Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
chương 5: phương trình vi phân

chương 5: phương trình vi phân

Tải bản đầy đủ - 0trang

Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



5.2. Đưa về phân ly biến

a)

=

y′ sin ( 2 x − y )

dy

 dz

dz

dz

dz

 = 2−

Đặt z = 2 x − y ⇒  dx

= 2 − sin z ⇒

= dx ⇒ ∫

= x + C (*)

dx ⇒

2 − sin z

2 − sin z

dx

 y′ = sin z



Tính I = ∫



dz

z

2t

2dt

; dz =

: đặt t = tan ⇒ sin z =

2

2

1+ t

1+ t2

2 − sin z



2dt

+ t2

=

⇒ I ∫ 1=

2t

2−

1+ t2

2

arctan

3



dt



dt

dt

4

=

=

2



3

 2t − 1 

 1

1+ 

+ t − 



4  2

 3 



∫t =

− t +1 ∫ 3

2



 2t − 1 

d



2

3 

 =

3 ∫  2t − 1 

1+ 



 3 



2

2t − 1

arctan=

3

3



z

2 tan − 1

2 +C

0

3



z

2 tan − 1

2 = x + C , thay =

z 2 x − y ta được tích phân tổng quát của

3

2x − y

2 tan

−1

2

2

phương trình vi phân đã cho là: arctan

= x+C

3

3

2

 z=

4 x + 2 y 2 z ′.z= 4 + 2 y′

dz

⇒

⇒ 2 z ′.z = 4 + z ⇒ 2 z = 4 + z

b) Đặt z = 4 x + 2 y ⇒ 

dx

y = z

 y′ = z

2 zdz

2 zdz

4 





= dx ⇒ ∫

= x + C ⇒ 2∫ 1 −

 dz = x + C ⇒ 2 z − 8ln z + 4 = x + C

4+ z

4+ z

 z+4

Thay=

z

4 x + 2 y ta được tích phân tổng qt của phương trình vi phân đã cho là:

2

Thay vào (*) ta được: arctan

3



2 4 x + 2 y − 8ln 4 x + 2 y + 4 =x + C



c) ( −2 x + 6 y + 3) dx − ( x − 3 y + 1) dy =0 ⇒



dy −2 x + 6 y + 3

(nếu x − 3 y + 1 ≠ 0 )

=

dx

x − 3y +1



dy

 dz

 dx = 1 − 3 dx

dz

dz 7 z − 8

z +1

−6 z + 9

1

x 3y ⇒ 



=−



=



dz =

dx ( khi 7 z − 8 ≠ 0 )

Đặt z =−

7z − 8

dx

z +1

dx

z +1

 dy = −2 z + 3

z +1

 dx

z +1

⇒∫

dz =

x+C

7z − 8

z +1

1 

15 

z 15

Tính I = ∫

dz = ∫ 1 +

 dz = + ln 7 z − 8 + C0

7z − 8

7  7z − 8 

7 49

z 15

Từ đó ta có: + ln 7 z − 8 = x + C , thay z= x − 3 y vào ta được tích phân tổng quát của phương

7 49

x − 3 y 15

+ ln 7 x − 21 y − 8 = x + C

trình vi phân đã cho là:

7

49

dy

dz

dy 2 x − y

d)

: đặt y =zx ⇒ =z + x ⇒ thay vào phương trình vi phân đã cho ta được:

=

dx

dx

dx x + 2 y



48

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



1+ 2z

dz 2 x − zx

dz 2 − z

dz 2 − 2 z − 2 z 2

dx

⇒x =

−z⇒x =



z+x =

dz =

2

1+ 2z

2 − 2z − 2z

dx x + 2 zx

dx 1 + 2 z

dx

x

1+ 2z

1

1

−2 − 4 z

x

x

x

ln

⇒∫

=

⇒− ∫

=

⇒ − ln 2 − 2 z − 2=



dz ln

z 2 ln

2

2

2 − 2z − 2z

2 2 − 2z − 2z

2

C

C

C

C

⇒ 2 − 2 z − 2 z 2 =2

x

y

Thay z = ta được tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:

x

y

y2 C

2 − 2 − 2 2 = 2 ⇒ 2 x 2 − 2 xy − 2 y 2 = C

x

x

x

dy

 dz

=

+

8

2



dy

2

dx

= ( 8 x + 2 y + 1) : đặt z = 8 x + 2 y + 1 ⇒  dx

e)

dx

 dy = z 2

 dx

dz

dz

dz

dz

1



= 8 + 2z2 ⇒

= 2dx ⇒ ∫

= 2x + C ⇒ ∫

= 2x + C

2

2

2

dx

4+ z

4+ z

4

z

1+  

2

z

d 

z

z

1

1

2

⇒ ∫   2 = 2 x + C ⇒ arctan = 2 x + C ⇒ arctan = 4 x + C

2

2

2

2

z

1+  

2

Thay z = 8 x + 2 y + 1 vào ta được tích phân tổng qt của phương trình vi phân đã cho là:

