Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
chương 2: đạo hàm - vi phân – PT kinh tế

chương 2: đạo hàm - vi phân – PT kinh tế

Tải bản đầy đủ - 0trang

Spring 2019



lim−



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



y ( x ) − y (1)



(1 − x ) sin 2 ( x 2 + 1) − 0



(



)



=

− sin 2 2

lim  − sin 2 x 2 + 1  =

x →1− 



x −1

( x − 1) sin 2 x 2 + 1 − 0

y ( x ) − y (1)

= lim+

= lim+ sin 2 =

x 2 + 1 sin 2 2

lim

x →1+

x →1

x →1

x −1

x −1

y ( x ) − y (1)

y ( x ) − y (1)

1

≠ lim+

Do lim

nên y không có đạo hàm liên tục tại x =

x →1

x →1

x −1

x −1

sin 2 x 2 + 1 + 2 x ( x − 1) sin 2 x 2 + 2 ; x > 1



Vậy ta có: y′ = 

và không tồn tại y′ (1)

2

2

2

sin

1

2

1

sin

2

2

;

1

x

x

x

x

x



+

+



+

<

(

)



( x − 4 ) ln 3 5 x 2 + 9 ; x ≥ 4



c. Ta có: f ( x ) = 

3

2

( 4 − x ) ln 5 x + 9 ; x < 4

30 x ( x − 4 ) 2

′ ( x ) ln 3 ( 5 x 2 + 9 ) +

Xét khi x > 4 ⇒ f=

ln ( 5 x 2 + 9 )

5x 2 + 9

30 x ( 4 − x ) 2

Xét khi x < 4 ⇒ f ′ ( x ) =− ln 3 ( 5 x 2 + 9 ) +

ln ( 5 x 2 + 9 )

2

5x + 9

Xét tại x = 4 ta có:

( 4 − x ) ln3 5x 2 + 9 − 0

f ( x ) − f (4)

=

=

− ln 3 89

lim

lim

lim  − ln 3 5 x 2 + 9  =

x →4−

x →4−

x →4− 

x−4

x−4

x →1



x −1



=

lim−

x →1



(



(



)



)



(



(



)



)



(



(

(



)



(



)



)

)



(



)



(



)



(



)



( x − 4 ) ln3 5x 2 + 9 − 0

f ( x ) − f (4)

= lim+

= lim+  ln 3 5=

lim

x 2 + 9  ln 3 89





x →4+

x

4

x

4

x−4

x−4

f ( x ) − f (4)

f ( x ) f (4)

lim+

Do lim

nên f ( x ) không có đạo hàm liên tục tại x = 4

x 4

x →4

x−4

x−4

 3

30 x ( x − 4 ) 2

2

ln ( 5 x 2 + 9 ) ; x > 4

ln ( 5 x + 9 ) +

2



5x + 9

Vậy ta có: f ′ ( x ) = 

và khơng tồn tại f ′ ( 4 )



x

x

30

4

(

)

− ln 3 5 x 2 + 9 +

(

) 5x 2 + 9 ln2 ( 5x 2 + 9 ) ; x < 4





(



)



1

1 ′ 5 4

1

5 ′

5 

+ 4 ( x + 1)  cos

=

+

x + 1 cos

d. Xét x ≠ −1 thì: y′ =  4 ( x + 1)  cos



x +1

x +1 4

x +1









1

4



( x + 1)



Xét x = −1 ta có:



lim



x →−1



y ( x ) − y ( −1)

x − ( −1)



V× cos



4



=

lim



x →−1



( x + 1)



1

−0

1

x +1

=

=

lim 4 x + 1 cos

0

x →−1

x +1

x +1



5



cos



1

≤ 1 vµ lim 4 x + 1 =

0 ( theo định lý kẹp )

x →−1

x +1



y ( x ) − y ( −1)

=

⇒ y′ ( −1) lim= 0

x →−1

x − ( −1)

1

1

1

5 4

sin

; x ≠ −1

 4 x + 1 cos x + 1 + 4

3

x

+

1

Vậy y ′ = 

x

+

1

( )



0

; x = −1



e. Xét x ≠ 2 thì:



19

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



3



sin



1

x +1



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



1

1

6 ′

6 

+ 5 ( x − 2 )  arctan

y ′ =  5 ( x − 2 )  arctan

2−x

2−x









6

5

(x − 2)

1

′ 6 5

 = 5 x − 2 arctan 2 − x +

2



1 + (2 − x )



Xét tại x = 2 ta có:



1

−0

π

1



x

2

=

=

=

lim−

lim−

lim− 5 x − 2 arctan

0. =

0

x →2

x →2

x →2

x −2

x −2

2−x

2

6

1

5

−0

( x − 2 ) arctan

y (x ) − y (2)

1

 π

2−x

= lim+

= lim+ 5 x − 2 arctan

= 0.  −  = 0

lim+

x →2

x →2

x →2

x −2

x −2

2−x

 2

y (x ) − y (2)

y (x ) − y (2)

