.k 

N







[4.4-16]



.k



[4.4-17]



Theo [4.4-17], X(k)N có pha (k) tuyến tính. Theo [4.4-16], số phép tốn để tính mỗi điểm của A(k)N giảm

còn một nửa. Hơn nữa, vì A(k)N phản đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1), nên để nhận được A(k)N , chỉ cần tính

A(0)N đến A(N/2)N rồi lấy phản đối xứng. Vậy khi x(n)N là dãy thực đối xứng, N chẵn thì số phép tốn của DFT

giảm còn khoảng 1/4 .

Ví dụ 4.15 : Tính DFT của dãy x(n)6 thực, đối xứng, N chẵn, ở hình 4.13 .

Giải : Để tiện tính tốn, theo giá trị của x(n)6 ở hình 4.13 , lập bảng 4.7 :

Bảng 4.7 : Các giá trị của dãy x(n)6 đối xứng.

0

1

2

3

4

n

0,25

0,50

1,0

1,0

0,50

x(n)6

Với N = 6 thì



N

2







6

2



 3 , theo [4.4-17] có :  ( k )  

3



5

6



5

0,25



k



  .(2n  1) 

.k 

6







Theo [4.4-16] có : A(k ) 6   2.x 3  n  6 cos 

n 1



87





A(k ) 6  2.x(2) 6 cos 

6



Vậy :



 3

 6









 5

 6









k   2.x (1) 6 cos 



k   2.x(0) 6 cos









k



 

 3 

 5 

k   cos

k   0,5 cos

k

6 

 6 

 6 



Theo bảng 4.7 có : A(k ) 6  2 cos



Tính A(k)6 và (k) theo các biểu thức trên, lập được bảng 4.8 :

Bảng 4.8 : Các giá trị A(k)6 và (k) của ví dụ 4.15

0

1

2

3

4

k

3,5

1,3

0,25

0,0

A(k)6

-0,25

0,0

-2,6

-5,2

-7,9

-10,5

(k)



5

-1,3



-13,1



Theo bảng 4.8 , xây dựng được đồ thị của A(k)6 và (k) trên hình 4.14 .

A(k)6

3 ,5



1 ,3

0 ,2 5



-1



0



1



k



2



(k)



0



3



1



- 2 ,6



- 0 ,2 5

- 1 ,3



2



- 5 ,2



3



- 7 ,9



Hình 4.14 : Đồ thị DFT của dãy



4



- 1 0 ,5



5



k



- 1 3 ,1



x(n)6 thực, đối xứng, N chẵn



4.4.3b Tính IDFT khi x(n)N là dãy



thực, đối xứng, N chẵn

Mục 4.4.3a ở trên cho thấy, khi X(k) có N chẵn, (k) tuyến tính theo [4.4-16] và A(k) phản đối

xứng trong khoảng 1  k  (N - 1), thì x(n) là dãy thực đối xứng. Thực hiện tương tự như ở mục

4.4.2b , nhận được :

N



N



N



N



x ( n) N 



A(0) N







N



2



2



1



 ( 1)

N

k 1



k



 k



A(k ) N . cos

(2n  1)

N





[4.4-18]



Theo [4.4-18], số phép tốn để tính x(n)N tại mỗi điểm giảm gần một nửa, hơn nữa x(n)N là dãy đối xứng,

nên để nhận được x(n)N , chỉ cần tính x(0)N đến x(N/2)N rồi lấy đối xứng . Do đó trong trường hợp này, số phép tốn

của IDFT giảm còn khoảng 1/4 .

Ví dụ 4.16 : Tính IDFT của dãy X(k)6 có pha (k) tuyến tính theo [4.4-17] và A(k)6 đối xứng cho ở bảng 4.9 .

Bảng 4.9 : Các giá trị A(k)6 và (k) của ví dụ 4.16

0

1

2

3

4

k

3,5

1,3

0,25

0,0

A(k)6

-0,25

0,0

-2,6

-5,2

-7,9

-10,5

(k)



5

-1,3



-13,1



Giải : Theo [4.4-18] và số liệu ở bảng 4.9 tính được :

A(0) 6

2 2

 k



k

x ( n) 6 







6



6



 ( 1)

k 1



A(k ) 6 . cos 

(2n  1)

 6







 2

 2



.1,3. cos (2n  1)  .0,25. cos

( 2n  1)

6

6

6

6

6











2











x(n) 6  0,58  0,43. cos (2n  1)  0,08. cos

(2n  1)

6

6









x ( n) 6 



88



3,5







2



Theo biểu thức trên, tính x(n)6 và lập được bảng 4.10 :

Bảng 4.10 : Các giá trị x(n)6 của ví dụ 4.16

0

1

2

3

n

0,25

0,50

1,0

1,0

x(n)6



4

0,50



Ví dụ 4.16 là bài tốn ngược của ví dụ

đồng nhất. Đồ thị của x(n)6 trên hình 4.13 .



