Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 3: Hàm nhiều biến: Đạo hàm riêng – vi phân – cực trị

Chương 3: Hàm nhiều biến: Đạo hàm riêng – vi phân – cực trị

Tải bản đầy đủ - 0trang

Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



3.3.Cực trị

Cực trị tự do

a, u = 3x 2 + 4 y 2 + 5z 2 − 4xz + 6x + 8 y − 15



b, w =

−3x 2 − 3 y 2 − 11z 2 + 6xz − 12x + 12 y + 20z − 1



d, u =

−x 2 − 4 y 2 − 9z 2 − 4 yz + 6x + 8z + 5

c, w = 4x 2 + 2 y 2 + 5z 2 − 4xy + 12 y − 15z + 4

1

1

f , z = y 4 − 12xy + 6x 2 + 11

e , z = y 4 − 8xy + 4x 2 + 13

8

3

=

g , z z ( x ; y ) ( z ≥ 1) xác định bởi:

=

h , z z ( x ; y ) ( z > 1) xác định bởi phương trình:

x 2 + 3 y 2 + z 3 − 2x − 12 y − 15z + 27 =

0



x 2 + 3 y 2 + z 3 − 2x − 12 y − 2 z + 14 =

0

Cực trị kèm điều kiện

656

1) w = x 0,5 y 0,3 điều kiện 5x + 2 y =

1 1

1

1 1

3) z=

+ điều kiện 2 + 2 =

x

y

9

x y



280

2) w = x 0,8 y 0,6 điều kiện 8x + 5 y =



3.4.Ứng dụng phân tích kinh tế



Hàm

sản

xuất



1. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 8 3 K L .

a. Đánh giá hiệu quả theo quy mơ của doanh nghiệp

b. Hãy tính sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản và lao động tại mức

=

=

L 16;

K 8 và

giải thích ý nghĩa.

2



1



2. Cho hàm sản xuất Q = 65K 3 L 3

a. Tính sản phẩm hiện vật cận biên theo vốn và lao động tại mức K = 64, L = 125 và

cho biết ý nghĩa kinh tế.

b. b. Nếu giá một đơn vị tư bản K là 16$ và giá một đơn vị lao động L là 7$ và doanh

nghiệp sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức k = 64, L = 125 thì doanh nghiệp nên sử

dụng thêm một đơn vị tư bản hay một đơn vị lao động mỗi ngày? Vì sao?

1. Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiệp cạnh tranh là:TC = 7Q12 + 2Q 22 + 5Q1Q 2



=

p 2 45 . Hãy các định các mức sản lượng cho

Biết giá các sản phẩm tương ứng =

là p1 65,

lợi nhuận tối đa.

2. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí:

TC = Q12 + 2Q1Q 2 + Q 22 + 40



Cực

trị

tự do



35 − 0,5 p1 ; Q 2 =

40 − p 2 . Hãy

Cầu của thị trường đối với xác sản phẩm như sau Q1 =

chọn mức sản lượng kết hợp và giá bán cho lợi nhuận tối đa. Tại điểm tối đa hóa lợi

nhuận, nếu giả sản phẩm 1 tăng 3% thì cầu sản phẩm đó thay đổi như thế nào?

3. Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hoạp 3 loại sản phẩm với hàm tổng

3

chi phí kết hợpTC = Q12 + 2Q 22 + Q 32 + Q1Q 3 + 2Q 2Q 3 . Hãy chọn kết hợp sản lượng cho

2

=

p 2 28$;

=

p 3 26$ .

lợi nhuận tối đa khi giá các sản phẩm=

là p1 20$;

4. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán tại hai thị trường khác nhau

(Được phép phân biệt giá). Cho biết hàm chi phí cận biên:

MC =

3,5 + 0,1Q ; (Q =

Q1 + Q 2 )

24 − 0,3Q1 và p=

18 − 0,15Q 2 .

Và cầu của các thị trường đối với sản phẩm: p=

1

2

Xác định giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa



9

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



1. Cho hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu dùng 2 loại hàng hố U = 10x 0,6 y 0,4 trong đó x

là lượng hàng hố thứ nhất, y là lượng hàng hoá thứ 2. Trong điều kiện giá của hàng hoá

thứ nhất là 10$, giá của hàng hoá thứ 2 là 3$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 3000$.

Hãy xác định cơ cấu tiêu dùng tối đa hố lợi ích và xác định mức lợi ích tối ưu tăng thêm

khi lượng tiền dành cho tiêu dùng tăng 1$ (và khi tăng 1%).

2



Cực

trị

điều

kiện



1



2. Cho hàm lợi ích U = 20x 3 y 3 với x,y lần lượt là lượng cầu của hàng hóa 1 và 2. Biết giá

mỗi đơn vi ḥ àng hóa lần lượt là $8 và $4. Hãy tìm lượng cần x,y để người tiêu dùng tối

thiểu hóa chi tiêu của mình với lợi ích khơng đổi là 400.

3. Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q = 120K 0,7 L0,4 . Sử dụng phương pháp nhân

tử Lagrange, tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất sao cho doanh nghiệp phải

bỏ ra chi phí nhỏ nhất khi sản xuất Q 0 = 4000 đơn vị sản phẩm. Cho biết giá thuê tư bản



=

; w L 14 .

và lao động lần lượt=

là w K 16

4. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 20K 0,4 L0,4 . Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là

$10, giá thuê một đơn vị lao động là $8 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách

cố định là $320. Tìm mức sử dụng lao động và tư bản để doanh nghiệp có sản lượng cực

đại. Khi ngân sách sản xuất tăng 3% thì sản lượng cực đại thay đổi như thế nào?

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN

4.1.

Phân

thức

4.2.

Lượng

giác

4.3.

Căn thức



dx

1)∫ 2

4x − 5x + 1

1)∫

1)∫



dx

cos3 x



2)∫



dx



2 1 + 6x (1 + 3x )



1



4.5.

Suy rộng

Tính và

cho biết

các tích

phân sau

hội tụ hay

phân kì



xdx

x + 5x 2 + 6

0



3)∫



dx

cos4 x



3)∫

−1



dx



2)∫



x 2 − 4x + 5



d ,∫



e, ∫



ln ( 2x + 5)

x2



3



1)∫

1



dx



dx

x 4x − 5x + 1



0



2



x

3



4) ∫ x 2e dx

−∞

0



7) ∫ e −2 x cos 2xdx

−∞



arctan x

dx

x2



+∞



xdx

2) ∫

4

4x − 20x 2 + 26

−∞

+∞



5) ∫

0



dx



4 x + 1 (2 + x )



+∞



8) ∫ ( 3x + 2 ) sin 5xdx

0



6)∫



dx

2 sin x + cos x + 3



−x 2 − 4x + 5

dx



−2



a, ∫ ( 7x − 1) e 3x +1dx



5)∫



4



dx



3) ∫



2x + 4 − x 2

dx

x2

b , ∫ ( 3x − 1) cos ( −3x ) dx



4)∫ x 3 1 + x 2 dx

0



4.4.

Từng phần



1



dx

2)∫

−5 + 4x − x 2



x 4x 4 − 1



c , ∫ e −3x sin 2xdx



1  x



f ,∫4 x +

 e dx

x x 



+∞



3) ∫

2



dx

x + 3x 2 − 4

4



+∞



6) ∫ e − x cos 2xdx

0



+∞



9) ∫

1



ln ( 5x − 2 )

x2



dx



10

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

5.1. Phân ly biến (tách biến)

xy ′

−1

1)

=

y

2x + 3

5.2. Đưa về phân ly biến

=

a, y ′ sin ( 2x − y )

dy 2x − y

=

dx x + 2 y

g , ( 3x + y ) dx − ( x + 2 y ) dy =

0



d,



3,



)



3) x 2 − 3x + 2 y ′ + 2 y = y ( x + 1)



b=

,y ′



c , ( −2x + 6 y + 3) dx − ( x − 3 y + 1) dy =

0



e,



4x + 2 y



dy

2

= ( 8x + 2 y + 1)

dx



(



)



f , x 2 − 6xy y ′ + 3 y 2 = 5x 2 + 2xy



h , ( 4 y − 6x + 3) dx − ( 3x − 2 y + 4 ) dy =

0



5.3. Phương trình vi phân tồn phần

 2



x3

2

2

1, xy − x y + 2 dx +  x y − + y 2 + 5  dy =

0

3







(



(



2) y ′ − 3x 2 y =

4x 2 y 3



)



2x

y 2 − 3x 2

dx

+

dy =

0

y3

y4







1 

2x 

2,  2xy − 2  dx +  x 2 + 3  dy =

0

y 

y 







(



)



y 1;=

x 0

4, 2xydx + x 2 − y 2 dy =

0 thỏa =



5,  y + 2 ( x + y ) ln ( x + y )  dx + x + 2 ( x + y ) ln ( x + y )  dy =

0

5.4. Thừa số tích phân





y2

2, ( 3x + 1) y ′ =4x + 5 y

1, ydx= x + y 2 dy

+ 3x 3  dx − ( xy + y ) dy =

3,  2x +

0

2





dy 1 + xy

6, y 2 cos xydx + [ y + xy cos xy ]dy =

0

4, 2xydx − y + x 2 dy =

0

=

5,

dx

x +1

5.5. Phương trình tuyến tính

dy

y

3) x

+ ( 2 − x ) y = x + x 2 e −x

1) y ′ −

= x 2 + x − 2 ln 3x

x 2e x

2) xy ′ − y =

dx

x −1

1

(2 − x )

4) y ′ − y= 4 x +

6) x 2 − 3x + 2 y ′ + 2 y = y ( x + 1)