=

=

Do lim−

lim+

0 ⇒ y ′(2) =

0

x →2

x →2

x −2

x −2

(Sở dĩ xét giới hạn trái, phải là do khi thay cận vào biểu thức ta được arctan ( ∞ ) , mà lại có

y (x ) − y (2)



arctan ( ±∞ ) = ±



5



π



(x − 2)



6



arctan



là khác nhau, nên phải xác định rõ là −∞ hay +∞ => xét giới hạn trái phải)



2



6



5

x − 2)

 6 5 x − 2 arctan 1 + (

;x ≠2

Vậy y ′ =  5

2 − x 1 + ( 2 − x )2



0

;x =2



2

1

1

1

sin

cos

=

+

f. Xét khi

x ≠ 3 thì: y ′

3

4

3 − x 3 ( x − 3)

3−x

3 x −3

2

1

3

−0

( x − 3) sin

y ( x ) − y ( 3)

1

1

3−x

Xét tại x =

không tồn tại.

lim

lim 3

sin

=

=

3 thì: lim

x →3

x →3

x →3

3−x

x −3

x −3

x −3

1

2

và x 2 k = 3 +

cùng tiến tới 3 khi k → +∞ , ta có:

Thật vậy, chọn 2 dãy điểm x 1k = 3 +





1

1

lim

sin

= lim 3 k π sin ( − k π )= lim 0= 0

x 1 k →3 3

k →+∞

k →+∞

3



x

x 1k − 3

1k



lim



1



x 2 k →3 3



x 2k − 3



Do lim



x 1 k →3 3



sin



1

x 1k − 3



1

π

π

 π



= lim 3 + k 2π sin  − − k 2π  = lim ( −1) 3 + k 2π = −∞

3 − x 2 k k →+∞ 2

2

 2

 k →+∞

sin



1

1

1

1

1

sin

sin

≠ lim

⇒ ∃ lim 3

x

x





3

3

3

2k

3 − x 1k

3 − x 2k

3−x

x 2k − 3

x −3



⇒ Kh«ng tån t¹i y ′ ( 3)



=

Vậy với

x ≠ 3 thì y ′



2

3 x −3

3



sin



1

+

3−x



1

3



( x − 3)



4



cos



1

3−x



2.1.2. Xét sự tồn tại đạo hàm tại điểm

a. Ta có:

x

x

x

x ) lim−

x ) lim+

lim− f=

1 1

= lim− = 1; lim+ f=

= lim

=

(

(

x →1

x →1 (1 − x ) + 1

x →1 2 − x

x →1

x →1 ( x − 1) + 1

x →1+



Do lim− f ( x ) =

lim+ f ( x ) f ( x ) liên tục tại x =

1

x 1



x 1



Mặt khác:

x

1

f ( x ) f (1)

1 x) +1

(

2

lim−

= lim−

= lim

=

2



x →1

x →1

x →1 2 − x

x −1

x −1

20

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



x

−1

f ( x ) − f (1)

x − 1) + 1

(

0

lim+

0 0

= lim+

= lim+ = lim

=

x →1

x →1

x →1 x − 1

x →1+

x −1

x −1

f ( x ) − f (1)

f ( x ) − f (1)

f ( x ) − f (1)

Do lim−

hay không tồn tại f (1)

lim+

không tồn tại lim

x →1

x →1

x →1

x −1

x −1

x −1

b. Ta có:



lim y = lim 3 ( x − 1) arctan ( x 1) =0 =f (1) y liên tục tại x =1

2



x 1



x 1



Mặt khác ta có:

y ( x ) − y (1)

lim= lim

x →1

x →1

x −1



⇒ Tån t¹i f ′ (1=

) lim

x →1



c. Ta có:



3



( x − 1)



1



2



arctan ( x − 1) − 0

3 3 ( x − 1)

arctan ( x − 1) ( L )

1 + ( x − 1)

= lim=

= lim

=

lim

0

2

3

x →1

x →1

x →1

1

x −1

x −1

1 + (x − 2)

2

3 3 ( x − 1)

2



2



y ( x ) − y (1)

= 0

x −1



π



f (0) =



2



3 π

lim f ( x ) lim

arctan

=

=

x →0

x →0

x

2

Do lim f =

(x ) f=

(0)



π



x →0



2



π



arctan ( +∞ )

=

2 





nªn f ( x ) liên tục tại

x 0

=



Mặt khác ta có:

lim+



f (x ) f (0)

x −0



x →0



= lim+

x →0



3 π

− (L )

x 2 = lim

x →0 +

x



arctan



−3

9 



x 2 1 + 2 

 x 



= lim+

x →0



1

−3

= −

2

9+x

3



3 π

− (L )

arctan

3

3

1

−x 2 lim =

lim−

lim

= lim−

=

=

2





x →0







x

x

x

0

0

0

9 

x −0

9+x

3

x



x 2 1 + 2 

 x 

f ( x ) − f (0)

f ( x ) − f (0)

f ( x ) − f (0)

