Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Bài tập Chương ba

Bài tập Chương ba

Tải bản đầy đủ - 0trang

BT



3.10



Tìm



H(ej)



,



H(ej)











()



của



1



1



1



2



6



24



y (n)  x(n)  x(n  1)  x(n  2)  x(n  3) 



hệ



xử







số







phương



trình



sai



phân



:



x(n  4)



BT 3.11 Tìm H(ej) ,  H(ej) và () của hệ xử lý số có phương trình sai phân y ( n)  x ( n )  x( n  N ) , với N là hằng



số.

BT 3.12 Cho hệ xử lý số có đặc tính xung h( n)  a ( n1) rect 2 ( n)

1. Xác định điều kiện tồn tại và biểu thức của H(ej).

2. Hãy xác định các đặc tính tần số  H(ej) và () của hệ.

3. Vẽ các đồ thị đặc tính biên độ tần số và pha tần số của hệ.

BT 3.13 Hãy xác định hàm truyền đạt phức, xác định và vẽ dạng của đặc tính biên độ tần số, đặc tính pha tần số của các hệ

xử lý số sau :

1. Trên hình 3.11.

2. Trên hình 3.12.

X(ej)

2



Y(ej)



+



e-j

3

Hình 3.11 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số ở BT3.13.1



X(ej)



+

e-j



+



Y(ej)



+



e -j



e-j



+



e-j



e-j

e-j

Hình 3.12 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số ở BT3.13.2

BT 3.14 Hãy xác định các đặc trưng phổ của các tín hiệu số sau :



n

  .n 



.rect N ( n)

.rect N (n)

2. x 2 ( n)   1 

N

 N 



BT 3.15 Hãy tính năng lượng của các tín hiệu số sau theo hàm phổ :

n 

1. x1 ( n)  2 n .rect 2 (n)

2. x 2 ( n)    1.rect 3 ( n)

2 

1. x1 ( n)  cos











j

j

BT 3.16 Cho các tín hiệu số x (n)  2  n u (n) và y ( n)  2 n .rect 2 ( n) , hãy tìm hàm phổ R xy (e )  FT rxy ( m) , R xy (e )











j

, Arg R xy (e ) .



BT 3.17 Hãy tìm hàm phổ R x (e j ) của các tín hiệu số sau :



 

 

n .rect 4 (n)

2. x 2 ( n)  cos n .rect 4 ( n)

2 

2 

BT 3.18 Tìm đặc tính xung h(n) của các hệ xử lý số có đặc tính tần số :

   j 0,5

j

1. H (e j )  cos(   )e j 0,5

2. H (e )  2 sin   e

2

BT 3.19 Cho tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f  3500 Hz :

1. x1 ( n)  sin 



68



khi t  0

 0

x(t )  

 t

khi t  0

 Ae

1. Xác định chu kỳ trích mẫu lớn nhất T để phổ của tín hiệu

x(t) .



lấy mẫu x(nT) khơng bị méo dạng so với phổ của







2. Hãy biểu diễn phổ X (e j ) của x(nT) qua phổ X ( ) của x(t).

BT 3.20 Hãy xây dựng sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ sử lý số có phương trình sai phân như sau :

y (n)  x( n )  2 x( n  2 )  y ( n  1 )  0,5 x( n  2 )



Chương bốn: ứng dụng Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số

Phép biến đổi Fourier được nghiên cứu ở chương ba cho phép phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số có độ dài vơ hạn, theo hàm

tần số với  liên tục. Tuy nhiên, các hệ xử lý số thực tế chỉ có thể xử lý các tín hiệu số có độ dài hữu hạn, theo hàm tần số với  rời rạc.

Do đó người ta xây dựng phép biến đổi Fourier cho các dãy có độ dài hữu hạn, với biến tần số góc  rời rạc, và gọi là phép biến đổi

Fourier rời rạc, nó được viết tắt theo tiếng Anh là DFT (Discrete Fourier Transform). Chương bốn trình bầy phương pháp xây dựng

DFT , cách tính DFT , và các tính chất, các ứng dụng của DFT.



biến đổi Fourier rời rạc

của dãy tuần hoàn



4.1



Để xây dựng biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn, xuất phát từ chuỗi Fourier của hàm liên tục tuần

hoàn xp(t).