8x + 2 y + 1

= 4x + C

arctan

2

dy

dy 5 x 2 + 2 xy − 3 y 2

Khi x 2 − 6 xy ≠ 0 )

f) ( x 2 − 6 x ) y′ + 3 y 2 = 5 x 2 + 2 xy ⇒ ( x 2 − 6 x ) = 5 x 2 + 2 xy − 3 y 2 ⇒ =

(

2

dx

dx

x − 6 xy



dz

dy

=z + x , thay vào phương trình trên ta được:

dx

dx

2

2

dz 5 x + 2 x z − 3 x 2 z 2

dz 5 + 2 z − 3 z 2

dz 3 z 2 + z + 5

1− 6z

dx

z + x=

⇒ x=

− z ⇒ x=

⇒ 2

=

dz

2

2

dx

x − 6x z

dx

dx

x

1− 6z

1− 6z

3z + z + 5

1− 6z

⇒∫ 2

dz =

ln Cx (*)

3z + z + 5

d ( 3z 2 + z + 5)

1− 6z

2dz

1+ 6z

2dz

Tính I =

∫ 5 + z + 3z 2 dz =

∫ 3z 2 + z + 5 − ∫ 3z 2 + z + 5 dz =

∫ 59  1 2 − ∫ 3z 2 + z + 5 =

+ 3 z + 

12

6



24

dz

4

6z +1

=

− ln

=

3z 2 + z + 5)

arctan

− ln ( 3 z 2 + z + 5 ) + C0

(

2



59

59

59

 6z +1 

1+ 



 59 

4

6z +1

Từ đó ta có (*) trở thành

− ln ( 3 z 2 + z + 5 ) =

arctan

ln Cx

59

59

y

Thay z = vào ta được tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:

x

 y2 y



4

6y + x

− ln  3 2 + + 5  =

arctan

ln Cx

x

59

x 59

 x





Đặt y =zx ⇒



49

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



g) ( 3x + y ) dx − ( x + 2 y ) dy =0 ⇒



dy 3 x + y

(điều kiện x + 2 y ≠ 0 )

=

dx x + 2 y



dy

dz

=z + x

, thay vào phương trình trên ta được:

dx

dx

dz 3 x + zx

dz 3 + z

dz 3 − 2 z 2

dx

1+ 2z

1+ 2z

=

⇒x

=

−z⇒x

=



z+x

dz = ⇒ ∫

dz =ln Cx (*)

2

dx x + 2 zx

dx 1 + 2 z

dx 1 + 2 z

3 − 2z

x

3 − 2z2

1+ 2z

1+ 2z

1  1− 6

1+ 6 

dz

dz

=

=

+

Tính I =



 dz =

2

∫ 3 − 2z

∫ 3−z 2 3+z 2

2 3 ∫  3 + z 2

3 − z 2 



Đặt y =zx ⇒



(



=



)(



)



1− 6

1+ 6

ln 3 + z 2 −

ln 3 − z 2 + C0

2 6

2 6



Thay vào (*) ta được:



1− 6

1+ 6

ln 3 + z 2 −

ln 3 − z 2 =

ln Cx

2 6

2 6



y

vào ta được tích phân tổng quát của phương trình đã cho là:

x

y

y

1− 6

1+ 6

ln 3 +

2−

ln 3 −

2 =

ln Cx

x

x

2 6

2 6

dy 4 y − 6 x + 3

(nếu 3x − 2 y + 4 ≠ 0 )

h) ( 4 y − 6 x + 3) dx − ( 3x − 2 y + 4 ) dy =0 ⇒ =

dx 3 x − 2 y + 4

dy

 dz

 dx = 3 − 2 dx

dz

dz 7 z + 6

z+4

−4 z + 6

3x − 2 y ⇒ 

3

dz =

dx (nếu 7 z + 6 ≠ 0 )



=−



=



Đặt z =

7z + 6

dx

z+4

dx z + 4

 dy = −2 z + 3

z+4

 dx

1 

43 

z+4

z 43

dz = x + C ⇒ ∫ 1 +

⇒∫

 dz = x + C ⇒ + ln 7 z + 6 = x + C

7z + 6

7  7z + 6 

7 49

Thay =

z 3 x − 2 y vào ta được tích phân tổng qt của phương trình vi phân đã cho là:

3 x − 2 y 43

+ ln 21x − 14 y + 6 = x + C

7

49



Thay z =



5.3. Phương trình vi phân tồn phần

(1) Đặt M = xy 2 − x 2 y + 2; N = x 2 y −



x3

+ y 2 + 5 thì ta thấy My′ = 2 xy − x 2 ≡ Nx′ = 2 xy − x 2 nên phương

3



trình vi phân đã cho là phương trình vi phân tồn phần với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần

của hàm số

Φ ( x; y )=



x



∫(

0



y

3

y

1

1

x y

xy 2 − x 2 y + 2 dx + ∫ y 2 + 5 dy=  x 2 y 2 − x 3 y + 2 x  +  + 5 y  =

3

2

0  3

0

0



)