Do lim

lim+

không tồn tại lim

không tồn tại f ′ ( 0 )

x →0

x →0

x →0

x −0

x −0

x −0

f (x ) − f (0)



2.1.3. Bài toán hàm ngược

a. MXĐ: D = 

2

f ( x ) có hàm ngược

f ′ ( x )= 3x 2 − 6x + 6= 3 ( x − 1) + 3 > 0 nên f ( x ) đơn điệu tăng trên  ⇒ y =



y = f −1 ( x )

Đặt

f −1 ( 2 ) =t ⇔ 2 = f (t ) ⇔ 2 =t 3 − 3t 2 + 6t − 2 ⇔ t 3 − 3t 2 + 6t − 4 = 0 ⇔



(



)



(



)



⇔ (t − 1) t 2 − 2t + 4 =0 ⇔ t − 1 =0 Do t 2 − 2t + 4 =(t − 1) + 3 > 0 ⇔ t =1

Vậy, f



−1



2



(2) = 1



b. MXĐ: D = 

y ′ = 2 + sin x > 0∀x ∈ f ( x ) đơn điệu tăng trên  ⇒ y = f ( x ) cã hµm ng­ỵc y = f



−1



(x )



21

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Ta đặt f



−1



(π ) = t



(π ) =



−1



Vậy f



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



⇔ π = f (t ) ⇔ 2t − cos t = π ⇔ t =



π



π



2



là giá trị duy nhất thỏa mãn.



2

c. MXĐ: D

= ( 0; +∞ )

1

> 0 ∀x > 0 f ( x ) đơn điệu tăng y = f ( x ) có hàm ngược y = f

x

Đặt f −1 ( 2 ) = t ⇔ 2 = f (t ) ⇔ 2t 2 + ln t = 2 ⇔ t = 1 là giá trị duy nhất thỏa mãn.

y ′ = 4x +



(x )



(2) = 1.



−1



Vậy f



−1



d. MXĐ: D = 

f ′ ( x ) =−2 − 3x 2 < 0 ∀x ∈  ⇒ f ( x ) đơn điệu trên y =f ( x ) có hàm ngược y = f



( f )′ ( 4 ) = lim

−1



f



−1



(x )



(x ) − f (4)



−1



−1



(*)

x −4

f −1 ( 4 ) = a ⇔ 4 = f (a ) ⇔ 1 − 2a − a3 = 4 ⇔ a3 + 2a + 3 = 0 ⇔ (a + 1) a 2 − a + 3 = 0 ⇔ a + 1 = 0 ⇔ a = −1

x →4



Đặt t = f



−1



(x ) ⇔ x



( f )′ ( 4 ) = lim

−1



t →−1



Vậy, ( f

e.



−1



(



)



= f (t ) = 1 − 2t − t ; x → 4 ⇒ t → −1 , thay vào (*) ta được:

3



t − ( −1)



(1 − 2t − t ) − 4

3



t + 1 (L )

1

1

= lim

= −

3

2

t →−1 3 − 2t − t

t →−1 −2 − 3t

5



= lim



)′ ( 4 ) = − 15



MXĐ: D = 

π

π

π

π







+ k 2π ( k ∈  )

y ′ =3 + 3sin  x +  ≥ 0 vµ y ′ =0 ⇔ sin  x +  =−1 ⇔ x + =− + k 2π ⇔ x =−

6

6

6

2

3





hay y ′ = 0 tại các giá trị rời rạc ⇒ y đơn điệu tăng ⇒ y =

f ( x ) có hàm ngược y = f −1 ( x )

′ π = lim f

( )



(f )

−1



x →π



−1



Ta có: f

Đặt f



−1



−1



( x ) − f −1 (π )

x −π



(*)



(π ) = a ⇔ π = f (a ) ⇔ 3a − 3cos  x +





(x ) = t ⇔ x



π



π



= π ⇔ a = duy nhất thỏa mãn

6 

3



π

 π

= f (t ) = 3t − 3cos  t +  ; x → π ⇒ t → , thay vào (*) ta được:

6

3



π



t−

(L )

1

1

3

f −1 ′ (π ) lim =

lim

=

=

π

π

 π

 π 6

t→

3 3t − 3cos t +

− π t → 3 3 + 3sin  t + 





6

6







( )



( )′ (π ) = 61



Vậy f



−1



f. MXĐ: D = 

2

y =′ 3x 2 − 6x + 3= 3 ( x − 1) ≥ 0 và y ′ =0 ⇔ x =1 nên y đơn điệu tăng => nó có hàm ngược y = f

Ta có:

3

f −1 ( 2 ) =k ⇔ 2 =f ( k ) ⇔ k 3 − 3k 2 + 3k + 1 =2 ⇔ k 3 − 3k 2 + 3k − 1 =0 ⇔ ( k − 1) =0 ⇔ k =1