Xét hàm liên tục tuần hoàn xp(t), có chu kỳ To 2  0 . Nếu xp(t) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet, thì có





x p (t ) 



thể khai triển xp(t) thành chuỗi Fourier :







C



k



e jk 0t



[4.1-1]



k 



Với các hệ số :



1







Ck 



T0



T

2



x







p (t )e



 jk 0t



dt



[4.1-2]



T

2



Nếu hàm liên tục tuần hồn xp(t) có phổ hữu hạn f < fmax , thì có thể rời rạc hóa xp(t) với chu kỳ T sao cho

N.T = To , và T thỏa mãn điều kiện của định lý lấy mẫu T 1 2 f max . Theo định lý lấy mẫu, hàm tuần hoàn xp(t)

xác định tại các giá trị rời rạc t = nT và tạo thành dãy rời rạc tuần hồn xp(nT), do đó có thể viết lại [4.1-1] dưới

dạng :









x p ( nT ) 







Ck e



jk 0 nT



k 



Vì T T0 N 2  0 N nên :





x p ( nT ) 







jk 0







Ck e



2

N 0







n







k 











Ck e



jk



2

N



n



k 



Khi thực hiện chuẩn hóa chu kỳ lấy mẫu T = 1 , thì xp(nT) = xp(n) và chu kỳ của dãy tuần hoàn xp(t) là To

= N, nên có :





x p ( n) 







C



k



.e



jk



2

N



n



[4.1-3]



k 



x p (n) 



Hay :

Trong đó :



1

N



1

N







X



p ( k )e



jk1n



[4.1-4]



k 





X p ( k ) C k



[4.1-5]



đây, Xp(k) là biên độ của các dao động điều hòa ứng với tần số góc  k k 1 , nó là dãy phức. Còn 1 là

2

1 

tần số góc rời rạc cơ bản ứng với chu kỳ N của dãy tuần hoàn xp(t) :

[4.1-6]





N



69



Do dãy xp(t) và hàm e jk1n đều tuần hoàn với chu kỳ N nên có thể viết lại [4.1-4] cho một chu kỳ N :

x p (n) 



N1



1



X

N



p ( k )e



jk1n



[4.1-7]



k 0



Biểu thức [4.1-7] chính là chuỗi Fourier rời rạc của dãy tuần hồn xp(n) , hay còn gọi là biến đổi Fourier

rời rạc ngược.

Để tìm biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc thuận, nhân cả hai vế của [4.1-7] với thừa số e  jm1n , sau đó

lấy tổng theo n = 0  (N - 1) :

N1







N1







hay:



x p (n)e  jm1n 



n 0



x p (n)e  jm1n 



n 0

N1







X p (k )



n 0



N1



1



e



N



1

N



N1 N1



 X



p ( k )e



jk1n  jm1n



e



n 0 k 0



j ( k  m )1n



[4.1-8]



k 0



Theo tính chất của hàm trực chuẩn có :

N1



1



e

N



Khi k m



 1



 0



j ( k  m )1n



n 0



Khi k m



nên từ [4.1-8]nhận được :

N1



X p (k ) 



x



p ( n )e



 jk1n



[4.1-9]



n 0



Biểu thức [4.1-9] chính là biến đổi Fourier rời rạc thuận của dãy tuần hoàn xp(n).

Kết hợp cả hai biểu thức [4.1-7] và [4.1-9] nhận được cặp biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn xp(n),

trong đó Xp(k) là dãy phức của biến tần số góc rời rạc  k k 1 , với 1 được xác định theo [4.1-6].

X p ( k )  X p ( k ) e j ( k )  A p ( k ) e j ( k )



Mô đun X p (k ) là dãy biên độ tần số rời rạc.

Argumen  (k ) là dãy pha tần số rời rạc.

Ap(k) là dãy độ lớn, còn  (k ) là dãy pha.

Ví dụ 4.1 : Xác định Xp(k) của dãy tuần hoàn xp(n) = n với chu kỳ N = 4.

Giải : Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận [4.1-9] có :

N1



X p (k ) 







x p (n)e  jk1n 



n 0

3



n 0

3



X p (1) 



Tại k = 1 :







n.e



 jk 24 n



3



 n.e







n 0



 n.e



X p ( 0) 



Tại k = 0 :



3



 n.e



j 0 2 n



 jk 2 n



n 0



 0  1  2  3  6  6e j 0



 j 2 n



0  e



 j 2



 2.e  j  3e



 j 32



n 0



X p (1)   j  2  j 3   2  j 2 3.e 

3



 n.e



j 0 , 78



 0  e  j  2.e  j 2  3e  j 3

n 0

x (n )

X p ( 2)   1  2  3   2  2.e  j



Tại k = 2 :



X p ( 2) 



Tại k = 3 :



2 3

X1 p (3) 



3







n.1e



 j . n



3



 j 232 .n



 0  e1



 j 322



3



2



 2.e  j 31  3e



n 0



- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 5j 0, 786

X p (3)  j  2  j 3   2  j 2  3.e



7



3



 j 92



8



n



9



Trên hình 4.1 là đồ thị của dãy xp(n) = n có chu kỳ N = 4, và đồ thị của các dãy biên độ tần số Xp(k) ,

6

6

6

6

pha tần số  (k ) .

