Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chia cả hai vế của biểu thức trên cho , nhận được :

Chia cả hai vế của biểu thức trên cho , nhận được :

Tải bản đầy đủ - 0trang





Ex 



2



n







2



u ( n) 



n 



 (2







n 2



) 



n 0



4



n







n 0



1







1



(1  4 )



4

3



Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm :





X ( e j ) 



2



n



u (n).e  jn 



n 



1



X (e j ) 



Vậy :



1

1  0,5e







 j



1

1  0,5 cos   j.0,5 sin 



1







1,25  cos 



(1  0,5 cos  )2  (0,5 sin  )2



Tính năng lượng của x(n) bằng cơng thức Parseval [3.1-38] :

Ex 







1

2















(1,25  1).tg ( 2 )  



.d 

.

arctg

|





1,25  cos 

2

2

1,25 2  1

1

,

25



1





1



  



arctg 3. tg  tg

2

0,75

  2

Kết quả tính năng lượng theo

artg (0)   ].

1



Ex 



1



2



1



4



arctg (0) 



 

0,75

3

  0,75

hai cách là giống nhau. [ ở đây, nếu lấy artg (0)  0 thì E x  0 , nên phải lấy



3.1.3h Đạo hàm của hàm tần số



Nếu :



FT [ x( n)]  X (e j )



Thì :



FT  n.x( n)  j



dX (e j )

d



[3.1-40]



Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :

X (e j )  FT  x(n) 











x(n).e  j .n







n 





dX (e j )

  j.n.x(n).e  j .n

d

n 







Nhân cả hai vế của biểu thức trên với j , nhận được biểu thức [3.1-40].

Ví dụ 3.10 : Hãy tìm biến đổi Fourier của dãy x(n)  2  n n.u (n)

FT [2  n u ( n)] 



Giải : a. Có :



1

1  0,5e 



j



d 

1

n



FT

[

2 n.u (n)]  j

Theo [3.1-40] có :

d  1  0,5e 







0,5 .e  j



  1  0,5e  j  2



j











3.1.3i Phổ tần số của hàm tương quan rxy(m)



Nếu :

Thì :



FT [ x( n)]  X (e j )











FT [ y (n)]  Y (e j )







R xy (e j )  FT rxy ( m)  X (e j ).Y (e 



j



)



[3.1-41]



Chứng minh : Hàm tương quan rxy (m) được xác định theo [1.8-1] ở chương một :





rxy ( m) 



 x(n). y(n  m)



n 



Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :









 r



FT rxy (m) 



 j .m



xy ( m).e



m 







 



m 











m 



n 



 



x(n). y (n  m).e  j .m



 n 





    x(n). y(n  m).e











FT rxy (m) 











  x(n).e



FT rxy (m) 



n 



 j . n



 j . m







 y(n  m).e



R xy (e







)  FT rxy ( m)



 j (   ).( n  m )



 X (e j ).Y (e  j )



m 



Ví dụ 3.11 : Cho các tín hiệu số

j



.e  j .n .e j .n



x ( n )  2  n u ( n)



.







y (n)   (n  1) ,



hãy tìm hàm phổ



Giải : Sử dụng [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-41], tìm được :



59



R xy (e j )  X (e j ).Y (e 



j



)



1

1  0,5e 



.e j 



j



e j

1  0,5e  j



tần số R x (e j ) của hàm tự tương quan rx (m) chính là hàm mật



3.1.3k Phổ tần số của hàm tự tương quan rx(m) : Phổ



độ phổ năng lượng S x ( ) của tín hiệu số x(n) .

Nếu :



FT [ x( n)]  X (e j )



Thì :

Hay :



R x (e j )  FT  rx (m)  X (e j ). X (e 

R x (e j )  FT  rx (m)  X (e j )



2



j



)



[3.1-42]



 S x ( )



[3.1-43]



Đó chính là nội dung của định lý Wiener - Khintchine.

