Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
chương 3: hàm nhiều biến: đạo hàm_vi phân_cực trị_PT kinh tế

chương 3: hàm nhiều biến: đạo hàm_vi phân_cực trị_PT kinh tế

Tải bản đầy đủ - 0trang

Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



3

f ( x;1) − f ( 2;1)

1

( 3 − x ) −=

3 − x −1

= lim

= lim

x →2

x →2

x →2

2

x −2

x −2

( x − 2 )  3 ( 3 − x ) + 3 3 − x + 1





−1

1

= lim

= −

2

x →2 3

(3 − x ) + 3 3 − x + 1 3



(2) fx′ ( 2;1) lim

=



5

x 11 arctan

f ( x;3) − f ( 0;3)

x lim 11 arctan 5 không tồn tại do:

=

(3) Xét lim= lim

x →0

x →0

x →0

x −0

x

x

5

5 π

π

lim 11 arctan =

− ≠ lim+ 11 arctan =   =>Không tồn tại fx′ ( 0;3)

x →0 −

x

2 x →0

x 2

f ( 0; y ) − f ( 0;3)

0−0

= lim = lim

=

f y′ ( =

0;3) lim

0 0



y →3

y

y →3

3

y −3

y

f ( x ;0 ) − f ( 0;0 )

x −0

(4) f x′ ( 0;0

=

= lim = lim1

= 1

) lim

0

x →0

x

x →0



x −0

x

f ( 0; y ) − f ( 0;0 )

−y − 0

f y′ ( 0;0 ) =

=

=

−1

lim

lim

lim ( −1) =

y →0

y →0

y →0

y −0

y

f ( x ;0 ) − f ( 0;0 )

0−0

(5) Khi y = 0 : =

= lim

= 0

f x′ ( 0;0 ) lim

x →0

x →0 x

x −0

xy ( 2x 2 − y 2 )

−0

y ( 2x 2 − y 2 )

f ( x ; y ) − f ( 0; y )

y3

x2 +y2

Khi y ≠ 0 : f x′ ( 0; y ) =

=

=

=



=

−y

lim

lim

lim

x →0

x →0

x →0

x −0

x

x2 +y2

y2

f ′ ( 0; y ) − f x′ ( 0;0 )

−y − 0

lim x

lim

lim ( −1) =

f xy′′ ( 0;0 ) =

=

=

−1

y →0

y →0

y →0

y −0

y

(6) Xét khi x 2 + y 2 ≠ 0 , ta có:



( 3x + y )( x + y ) − 2x ( x + xy − y )

f ′ (x ; y ) =

(x + y )

2



2



2



x



3



2



2



2



(



)



x 4 + 3 y 2 − y x 2 + 2xy 2 + y 3



(x



2



2



+y2



)



Xét khi x= y= 0 ta có:



f ( x ;0 ) − f ( 0;0 )

x −0

= lim = lim1

= 1

x →0

x →0

x →0

x −0

x

 x 4 + 3 y 2 − y x 2 + 2xy 2 + y 3



;x2 +y2 ≠0

2

2

Vậy, f x′ ( x ; y ) = 

x +y



0

; x= y= 0



(7) Xét khi x 2 + y 2 ≠ 0 :

=

f x′ ( 0;0

) lim



(



f x′ ( x ; y )



(



(



)



)



(

)



)



)



2x 2 y 2 + 3x 2 − 6x x 2 + 2 y 3

−12xy 3 + 4xy 2

=

2

2

2 y 2 + 3x 2

2 y 2 + 3x 2



(



(



)



31

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



( −36xy



=

f xy′′ ( x ; y ) =

f x′ ( x ; y ) ′ y



2



+ 8xy



)( 2 y



2



+ 3x 2



)



2



(



− 8 y 2 y 2 + 3x 2



+ 4xy )

)( −12xy=

3



2



( 2 y + 3x )

−36xy + 8xy )( 2 y + 3x ) − 8 y (12xy + 4xy )

(=

( 2 y + 3x )

2



2



2



4



2



2



=



2



3



2



2



3



168xy 4 − 16xy 3 − 108x 3 y 2 + 24x 3 y



(2y



2



+ 3x 2



)



3



Tại x= y= 0 ta có:

1

−0

f ( x ;0 ) − f ( 0;0 )

1

1

1

3

= lim

= lim

lim

không tồn tại bởi: lim−

= −∞ ≠ lim

= +∞





x →0

x

x

0

0

0

x



+

x →0 3x

3x

x −0

x

3x

Nên không tồn tại f x′ ( 0;0 ) ⇒ không tồn tại f xy′′ ( 0;0 ) .