3



2



3



3



2



3



3



3



2



3



3



2



n

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1



3 ,1 4



3 ,1 4

0 ,7 8



-8



70



-6 -5 -4

- 0 ,7 8



1



2



3



5



3 ,1 4

0 ,7 8



-2 -1

- 0 ,7 8



0



6



7



2



9



3 ,1 4



Xp(k)0 ,7 8

- 0 ,7 8



8



3



0 ,7 8

5



7

- 0 ,7 8



8



n

9



 (k )



Hình 4.1 : Đồ thị các dãy



xp(n), Xp(k),  (k ) ở ví dụ 4.1.



biến đổi Fourier rời rạc của dãy khơng

tuần hồn có độ dài hữu hạn (DFT)



4.2



4.2.1 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

Xét dãy khơng tuần hồn x(n)L có độ dài hữu hạn L . Một cách gần đúng, có thể coi dãy x(n)L là một chu

kỳ của dãy tuần hoàn xp(n) với chu kỳ bằng N, khi đó với a là hằng số có :

x p ( n )  x ( n  aN ) L



[4.2-1]



x(n)L

1



0 ,5



n

-6 -5 -4 -3 -2 -1



0



1



2



3



4



5



6



7



8



9



Hình 4.2 : Đồ thị của dãy



x(n)L có độ dài L = 4.



xp(n)

1



0 ,5



1



1



0 ,5



1



0 ,5



1



0 ,5



0 ,5



n

-6 -5 -4 -3 -2 -1



0



1



2



3



4



5



6



7



8



9



Hình 4.3 : Đồ thị của dãy tuần hồn



xp(n) có chu kỳ N < L.



xp(n)

1



1



1



0 ,5

-6 -5 -4 -3 -2 -1



0 ,5

0



1



2



0 ,5

3



4



5



6



n

7



8



9



Hình 4.4 : Đồ thị của dãy tuần hồn



xp(n) có chu kỳ N = L.



xp(n)

1



1



1



0 ,5



0 ,5



-6 -5 -4 -3 -2 -1



0



1



2



0 ,5

3



4



5



6



7



8



n

9



Hình 4.5 : Đồ thị của dãy tuần hồn



xp(n) có chu kỳ N > L.



71



Đồ thị của dãy x(n)L trên hình 4.2 và dãy xp(n) trên hình 4.3 cho thấy rằng, nếu chu kỳ N của xp(n) nhỏ hơn

độ dài L của x(n)L (N< L) thì dãy x(n)L sẽ bị biến dạng do sự trùm thời gian. Để không xảy ra hiện tượng trùm thời

gian và dãy x(n)L không bị biến dạng thì dãy tuần hồn xp(n) phải có chu kỳ thỏa mãn điều kiện :

N L



[4.2-2]



Hơn nữa, nếu N > L thì dãy tuần hồn xp(n) phải có các mẫu với giá trị bằng 0 trong đoạn L  n  (N - 1),

như đồ thị trên hình 4.5.

Trong đoạn 0  n  (N - 1) biểu thức [4.2-1] có dạng :

x p ( n)  x ( n ) L



Từ đó, có thể trực tiếp suy ra cặp biến đổi Fourier rời rạc của dãy không tuần hồn có độ dài hữu hạn

x(n)L từ cặp biến đổi Fourier rời rạc [4.1-9] và [4.1-7] của dãy tuần hồn xp(n) . Với N  L có :

N1



Biến đổi thuận :



 x(n)



X (k ) N 



L



.e  jk1n



[4.2-3]



n 0



Biến đổi ngược :



x ( n) L 



N1



1



 X (k )

N



N



e jk1n



[4.2-4]



k 0



Trong đó 1  2 N và thừa số e jk1n được gọi là hệ số pha. Trong nhiều tài liệu, hệ số pha e jk1n được

ký hiệu là W Nkn .

Biến đổi Fourier rời rạc thuận [4.2-3] của dãy có độ dài hữu hạn x(n)N được viết tắt là DFT và ký hiệu như

sau :

Hay :



X ( k ) N  DFT [ x( n) N ]



[4.2-5]



DFT



[4.2-6]



x( n) N    X ( k ) N



Biến đổi Fourier rời rạc ngược [4.2-4] của dãy có độ dài hữu hạn x(n)N được viết tắt là IDFT và ký hiệu

như sau :

Hay :



x(n) N  IDFT [ X (k ) N ]



[4.2-7]



IDFT



[4.2-8]



X ( k ) N    x ( n) N



Trong các biểu thức DFT [4.2-3] và IDFT [4.2-4] , quan hệ giữa độ dài L của dãy x(n)L và độ dài N của dãy

X(k)N phải theo điều kiện [4.2-2], tức là N  L. Khi tính DFT với N > L , coi như thêm vào dãy x(n)L các mẫu có giá

trị bằng 0 ở các thời điểm L  n  (N - 1) .