Chứng minh : Trong biểu thức của hàm tương quan, khi thay y (n)  x(n) nhận được hàm tự tương quan rx (m) , vì thế

theo [3.1-41] có :

R x (e j )  FT  rx (m)  X (e j ). X (e 



j



)  X (e j  )



2



 S x ( )



Ví dụ 3.12 : Hãy tìm hàm phổ R x (e j ) của tín hiệu số x(n)  2  n u (n) .

Giải : Sử dụng [3.1-6] và [3.1-42] tìm được :

1



R x (e j ) 



(1  0,5e



 j



3.2



)



.



1



(1  0,5e



j



)







1

1,25  cos 



Phổ của tín hiệu số



3.2.1 Các đặc trưng phổ của tín hiệu số

Biến đổi Fourier của tín hiệu số x(n) là hàm phổ X(ej) của nó :

X (e



j







)   x(n).e  j .n  X (e j ) .e j ( )  X R ( )  jX I ( )

n 



Từ đó xác định được :

- Phổ biên độ X(ej)được tính theo [3.1-15] :

X (e j )  X R2 ( )  X I2 ( )



- Phổ pha () = Arg[ X(ej)] được tính theo [3.1-16] :

 X ( ) 

 ( )  Arg X (e j )  arctg  I



 X R ( ) 











- Năng lượng E x được tính theo cơng thức Parseval [3.1-37] :

Ex 



1

2







X (e



j



) d 











1



2



2



S



x(



 ) d







- Mật độ phổ năng lượng S x ( ) được tính theo [3.1-39] :

S x ( )  X (e j )



2



Hàm phổ X(ej), phổ biên độ X(ej), phổ pha (), và hàm mật độ phổ năng lượng S x ( ) là các đặc trưng phổ của tín

hiệu số x(n).

Ví dụ 3.13 : Cho tín hiệu số x(n)  2  n u (n  2) , hãy xác định các đặc trưng phổ của tín hiệu.



Giải :



X (e j )  FT [ 2  n u (n  2)]  FT [ 2  2 .2  ( n  2 ) u (n  2)]



Theo [3.1-6] và tính chất trễ của biến đổi Fourier có :

X (e j )  FT [ 2  n u ( n  2)]  2  2 e 



Hàm phổ :



60



X ( e j ) 



j 2



1



(1  0,5e  j )



e  j 2

0,25.e  j 2



(1  0,5 cos   j 0,5 sin  )

4(1  0,5e  j )



Hàm phổ biên độ :



0,25



X ( e j ) 







(1  0,5 cos  )2  (0,5 sin  )2



0,25

1,25  cos 



 0,5 sin  

Hàm phổ pha :  ( )   2  arctg 



 (1  0,5 cos  ) 

0,0625



2



j

Hàm mật độ phổ năng lượng : S x ( )  X (e ) 



(1,25  cos  )



Về ý nghĩa vật lý, đồ thị của hàm phổ biên độ X(ej) và hàm mật phổ năng lượng S x ( ) chính là bức tranh cho

biết sự phân bố năng lượng của tín hiệu số x(n) trên trục tần số. Đồ thị phổ pha () cho biết quan hệ về pha giữa các

thành phần tần số của phổ tín hiệu.

Phương pháp phân tích tín hiệu số x(n) dựa trên các đặc trưng phổ của nó được gọi là phương pháp tần số, hay

phương pháp phân tích phổ, nó thường được sử dụng để xử lý số tín hiệu âm thanh.

3.2.2 Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu x(n.T)

3.2.2a Định lý lấy mẫu



Định lý lấy mẫu là cơ sở để rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà khơng làm mất thơng tin của

nó, và vì thế có thể khơi phục tín hiệu liên tục từ tín hiệu lấy mẫu.

Giáo trình lý thuyết mạch đã trình bầy và chứng minh định lý lẫy mẫu, do đó ở đây chỉ

nhắc lại nội dung của định lý.

Định lý lấy mẫu : Mọi tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f  fc đều hoàn toàn được xác định bởi các giá

trị tức thời rời rạc của nó tại các thời điểm cách đều nhau một khoảng thời gian T 1 2 f c (tương ứng

T   c ).