Vậy, f xy′′ ( x ; y ) =



168xy 4 − 16xy 3 − 108x 3 y 2 + 24x 3 y



(2y



2



+ 3x 2



)



với x 2 + y 2 ≠ 0



3



3.2. VI PHÂN TOÀN PHẦN

(1)=

dz z x′ dx + z y′ dy

z x′ = e





( −3x + 2 y ) ln ( 5x 2 + 7 ) ′



′ (

= ( −3x + 2 y ) ln 5x 2 + 7  e

x

 x



(



)





−30x 2 + 20xy 

2

= −3ln 5x 2 + 7 +

 5x + 7

2

5

7

x

+







(



)



(



2 5x 2 + 7

z y′ =



)



−3x + 2 y



(



(



. ln 5x 2 + 7



)



)

(



)



w′x =

y y 2 + 3arc cot x ′ y 2 + 3arc cot x



(



)=



−3x + 2 y





−30x 2 + 20xy 

2

⇒ dz = −3ln 5x 2 + 7 +

 5x + 7

2

5x + 7 



(2)=

dw w x′ dx + w y′ dy



(



(



−3x + 2 y ) ln 5x 2 + 7



) (

x



)



y −1



)



−3x + 2 y



(



dx + 2 5x 2 + 7



−3 y 2

=

y + 3arc cot x

1 + x2



(



)



)



−3x + 2 y



(



)



. ln 5x 2 + 7 dy



y −1



e y ln( y2 +3arc cot x ) ′  y ln y 2 + 3arc cot x ′ e y ln( y2 +3arc cot x ) =

w′y ==

y



 y 



(



)



y



 2

2 y2

2

=

 ln y + 3arc cot x − 2

 y + 3arc cot x

y + 3arc cot x 



y −1

y



 2

−3 y 2

2 y2

2

⇒=

+

+

+



dw

y

arc

x

dx

y

arc

x

3

cot

ln

3

cot



 y + 3arc cot x dy

2

2

y + 3arc cot x 

1+ x



(3) dw = w x′ dx +w y′ dy +w z′ dz



(



(



)



(



)



)



(



(



)



w′x



 3 x 5 + 5z 3 ′  3 x 5 + 5z 3 

15 x 4 sin y  3 x 5 + 5z 3 

sin

y

=

 







4

4

2 y4  2 y4 

 2y

 x  2y





wz′



 3 x 5 + 5z 3 ′

 3 x 5 + 5z 3 

15z 2 sin y  3 x 5 + 5z 3 

sin

y

.

=











4

4

2 y4  2 y4 

 2y

z

 2y





sin y −1



sin y −1



)



sin y −1



sin y −1



32

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



TÝnh w′y :





 3 x 5 + 5z 3  w′y 

 3 x 5 + 5z 3  

 3 x 5 + 5z 3  4 sin y

ln w sin y. ln  =

sin

.

ln

cos

.

ln

y

y

=



=











−

4

4

4

w 

y

 2y



 2y

 y

 2y





 3 x 5 + 5z 3  4 sin y   3 x 5 + 5z 3 

=

⇒ w′y cos y. ln 



−



4

2

y

y   2 y4 







15 x 4 sin y  3 x 5 + 5z 3 

⇒ dz = 4 



4

2y

 2y





sin y −1



sin y



15z 2 sin y  3 x 5 + 5z 3 

dx +





2 y4  2 y4 





 3 x 5 + 5z 3  4 sin y   3 x 5 + 5z 3 

+ cos y. ln 



−



4

y   2 y4 

 2y





x

z

(4) Đặt F ( x ; y ; z ) = − ln − 1

z

y



sin y −1



dz +



sin y



dy



1

1



F′

F′

−z 2

z

y

z

− x =



=

− y =



=

z x′ =

; z y′ =

x 1 x +z

x 1 xy + zy

Fz′

Fz′

− 2−

− 2−

z

z

z

z

2

zdx

z dy

⇒ dz=



z + x xy + zy

x

(5) Đặt F ( x ; y ; z ) =

z − e y sin − 2 y

z

x

x

x

x

1

−e y cos

−e y sin − 2

ze y cos

2 z 2 + z 2e y sin



F

Fx′

y

z

z =

z ; z′ =

z



=





=



=z

z x′ =

y

x

x

x

x

′z

Fz′

F

y x

y

y x

2

z + xe cos

z 2 + xe y cos

1 + e 2 cos

1 + e 2 cos

z

z

z

z

z

z

x

x

ze y cos

2 z 2 + z 2e y sin

z dx +

z dy

=

⇒ dz

x

x

y

y

2

2

z + xe cos

z + xe cos

z

z

2

2

2

(6) d F ( x ; y ) = Fx′′2 dx + Fy′′2 dy + 2Fxy′′ dxdy

Fx′ =−8 + 8x ; Fx′′2 =8; Fxy′′ =( Fx′ )′ y =0; Fy′ =3 + 2 y ; Fy′′2 =2 ⇒ d 2 F ( x ; y ) =8dx 2 + 2dy 2



(7) Đặt F ( x ; y ; z ) = x 2 + y 2 + z 2 − x + y − 4z −

F′

F′

2x −1

2y +1

− x =



− y =



z′x =

; z′y =

;