Vì X(k)N là dãy phức nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng :

Dạng phần thực và phần ảo :

X ( k ) N  X R ( k ) N  jX I ( k ) N



[4.2-9]



N1



Dãy phần thực :



 x ( n)



X R (k ) N 



N



. cos( k 1 n)



[4.2-10]



n 0



N1



Dãy phần ảo :



X I (k ) N  



 x ( n)



N



. sin( k 1 n)



[4.2-11]



n 0



X ( k ) N  A( k ) N e j ( k )



Dạng độ lớn và pha :



[4.2-12]



Dãy độ lớn có thể nhận giá trị dương hoặc âm và : A( k ) N  X (k ) N

Dạng mô đun và argumen : X (k ) N  X ( k ) N e j ( k )

Dãy mô đun :

X (k ) N



[4.2-13]



X (k ) N  X R2 (k ) N  X I2 (k ) N



[4.2-14]



còn được gọi là dãy biên độ tần số, hay dãy phổ biên độ rời rạc.

 X I (k ) N 



 X R (k ) N 



Dãy argumen :  (k )  arctg 



[4.2-15]



Dãy  (k ) còn được gọi là dãy pha tần số, hay dãy phổ pha rời rạc.

Theo lý thuyết hàm phức, X (k ) N là dãy chẵn và đối xứng qua trục tung, còn  (k ) là dãy lẻ và phản đối

xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ 4.2 : Hãy tìm DFT [ (n) N ] , vẽ đồ thị tín hiệu  ( n) N và phổ của nó.

 1



Giải : Có thể xem (n)N là dãy  ( n) N  



 0



72



khi n 0

khi 0  n  ( N  1)



Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có hàm phổ rời rạc :

N1



  ( n)



DFT [ ( n) N ] 



N



n 0



khi k  [0 , ( N  1)]

khi k  [0 , ( N  1)]



 1

.e  jk1n  

 0



[4.2-16]



DFT [ (n) N ]  rect N (k )



Vậy :



Đồ thị tín hiệu (n)N và phổ

rời rạc của nó là rectN(k) ở hình 4.6.

Khi thay đổi độ dài N của (n)N , thì

tín hiệu (n)N khơng có gì thay đổi,

nhưng số vạch của phổ rời rạc

rectN(k) thay đổi tương ứng, khi tăng

N thì bề rộng phổ tăng.

Ví dụ 4.3 : Tìm DFT [rect L (n) N ] , với

N L.

Giải : Theo biểu thức DFT [4.2-3] có

hàm phổ rời rạc :

N1



DFT [ rect L (n) N ] 



 rect



L



(n)N

1

0



DFT [ rect L ( n) N ] 



Hay :



1 e



1



2



3



rectN(k)

...

0



1



Hình 4.6

L 1



e



( n).e  jk1n 



2



3



 jk 2N L







DFT [ rect L ( n) N ] 



e



 jk1n



 jk N L

jk  L

(e N



e



 jk N



(e



sin  kL N   j

e

sin  k N 



jk N



k



(N -1 )



: (n)N và phổ của nó.





1  e



jk1 L



1  e



jk1



n 0



 jk 2N



n



(N -1 )



1



n 0



1 e



...



 e

 e



 jk N L

)



 jk N



)



k ( L  1)

N



[4.2-17]



Xét trường hợp đặc biệt N = L : Trong khoảng 0  k ( N  1) thì sin( k ) 0 , còn sin  k N  0 với mọi k.

sin(k )  j

e

Tại k = 0 có : Lim

k  0 sin  k N 



k ( L  1)

N



 Lim

k 0



 cos(k )

N

 N . cos k N 



khi k 0

khi 0  k ( N  1)



N



Do đó :



DFT [ rect N (n) N ]  



Tức là :



DFT [ rect N (n) N ]  N . (k ) N



0



[4.2-18]



Biểu thức [4.2-18] cho thấy rằng, trong trường hợp N = L , khi thay đổi độ dài N của dãy chữ nhật rect N (n) ,

thì DFT [rect N (n) N ] vẫn chỉ có một vạch tại k = 0, nhưng biên độ của nó ln bằng N. Kết hợp [4.2-17] và [4.2-18]

 sin  kL N   j k ( L  1)

N

e



nhận được : DFT [rect L (n) N ]   sin  k N 



 N . (k ) N



Khi N  L

Khi N  L



4.2.2 Quan hệ giữa DFT với FT và ZT

4.2.2a Quan hệ giữa DFT với FT và ZT, khái niệm về lấy mẫu tần số

Xét các biểu thức biến đổi thuận DFT , FT , và ZT của dãy x(n)N .