(



)



1 2 2 1 3

y3

x y − x y + 2 x + + 5y

=

2

3

3

1 2 2 1 3

y3

x y − x y + 2 x + + 5y =

C

2

3

3

2

2

1

2x

(2) Đặt M =

thì ta thấy My′ = 2 x + 3 ≡ Nx′ = 2 x + 3 nên phương trình vi phân đã

2 xy − 2 ; N =+

x2

3

y

y

y

y



Vậy, tích phân tổng qt của phương trình vi phân đã cho là:



cho là phương trình vi phân tồn phần với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số

x





1

Φ ( x; y ) =∫  2 xy − 2

y

0



y



 2

x x

x

2

0.dy =

dx

+



 x y − 2  =x y − 2



y 0

y





1



50

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



Vậy, tích phân tổng qt của phương trình vi phân đã cho là: x 2 y −

=

M

(3) Đặt



x

C

=

y2



2x

y2 − 3x 2

6x

6x

=

;

N

thì ta thấy My′ =

− 4 ≡ Nx′ =

− 4 nên phương trình vi phân đã cho là

3

4

y

y

y

y



phương trình vi phân toàn phần với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số

y

2x

1

x2 x 1 y x2 1

Φ ( x; y ) = ∫ 3 dx + ∫ 2 dy = 3 −

=

− +1

y

y

y 0 y 1 y3 y

0

1

x



x2 1

Vậy, tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: 3 − + 1 =C

y

y

2

2

= 2 xy; N

= x − y thì ta thấy My′ = 2 x ≡ Nx′ = 2 x nên phương trình vi phân đã cho là phương

(4) Đặt M



trình vi phân toàn phần với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số

x



y



0



0



Φ ( x; y ) =∫ 2 xydx − ∫ y 2 dy =x 2 y



x

0







y3 y

y3

=x 2 y −

3 0

3



Ta có tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: x 2 y −

1

3



y3

=

C

3



1

3



Thay=

C ⇒ C =− .

x 0;=

y 1 vào tích phân tổng qt, ta có − =

y3

1

=



3

3

(5) Đặt M =+

y 2 ( x + y ) ln ( x + y ) ; N =+

x 2 ( x + y ) ln ( x + y ) thì ta thấy My′ ≡ Nx′ ≡ 3 + 2 ln ( x + y ) nên



Vậy, tích phân riêng cần tìm là: x 2 y −



phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân tồn phần với vế trái là biểu thức vi phân

toàn phần của hàm số

y

y

x

x

x





2

ln

2

ln

2

ln

2

Φ ( x; y ) =

y

+

x

+

y

x

+

y

dx

+

y

ydy

=

xy

+

x

+

y

x

+

y

dx

+

(

)

(

)

(

)

(

)



∫0 

∫1

∫0

∫1 y ln ydy

0



Xét nguyên hàm: ∫ x ln =

xdx

Từ đó ta có:



1

1 2

1

1 2

x2

2

=



=



+ C1

ln

xd

x

x

ln

x

xdx

x

ln

x

2∫

2

2∫

2

4



( )



2

 ( x + y )2

x + y)  x

1

(

y2  y

Φ ( x; y ) = xy + 2 

ln ( x + y ) −

 + 2  y 2 ln y −  =

4 0

4 1

 2

2



1

1

2

2

= xy + ( x + y ) ln ( x + y ) − ( x + y ) +

2

2



Vậy, tích phân tổng qt của phương trình vi phân đã cho là:

xy + ( x + y ) ln ( x + y ) −

2



1

1

2

C

( x + y) + =

2

2



5.4. Thừa số tích phân

(1) ydx = ( x + y 2 ) dy ⇒ ydx + ( − x − y 2 ) dy = 0 (*)

−1 nhưng

1 ≠ Nx′ =

Đặt M =y; N =− x − y 2 ta thấy My′ =

2 dy



y







− ln y

số tích phân cho (*) là: p=

( y ) e = e=



Nhân vào hai vế của (*) với



2



My′ − Nx′

M



=



2

nên ta có thể tìm được 1 thừa

y



1

.

y2





dx  x

1

ta được phương trình vi phân toàn phần:

−  + y  dy =

0

2

y y

y





51

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

y

x

dx

x x y2 y x y2 1

Với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số: Φ ( x; y ) =∫ − ∫ ydy = −

= − +

y 1

y 0 2 1 y 2 2

0



x y2 1

C

Vậy, tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: − + =

y 2 2

dy

(2) ( 3x + 1) y′ = 4 x + 5y ⇒ ( 3x + 1) = 4 x + 5y ⇒ ( 4 x + 5y ) dx − ( 3x + 1) dy = 0 (*)

dx

My′ − Nx′

−8

−3 nhưng

5 ≠ Nx′ =

nên ta có thể tìm

Đặt M =

4 x + 5 y; N =

−3 x − 1 ta thấy My′ =

=

N

3x + 1

8 dy

1

8

−∫

− ln ( 3 x +1)

1

3 x +1

.