Fz′

Fz′

2z − 4

2z − 4



9

2



( 2 x − 1)

+2



2



2

2

2 ( 2z − 4 )

2 ( 2 z − 4 ) − 2 z′x ( 2 x − 1)

2 z − 4 ) + ( 2 x − 1)

(

 2 x − 1 ′



z

2

4

−



=



=



z′′x 2 =

 =

2

2

3

 2z − 4  x

4 ( z − 2)

( 2z − 4 )

( 2z − 4 )



( 2 y + 1)

+2



2



2

2

2 ( 2z − 4 )

2 ( 2 z − 4 ) − 2 z′y ( 2 y + 1)

2 z − 4 ) + ( 2 y + 1)

(

 2 y + 1 ′



z

2

4

′′

−



=



=



z y2 =

 =

2

2

2

 2z − 4  y

4 ( z − 2)

( 2z − 4 )

( 2z − 4 )



33

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



( 2 x − 1) 2 z′y ( 2 x − 1)( 2 y + 1)

 2 x − 1 ′

z′′xy =

z′′yx =

−

=



= 3



2

 2z − 4  y

( 2z − 4 )

( 2z − 4 )

( 2 z − 4 ) + ( 2 x − 1)

z=



3

4 ( z − 2)

2



⇒d



2



2



( 2 z − 4 ) + ( 2 y + 1)



2

4 ( z − 2)

2



dx



2



2



dy 2 + 2



( 2 x − 1)( 2 y + 1) dxdy

3

( 2z − 4 )



3.3. CỰC TRỊ

Cực trị tự do

a. MXĐ: D =  3

Điều kiện cần

x = −15

u x′ = 6x − 4 z + 6 = 0

11





⇔  y =−1

⇒ điểm dừng M −15 ; −1; −6

u y′ =8 y + 8 =0

11

11

 ′





6

u z = 10z − 4x = 0

z = 11



(



)



Điều kiện đủ



′′ =

′′ =

′′ =

6; u y′′2 =

8;u z′′2 =

10;u xy

0;u xz′′ =

0

u x′′2 =

u yx

u zx′′ =

u zy′′ =

−4;u yz



 6 0 −4 

Ma trận Hess: H =  0 8 0  có các định thức con chính:

 −4 0 10 





6 0

D1 = 6 > 0; D 2 =

= 48 > 0; D 3 = H = ( 480 + 0 + 0 ) − (128 + 0 + 0 ) = 352 > 0

0 8

254

Do đó M là cực tiểu của u, giá trị cực tiểu u ( M ) = −

11

3

b. MXĐ: D = 



Điều kiện cần



x = −3

w x′ =

−6x + 6 z − 12 =

0

2









−6 y + 12 =

⇔ y =

0

2 ⇒ điểm dừng M −3 ;2; 1

w y =

2

2

 ′



1

−22 z + 6x + 20 =

0

w z =

z = 2



(



)



Điều kiện đủ



′′ =

′′ =

′′ =

w x′′2 =

w yx

0;w xz′′ =

w zx′′ =

6;w yz

w zy′′ =

0

−6; w y′′2 =

−6;w z′′2 =

−22;w xy



 −6



=

H 0

Ma trận Hess:

6



−6 0

D1 =−6 < 0; D 2 =

0 −6



0

6 



−6 0  có các định thức con chính:

0 −22 

=36 > 0; D 3 =H =−

( 729 + 0 + 0 ) − ( −216 + 0 + 0 ) =−513 < 0



Do đó M là cực tiểu của w , giá trị cực tiểu w ( M ) = 25

c. MXĐ: D =  3

Điều kiện cần

x = −3

w x′ =8x − 4 y =0







w

4

y

4

x

12

0

=



+

=



 y

 y =−6 ⇒ điểm dừng M −3; −6; 3 2





z =3

w z′ = 10z − 15 = 0

2





(



)



Điều kiện đủ



34

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



′′ =

′′ =

′′ =

−4;w xz′′ =

w x′′2 =

w yx

w zx′′ =

w zy′′ =

8; w y′′2 =

4;w z′′2 =

10;w xy

;w yz

0



 8 −4 0 

Ma trận Hess: H =  −4 4 0  có các định thức con chính:

 0 0 10 





8 −4

D1 =

8 > 0; D 2 =

=>

16 0; D 3 =

H =

10D 2 > 0

−4 4

173

Do đó M là cực tiểu của w , giá trị cực tiểu w ( M ) = −

4

3

d. MXĐ: D = 



Điều kiện cần



x = 3

u x′ =−2x + 6 =0







−1 ⇒ điểm dừng M 3; − 1 ; 1

−8 y − 4 z =

⇔ y =

0

u y′ =

4

4 2

 ′



=





+

=

u

18

z

4

y

8

0

 z

z = 1



2



(



)