DFT



X ( k ) N  DFT  x( n) N  



thuận [4.2-3] :



FT thuận [3.1-2]



X (e j )  FT  x( n) N  



:



X ( z )  FT  x( n) N  



ZT thuận [2.1-1] :



N1



 x ( n)



N



n 0





 x( n)



n 





 x ( n)



e  jk1n

N1



N



 x (n)



e  j . n 



 x ( n)



.z n 



n 

N1



Suy ra :



 x( n)

n 0



N



e  jk1n 



N1



 x( n)

n 0



N



e  j . n



n 0



N1



N



N



e  j .n  k 

1



N



.z n



n 0



N1



 x( n)

n 0



N



z n



z e jk1



Tức là giữa DFT , FT , và ZT có quan hệ :



73



DFT  x(n) N   FT  x( n) N   k  ZT  x(n) N 

z e jk1

1



[4.2-19]



Biểu thức [4.2-19] cho thấy, DFT chính là FT của các dãy có độ dài hữu hạn tại các tần số rời rạc

  k 1  k . 2 N , và nó cũng chính là ZT của dãy có độ dài hữu hạn trên vòng tròn đơn vị | z | 1 tại các tần số

rời rạc   k 1 . Có thể viết lại [4.2-19] dưới dạng :

X ( k ) N  X (e j ) N  k  X ( z ) N

z e jk1

1



[4.2-20]



Theo [4.2-20], X(k)N chính là X(ej) của dãy có độ dài hữu hạn x(n)N khi rời rạc hóa biến tần số góc liên tục

 thành biến rời rạc k1 . Quá trình rời rạc hóa biến tần số liên tục được gọi là lấy mẫu tần số.

Nếu x(n)N là tín hiệu số thì dãy X(k)N là phổ rời rạc, nó nhận được bằng cách lấy mẫu tần số phổ liên tục

j

X(e ). Nếu h(n) là đặc tính xung của hệ xử lý số, thì H(k)N là đặc tính tần số rời rạc của hệ xử lý số, nó nhận được

bằng cách lấy mẫu tần số đặc tính tần số liên tục H(ej).

Như vậy, DFT chính là lấy mẫu tần số, và để việc lấy mẫu tần số không làm biến dạng dãy gốc trong miền

thời gian, thì phải khơng để xảy ra hiện tượng trùm thời gian (xem hình 4.3), do đó điều kiện để có thể khơi phục

được hàm tần số liên tục X(ej) từ hàm tần số rời rạc X(k)N là : Dãy gốc phải có độ dài L hữu hạn và độ dài N tính

DFT phải khơng nhỏ hơn độ dài của dãy gốc theo điều kiện [4.2-2] : N  L .

Điều kiện lấy mẫu tần số trên cũng có ý nghĩ vật lý tương tự như định lý lấy mẫu theo thời gian.

Tuy nhiên, khi độ dài N tính DFT bằng độ dài của dãy gốc x(n) , thì sai khác giữa dãy tần số rời rạc X(k)N

và hàm tần số liên tục X(ej) còn rất lớn, khi độ dài N tính DFT càng lớn thì sự sai khác giữa X(k)N và X(ej) càng

giảm, và khi N   thì X(k)N  X(ej) . Có thể thấy rõ điều đó khi xem lại các biểu thức [4.2-17] , [4.2-18] ở ví dụ

4.3 và biểu thức [3.1-9] :

X ( k ) N  DFT [ rect N ( n) N ]  N . ( k ) N

Với L = N thì :

k ( L  1)

sin  kL N   j N

X

(

k

)



DFT

[

rect

(

n

)

]



e

Với L > N thì :

N

L

N

sin  k N 

Khi biến đổi tiếp biểu thức [3.1-9] ở chương ba, nhận được :

k ( L  1)

1  e  jL

sin L 2   j 2

j

X (e )  FT [ rect L ( n)] 



e

sin  2 

1  e  j

Đồ thị các hàm biên độ tần số trên hình 4.7 minh họa cho điều đó.



a. Đồ thị X(ej) với L = 10.



b. Đồ thị X(k)10.



c. Đồ thị X(k)50.



d. Đồ thị X(k)100.





4.2.2b



Hình 4.7 : X(ej )với L = 10 và

từ N mẫu của dãyDFT X(k)N



Nội suy hàm X(z)

Theo [2.1-1], biến đổi z của dãy có độ dài hữu hạn x(n)N là :

N1



 x (n)



X ( z) 



n 0



74



X(k)N  với N bằng 10 , 50 , 100.



N



.z n



[4.2-21]



Do x(n)N là dãy hữu hạn nên X(z) luôn tồn tại, và miền hội tụ của X(z) là toàn bộ mặt phẳng z trừ hai điểm

z = 0 và |z|=  phải xét cho từng dãy x(n)N cụ thể.

Để tìm X(z) từ X(k)N , trước hết cần tìm x(n) N  IDFT [ X (k ) N ] , sau đó lấy biến đổi Z thuận

X ( z )  ZT [ x( n) N ] .