4.15,



5

0,25



so sánh các bảng 4.10 và 4.7 , kết quả hai ví dụ là



4.4.4 Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, phản đối xứng, N lẻ

4.4.4a Tính DFT



x(n)5



Dãy x(n)N thực, phản đối xứng



1



có : x(n)   x( N  1  n)

Vì N lẻ, nên tâm phản đối xứng

ở mẫu n = (N - 1)/2 , và tại điểm đó

x(n)N = 0 .

Ví dụ, dãy phản đối xứng x(n)5 ở

hình 4.15 có độ dài N = 5 , nên tâm

phản đối xứng là mẫu n = 2 .



0 ,5



n



0



1



2



5

- 0 ,5

-1



Hình 4.15



: x(n)5 phản đối xứng.

N1



X (k ) N  DFT [ x ( n) N ] 



Theo biểu thức DFT [4.2-3] có :



 x( n)



N



e  jk1n



n 0



Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :





 N 2 1  1



  N  1   jk1  N2 1    N  1



 jk1n 

 jk1n 

X (k ) N  

x (n) N e

x (n) N e



   x 2  e







N 1

n



0

N





 n  2  1

















Do x(n)N = 0 tại tâm phản đối xứng ở mẫu (N- 1)/2 , nên có :

N 1



2



1







X (k ) N 



N1



 x( n)



x( n) N e  jk1n 



n 0



n



N 1



2



N



e  jk1n



1



Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 4.4.2a , nhận được :

N 1



X (k ) N 



2



N 1



1



 x( n)



N



e



2



 jk1n



1



 x( N  1  n)







n 0



N



e  jk1 ( N  1 n )



n 0



Do x(n)N phản đối xứng có x(n)   x( N  1  n) , nên từ biểu thức trên có :

N1  1



X (k ) N 



2



 x( n)  e

N



 jk1n



 e  jk1 ( N  1 n )







n 0



Biến đổi tiếp nhận được :

N1



X (k ) N







N1



 2 .n  j  2 

 2.x

 n  sin

k  .e

 2

N

 N 

n 1

2







N1



Dãy độ lớn :



A(k ) N 



2



N1



 2.x

n 1



Dãy pha :



 (k ) 





2



2







( N  1) 

k

N







 2 .n 

 n  sin 

k

N

 N 



( N  1)

N



.k



[4.4-19]



[4.4-20]



[4.4-21]



Theo [4.4-21], X(k)N có pha (k) tuyến tính. Theo [4.4-20], số phép tốn để tính A(k)N tại mỗi điểm giảm gần

một nửa, hơn nữa A(0)N = 0 và A(k)N phản đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1), nên để nhận được A(k)N , chỉ cần

tính A(1)N đến A[(N - 1)/2]N rồi lấy phản đối xứng. Vậy khi x(n)N là dãy thực phản đối xứng, N lẻ thì số phép tốn

của DFT còn khoảng 1/4

89



Ví dụ 4.17 : Tính DFT của dãy x(n)5 thực, phản đối xứng, N lẻ ở hình 4.15.

Giải : Để tiện tính tốn, theo giá trị của x(n)5 ở hình 4.15 , lập bảng 4.11 :

Bảng 4.11 : Giá trị của dãy phản x(n)5 đối xứng.

0

1

2

3

4

n

0,25

0,50

0,00

x(n)5

-0,50

-0,25

Với N = 5 thì



( N  1)

2







(5  1)

2



 2 , theo [4.4-21] có :  ( k ) 

2



Theo [4.4-20] có :



 2.x 2  n 



A( k ) 5 





2



4







5



k



 2 .n 

k

 5 



5 sin 



n 1



 2 

 4 

A(k ) 5  2.x(1) 5 sin 

k   2.x (0) 5 sin 

k

 5 

 5 

 2 

 4 

A(k ) 5  sin

k   0,5 sin

k

 5 

 5 



Vậy :

Theo bảng 4.11 có :



Tính A(k)5 và (k) theo các biểu thức trên, lập được bảng 4.12 .

Bảng 4.12 : Các giá trị A(k)5 và (k) của ví dụ 4.17

0

1

2

3

4

k

0,0

1,25

0,11

A(k)5

-0,11

-1,25

1,57

-0,94

-3,45

-5,97

-8,48

(k)

Theo bảng 4.12 , xây dựng được đồ thị của A(k)5 và (k) trên hình 4.16 .