Điều kiện đủ



′′ =

′′ =

′′ =

u x′′2 =

−2; u y′′2 =

−8;u z′′2 =

−18;u xy

u yx

0;u xz′′ =

u zx′′ =

0;u yz

u zy′′ =

−4



 −2

Ma trận Hess: H=  0

 0



−2 0

D1 =−2 < 0; D 2 =

0 −8



0

0 



−8 −4  có các định thức con chính:

−4 −18 

=16 > 0; D 3 =H =−2



−8 −4

=−256 < 0

−4 −18



Do đó M là cực tiểu của u, giá trị cực tiểu u ( M ) = 16

e. MXĐ: D =  2

Điều kiện cần



x= y= 0

−8 y + 8x =

0

z x′ =





y = x

⇔

⇔ x =y =4 ⇒ M 1 ( 0;0 ) ; M 2 ( 4;4 ) ; M 3 ( −4; −4 )



1 3

2



=

y

y

16

0



zy=

y − 8x = 0







x = y = −4



2



(



)



Điều kiện đủ



3

′′ =−8 ⇒ D =a11a22 − a12a21 =12 y 2 − 64

a11 =z x′′2 =8 > 0; a22 =z y′′2 = y 2 ; a12 =a21 =z xy

2

−64 < 0 => đây không phải cực trị của z

Xét tại M 1 ( 0;0 ) có a11= 8 > 0 và D =



8 > 0; D =

192 > 0 nên đây là 2 cực tiểu của z , 2 giá trị cực

Xét tại M 2 ( 4;4 ) và M 3 ( −4; −4 ) có a11 =



tiểu tương ứng là: z ( M 2 ) = z ( M 3 ) = −19

f. MXĐ: D =  2

Điều kiện cần



M 1 ( 0;0 ) ;

x= y= 0

−12 y + 12x =

0

z x′ =

=

y

x







⇔

⇔ x =y =3 ⇒ 3 điểm dừng M 2 ( 3;3) ;



4 3

2

0

z y′ = y − 12x = 0

y y − 9 =





x = y = −3



3

M 3 ( −3; −3)



(



)



Điều kiện đủ



(



a11 =

z x′′2 =

12 > 0; a22 =

z y′′2 =

4 y 2 ; a12 =

a21 =

z xy′′ =

−12 ⇒ D =

a11a22 − a12a21 =

48 y 2 − 3



)



−144 < 0 => đây không phải cực trị của z

Xét tại M 1 ( 0;0 ) có a11= 12 > 0 và D =

35

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



12 > 0; D =

288 > 0 nên đây là 2 cực tiểu của z , 2 giá trị cực

Xét tại M 2 ( 3;3) và M 3 ( −3; −3) có a11 =



tiểu tương ứng là: z ( M 2 ) = z ( M 3 ) = −27

g. MXĐ: D =  2

Đặt F ( x ; y ; z ) = x 2 + 3y 2 + z 3 − 2x − 12 y − 2z + 14

Điều kiện cần



F′

2x − 2



0

− x =

− 2

=

z x′ =

x = 1

Fz′

3z − 2

x = 1



x = 1

y = 2



Fy′

6 y − 12



y = 2





0

2



=

− 2

=

⇔ 3

⇔

⇔ y =

z y′ =

2



1

1

0

z

z

z



+



=

3

2

F

z



(

)

2

1

0

z

z



+

=

z









z = 1

x 2 + 3 y 2 + z 3 − 2x − 12 y − 2 z + 14 = 0; z ≥ 1 z ≥ 1

z ≥ 1









(



)



⇒ Điểm dừng M (1;2 )



Điều kiện đủ

2

2

2x − 2 )

6 y − 12 )

(

(

2

6

 2x − 2 ′

 6x − 12 ′

− 2

− 2

− 6z

− 2

− 2

− 6z

a11 =

z x′′2 =

z y′′2 =

; a22 =

 =

 =

3

3

2





z

z

3z − 2

3

2

3

2

 3z − 2 





y

3z − 2

3z 2 − 2



(



)



(



)



6 z ( 2x − 2 )( 6 y − 12 )

 2x − 2 ′

′′ =

− 2

=



a12 =

a21 =

z xy

a11a22 − a12a21

; D=



3

 3z − 2  y

3z 2 − 2



(



)



Tại M (1;2 ) ta có: a11 =−2 < 0;a22 =−6;a12 =a21 =0 ⇒ D =( −2 )( −6 ) =12 > 0 nên M là cực đại của z ,

giá trị cực đại: z ( M ) = 1

h. MXĐ: D =  2

Đặt F ( x ; y ; z ) = x 2 + 3y 2 + z 3 − 2x − 12 y − 15z + 27

Điều kiện cần



F′

2x − 2



0

− x =

− 2

=

 z′x =

x = 1

Fz′

3z − 15

x = 1





y = 2



Fy′

6 y − 12



y = 2



=



=



=



⇔



z

0

 y

 3

2

2





+



=

1

14

0

z

z

z



F

3

z

15

(

)