được 1 thừa số tích phân cho (*) là: =

p x e=

e 3=



( )



1



Nhân vào hai vế của (*) với

3



3



8



ta được phương trình vi phân tồn phần:



( 3x + 1)



8



4 x + 5y

3



( 3x + 1)



( 3x + 1)



8



1



dx −

3



( 3x + 1)



dy =

0



5



Với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:

Φ (=

x; y )



x







0 3



y



4 xdx



( 3x + 1)



8



−∫

0



1



=

dy

5

3

( 3x + 1)



x







0 3



4 xdx







( 3x + 1)



8



y

=

8

3

( 3x + 1) 0

y





x

4 

1

1

y

 dx −





8

3 0  3 ( 3x + 1)5 5 ( 3 x + 1)8 

3

( 3x + 1)









4

1

1

y

 x−

=

− 

+

=

3  2. 3 ( 3x + 1)2 5. 3 ( 3x + 1)5  0 3 ( 3x + 1)8







=



14

2

4

=







15 3. 3 ( 3 x + 1)2 15. 3 ( 3 x + 1)5



y

3



( 3x + 1)



8



Vậy, tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:

14

2

4







15 3. 3 ( 3 x + 1)2 15. 3 ( 3 x + 1)5



(3) Đặt M =

2x +



3



y



( 3x + 1)



8



=

C



My′ − Nx′

2y

−2

y2

=

y ≠ Nx′ =

− y nhưng =

nên

+ 3x 3 ; N =

− xy − y ta thấy My′ =

N

− xy − y x + 1

2

2 dx



∫ x +1 e − ln=

( x +1)2

p ( x ) e=

ta có thể tìm được 1 thừa số tích phân là: =





Nhân vào hai vế của phương trình đã cho với



1



( x + 1)



2



1



( x + 1)



2



.



ta được phương trình vi phân toàn phần:



y2

+ 3x 3

2

dx − ydy =

0

2

( x + 1)



2x +



Với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:



52

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Φ=

( x; y )



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

x



2 x + 3x 3



∫ ( x + 1)

0



2



y



x



dx −=

∫ ydy







0



3 ( x + 1) − 9 ( x + 1) + 11 ( x + 1) − 5

3



2



( x + 1)



0



2



y2 y

dx −=

2 0





y2  x 2

11

5 

5  x y2

=∫ 3 ( x + 1) − 9 +



 dx − = 3 − 6 x + 11ln x + 1 +

 − =

x + 1 ( x + 1)2 

x +1 0 2

2  2

0 





x2

5

y2

= 3 − 6 x + 11ln x + 1 +

− −5

2

x +1 2

x



Vậy, tích phân tổng qt của phương trình vi phân đã cho là:



x2

5

y2

− 6 x + 11ln x + 1 +

− −5=

C

2

x +1 2

M ′ − Nx′ 2

= nên ta có thể tìm được 1

2 x ≠ Nx′ =

−2 x nhưng y

(4) Đặt M =2 xy; N =− y − x 2 ta thấy My′ =

M

y

3



2 dy



∫ y

− ln y2

thừa số tích phân là: p=

e=

( y) e =





1

.

y2

1

ta được phương trình vi phân tồn phần:

y2



Nhân vào hai vế của phương trình đã cho với



 1 x2 

2 xdx −  + 2  dy =

0

y y 



Với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:

y

x

x

y

dy

Φ ( x; y ) =∫ 2 xdx − ∫

=x 2 − ln y =x 2 − ln y

0

1

y

0

1

Vậy, tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: x 2 − ln y =

C

dy

dx



(5) =



1 + xy

⇒ (1 + xy ) dx − ( x + 1) dy

= 0 (*)

x +1



x ≠ Nx′ =

−1 nhưng

Đặt M =1 + xy; N =− x − 1 ta thấy My′ =



My′ − Nx′

N



= −1 nên ta có thể tìm được 1





thừa số tích phân cho (*) là: p=

e− x .