Định lý lấy mẫu nêu lên hai điều kiện bắt buộc phải được đảm bảo để việc lấy mẫu không

làm mất thơng tin của tín hiệu liên tục :

1. Tín hiệu liên tục x(t) phải có phổ hữu hạn f  fc

2. Chu kỳ lấy mẫu T phải thỏa mãn điều kiện T 1 2 f c

3.2.2b Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T)





Để thấy được bản chất vật lý của định lý lấy mẫu, chúng ta sẽ xác định quan hệ giữa hàm phổ X ( ) của tín hiệu

liên tục x(t) và hàm phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) tương ứng.

Xét tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f < fc (hay  < c ), quan hệ giữa x(t) và phổ của nó là cặp tích phân

Fourier :









Biến đổi Fourier thuận : X ( ) 



x(t ).e



 j .t



dt



[3.2-1]







Biến đổi Fourier ngược :



1



x(t ) 



2



c







X ( ).e j .t d







[3.2-2]



 c



Khi rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) với chu kỳ lấy mẫu T, nhận được tín hiệu lấy mẫu x(n.T). Quan hệ giữa x(n.T)

và hàm phổ X(ej) của nó là cặp biến đổi Fourier của tín hiệu số [3.1-23] và [3.1-24] , khi thay biến n bằng biến n.T :

j

Biến đổi Fourier thuận : X (e ) 







 x ( nT ) e



 j .nT



[3.2-3]



).e j .nT d



[3.2-4]



n 



T



Biến đổi Fourier ngược : x( nT ) 



2





T



X (e





j





T



Khi thực hiện rời rạc hóa tín kiệu liên tục x(t) theo định lý lấy mẫu thì x( n.T )  x(t ) t nT , nên có thể viết lại [3.22] dưới dạng :



x( n.T ) 



1



2



c







X ( ).e j .nT d







[3.2-5]



 c



Khi đó, giá trị của x(n.T) tại thời điểm n = k được xác định là :



61



x( n.T ) n k 



( 2 k 1) T



1



X ( ).e j .nT d 







2



1







( 2 k  1) T



2





T











X ( 









T



2

T



k ).e j .nT d



Biểu thức trên nhận được do tính chất tuần hồn của hàm mũ ejnT.

Khi cho k biến thiên từ - đến + nhận được :





 x(kT )



x( n.T ) 



k 





Hay :



x(n.T ) 





T



1







2



k 











X ( 







2





T



T



k ).e j .nT d



[3.2-6]



Nhân và chia [3.2-6] cho chu kỳ lấy mẫu T, đồng thời đổi thứ tự của dấu tổng và dấu tích phân, nhận được biểu

thức :

x( n.T ) 



T

2





t







1







T  X ( 







k 





T



2

T



k ).e jnT d



[3.2-7]



So sánh biểu thức dưới dấu tích phân của [3.2-7] và [3.2-4] nhận được :

X ( e j ) 



1

T















X ( 



k 



2

T



k)



[3.2-8]



Biểu thức [3.2-8] cho thấy, hàm phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) là hàm tuần hồn của biến tần số góc  với





chu kỳ T = 2/T , và là tổng vô số các hàm phổ X ( ) của tín hiệu liên tục x(t).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn và chu kỳ lấy mẫu T thỏa mãn điều kiện của định lý lấy mẫu : T 





/c , thì phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có chu kỳ T  2c . Khi đó, phổ X(ej) là tổng của các phổ X ( ) hữu hạn

tách biệt nhau như trên các đồ thị hình 3.4 và hình 3.5, nên ứng với mỗi giá trị của k , phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có

dạng đúng với phổ của tín hiệu liên tục x(t) nhưng biên độ bị giảm T lần : X (e j ) 