Vậy f



−1



(2) = 1



2.1.4. Tìm khoảng tăng giảm, cực trị (điểm cực trị) hàm số

(1) MXĐ: D = 



22

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



−1



(x )



Spring 2019



y=′



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



−2x . 3 ( 5 + x )

3



( 2 − 3x )

2



2



2



(



)



2

2 3 2 − 3x 2 −6x ( 5 + x ) + 2 2 − 3x

4 − 30x − 12x 2

+ 3

=

=

2

3 5+ x

3 3 5 + x 3 2 − 3x 2

3 3 5 + x 3 2 − 3x 2



(



)



(





−15 − 273

x =

6

y ′ = 0 ⇔ 4 − 30x − 12x 2 = 0 ⇔ 2 − 15x − 6x 2 = 0 ⇔ 



−15 + 273

x =

6



2

−15 ± 273

;x =

Ta có các điểm tới hạn: x = −5 ; x = ±

3

6

Ta có bảng dấu

2

−15 − 273

−15 + 273

−∞



−5

x

3

6

6

+

+

+

0

0



y′



)



2



2

3





 −15 − 273

 2



2

;−

; +∞ 

 và 



6

3

 3







−15 − 273 

giảm trên  −5;

 ;



6





−15 − 273

−15 + 273

Hàm số có 2 cực đại x C§1 =

,1 cực tiểu là x CT =

−5; x C§2 =

6

6

(2) MXĐ: D = 



Từ bảng ta thấy hàm số tăng trên



( −∞; −5) ; 



f ( x ) = −3e −3x ( 4x + 1) + 4e −3x = e −3x (1 − 12x ) ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ 1 − 12x = 0 ⇔ x = −1

12

Ta có bảng:

−1

−∞

+∞

x

12

0

+



f ′(x )



(



(



)



Từ bảng =>hàm số tăng trên −∞; −1

và giảm trên −1 ; +∞

12

12

Hàm số có 1 cực đại x C § = −1

12

(3) MXĐ: D= [1; +∞ )



(



)



)



f ′(x ) = e x − e x x −1 = e x 1 − x −1 ⇒ f ′(x ) = 0 ⇔ x −1 = 1 ⇔ x = 2

Ta có bảng:



x



f ′(x )



1

|



+



2

0







+∞



Từ bảng =>hàm số tăng trên ( −∞;2 ) và giảm trên ( 2;+∞ )

Hàm số có 1 cực đại x C § = 2

(4) MXĐ: D = 



23

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



+∞





Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



0

3

6 x − 2 =

2

 3x − 2 x



 3x 2 − 2 x

2

1 + 2t dt  ⇒ y ′ =0 ⇔ 

y ′ =4 ( 6x − 2 ) 1 + 2 3x − 2x  ∫

 1



1 + 2t 2 dt =

0





 ∫

 1

x = 1

3

x = 1



định lý giá trị trung bình



3





1





x =

2

 3x 2 − 2x − 1 1 + 2c 2 =



c là giá trị nào đó nằm giữa 1 và 3x 2x

0



x = 1 3



Ta có bảng:

−1

1

−∞

+∞

1

x

3

3

y′

+

+

0

0

0





Từ bảng =>hàm số tăng trên −1 ;1 và 1 ; +∞ , giảm trên −∞; −1 và 1; 1

3

2

3

3

1 ;c

1

Hàm số có 1 cực đại x C§ = 1 , 2 cực =

tiểu x CT 1 −=

3 CT 2

3

(5) MXĐ: D = 

x π  x2

1

x

2−x

x

π

x π



y′=

x  arctan −  +

− arctan +

+

+ −1 =

( x − 1)  arctan − 

2

2

2

2 4 2  x 

2

2 4

 x 

 x  4





2 1 + 

2 1 +  2 1 + 

4 

4 

4 









(



(



)



2



2



)



) (



(



)



) (



(



=

x − 1 0 =

x 1

x = 1

x

⇒ y ′ =0 ⇔ 



⇔

x

π

π

arctan =





0 =

tan

x = 2



2 4

2

4

Ta có bảng

−∞

1

x

y′

0

+





)



+∞



2



+



0



Từ bảng => y tăng trên khoảng ( −∞;1) và ( 2;+∞ ) ; giảm trên (1;2 )



Hàm số có 1 cực đại x C§ = 1 ; 1 cực tiểu x CT = 2

(6) MXĐ: D = 

7



y ′ = 8e



x −2 3



x −2

 x −2 t 3



3



2 ( x − 2 ) + 3  ∫ e 1 + t dt  ⇒ y = 0 ⇔ ∫ e t 3 2t 2 + 3dt = 0 ⇔ ( x − 2 − 0 ) e c 3 2c 2 + 3 = 0

0

0



( định lý giới hạn trung tâm, c là giá trị nào đó nằm giữa 0 vµ x − 2 )

2



⇔ x −2 = 0 ⇔ x = 2



Ta có bảng



x



y′



−∞



+∞



2





0



Từ bảng => y tăng trên khoảng ( 2;+∞ ) ; giảm trên ( −∞;2 )