+

=

z

15

z

14

0

z







 x 2 + 3 y 2 + z 3 − 2 x − 12 y − 15z + 27 = 0; z > 1  z > 1

z > 1









(



)





x = 1





−1 + 57 



=

⇒ ®iĨm d­ng M  1;2;



y 2



2







 z = −1 + 57



2



Điều kiện đủ



2

2

( 2x − 2 )

( 6 y − 12 )

2

6

 2x − 2 ′

 6x − 12 ′

′′

− 2

=





=

=



=





a11 =

z x′′ =

6

z

;

a

z

6

z



 2



22

3

3

y

3z 2 − 15

3z 2 − 15

 3z − 15 

 3z − 15  y

3z 2 − 15

3z 2 − 15



(



2



)



(



2



6 z ( 2x − 2 )( 6 y − 12 )

 2x − 2 ′

− 2



a12 =

a21 =

z xy′′ =

; D=

a11a22 − a12a21

 =

3

 3z − 15  y

3z 2 − 15



(



)



Tại M (1;2 ) ta có:

36

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



)



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



−2

−4

−6

−12

=

=

< 0; a22

=

=

=

; a12 a21 0

2

2

57 − 3 57

57 − 3 57

 −1 + 57 

 −1 + 57 

3 

3 

 − 15

 − 15

2

2









48

⇒ D =( −2 )( −6 ) =

>0

2

57 − 3 57



=

a11



(



)



nên M là cực đại của z , giá trị cực đại: z ( M ) =



−1 + 57

2



Cực trị điều kiện

L x 0,5 y0,3 + λ ( 656 − 5 x − 2 y )

(1) Hàm Lagrange: =

Điều kiện cầ:



y0,3

3 x 0,5



λ

=

=



0,5

0,7

 x = 82

 Lx′ 0,5 x −0,5 y0,3=

=

− 5λ 0

10 x

20 y

⇒ Ta cã ®iĨm dõng M ( 82;123)







0,5 −0,7

⇔  y =123

 Ly′ =0,3 x y − 2λ =0 ⇔ 3 x =2 y

1230,3

víi

=

λ

 ′

5 x + 2 y =



0,3

656

10.820,5

 Lλ = 656 − 3 x − 2 y = 0



λ = 123 0,5



10.82





Điều kiện đủ:



′′ =

g1 ==

Lx′ 2 =

L21 =

Lxy

Ly′′2 =

5; g2 3; L11 =

−0,25 x −1,5 y 0,3 < 0; L12 =

0,15 x −0,5 y −0,7 > 0; L22 =

−0,21x 0,5 y −1,7 < 0



0 5

Xét 5 L11

3 L21



3

L12 = 15 L12 + 15 L21 − 9 L11 − 25 L22 > 0 nên M ( 82;123) là cực đại của w .

L22



L x 0,8 y0,6 + λ ( 280 − 8 x − 5y )

(2) Hàm Lagrange: =

Điều kiện cần:





y0,6

3 x 0,5



λ =

=

−0,2 0,6



0,2

0,7







Lx 0,8 x y =

=

− 8λ 0

x = 20

10 x

25 y

⇒ Ta cã ®iĨm dõng M ( 20;24 )







0,8 −0,4



⇔  y =24

 Ly =0,6 x y − 5λ =0 ⇔ 6 x =5 y

240,6

víi

=

λ

 ′

8 x + 5 y =



0,6

280

10.200,2

 Lλ = 280 − 8 x − 5 y = 0



λ = 24 0,2

10.20







Điều kiện đủ:



′′ =

g1 ==

8; g2 5; L11 =

Lx′ 2 =

−0,16 x −1,2 y 0,6 < 0; L12 =

L21 =

Lxy

0, 48 x −0,2 y −0,4 > 0; L22 =

Ly′′2 =

−0,24 x 0,8 y −1,4 < 0



0 8

Xét 8 L11

5 L21



5

L12 = 40 L12 + 40 L21 − 25 L11 − 64 L22 > 0 nên M ( 20;24 ) là cực đại của w

L22



(3) Hàm Lagrange: L =

Điều kiện cần:



1 1 1 

1 1

+ +λ − 2 − 2 

x y

y 

9 x



37

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019





 Lx′





 Ly′





 Lλ′





Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết





3

  x= y=

2

1 2λ

 

0

x y

=

− 2+ 3 =





3



x

x

λ= 2= 2

§iĨm dõng M1 

λ=







2 2

1 2λ



0 ⇔ y =

x

=

− 2+ 3 =

⇔





y

y

−3



2 1

x

y

=

=

§iĨm dõng M 2 







=

1 1 1

2

2



 

= − 2 − 2 =0

9

x



y

9 x

−3

 λ =

2 2





3

2



;



3 

3

 víi λ =

2

2 2



−3 −3 

−3

;

 víi λ =

2 2

2 2



Điều kiện đủ:



−2

−2

−2 x − 6λ

−2 y − 6λ



′′ 0; L=

′′

;=

; L=

; L=

g2

L=

L=

L=

L=

11

12

21

22

xy

3

3

4

x2

y2

x

y

x

y4

0 g1 g2

x + 3λ 2

y + 3λ 2

2

D=

g1 L11 0 =

g2 + 2

g1

−g22 L11 − g12 L22 =

4

x

y4

g2 0 L22



g1

=



3

 3 3 

;

λ

=

> 0 ta có D > 0 nên M1 là cực đại của z

 với

2 2

 2 2

−3

 −3 −3 

Tại M2  ;  với

=

> 0 ta có D < 0 nên M1 là cực tiểu của z

λ

2 2

 2 2



Tại M1 



3.4. ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH KINH TẾ

HÀM SẢN XUẤT

(1) Q f =

=

(K ;L ) 83 K



L

1

3



1

2



5

6



tK tL t .t 8.

=

K L t f ( K ; L ) < t .f ( K ; L )

a. Với t > 1 ta có: f=

(tK ;tL ) 8=

Doanh nghiệp có hiệu suất giảm theo quy mơ.

3



3



∂Q

∂K



8 L



8.4

3.4



8

3



b. Sản phẩm hiện vật cận biên theo tư bản là: MPPK =

cho

=

⇒ MPPK (16;8 ) =

=

3

2

3 K



biết tại mức sử dụng đầu vào =

K 8;=

L 16 nếu giữ nguyên L và tăng sử dụng K thêm 1 đơn vị

8

đơn vị sản lượng.

3

∂Q 4 3 K

4.2

=

⇒ MPPL (16;8 ) =

=

2 cho

Sản phẩm hiện vật cận biên theo lao động là: MPPL =

∂L

4

L

biết tại mức sử dụng đầu vào =

K 8;=

L 16 nếu giữ nguyên K và tăng sử dụng L thêm 1 đơn vị



tư bản thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ



lao động thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ 2 đơn vị sản lượng.

2



1



(2) Q = 75K 3 L 3

∂Q

∂K



−1



1



125

2



a. Sản phẩm hiện vật cận biên theo tư bản là: MPPK =

cho

=

50K 3 L 3 ⇒ MPPK ( 64;125) =

biết tại mức sử dụng đầu vào=

K 64;

=

L 125 nếu giữ nguyên L và tăng sử dụng K thêm 1 đơn

125

đơn vị sản lượng.

2

1

2



∂Q

Sản phẩm hiện vật cận biên theo lao động là: MPPL =

=

25K 3 L 3 ⇒ MPPL ( 64;125) =

16 cho

∂L

biết tại mức sử dụng đầu vào=

K 64;

=

L 125 nếu giữ nguyên K và tăng sử dụng L thêm 1 đơn



vị tư bản thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ



vị tư bản thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ 16 đơn vị sản lượng.

38



Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



b. Mức sản lượng tăng thêm khi tiêu tốn 1$ để thuê thêm

1 đơn vị tư bản là:



MPPK

=

wK



1 đơn vị lao động là:

Do



125

2 125

=

16

32



MPPL 16

=

wL

7



MPPK 125 MPPL 16

= >

= nên doanh nghiệp sẽ thuê thêm 1 đơn vị vốn để thu được hiệu quả

wK

wL

32

7



cao hơn.



CỰC TRỊ TỰ DO

(1) Hàm tổng doanh thu: TR = p1Q1 + p 2Q 2 =65Q1 + 45Q 2

Hàm lợi nhuận: π =TR −TC = 65Q1 + 45Q 2 − 7Q12 − 5Q1Q 2 − 2Q 22

Điều kiện cần

35



Q1 =





 35 305 

1

31

⇔

⇒ điểm dừng M  ;





 31 31 

π Q′ 2 =45 − 5Q1 − 4Q 2 =0

Q = 305

2

31



π Q′ =65 − 14Q1 − 5Q 2 =0



Điều kiện đủ

2

a11 =π Q′′ 2 =−14 < 0;a22 =π Q′′ 2 =−4; a12 =a21 =π Q′′1Q2 =−5; D =a11a22 − a12a21 =( −14 )( −4 ) − ( −5) =31 > 0

1



2



Nên M là cực đại của π .



35

305

=

;Q 2

31

31

p

=

70



2

Q

;

p

=

40



Q

(2) Từ 2 đường cầu ta có: 1

1

2

2

=

Q1

Vậy, kết hợp sản lượng cần tìm là:



Hàm tổng doanh thu: TR = p1Q1 + p 2Q 2 = ( 70 − 2Q1 )Q1 + ( 40 − Q 2 )Q 2 = 70Q1 + 40Q 2 − 2Q12 − Q 22

Hàm lợi nhuận: π =TR −TC = 70Q1 + 40Q 2 − 3Q12 − 2Q 22 − 2Q1Q 2 − 40

Điều kiện cần

Q1 = 10

π Q′ =70 − 6Q1 − 2Q 2 =0

⇔

⇒ điểm dừng M (10;5)





40

4

2

0

5

Q

Q

Q

π

=





=

=

2

1

2

Q





1



2



Điều kiện đủ

2

a11 =π Q′′ 2 =−6 < 0;a22 =π Q′′ 2 =−4; a12 =a21 =π Q′′1Q2 =−2; D =a11a22 − a12a21 =( −6 )( −4 ) − ( −2 ) =20 > 0

1



2



Nên M là cực đại của π .