5) y ′ − y = 3 e x

x x

x

2x + 6

dy 1 + xy

7) ( 3x + 1) y ′ =4x + 5 y

9) y ′ − 2

2x + 7

y =

8)

=

x + 6x + 13

dx

x +1

5.6. Phương trình Bernoulli

2 y y 5 ln x

1) y . y ′ − 7xy 2 =

2x

3) y ′ − 3x 2 y =

4x 2 y 3

2) y ′ +

=

x

x

4) y ′ − y 2e x + 2 y =

0

5) 3 y 2 y ′ + y 3 + x =

0

dy

6) 3 y 2 − x 2 dx − ( y − 6 xy ) dy =

0

7)

− 4 y tan 2 x ( 4 + cos 2 x )

dx



(



)



(



)



(



(



)



(



(



)



)



)



11

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hồng Bá Mạnh: 0986.960.312



Spring 2019



Page: Love NeverDies

Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU

TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết



PHẦN II: GIẢI CHI TIẾT

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC

1.1.GIỚI HẠN

L1



(



)



(



)



sin 2x 2 − 4x − 6

sin 2x 2 − 4x − 6



2x 2 − 4x − 6  dïng sin x ~ x

lim

lim

lim

=

=





3

x →3

x →3

ln (1 + x ) ~ x 

ln x 3 − 26

ln 1 + x 3 − 27  x →3 x − 27 

3)( 2x + 2 )

( x −=

2x + 2

8

lim

lim

=

x →3 x − 3 x 2 + 3x + 9

x →3 x 2 + 3x + 9

27

(

)



(



)



(



)



)



x



arcsin



(



x



1 − x 2 = lim 1 − x 2  dïng arcsin x ~ x  = lim −1 = −1





x →0

ln (1 + x ) ~ x  x →0 1 − x 2

−x

ln (1 − x )





L 2 = lim

x →0



)



(



sin x

− e sin x ln cos x − 1

1 − ( cos x )

− sin x ln cos x

1 − e sin x .ln cos x

=

=

=

L 3 lim

lim

lim

lim

dïng e x − 1 ~ x

3

3

3

3







x →0

x

x

x

0

0

0

x

x

x

x

− sin x ln 1 + ( cos x − 1) 

−x ( cos x − 1)

1 − cos x ( L )

sin x 1

x

= lim

= lim

= lim

=

dïng e − 1 ~ x= lim

3

3

2







x →0

x

x

x

0

0

0

x

x

x

2x

2



)



(



(



)



ln 1 + ( cos3x − 1) 

cos3x − 1

cos3x − 1

lim

lim

tan x ~ x )

=

=

( dïng=

2

2

x →0

x →0

x →0

tan x

x2

ln 1 + tan x



L 4 lim

=

(L )



(



)



9

−3sin 3x ( L )

−9 cos3x

= lim

= −

x →0

x →0

2x

2

2



= lim



(



)



sin 3x 2 − 2x − 8

( x − 2=

)( 3x + 4 ) lim

3x 2 − 2x − 8  dïng tan x ~ x 

3x + 4 −5

lim

lim

L 5 lim

=

=

=

=





2

2

2

2

2

x →2

x

x

x







4−x

sin x ~ x 

− ( x − 2 )( x + 2 )

−x − 2 2

tan 4 − x





L6



(



)



x tan x

x2

1

1

=

+

=

=

x

x

dïng

ln

1

~

lim

tan x ~ x ) lim =

1

(

(

)

(

)

2

2

3

2

3

x →0 x + sin x

x →0 x + sin x

x →0

1+ 0

 sin x 

1+ 

 sin x

 x 



lim



1

1

1

−2 ln x

2

2

(L )

(L )

ln (1 + x ) ( L )



x

x

ln

2

ln

x

= lim+ x + 1 = lim+

= lim+

= lim+

= lim+ x = lim+ ( −2x ) = 0

L 7 = lim+

x →0

x →0

x →0

x →0

x →0

x →0

1

1

1

1

1

1 x →0



− 2

− 2

1+

2

x ln x

x

x

x

x

ln x

1 1

1

L 8= lim 



x →0 x

 3x tan 3x



tan 3x − 3x

tan 3x − 3x



= lim

= lim

2

x →0

9x 3

 x →0 3x tan 3x



( dïng tan x



(L )



~ x )= lim

x →0



(



)



3 1 + tan 2 3x − 3

27x



2



2



 tan 3x 

= lim

=

 3x  1

x →0







L 9 = lim

x →0



( )



sin x 2 − x 2

x6



( dïng sin x



~ x ) = lim+

t →0



(L )

sin t t

cos t 1 ( L )

1

sin t

2

đặt

lim

t

=

x

=

= lim+

= −

3

2

+

t →0

t →0

3t

6t

6

t



(



)



12

Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492



Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 3: Hàm nhiều biến: Đạo hàm riêng – vi phân – cực trị

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×