+



Hàm số có 1 cực tiểu x CT = 2

(7) MXĐ: D = 



x = 2

2

2

2

2

3

3

− 3 1 + ( 3 − x ) + 3 2 ⇒ y ′ =⇔

y′=

0

1 + (3 − x ) =

2 ⇔ 1 + ( 3 − x ) =⇔

2

1 

( 3 − x ) =⇔

x = 4

Ta có bảng

x

−∞

+∞

2

4

y′

0

0

+





Từ bảng => y tăng trên ( 2;4 ) ; giảm trên ( −∞;2 ) và ( 4;+∞ )



Hàm số có 1 cực đại x C§ = 4 và 1 cực tiểu x CT = 2

24

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



(8) MXĐ: D =



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



[ −2;2]







x

x 2 −2

−2 2x .arccos −

y′=



2

x2

2 1−



4









2



x π



+ 4−x 2 − x



−2x  2ar cos + 

x =



3

2 3



4−x 2





x = 0

=

x 0=

x 0







⇒ y ′ =0 ⇔



π ⇔

3

2 arccos x + π =

arccos x =



0

x =





2 3

2

6



4

Ta có bảng

x

3

0

−2

4

y′

0

0

+







2











Từ bảng => y tăng trên  0; 3  ; giảm trên ( −2;0 ) và  3 ;2 

4

4









Hàm số có 1 cực đại x C§ = 3

2.1.5. Khai triển Tay-lor, Mac Laurin

(1) Khai triển cần viết có dạng: y =

y (0) +

y (0) = 1

y′ ( x ) = 2 e 2 x 3 x + 1 +

2 y′ +

y′′ ( x ) =



3e3 x

2 3x + 1



= 2y +



4



và 1 cực tiểu x CT = 0



y ′ (0)

1!



x+



y ′′ ( 0 )

2!



x2 +



y ′′′ ( 0 )

3!



( )



x 3 +o x 3



3y

3

7

⇒ y′ ( 0 ) = 2 y ( 0 ) + y ( 0 ) =

2 ( 3 x + 1)

2

2



3 y′ ( 3 x + 1) − 3 y

3 y′

9

3

9

31

y

=



⇒ y′′ ( 0 ) =

2 y′ +

2 y′ ( 0 ) + y′ ( 0 ) − y ( 0 ) =

2

2

2 ( 3 x + 1)

2 3 x + 1 2 ( 3 x + 1)

2

2

4



2 y′′ +

y′′′ ( x ) =



3 y′′

9 y′

9

y′

y





+ 27

2

2

3

2 ( 3 x + 1) 2 ( 3 x + 1) 2 ( 3 x + 1)

( 3x + 1)



3

47

y′′ ( 0 ) − 9 y′ ( 0 ) + 27 y ( 0 ) =

2

2

2

3

7x 31x

47x

Khai triển cần viết là: y =+

+

+

+ o (x 3 )

1

2

8

12

4

f ′ (0)

f ′′ ( 0 ) 2 f ′′′ ( 0 ) 3 f ( ) ( 0 )

f (0) +

x+

x +

x +

+o x 4

(2) Khai triển cần viết có dạng: f ( x ) =

1!

2!

3!

4!

f ( x ) = ( x + 1) ln ( x + 1) ⇒ f ( 0 ) = 1; y ′ ( x ) = ln ( x + 1) + 1 ⇒ y ′ ( 0 ) = 1

⇒ y′′′ ( 0 ) = 2 y′′ ( 0 ) +



( )



1

y ′′ ( x ) =⇒ y ′′ ( 0 ) =

1

x +1



1

2

4

4

; y ′′′ ( x ) =



⇒ y ′′′ ( 0 ) =

−1 ; y ( ) ( x ) = 3 ⇒ y ( ) ( 0 ) =

2

2

( x + 1)

( x + 1)



7x 31x 2 47x 3

Khai triển cần viết là: y =+

+

+

+o x 3

1

2

8

12

4

f ′ (0)

f ′′ ( 0 ) 2 f ′′′ ( 0 ) 3 f ( ) ( 0 )

f (0) +

x+

x +

x +

+o x 4

(3) Khai triển cần viết có dạng: f ( x ) =

1!

2!

3!

4!

f ( 0 ) = ln 6



( )



( )



2x − 5

1

1

5

−1

1

13

f ′( x ) =

=+

⇒ f ′ (0) =



; f ′′ ( x ) = 2 −

⇒ f ′′ ( 0 ) =



2

2

x − 5x + 6 x − 2 x − 3

6

36

( x − 2 ) ( x − 3)

25

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



2

2

35.2!

f ′′′ ( x ) = 3 +

⇒ f ′′′ ( 0 ) =



3

216

( x − 2 ) ( x − 3)



; f(



4)



−3!



3!



97.3!