Ta có :



x( n) N  IDFT [ X ( k ) N ] 

N1



1

N



1



1



1



X ( z )  ZT [ x (n) N ] 



Trong đó, vì e jk1N  e jk



2

N



N



X ( z )  ZT [ x (n) N ] 



N



N



k 0



N1



N1



X (k ) N



k 0

N1







e jk1n



N



k 0



 X (k )

N





N



X ( z )  ZT [ x (n) N ] 



 X (k )

N1



Theo [4.2-21] : X ( z )  ZT [ x(n) N ]   

n 0



N1





e jk1n .z  n





e



jk1n



.z  n



n 0



X (k ) N



k 0



(1  e jk1N z  N )

(1  e jk1 z  1 )



 e j 2 k 1 với mọi k, nên nhận được :

(1  z  N )

N



N1





k 0



X (k ) N



( 1  e jk1 z  1 )



[4.2-22]



Biểu thức [4.2-22] là cơng thức nội suy để tìm dạng gần đúng của X(z) từ N mẫu của X (k ) N  DFT  x(n) N  .

Khi cho N   , sẽ nhận được hàm X(z) chính xác của dãy x(n).



4.2.2c Nội suy X(ej ) từ N mẫu của dãy DFT X(k)N

Vì x(n)N là dãy hữu hạn nên X(ej) ln tồn tại, và có thể nhận được X(ej) từ biểu thức của X(z) khi thay z



= ej . Do đó từ [4.2-22] có :

X (e j )  FT [ x (n) N ] 



1



k 0



Sử dụng công thức :



(1  e



 jx



( 1  e  jN )



N1



 X (k )

N

) e



 j



x

2



N



[ 1  e  j (  k1 ) ]



[4.2-23]



x

x

 jx

 j 

 j

 e 2  e 2  2 je 2 sin x





2







để biến đổi cả đa thức ở tử và mẫu của [4.2-23], nhận được :

X (e j )  FT [ x( n) N ] 



1

N



N1



 X (k )



N



k 0



 N 

sin

1 



  ( N  1)

 2  .e  j  2  k 2 

[4.2-24]

 



sin  k 1 

2 

2



Khi thay 1  2 N vào [4.2-24] , nhận được :



X (e j )  FT [ x ( n) N ] 



1

N



N1





k 0



X (k ) N



 N 

sin



 2 

  k

sin 

N

2











.e



  ( N  1) k 

 j





2

N 





[4.2-25]



Các biểu thức [4.2-24] và [4.2-25] là cơng thức nội suy để tìm dạng gần đúng của X(ej) từ N mẫu của

X ( k ) N  DFT  x( n) N  . Khi cho N   , sẽ nhận được hàm tần số X(ej) chính xác của dãy x(n).



4.3



phép dịch vòng, tích chập vòng

và các tính chất của DFT



4.3.1 Phép dịch vòng và tích chập vòng của DFT

4.3.1a Phép dịch vòng

Chương một đã định nghĩa y(n) = x(n - n0) là phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi n0 mẫu, và gọi vắn tắt là

phép dịch.

75



Đồ thị hình 4.8a cho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính dãy x(n) đi n0 mẫu, sẽ thấy n0

mẫu bên mép phải bị đẩy ra khỏi cửa sổ, còn n0 mẫu ở bên ngồi được đẩy vào mép trái cửa sổ.

x(n)5



xp(n)

2



1

-1



0



1



4



3



n

2



3



5



6



x(n-2)5

3

-1



0



1



2



3



7



6



0



1



3



4



1



7



-4 -3 -2 -1



a. Đối với dãy x(n)5



b.



2



3



1



2



Đối với dãy tuần hồn



Hình 4.8 : Quan sát sự dịch trễ tuyến tính các dãy



3



6



n

7



4



3



2



1

0



5



3



2



1



4



3



2



4



3



2



1



xp(n-2)



n

5



4



-4 -3 -2 -1



4



3



2



1



1



2



3



1

5



6



n



7



xp(n)



x(n)5 và xp(n).



Đồ thị hình 4.8b cho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính dãy tuần hồn xp(n) đi n0

mẫu, sẽ thấy như là n0 mẫu bên mép phải bị đẩy ra khỏi cửa sổ lại được đẩy trở vào mép trái cửa sổ.

Vì DFT được xây dựng trên cơ sở coi dãy khơng tuần hồn x(n)N là một chu kỳ của dãy tuần hồn xp(n) có

chu kỳ N, vì thế phép dịch tuyến tính dãy x(n)N sẽ phải tương tự như phép dịch dãy tuần hoàn xp(n). Từ đó, đối

với DFT, có khái niệm phép dịch vòng.

Định nghĩa phép dịch vòng : Dãy hữu hạn y(n)N = x(n - n0)N là dịch vòng n0 mẫu của dãy x(n)N , khi n0 mẫu bị

đẩy ra khỏi đoạn [0 , (N - 1)] sẽ quay vòng trở lại đầu kia.