A(k)5

1 ,2 5



0 ,1 1



0



1



2



(k)



1 ,5 7



k

5



1



0



2



3



4



k



5



-0 ,9 4



- 0 ,1 1



-3 ,4 5

-5 ,9 7

-8 ,4 8



- 1 ,2 5



Hình 4.16 : Đồ thị DFT của dãy



x(n)5 thực, phản đối xứng, N lẻ



4.4.4b Tính IDFT khi x(n)N là dãy



thực, phản đối xứng, N lẻ

Mục 4.4.4a ở trên cho thấy, khi X(k) có N lẻ, (k) tuyến tính theo [4.4-20] , A(0) = 0 và A(k)

phản đối xứng khi 1  k  (N - 1), thì x(n) là dãy thực phản đối xứng. Từ biểu thức IDFT [4.2-4] có :

N



N



N



x ( n) N 



1



N1



 X (k )

N



N



e jk1n 



k 0



Theo [4.4-20] có :

Vậy :



1



N1



 A(k )

N



N



.e j ( k ) e jk1n



k 0



e



j ( k )



x ( n) N 



e



jk .1n



1



e



  ( N  1)

j 

N

2



N1



 A(k )

N



N



.e





k









j   k 

2





e



e



 2 

j . k

n

 N 



j



k

N



e



  k . N 

j 



N 

2



( 2 n 1)



k 0



Vì A(0)N = 0 , nên khai triển biểu thức trên thành hai tổng :



90



e



j



k

N



(12 n )



N



N1



x ( n) N 



2



1



 A(k )

N



N



.e







j   k 

2





e



j



k

N



( 2 n 1)







k 1



N1



1



 A(k )



N



N1



k



2



N



.e







j   k 

2





e



j



k

N



( 2 n 1)



1



Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 4.4.2b , nhận được :

N1



x ( n) N 



1



2



 A(k )

N



k



N



. j ( 1) e



j



k

N



N1



( 2 n 1)



2



1



 A( N  k )

N







k 1



k



N



. j ( 1) e



 j



k

N



( 2 n 1)



k 1



Vì A(k) phản đối xứng khi 1  k  (N - 1) , nên A(k) = - A(N- k) :

N



N



N



N1



x ( n) N 



k

 j k ( 2 n 1)

 j

( 2 n 1) 

A(k ) N . j ( 1) k e N

 e N



N k 1







1



2







N1



Vậy :



x ( n) N 



2



2



 ( 1)

N

k 1



( k 1)



 k



A(k ) N . sin 

(2n  1)

N





[4.4-22]



Theo [4.4-22], số phép toán để tính x(n)N tại mỗi điểm giảm còn một nửa, hơn nữa x(n)N là dãy phản đối

xứng, nên để nhận được x(n)N , chỉ cần tính x(0)N đến x[(N - 1)/2]N rồi lấy đối xứng . Vậy khi X(k)N có N lẻ, (k)

tuyến tính, A(0)N = 0 và A(k)N đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1), thì số phép tốn của IDFT giảm còn khoảng

1/4 .

Ví dụ 4.18 : Tính IDFT của dãy X(k)5 có (k) và A(k)5 cho ở bảng 4.13 .

Bảng 4.13 : Các giá trị của A(k)5 và (k)

0

1

2

3

k

0,0

1,25

0,12

A(k)5

-0,12

1,57

(k)

-0,94

-3,45

-5,97



4



-1,25

-8,48



Giải : Theo [4.4-22] và số liệu ở bảng 4.13 tính được :

x ( n) 5 



2



2



 ( 1)

5

k 1



( k 1)



 k



A(k ) 5 . sin 

(2n  1) 

 5









 2



x(n) 5  0,5. sin  (2n  1)   0,05. sin 

(2n  1)

5

5











Tính x(n)5 theo biểu thức trên, lập được bảng 4.14 :

Bảng 4.14 : Các giá trị của x(n)5

0

1

2

n

0,25

0,50

1,00

x(n)5



3

0,50



4

0,25



Ví dụ 4.18 là bài tốn ngược của ví dụ 4.17, so sánh các bảng 4.14 và 4.11 , kết quả hai ví dụ là

đồng nhất. Đồ thị của x(n)5 trên hình 4.15 .

4.4.5 Tính DFT và IDFT của dãy x(n) thực, phản đối xứng, N chẵn

N



4.4.5a Tính DFT

Vì N chẵn,



x(n)6



nên tâm phản đối

xứng ở giữa mẫu [(N/2) - 1] và mẫu

(N/2) .

Ví dụ, dãy phản đối xứng

x(n)6 trên hình 4.17 có độ dài N = 6 ,

nên tâm phản đối xứng ở giữa hai

mẫu n = 2 và n = 3 .

Theo biểu thức DFT [4.2-3] có :

N1



X (k ) N 







x( n) N e  jk1n



1

0 ,2 5



0



0 ,5



n

1



2



6

-1



- 0 ,5



- 0 ,2 5



Hình 4.17 : Dãy x(n)6 đối xứng.



n 0



91



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Hình 4.10 : Đồ thị dãy .

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×