4

⇒ f ( ) (0) =



(x) = 4 −

4

1296

( x − 2 ) ( x − 3)



5x 13x 2 56x 3 97x 4







+o x 4

6

32

648 5184

y ′ (0)

y ′′ ( 0 ) 2 y ′′′ ( 0 ) 3

(4) Khai triển cần viết có dạng: y =

y (0) +

x+

x +

x + o (x 3 )

1!

2!

3!

; y ′ ( x ) = 4e x + 4xe x + 2x ⇒ y ′ ( 0 ) = 4

y (0) = 3



( )



Khai triển cần viết là: f ( x ) = ln 6 −



y ′′ ( x ) = 4e x + 4e x + 4xe x + 2 = 8e x + 4xe x ⇒ y ′′ ( 0 ) = 10 ; y ′′′ ( x ) = 8e x + 4e x + 4xe x ⇒ y ′′′ ( 0 ) = 12



Vậy, khai triển cần viết là: y =3 + 4x + 5x 2 + 2x 3 + o ( x 3 )

(5) Trước hết ta khai triển Mac Laurin g (=

x)



3x + 1 đến cấp 4



1



g ( x ) = ( 3x + 1) 2 ⇒ g ( 0 ) = 1

1

5

3

3

9

9





g ′(x ) =

; g ′′ ( x ) =

− ( 3x + 1) 2 ⇒ g ′′ ( 0 ) =



( 3x + 1) 2 ⇒ g ′ ( 0 ) =

2

2

4

4

7

9

135

135

945

945





4

g ′′′ ( x ) = ( 3x + 1) 2 ⇒ g ′′′ ( 0 ) = ; g ( ) ( x ) =





( 3x + 1) 2 ⇒ g ( 4) ( 0 ) =

8

8

16

16

2

3

4

3x 9x

45x

315x

1

⇒ g ( x ) =+



+



+ o x 4 (*)

2

8

16

128

3x 2 9x 3 45x 4 315x 5

Nhân cả 2 vế của (*) với x ta được khai triển cần viết: y =+

x



+



+ o (x 5 )

2

8

14

128

f ′ (1)

f ′′ ( −1)

f ′′′ ( − )

2

3

3

(6) Khai triển cần viết có dạng: f ( x ) = f ( −1) +

( x + 1) + o ( x + 1) 

( x + 1) +

( x + 1) +

1!

2!

3!

−7

3x − 1

10

7

10

9

=

+

⇒ f ( −1) =

−2 ; f ′ ( x ) =



⇒ f ′ ( −1) =

f (x ) = 2

2

2

x + 5x + 6 x + 2 x + 3

2

( x + 2 ) ( x + 3)



( )



−14

20

23

+

⇒ f ′′ ( −1) =



f ′′ ( x ) =

3

3

2

( x + 2 ) ( x + 3)



42

60

153



⇒ f ′′′ ( −1) =

; f ′′′ ( x ) =

4

4

4

( x + 2 ) ( x + 3)



9

23

153

2

3

3

( x + 1) − ( x + 1) + ( x + 1) + o ( x + 1) 

2

2

4

(7) Trước hết ta khai triển Taylor bậc 2 hàm số

=

g ( x ) arcsin ( x + 1) tại x = −1 .

Vậy, khai triển cần viết là: f ( x ) =−2 +



−1) arcsin

=

g (=

0 0 ; g ′=

(x )



1

1 − ( x + 1)



2



⇒ g ′ (=

−1) 1 ; g ′′=

(x )



x +1

1 − ( x + 1) 





2



3



⇒ g ′′ (=

−1) 0



2

3

4

5

⇒ g (x ) =

( x + 1) + o ( x + 1)  ⇒ y =

( x + 1) g ( x ) =

( x + 1) + o ( x + 1) 

4

5

Vậy, khai triển cần viết là: y = ( x + 1) + o ( x + 1) 





(8) Trước hết ta khai triển Taylor bậc 2 hàm số

=

g ( x ) arctan ( x − 1) tại x = 1



2 ( x − 1)

1

⇒ g ′ (1) =



⇒ g ′′ (1) =

g (1) =

arctan 0 =

0; g ′ ( x ) =

1 ; g ′′ ( x ) =

0

2

2

1 + ( x − 1)

1 + ( x − 1)2 





2

3

4

5

⇒ g (x ) =

( x − 1) + o ( x − 1)  ⇒ y =

( x − 1) g ( x ) =

( x − 1) + o ( x − 1) 

4

5

Vậy, khai triển cần viết là: y = ( x − 1) + o ( x − 1) 





y ′ (0)

y ′′ ( 0 ) 2

(9) Khai triển cần viết có dạng y =

y (0) +

x+

x + o (x 2 )

1!

2!