Các dãy y(n) và x(n) xác định trong đoạn [0 , (N - 1)]. Khi n0 > 0 là dịch trễ (dịch vòng

phải). Khi n0 < 0 là dịch sớm (dịch vòng trái).

Chú ý : Để phân biệt phép dịch vòng với phép dịch tuyến tính, người ta ký hiệu chỉ số độ

dài N của dãy dịch vòng ở phía sau tên dãy.

Như vậy, về bản chất phép dịch vòng dãy hữu hạn x(n - n0) chính là sự quan sát trên cửa

sổ cố định rect (n) phép dịch tuyến tính dãy hữu hạn x(n) khi coi nó là một chu kỳ của dãy tuần

hồn xp(n) có chu kỳ N .

Khi dịch vòng N lần dãy hữu hạn x(n) sang trái hoặc sang phải thì sẽ nhận được đúng dãy

x(n) , do đó :

N



N



N



N



N



N



N



x ( n  N ) N  x( n) N



[4.3-1]



Vì dãy hữu hạn x(n) chỉ xác định trong đoạn [0 , (N-1)], nên khi dịch vòng, mẫu x(N)

chính là mẫu x(0) :

x ( N ) N  x ( 0) N .

[4.3-2]

Các mẫu của dãy dịch vòng y (n) N  x(n  n0 ) N được tìm theo nguyên tắc :

N



N



N



y ( 0) N  x ( 0  n 0 ) N  x ( N  n 0 ) N

y (1) N  x(1  n0 ) N  x ( N  1  n0 ) N



...........

y (n0  1) N  x(n0  1  n0 ) N  x( N  n0  1  n 0 ) N  x( N  1) N

y (n0 ) N  x(n0  n0 ) N  x( N  n0  n0 ) N  x( N ) N  x(0) N

y ( n0  1) N  x( n0  1  n0 ) N  x(1) N



..........

Ví dụ, đối



76



y ( N  1) N  x ( N  1  n0 ) N

với trường hợp y (n) 5  x(n  2) 5 thì n0

y (0) 5  x(0  2) 5  x(5  2) 5  x(3) 5

y (1) 5  x(1  2) 5  x(5  1  2) 5  x( 4) 5



= 2 và N = 5, nhận được :



Dãy



y (2) 5  x(2  2) 5  x(5  2  2) 5  x(5) 5  x(0) 5

y (3) 5  x(3  2) 5  x(1) 5

y (4) 5  x(4  2) 5  x(2) 5

biến đảo x( n) N của phép dich vòng là dãy x(0  n) N



x (  n) N  x( N  n) N



, do đó có biểu thức :



[4.3-3]



Ví dụ 4.4 : Hãy xác định dãy y (n) 5  x( n) 5 của dãy x(n) 5  2 n rect 5 (n) .

Giải : Có :



y ( 0) 5  x ( N  0) 5  x ( 0) 5  2 0  1

y (1) 5  x(5  1) 5  x( 4) 5  2 4 16

y (2) 5  x(5  2) 5  x(3) 5  2 3  8

y (3) 5  x(5  3) 5  x(2) 5  2 2  4

y ( 4) 5  x(5  4) 5  x(1) 5  21  2



Như vậy, dãy biến đảo y(n) = x(-n) có mẫu y(0) = x(0) , còn các mẫu từ y(1) đến y(N - 1)

là đảo của các mẫu từ x(1) đến x(N - 1) , tức là có : y(1) = x(N - 1) ; y(2) = x(N - 2) ; ..... ; y(N

- 1) = x(1) .

N



N



N



N



N



N



N



N



N



N



N



N



N



N



Ví dụ 4.5 : Cho dãy x(n) (1  0,25n).rect 5 (n) . Hãy biểu diễn dưới dạng mảng và đồ thị dãy x(n) 5 , và các dãy dịch

vòng x(n  2) 5 , x(n  1) 5 .

Giải : Theo nguyên tắc dịch vòng đã nêu trên, có biểu diễn dạng mảng và đồ thị của các dãy x(n) 5 , và x(n  2) 5 ,

x(n  1) 5 như trên hình 4.9.

x(n) 5

1







x(n) 5  1 , 0,75 , 0,5 , 0,25 , 0 





-1



0



075

1



0 ,5



2



0 ,2 5

3



n



4



x ( n  2) 5

1







x(n  2) 5  0,25 , 0 , 1 , 0,75 , 0,5 

 





075



0 ,2 5

-1



0



1



2



3



075

-1



0



1



0 ,5



1



0 ,2 5

2



3



n



4



x(n  1) 5





x(n  1) 5  0,75 , 0,5 , 0,25 , 0 , 1 

 





0 ,5



n

4



Hình 4.9 : Biểu diễn dạng mảng và đồ thị dịch vòng dãy x(n) 5

4.3.1b Tích chập vòng



Trên cơ sở phép dịch vòng, có định nghĩa tích chập vòng của hai dãy có độ dài hữu hạn.