( x ) e=

− dx



Nhân vào hai vế của (*) với



1

ta được phương trình vi phân tồn phần:

y2

0

(1 + xy ) e− x dx − ( x + 1) e− x dy =



Với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:

x



y



−x

Φ ( x; y ) =

−e − x

∫ e dx − ∫ ( x + 1) e dy =

0



−x



0



x

y

− ( xy + y ) e − x =

1 − e − x − ( xy + y ) e − x

0

0



C

Vậy, tích phân tổng qt của phương trình vi phân đã cho là: 1 − e − x − ( xy + y ) e − x =

′ 2 y cos xy − xy 2 sin xy ≠ N

′ y cos xy − xy 2 sin xy

(6) Đặt M= y 2 cos xy; N= y + xy cos xy ta thấy M=

=

y

x



nhưng



M y′ − N x′

M



dy



−∫

y cos xy

±1

− ln y

y

= 2

nên ta có thể tìm được thừa số tích phân là: p=

e=

( y ) e=

y cos xy

y



.

1

ta được phương trình vi phân tồn phần:

y

y cos xydx + (1 + x cos xy ) dy =

0



Nhân vào hai vế của phương trình đã cho với



Với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:

53

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

y



x



y

− y = sin xy − y + 1

0

1

0

1

Vậy, tích phân tổng qt của phương trình vi phân đã cho là: sin xy − y + 1 =

C

Φ ( x ; y=

)



=

∫ y cos xydx − ∫ dy



sin xy



x



5.5. Phương trình tuyến tính tổng qt

(1) y′ −



y

=

x −1



(x



2



+ x − 2 ) ln 3 x (*)



Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất liên kết với (*) là

y0= Ce



dx



∫ x −1=



Ce



= C x − 1= C ( x − 1)



ln x −1



Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng

=

y C ( x )( x − 1) ⇒

=

y′ C ′ ( x )( x − 1) + C ( x )

Thay vào (*) ta được:

C ′ ( x )( x − 1) + C ( x ) −



C ( x )( x − 1)

=

x −1



(x



2



+ x − 2 ) ln 3 x ⇒ C ′ ( x )( x − 1) =



( x − 1)( x + 2 ) ln 3x ⇒



⇒ C ′ ( x ) =−

( x 2 ) ln 3x ⇒ C ( x ) =

∫ ( x − 2 ) ln 3xdx



Đặt



1



du = dx



 x2



 x2



 x2



u = ln 3 x



x

x



⇒



C

x

=−

x

x





dx

=−

x

x



2

ln

3

2

2

ln

3

(

)











 − 2x  + C







2

x

2



dv= x − 2 =

 2



 2



 4



v

− 2x



2



Vậy, ta có nghiệm tổng qt của phương trình vi phân đã cho là:

 x2



 x2



y =−

( x 1)  − 2 x  ln 3x − ( x − 1)  − 2 x  + C ( x − 1)

 2



 4



y

(2) xy′ − y= x 2 e x ⇒ y′ − = xe x (*)

x



Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất liên kết với (*) là

dx



ln x

∫x

=

y0 Ce=

Ce= C=

x Cx



y C ( x ) .x ⇒=

y′ xC ′ ( x ) + C ( x )

Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng=

Thay vào (*) ta được:



C ( x ) .x

xe x ⇒ C ′ ( x ) =⇒

ex

C ( x) =

e x dx =+

ex C

=



x

Vậy, ta có nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:=

y xe x + Cx

dy

2 

(3) x

+ ( 2 − x ) y = ( x + x 2 ) e − x ⇒ y ′ +  − 1  y = (1 + x ) e − x (*)

dx

x



xC ′ ( x ) + C ( x ) −



Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất liên kết với (*) là





2



ex

∫ 1− x  dx

x − ln x 2

=

y0 Ce=

Ce

=

C 2

x

x

e

ex

e x x − 2e x

Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng

=

y C ( x) 2 ⇒

=

y′ C ′ ( x ) 2 + C ( x )

x

x

x3



Thay vào (*) ta được:

C′ ( x )



ex

x2



+ C ( x)



e x x − 2e x

x3



e

2 

− 1  C ( x ) 2 =(1 + x ) e − x ⇒ C ′ ( x ) =( x 2 + x 3 ) e −2 x ⇒ C ( x ) =∫ ( x 2 + x 3 ) e −2 x dx

x

x 

x



+



du

= ( 2 x + 3 x 2 ) dx

=

u x 2 + x3

x 2 + x3 −2 x 1



Đặt 





=



C

x

e + ∫ ( 2 x + 3 x 2 ) e −2 x dx

(

)



1

−2 x

−2 x

2

2

dv = e dx v = − e



2

54

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



du= ( 2 + 6 x ) dx

=

u 2 x + 3x 2



x 2 + x3 −2 x 1  2 x + 3 x 2 −2 x







C

x

=



e + −

e + ∫ (1 + 3 x ) e −2 x dx 

Đặt 

(

)