26

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



y (0) =



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



1

26



2x + 15) e −6 x

(

−6e −6 x

+

y ′ =2

x + 15x + 26 x 2 + 15x + 26



(



−6 y ′ +

y ′′ =



)



2



=

−6 y +



2x + 15

15

141

−6 y ( 0 ) +

− 2

y ⇒ y ′ (0) =

y (0) =

x + 15x + 26

26

26

2



2



2x + 15

2

 2x + 15  



+



y

 2

 2

 y

x 2 + 15x + 26

 x + 15x + 26  x + 15x + 26  



⇒ y ′′ ( 0 ) =

−6 y ′ ( 0 ) +



 2 152

15

y ′ (0) +  − 2

26

 26 26





1412 173 19708

− 3 =3

=

y

0

 ( )

3

26

26

26



2



1 141  x 

x 

Vậy, khai triển cần viết là: y =



+ 379   + o x 2





26 26  26 

 26 

4

y ′ (0)

y ′′ ( 0 ) 2 y ′′′ ( 0 ) 3 y ( ) ( 0 ) 4

(10) Khai triển cần viết có dạng: y =

y (0) +

x+

x +

x +

x + o (x 4 )

1!

2!

3!

4!

0



( )



y ( 0 ) =∫ e sin x dx =0



;



y ′ =e sin x ⇒ y ′ ( 0 ) =1



y ′′ =

cos xe sin x ⇒ y ′′ ( 0 ) =

1



;



y ′′′ =

− sin xe sin x + cos2 x .e sin x ⇒ y ′′′ ( 0 ) =

0 +1



0



y( ) =

− cos xe sin x − sin x cos x .e sin x − 2 sin x cos xe sin x + cos3 xe sin x ⇒ y (

4



Vậy, khải triển cần viết là: y =x +



2



3



4)



0

(0) =



x

x

+

+o x 4

2

6



( )



2.1.6. Ứng dụng phân tích kinh tế



dQ D p

p

−2 p

−2

=

. D =

(1) Hệ số co giãn của cầu theo giá là: ε pD =

dp Q

100 − 2 p 100 − 2 p

20

− =

−0,25 cho biết: tại mức giá p = 10 , nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm xấp

Tại p = 10 ta có: ε pD =

80

xỉ 0,25%.

(2) Giá cân bằng xác định bởi:

 p= 4 > 0

2

2

Qd =Q s ⇔ 54 − 3 p =2 p + 10 ⇔ 2 p + 3 p − 44 =0 ⇔ 

⇒ p =4

11

p =

− < 0 ( lo¹i )

2



dQd p

p

−3 p

.

=

−3

=

Hệ số co dãn của cầu theo giá: ε pD =

dp Qd

54 − 3 p 54 − 3 p

2

2

Tại p = 4 ta có: ε pD = − cho biết: tại mức giá này, nếu tăng giá 1% thì lượng cầu giảm khoảng % .

7

7

2

dQ s p

p

2p

Hệ số co dãn của cung theo giá:

2p =

=

ε Sp =

2

dp Q s

2 p + 10 2 p 2 + 10

4

4

Tại p = 4 ta có: ε Sp = cho biết: tại mức giá này, nếu giá tăng 1% thì lượn cung tăng khoảng % .

9

9

TR (Q )

1

(3) Hàm cầu ngược về sản phẩm này: =

=

= 200 − Q

P D −1 (Q

)

Q

6

Q D=

⇒ hàm cầu=

( p ) 1200 − 6 p



dQd p

p

−6 p

.

=

−6

=

Hệ số co dãn của cầu theo giá: ε pD =

dp Qd

1200 − 6 p 1200 − 6 p



27

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



1

1

cho biết: tại mức giá này, nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm khoảng %

3

3

(4) Hệ số co giãn của TC theo Q là:

2

dTC Q 10Q (Q + 3) − 5Q

Q

Q 3 + 6Q 2

.

=

=

εQTC =

2

5Q 2 1000 (Q + 3)2 + Q 2 (Q + 3)

dQ TC

(Q + 3)

5000 +

Q +3

Tại p = 50 ta có ε pD = −



173 + 6.172

≈ 0,016 cho biết: tại Q = 17 , nếu sản xuất thêm 1% sản lượng thì

1000.202 + 20.172

tiêu tốn thêm khoảng 0,016% tổng chi phí.



Q = 17 thì εQTC

Tại

=



2



2



(5) Hàm tổng doanh thu: TR

= pQ

= 3.90=

L 3 270L 3

= 2L + 100000

Hàm tổng chi phí: TC

2

3



Hàm lợi nhuận: π = TR −TC = 270L − 2 L − 100000

Điều kiện cần: π ′ ( L ) = 180L







1

3



− 2 = 0 ⇔ 3 L = 90 ⇔ L = 729000



−4



Điều kiện đủ: π ′′ ( L ) =−60L 3 < 0 ∀L > 0 (thỏa mãn)

Vậy, L = 729000 là mức sử dụng lao động để công ty tối đa lợi nhuận.