Thay lại đường cầu ta có các mức giá cho lợi nhuận cực đại là:=

=

p 2 35)

( p1 50;

Hệ số co dãn của cầu sản phẩm 1 theo giá của nó là: ε Qp = Q1′ ( p1 )

1



1



p1

p1

= −0,5

Q1

35 − 0,5 p1



25

1

10

1 giảm khoảng ( 3.2,5) = 7,5%



50 ⇒ ε Qp =

− =

−2,5 cho biết tại đây nếu giá sản phẩm 1 tăng 3% thì lượng cầu sản phẩm

Tại p1 =

1



(3) Hàm tổng doanh thu: TR = 20Q1 + 28Q 2 + 26Q 3

3

2



Hàm lợi nhuận: π = TR −TC = 20Q1 + 28Q 2 + 26Q 3 − Q12 − 2Q 22 − Q 32 − Q1Q 3 − 2Q 2Q 3

Điều kiện cần để lợi nhuận cực đại:



39

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



π Q′ =2 − 3Q1 − Q 3 =0

Q1 = 4

 1



28 − 4Q 2 − 2Q 3 =

0

3 ⇒ điểm dừng M ( 4;3;8 )

⇔ Q 2 =

π Q′ 2 =



Q = 8

 3

π Q′ 3 = 26 − 2Q 3 − Q1 − 2Q 2 = 0



Điều kiện đủ:

−3;π Q′′ =

−4;π Q′′ =

−2;π Q′′ Q =

−1;π Q′′ Q =

−2

π Q′′ =

π Q′′ Q =

0;π Q′′ Q =

π Q′′ Q =

π Q′′ Q =

2

1



2

2



2

3



 −3 0

Ma trận H=  0 −4

 −1 −2



−3

D1 =−3 < 0; D 2 =

0



1 2



2 1



1 3



3 1



2



3



3 2



−1 



−2  có các định thức con chính:

−2 



0

=12 > 0; D 3 =H =( −24 + 0 + 0 ) − ( −4 − 12 + 0 ) =−8 < 0

−4



Nên M là cực đại của π , do đó: =

Q 2 3;=

Q 3 8 ) là kết hợp sản lượng cần tìm.

(Q1 4;=

(4) Hàm tổng doanh thu: TR = ( 24 − 0,3Q1 )Q1 + (18 − 0,15Q 2 )Q 2 = 24Q1 + 18Q 2 − 0,3Q12 − 0,15Q 22

Hàm lợi nhuận: =

π (Q1 ;Q 2 ) TR (Q1 ;Q 2 ) −TC (Q1 ;Q 2 )

Điều kiện cần để lợi nhuận cực đại:

715



π Q′ 1 = ( 24 − 0,6Q1 ) − ( 3,5 + 0,1Q1 + 0,1Q 2 ) = 0

21,5

0,7Q1 + 0,1Q 2 =

Q1 =

27

⇔

⇔



14,5 Q = 800

0,1Q1 + 0, 4Q 2 =

π Q′ 2 =(18 − 0,3Q 2 ) − ( 3,5 + 0,1Q1 + 0,1Q 2 ) =0

 2

27



Điều kiện đủ để lợi nhuận cực đại:

a11 =π Q′′ =−0,7 < 0;a22 =π Q′′ =−0, 4;π Q′′ Q =π Q′′ Q =−0,1 ⇒ D =a11a22 − a12a21 =( −0,7 )( −0, 4 ) − ( −0,1)( −0,1) =0,2



(



2

1



2

2



)



1 2



2 1



Nên Q1 715

là cực đại của lợi nhuận. Thay kết hợp sản lượng này vào ddwogf cầu

=

=

;Q 800

27 2

27

tương ứng, ta có kết hợp mức giá phải tìm là:=

p 2 ... )

( p1 ...;=

CỰC TRỊ ĐIỀU KIỆN

3000

(1) Cần tìm ( x ; y ) sao cho tối đa U trong điều kiện 10x + 3y =



Hàm Lagrange:

=

L 10x 0,6 y 0,4 + λ ( 3000 − 10x − 3 y )

Điều kiện cần:



3 y 0,4 4x 0,6



λ

=

=



0,4

0,6

x = 180

=

L x′ 6x −0,4 y 0,4 − 10

λ 0

=

®iĨm dõng M (180;400 )