1 −2 x

−2 x

2

2

2

dv = e dx



v = − e



2

x 2 + x 3 −2 x 2 x + 3 x 2 −2 x 1

e −

e + ∫ (1 + 3 x ) e −2 x dx

⇒ C ( x) =



2

4

2

du = 3dx

u = 1 + 3 x



⇒

Đặt 

1 −2 x

−2 x

dv = e dx v = − e



2

2

3

x + x −2 x 2 x + 3 x 2 −2 x 1  1 + 3 x −2 x 3 −2 x 

e −

e + −

e + ∫ e dx 

⇒ C ( x) =



2

4

2

2

2



2

3

2

4 x 3 + 10 x 2 + 10 x + 5

x + x −2 x 2 x + 3 x −2 x 1 + 3 x −2 x 3 −2 x

e −

e −

e − e +C =

=





+C

2

4

4

8

8e 2 x



Vậy, ta có nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:

4 x 3 + 10 x 2 + 10 x + 5

ex

y=



+C 2

8 x 2e x

x



(4) y′ + y= 4 x +



1

x x



(*)





=

Ce − x

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất liên kết với (*) =

là: y0 Ce

Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng

=

=

y C ( x ) e− x ⇒

y′ C ′ ( x ) e − x − C ( x ) e − x

Thay vào (*) ta được:

− dx



1  x



⇒ C′ ( x ) = 4 x +

e ⇒

x x

x x



1  x

e x dx



x

⇒ C ( x) =

4

x

+

e

dx

=

4

xe

dx

+

4

I1 + I 2



∫ 



∫x x =

x x

e x dx

Trong đó: I 2 = ∫

x x

 e x 1 e x dx 

2e x dx

1

x

x

x

x

x

x

= 4 xe − 2 ∫

+ ∫

I1 = ∫ 4 xe dx = ∫ 4 xd ( e ) = 4 xe − ∫

d ( e ) = 4 xe − 2 

=

x

x

 x 2 x x

C ′ ( x ) e− x − C ( x ) e− x + C ( x ) e− x = 4 x +



1



ex

e x dx 

2  x

−∫

= 4 x −

 e − I2

x

x x 

x

2  x



⇒ C ( x ) = I1 + I 2 =  4 x −

e + C

x



= 4 xe x − 2



Vậy, ta có nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: y = 4 x +



1

x x



+ Ce − x



2− x x

e (*)

x3



(5) y′ − y =





=

y0 Ce

=

Ce x

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất liên kết với (*) là:

Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng=

y C ( x ) e x ⇒=

y′ C ′ ( x ) e x − C ( x ) e x

Thay vào (*) ta được:

dx



2− x

2− x

1 1

 2 1 

C′ ( x ) ex + C ( x ) ex − C ( x ) ex = 3 ex ⇒ C′ ( x ) = 3 ⇒ C ( x ) =

− 2 + +C

 3 − 2  dx =



x

x

x

x

x x 

 1 1 x

x

Vậy, ta có nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: y =−

 2 +  e + Ce

x

 x

55



Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



y ( x + 1) ⇒ ( x − 1)( x + 2 ) y ′ + (1 − x ) y =

0 ⇒ y ′−

(6) ( x 2 − 3x + 2 ) y ′ + 2 y =



y

=

0 (nếu x ≠ 1 )

x +2



Đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, nghiệm tổng quát của phương trình này là:

dx





y= Ce x + 2 = Ce



ln x + 2



(7) ( 3x + 1) y′ = 4 x + 5 y ⇒ ( 3x + 1) y′ − 5 y = 4 x ⇒ y′ −



= C x + 2 = C ( x + 2)



5

4x

(*)

y=

3x + 1

3x + 1



Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với (*) là:

5 dx



5



5



3 x +1

ln 3 x +1

5

5

∫ 3 x +1 Ce 3 ln=

=

y0 Ce=

Ce 3 = C 3 3 x =

+1

C 3 ( 3 x + 1)



Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng:

=

y C ( x ) 3 ( 3 x + 1) =

⇒ y′ C ′ ( x ) 3 ( 3 x + 1) + 5C ( x ) 3 ( 3 x + )

5



5



2



Thay vào (*) ta được:

C ′ ( x ) 3 ( 3 x + 1) + 5C ( x ) 3 ( 3 x + ) −

5



C ( x) = ∫



2



4 xdx

3



( 3x + 1)



8



=∫



4 xdx

3



( 3x + 1)



8



=



5

4x

5

C ( x ) 3 ( 3 x + 1=

⇒ C′ ( =

x)

)

3x + 1

3x + 1



4 

1





3  3 ( 3 x + 1)5





dy

dx



3



( 3x + 1)



8









2

4

 dx = −



+C

8 

2

5

5

3

3

3. ( 3 x + 1) 15. ( 3 x + 1)

( 3x + 1) 

1



Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: y =



(8) =



4x



1 + xy

x

1

(*)

⇒ y′ −

=

y

x +1

x +1

x +1



2

4

5

( 3x + 1) − + C 3 ( 3x + 1)

3

15



Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với (*) là:





1 



xdx

 dx

ex

ex

x − ln x +1

∫ x +1 Ce ∫ 1−=

x +1 

y0 Ce

Ce = C = C

=

=

x +1

x +1



Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng:



e x ( x + 1) − e x

ex

ex

ex

ex x







=

⇒ y C ( x)

+ C ( x)

=

+ C ( x)

y C ( x) =

C ( x)

2

2

x +1

x +1

x +1

( x + 1)

( x + 1)



Thay vào (*) ta được:

C′ ( x )



1

ex

ex x

x

ex

C

x

e− x ⇒ C ( x ) =

+ C ( x)



= ⇒ C′ ( x ) =

−e − x + C

(

)

2

x +1

x +1 x +1

( x + 1) x + 1

1

x +1



Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: y =



+C

(9) y′ −



2x + 6

y=

2 x + 7 (*)

x + 6 x + 13



ex

x +1



2



Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với (*) là:

2 x+6

ln ( x + 6 x +13)

∫ x + 6 x +13 dx

y= Ce

= Ce

= C x 2 + 6 x + 13

2



0



2



(



)



Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng:



=

y C ( x ) ( x 2 + 6 x + 13) ⇒

=

y′ C ′ ( x ) ( x 2 + 6 x + 13) + C ( x )( 2 x + 6 )



Thay vào (*) ta được:



56

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



2x + 6

2x + 7



C ( x ) ( x 2 + 6 x + 13) = 2 x + 7 ⇒ C ′ ( x ) = 2

x + 6 x + 13

x + 6 x + 13

dx

dx

2x + 7

2x + 6

⇒ C ( x=

= ln ( x 2 + 6 x + 13) + ∫

=

dx= ∫ 2

dx + ∫ 2

) ∫ 2

2

x + 6 x + 13

x + 6 x + 13

x + 6 x + 13

4 + ( x + 3)

C ′ ( x ) ( x 2 + 6 x + 13) + C ( x )( 2 x + 6 ) −



= ln ( x 2 + 6 x + 13) +



1

4∫



2



x+3

1

=

+C

ln ( x 2 + 6 x + 13) + arctan

2

2

2

 x+3

1+ 



 2 

dx



Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:

y=



(x



2



+ 6 x + 13) ln ( x 2 + 6 x + 13) +



1 2

x+3

x + 6 x + 13) arctan

+ C ( x 2 + 6 x + 13)

(

2

2



5.6. Phương trình Bernoulli

2 x (*)

(1) y. y′ − 7 xy 2 =

Đặt z = z ( x ) = y 2 ⇒ z ′ = 2 y. y′ ⇒ y. y′ =



z′

z′

, thay vào (*) ta được: − 7 xz = 2 x ⇒ z ′ − 14 xz = 4 x (**)

2

2



Nghiệm tổng qt của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với (**) là:

2

14 ∫ xdx

=

z0 Ce

=

Ce7 x



ta có z ′ C ′ ( x ) e7 x + 14 xC ( x ) e7 x

Tìm nghiệm tổng quát của (**) dưới dạng: z = C ( x ) e7 x ,=

Thay vào (**) ta được:

2



2



2



2

2

2

2

2 −7 x2

−7 x 2

C ′ ( x ) e7 x + 14 xC ( x ) e7 x − 14 xC ( x ) e7 x =

e d ( 7 x2 )

4x ⇒ C′ ( x ) =

4 xe −7 x ⇒ C ( x ) =

∫ 4 xe dx =



7

2

2

⇒ C ( x) =

− e −7 x + C

7



2

7



Ta có nghiệm tổng quát của (**) là z =− + Ce7 x



2



2

7



Thay z = y 2 ta đươc tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: y 2 =− + Ce7 x



2



(2) Dễ thấy y = 0 là nghiệm của phương trình đã cho, xét y ≠ 0 , nhân cả hai vế của phương trình đã

1

ta được:

y5

y′ 2 1 ln x

+ . =(1)

y5 x y4

x

z′ 2

ln x

8z

ln x

1

y′

(2)

−4

Đặt z = 4 ⇒ z′ =

−4. 5 thay lại (1) ta được: − + .z = ⇒ z′ − =

4 x

x

x

x

y

y



cho với



8 dx



∫ x Ce

8ln x

=

=

Cx 8

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với (2)=

là z Ce

có z′ C′ ( x ) x 8 + 8 x 7 C ( x )

Tìm nghiệm tổng quát của (2) dưới dạng z = C ( x ) x 8 , ta

=

4 ln x

8

ln x

ln x

⇒ C′ ( x ) =

− 9

⇒ C′ ( x ) x 8 + 8 x 7 C ( x ) − C ( x ) x 8 =

−4

⇒ C′ ( x ) x 8 =

−4

x

x

x

x

ln x

1

ln x

1

 1 

⇒ C(x) =

−4 ∫ 9 dx =

ln x.d  8  =

... =+

+ C (dùng từng phần)