1

T







X ( ) . Vì thế, khi cho tín hiệu lấy





j



mẫu x(n.T) đi qua bộ lọc thơng thấp để lấy thành phần phổ của X(e ) ứng với k = 0, sẽ nhận được đúng phổ X ( ) , do đó

khơi phục được tín hiệu liên tục x(t).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn, nhưng chu kỳ lấy mẫu không thoả mãn điều kiện của định lý lấy

mẫu : T > /c , thì phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ có chu kỳ T < 2c . Khi đó phổ X(ej) là tổng của các phổ









j

X ( ) hữu hạn có các biên tần trùm lên nhau như trên hình 3.5. Sự trùm phổ làm cho X(e ) bị méo dạng so với phổ X ( )



của tín hiệu liên tục x(t), vì thế khơng thể khơi phục được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ khơng hữu hạn như trên hình 3.6 , thì chắc chắn xẩy ra hiện tượng trùm

phổ, nên phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ khơng thể có dạng giống với phổ của tín hiệu liên tục x(t), do đó khơng thể khơi

phục được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).

Như vậy, bản chất vật lý của việc rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) mà khơng làm mất thơng tin trong nó là ở chỗ,

khi đảm bảo các điều kiện của định lý lấy mẫu thì tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có phổ X(ej) tuần hồn, và mỗi chu kỳ của phổ





X(ej) hoàn toàn giống với phổ X ( ) của tín hiệu liên tục x(t), do đó thơng tin của tín hiệu liên tục x(t) được bảo tồn trong



tín hiệu lấy mẫu x(n.T).

Như vậy, khi được rời rạc hóa theo đúng điều kiện của định lý lấy mẫu, thì độ rộng phổ của một chu kỳ phổ tín

hiệu số đúng bằng độ rộng phổ của tín hiệu liên tục. Do đó, để khơng gây méo tín hiệu số thì dải thơng của hệ xử lý số phải

 độ rộng phổ của tín hiệu liên tục tương ứng.





X ( )



-Hình

 c 3.2 : Tín hiệu liên

 c tục x(t), có phổ X ( ) hữu hạn : | | < c.

XX(e(ejj))





- c

62



c



Hình 3.3 : Phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu, khi T = /c thì T = 2c.

X(ej)





- c



c



Hình 3.4 : Phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu, khi T < /c thì T > 2c.

X(ej)







- c



c



Hình 3.5 : Phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu, khi T > /c thì T < 2c.





X ( )







Hình 3.6 : Tín hiệu liên tục x(t), có phổ X ( ) vơ hạn.



3.3



Đặc tính tần số và Hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả



3.3.1 Đặc tính tần số và hàm truyền đạt phức H(ej )

3.3.1a Định nghĩa : Đặc tính



tần số H(ej) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến đổi Fourier của đặc tính xung h(n) :



H (e j )  FT [h(n)] 







 h(n). e



 j .n



[3.3-1]



n 



Đặc tính tần số H(ej) cho biết tính chất tần số của hệ xử lý số TTBBNQ.

Xét hệ xử lý số có đặc tính xung h(n), tác động x(n), phản ứng y(n).

Đặc tính tần số của hệ : H (e j )  FT [h(n)]

Phổ của tác động :



X (e j )  FT [ x( n)]



Phổ của phản ứng :



Y (e j )  FT [ y ( n)]  FT [ x( n) * h( n)]



Theo tính chất tích chập của biến đổi Fourier nhận được :

Y (e j )  X (e j ).H (e j )



Suy ra :



H (e j ) 



[3.3-2]



Y ( e j )



[3.3-3]



X (e j )



Như vậy, đặc tính tần số H(ej) của hệ xử lý số TTBBNQ bằng tỷ số giữa hàm phổ của phản ứng Y(ej) và hàm phổ

của tác động X(ej), vì thế H(ej) cũng chính là hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ.

Có thể tìm được đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số từ đặc tính tần số H(ej) bằng biến đổi Fourier ngược :

h(n)  IFT [ H (e j )] 



1

2







 H (e



j



).e j .n d



[3.3-4]







3.3.1b Đặc tính biên độ tần số và đặc tính pha tần số

H (e



Từ [3.3-3] có :

và :



j



Y (e j  )



) 



[3.3-5]



X ( e j )



Arg  H (e j )   Arg Y (e j )   Arg  X (e j ) 



























[3.3-6]



63



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chia cả hai vế của biểu thức trên cho , nhận được :

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×