= TC

=′ 4Q

(6) Hàm chi phí cận biên: MC

Điều kiện cần để doanh nghiệp tối đa lợi nhuân: MR = MC ⇔ 300 − Q = 4Q ⇔ Q = 60

Điều kiện đủ để doanh nghiệp tối đa lợi nhuân được thỏa mãn: MR ′ =−1 < MC ′ =4 ∀Q (π ′′ < 0 )

Vậy Q = 60 là mức sản lượng cho doanh nghiệp lợi nhuận tối đa.

dQ p

p

−0,2 p

(7) Hệ số co dãn của cầu theo giá là: ε Qp =

. =

−0,2

=

80 − 0,2 p 80 − 0,2 p

dp Q

Để tìm mức giá doanh nghiệp tối đa lợi nhuận, ta sẽ tìm mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa:

Ta có: Q = 80 − 0,2 p ⇔ p = 400 − 5Q

⇒ TR = pQ = ( 400 − 5Q )Q = 400Q − 5Q 2 ⇒ MR = TR ′ = 400 − 10Q

Điều kiện cần để doanh nghiệp tối đa lợi nhuân:

Q= 10 > 0

MR =

MC ⇔ 400 − 10Q =

3Q 2 − 20Q + 200 ⇔ 3Q 2 − 10Q − 200 =⇔

0



− 20 < 0 ( lo¹i )

Q =

3

Điều kiện đủ để doanh nghiệp tối đa lợi nhuận:

MR ′ =

6Q − 20 ⇒ MC ′ (10 ) =

40 ⇒ MR ′ (10 ) < MC ′ (10 ) (thỏa mãn)

−10 ⇒ MR ′ (10 ) =

−10 ; MC ′ =



Vậy Q = 10 là mức sản lượng cho doanh nghiệp lợi nhuận tối đa.

⇒ p = 400 − 5.10= 350 là mức giá cho lợi nhuận tối đa.

−0,2.350

Tại mức giá này thì ε pD =

= −7 , cho biết: tại p = 350 , nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm

80 − 0,2.350

khoảng 7% .

(8) Ta có: p = 1400 − 4Q ⇔ Q = 350 − 0,25P

dQ p

p

−0,25 p

a. Hệ số co giãn của cầu theo giá là: ε pD =

. =

−0,25

=

dp Q

350 − 0,25 p 350 − 0,25 p

−0,25.80

2

Tại p = 80 thì ε pD =

cho biết: tại mức giá này nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm

= −

350 − 0,25.80

33

2

%

khoảng

33

b. Hàm tổng doanh thu: TR =

pQ =

1400Q − 4Q 2

(1400 − 4Q )Q =

28

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



Hàm lợi nhuân: π =

TR −TC =

−Q 3 + 3Q 2 + 1320Q − 844

(1400Q − 4Q 2 ) − (Q 3 − 7Q 2 + 80Q + 844 ) =

= 22 > 0

Q

Điều kiện cần: π ′ (Q ) =

−3Q 2 + 6Q + 1320 =⇔

⇒Q =

0

22



=



<

Q

20

0

lo¹i

(

)



Điều kiện đủ: π ′′ (Q ) =−6Q + 6 ⇒ π ′′ ( 22 ) =−6.22 + 6 =−126 < 0 (thỏa mãn)



Vậy, Q = 22 là mức sản lượng cho doanh nghiệp lợi nhuận tối đa.

2.3.VI PHÂN

(1) Viết biểu thức vi phân: dy = y ′dx

a. y ′

=



( )(

e



=

⇒ dy



2x



e



)







2x



2x



2x + 1 + e



(



2x



(



)



′ e

2=

x +1



2x



2x



(



)



e 2x

e 2x

2x + 1 =

+

2x

2x



(



2x + 2



)



)



2x + 2 dx



1

b. Với miền xác định ( 2;+∞ ) , ta có y= ln ( x − 1) + ln ( 3x + 2 ) − 3ln ( x − 2 )

2

1

3

3

3

3 

 1

+



⇒ dy =

+



y′=

 dx

x − 1 6x + 4 x − 2

 x − 1 6x + 4 x − 2 

2x + 1 ′  2x + 1 ′ 

2x + 1 



2x + 1

tan

1 + tan 2

1 + tan 2













1

2x + 1

2x + 1 

4   4 

4 

4

c. y ′  =

cot

=

=

=

+ tan



2x + 1

2x + 1

2x + 1

2

4

4 

tan

tan

2 tan

4

4

4

1

2x + 1

2x + 1 

=

⇒ dy

tan

+ cot

dx



2

4

4 



(2) Vi phân của f ( x ) là: df ( x ) = f ′ ( x ) dx = 12 ( x 3 + x 2 ) dx ⇒ df (1) = 24dx

a. Với ∆x = 1 ⇒ dx = 1 ⇒ df (1) = 24.1 = 24



b. Với ∆x = 0,2 ⇒ dx = 0,2 ⇒ df (1)= 24.0,2= 4,8

c. Với ∆x= 0,05 ⇒ dx= 0,05 ⇒ df (1=

) 24.0,05= 1,2



29

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

chương 2: đạo hàm - vi phân – PT kinh tế

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×