Định nghĩa tích chập vòng : Tích chập vòng của hai dãy hữu hạn x1 (n) L và x 2 (n) M là dãy hữu hạn y (n) N

được tính theo biểu thức :

N1



y ( n) N 



 x ( m)

1



N



. x 2 ( n  m) N



[4.3-4]



m 0



Với N  max[ L , M ] . Các dãy x1 (m) N và x 2 (n) N là x1 (m) L và x 2 (n) M được thêm vào các mẫu có giá trị bằng 0 để

có độ dài N. Dãy x 2 (n  m) N là dịch vòng trễ m mẫu của x 2 (n) N .



Tích chập vòng [4.3-4] được ký hiệu như sau :

y (n) N  x1 (n) L * x 2 (n) M



[4.3-5]



Chú ý : Để phân biệt tích chập vòng với tích chập tuyến tính (vẫn được gọi vắn tắt là tích chập), người ta

ký hiệu chỉ số độ dài của dãy tích chập vòng ở phía sau tên dãy.



77



Tích chập vòng có các tính chất giao hốn, kết hợp và phân phối. Để tính trực tiếp tích



chập vòng, cũng phải tính từng giá trị của

vòng [4.3-4] có :



y ( n) N



như khi tính tích chập. Theo biểu thức tích chập



N1



y ( 0) N 



 x ( m)



N



. x 2 (  m) N



N



.x 2 (1  m) N



1



m 0

N1



y (1) N 



 x ( m)

1



m 0



...........

N1



y ( N  1) N 



 x ( m)

1



N



.x 2 ( N  1  m ) N



m 0



Trong đó, x 2 ( m) N là dãy đảo của x 2 (m) N , còn x 2 (1  m) N là dãy dịch vòng trễ

x 2 ( m) N , ... , và x 2 ( N  1  m) N là dịch vòng trễ (N - 1) mẫu của x 2 ( m) N .



1



mẫu của



Ví dụ 4.6 : Hãy tính tích chập vòng y (n) 5  rect 3 (n) *  (n)

Giải : Để thuận tiện tính tốn, biểu diễn các dãy ở bảng 4.1 :

Bảng 4.1

0

1

2

3

4

m

rect 3 (n) 5

 (m) 5

 (  m) 5

 (1  m) 5

 ( 2  m) 5

 (3  m ) 5

 ( 4  m) 5



1



1



1



0



0



1



0



0



0



0



1



0



0



0



0



0



1



0



0



0



0



0



1



0



0



0



0



0



1



0



0



0



0



0



1



Dựa vào bảng trên, tính được :

4



y ( 0) 5 



 x ( m)

1



5 .x 2 ( 



m) 5 1.1  1.0  1.0  0.0  0.0 1



m 0

4



y (1) 5 



 x ( m) .x

1



5



2 (1 



m) 5 1.0  1.1  1.0  0.0  0.0 1



m 0

4



y ( 2) 5 



 x ( m)

1



5 .x 2 ( 2



 m) 5 1.0  1.0  1.1  0.0  0.0 1



m 0



Vậy :



y (4) 5  y (3) 5  0

y (n) 5  rect 3 (n) *  (n)  rect 3 (n)



[4.3-6]



Biểu thức [4.3-6] là một ví dụ cho thấy, tích chập vòng của dãy bất kỳ với dãy xung đơn vị

(n) cũng bằng chính dãy đó.

Khi sử dụng các hệ xử lý số có bộ vi xử lý hoặc máy tính, bài tốn tính tích chập vòng trên chỉ là một chương trình

con khá đơn giản.



Chương một đã chứng minh, tích chập tuyến tính của hai dãy hữu hạn có độ dài L và M là dãy hữu hạn có

độ dài N  ( L  M  1) . Dưới đây sẽ xét quan hệ giữa tích chập tuyến tính và tích chập vòng của hai dãy hữu hạn

có độ dài L và M qua một ví dụ cụ thể.

Ví dụ 4.7 : Cho hai dãy x1 (n) 2 n rect 2 (n) và x 2 (n) rect 3 (n) . Hãy tính tích chập y (n) x1 (n) * x 2 (n) và tích chập

vòng y (n) 4 x1 (n) * x 2 (n) .

Giải : Để ý rằng ở đây, x1 (n) có độ dài L 2 , x 2 (n) có độ dài M 3 , còn độ dài tính tích chập vòng



là N  4 2  3  1 L  M  1 , tức là dãy tích chập tuyến tính y (n) và dãy tích chập vòng

dài bằng nhau. Để tiện tính tốn, biểu diễn các dãy ở bảng 4.2 :

Bảng 4.2

Dịch tuyến tính

m



78



-2



-1



0



1



Dịch vòng

2



3



4



m



0



1



2



3



y (n) 4



có độ



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Bài tập Chương ba

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×