8



x

2

2 x 16 x 8

x 

1

 ln x

 8 1 1

⇒ nghiệm tổng quát của (2) là z =

C ( x ) x8 =

+ ln x + Cx 8

 2 x 8 + 16 x 8 + C  x =

16 2





1

1

1 1

Thay z = 4 ta được tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: 4 = + ln x + Cx 8

16 2

y

y

57

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



(3) Dễ thấy y = 0 là nghiệm của phương trình đã cho, xét y ≠ 0 , nhân cả hai vế của phương trình đã

cho với



1

ta được:

y3



y′ 3 x 2



=

4 x 2 (1)

y3 y 2

z′

y′

y′

z′

1

4 x 2 ⇒ z′ + 6 x 2 z =

−8 x 2 (2)

⇒ z′ =

−2 3 ⇒ 3 =

− thay vào (1) ta được: − − 3 x 2 z =

2

2

y

y

2

y

3

−6 ∫ x 2 dx

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với (2)

là: z Ce

=

=

Ce −2 x



Đặt z =



Tìm nghiệm tổng quát của (2) dưới dạng z = C ( x ) e−2 x =

, ta có z′ C′ ( x ) e−2 x − 6 x 2 C ( x ) e−2 x

3



3



⇒ C′ ( x ) e −2 x − 6 x 2 C ( x ) e −2 x + 6 x 2 C ( x ) e −2 x =

−8 x 2 ⇒ C′ ( x ) e −2 x =

−8 x 2 ⇒ C′ ( x ) =

−8 x 2 e2 x

3



3



3



3



3



3



3

3

4

4 3

⇒ C(x) =

−8∫ x 2 e2 x dx =

− ∫ e2 x d 2 x 3 =

− e2 x + C

3

3

3

3

4

 4 2 x3

 −2 x 3

⇒ nghiệm tổng quát của (2) là z =

=

− + Ce −2 x

C ( x ) e −2 x =−

 3 e + Ce

3





3

1

1

4

Thay z = 2 ta có tích phân tổng qt của phương trình đã cho là 2 =− + Ce−2 x

3

y

y

2 x

2 x

(4) y′ − y e + 2 y =0 ⇔ y′ + 2 y =y e

Dễ thấy y = 0 là nghiệm của phương trình đã cho, xét y ≠ 0 , nhân cả hai vế của phương trình đã

1

cho với 2 ta được:

y

y′ 2

+ =

e x (1)

y2 y

1

y′

Đặt z = ⇒ z′ =

− 2 , thay lại (1) ta được: − z′ + 2 z =e x ⇒ z′ − 2 z =−e x (2)

y

y

2 ∫ dx

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với (2)=

là: z Ce

=

Ce2 x



( )



Tìm nghiệm tổng quát của (2) dưới dạng z = C ( x ) e2 x , =

ta có z′ C′ ( x ) e2 x + 2C ( x ) e2 x



⇒ C′ ( x ) e 2 x + 2C ( x ) e 2 x − 2C ( x ) e 2 x =

−e x ⇒ C′ ( x ) e 2 x =

− e x ⇒ C′ ( x ) =

−e − x ⇒ C ( x ) =

e− x + C



(



)



e − x + C e2 x =

e x + Ce2 x

⇒ nghiệm tổng quát của (2) là: z =



1

1

1

ta được = e x + Ce2 x ⇒ y = x

là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

y

y

e + Ce2 x

(5) Đặt z = y3 ⇒ z′ = 3y′y 2 thay lại phương trình đã cho ta được: z′ + z + x =0 ⇔ z′ + z =− x (1)



Thay z =





Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với (1)=

là: z Ce

=

Ce − x

có: z′ C′ ( x ) e− x − C ( x ) e− x

Tìm nghiệm tổng quát của (2) dưới dạng z = C ( x ) e − x , ta

=

− dx



⇒ C′ ( x ) e − x − C ( x ) e − x + C ( x ) e − x =− x ⇒ C′ ( x ) e − x =− x ⇒ C′ ( x ) =− xe x ⇒ C ( x ) =− ∫ xe x dx



⇒ C ( x ) =−

(1 x ) e x + C (từng phần)



⇒ nghiệm tổng quát của phương trình (1) là z = (1 − x ) e x + C  e − x = (1 − x ) + Ce − x



Thay z = y3 ta được y3 =1 − x + Ce− x ⇔ y = 3 1 − x + Ce− x là nghiệm tổng quát của phương trình đã

cho



(6) ( 3 y 2 − x 2 ) dx − ( y − 6 xy ) dy =0 ⇒ ( 3 y 2 − x 2 ) − ( y − 6 xy ) y′ =0 ⇒ ( 6 x − 1) y. y′ + 3 y 2 =x 2

⇒ y. y′ +



3

y2 =

x 2 (*)

6x −1

58



Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

chương 5: phương trình vi phân

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×