5

x

3

y







0,6 −0,6

0,4

− 3λ = 0 ⇔ 20x = 9 y

⇔  y = 400



L y′ = 4x y

3.4000,4 3  20 

víi λ =

=

 ′

10x + 3 y =



0,4

3000

5.1800,4 5  9 

L λ = 3000 − 10x − 3 y = 0



λ = 3.4000,4

5.180







Điều kiện đủ:



g1 =

10; g 2 =

3; L11 =

L x′′2 =

−2, 4x −1,4 y 0,4 < 0; L 22 =

L y′′2 =

−2, 4x 0,6 y −1,6 < 0; L12 =

L 21 =

L xy′′ =

2, 4x −0,4 y −0,6 > 0

1



0 10

10 L11

3 L 21



3

L12 =

L 22



( 0 + 30L12 + 30L 21 ) − ( 9L11 + 0 + 100L 22 ) =



30 ( L12 + L 21 ) − 9L11 − 100L 22 > 0



Nên điểm dừng M là cực đại của U, do đó

=

=

y 400 ) là cơ cấu tiêu dùng cần tìm.

( x 180;

Ý hỏi phụ

Khi lượng tiền cho cho dùng tăng 1$ (1 đơn vị của tiền cho tiêu dùng)



40

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



Theo ý nghĩa của nhân tử Lagrange thì tại điểm tối ưu khi lượng tiền cho tiêu dùng tăng 1$, lợi

3  20 

ích cực đại sẽ tăng tương ứng 1 lượng xấp xỉ bằng λ =  

5 9 



0,4



đơn vị lợi ích.



Khi lượng tiền cho tiêu dùng tăng 1%:

Hệ số co dãn của lợi ích cực đại (U 0 ) theo lượng tiền cho tiêu dùng ( m ) là:

m

m



ε Um o U=

λ0 .

=

0 (m )

U0

U0

0,4



3  400 

3 4000,4

3000

U0

0,6

0,4

Tại m= 3000 ⇒ λ0= 

=



=

= 1

U

ε

;

10.180

.400

.

m

0



0,4

5  180 

5 180 10.1800,6.4000,4

Giá trị này cho biết tại m = 3000 , nếu lượng tiền cho tiêu dùng tăng 1% thì lợi ích cực đại sẽ



tăng thêm khoảng 1%.



2



1



(2) Cần tìm ( x ; y ) để tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng C= 8x + 4 y trong ràng buộc

=

U 20

=

x 3 y 3 400

2 1





Hàm Lagrange: L = 8x + 4 y + λ  400 − 20x 3 y 3 







Điều kiện cần:



1

2



3

3

3

3

x

y



2 − 13 13

λ =

=



=



=

8

0

L

x

y

λ

1

2

 x



3

3

3



5

5

y

x



®iĨm dõng M ( 20;20 )

x= y= 20

2

2





20 3 3





⇔



4

0 ⇔ y =

x

λx y =

L y′ =−

3

3

3

víi λ =



 2 1

λ = 5

5

2 1



x 3 y 3 = 20

3 3



=



=

400

20

0

L

x

y

 λ











Điều kiện đủ:



40 − 13 13

20 13 − 13

40 − 43 13

20 23 − 35

40 − 1 − 2

x y ;g 2 =

x y ; L11 = L x′′2 =

λ x y ; L 22 =

λ x y ; L12 = L 21 = L xy′′ = − λ x 3 y 3

3

3

3

3

3

Xét tại M thì g 1 > 0; g 2 > 0; L11 > 0; L 22 > 0; L12 =L 21 < 0 :

g1 =

0

g1

g2



g1

L11

L 21



g2

L12 =

L 22



( 0 + g 1g 2 L12 + g 2 g 1L 21 ) − ( g 22 L11 + 0 + g 12 L 22 ) =



g 1g 2 ( L12 + L 21 ) − g 22 L11 + g 12 L 22 < 0



Nên M là cực tiểu của chi phí C và do đó túi hàng cần tìm là=

=

y 20 )

( x 20;

=

=

K 0,7 L0,4 4000

C 16 K + 14 L trong ràng

(3) Cần tìm ( K ; L ) để tối thiểu chi phí sản xuất=

buộc Q 120



Hàm Lagrange: l = 16 K + 14 L + λ ( 4000 − 120 K 0,7 L0,4 )



Điều kiện cần

10

4



11  49 11

100







4K

7L

 K =

=

K0

=

=

  

λ 21

0,4

0,7



−0,3 0,4

3

32









L

24

K

lK′ =

16 − 84λ K L =

0







32

32





0,7 −0,6



⇔  L = K 0 =L0



lL =14 − 48λ K L =0 ⇔  L = K

49

49

′





0,7 0,4

4000 120 K L =

0

lλ =−

 0,7 0,4 100



4 K 00,3

K

L

=

=

=

λ

λ0





0,4

3

L



0



0,3



0,6



®iĨm dõng M ( K 0 ;L 0 )

víi λ =λ0



Điều kiện đủ

41

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

chương 3: hàm nhiều biến: đạo hàm_vi phân_cực trị_PT kinh tế

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×